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Full text of "Bernhard Riemann's Gesammelte mathematische Werke"

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^ BERKELEY 

i LIBRARV 

UNIVERSITV OF 



3;IATH/STATi, 



''^ra/STAT. 



BERNHARD RIEMANN'S 

GESAMMELTE 

MATHEMATISCHE WERKE 

UND 

WISSENSCHAPTLIOHER NAOHLASS. 



HERAUSGEGEBEN 



UNTER MITWIRKUNG VON R. DEDEKIND 



H. WEBER. 



LEIPZIG, 

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 

1876. 






MATH-STAT. 



1^5 



MATH.. 

STAT. 

UfiRARY 



Vorrede. 



Das Werk^ welches hiermit in die Oeffentlichkeit tritt, ist die 
endhche Ausführung eines seit lange geplanten Unternehmens. Bei 
der Bedeutung, welche die grossen Schöpfungen Riemann's für die 
Entwicklung der neueren Mathematik haben, gehören die meisten der 
Riemann'schen Abhandlungen zu den unentbehrlichsten Ilülfsmitteln 
des Mathematikers, und eine Sammlung seiner Werke dürfte daher 
einem allgemein gehegten Wunsche um so mehr entgegen kommen, 
als die meisten derselben im Buchhandel nicht oder nur schwer zu 
erhalten sind. Es kommt dazu die dringende Pflicht gegen die Wissen- 
schaft, die im handschriftlichen Nachlass noch verborgenen Unter- 
suchungen und Gedanken der Oeffentlichkeit nicht länger vorzuenthalten. 

Schon im Frühjahr 1872 war daher unter mehreren Freunden 
Riemann's der Plan zu einer solchen Sammlung entstanden und Clebsch 
hatte mit seiner ganzen Thatkraft die Leitung des Unternehmens in 
die Hand genommen, und sich mit Dedekind vereinigt, in dessen 
Besitz nach Riemann's Wunsch der handschriftliche Nachlass nach 
des Verfassers Tod gekommen war, und der bereits mehrere Abhand- 
lungen aus demselben herausgegeben hatte. 

Durch den beklagenswerthen und unerwarteten Tod von Clebsch 
gerieth leider das Vorhaben in^s Stocken und blieb längere Zeit gänz- 
lich liegen. Als mir im November 1874 Dedekind im Namen der 
Frau Professorin Riemann den Vorschlag machte, die Leitung der 
Herausgabe zu übernehmen, bin ich nicht ohne schwere Bedenken 
darauf eingegangen. Denn obwohl ich von dem Umfang der damit 
verbundenen Arbeit damals noch keine richtige Vorstellung hatte, war 
ich. mir der zu übernehmenden Verantwortung wohl bewusst. Nur 
die Erwägung, dass im Falle meiner Weigerung die Ausführung aber- 
mals auf lange Zeit hinausgeschoben zu werden, wenn nicht gänzlich 
zu scheitern drohte, half mir meine Bedenken überwinden, und so ent- 
schloss ich mich, was an mir läge, zu tliun, um das Unternehmen zu 
einem befriedigenden Abschluss zu bringen, da Dedekind mir die 
Versicherung gab, mich bei der Arbeit nach Kräften zu unterstützen, 
ein Versprechen, welches er treulich gehalten hat. 



iw7-775£;5 



IV Vorrede. 

Die von Rieinann selbst oder nach seinem Tode bereits veröffent- 
lichten Arbeiten wurden revidirt, hin und wieder durch einen im Nach- 
lass aufgefundenen Zusatz bereichert, und in kleinen Ungenauigkeiten 
verbessert, sonst aber in unveränderter Form aufgenommen. Nur die 
Abhandlung über die Flächen vom kleinsten Inhalt hat in Folge einer 
von K. Hattendorff auf meinen Wunsch ausgeführten Ueberarbeitung 
einige wesentlichere Aenderungen erfahren. 

Von* den im Nachlass enthaltenen Entwürfen fanden sich einige 
in fast druckfertiger Form vor, andere aber in einem so fragmentari- 
schen Zustande, dass die Verknüpfung und Darstellung erhebliche 
Schwierigkeiten machte. Von der grossen Menge nur Formeln ohne 
Text enthaltender Pa2)iere war wenig für den Druck zu verwerthen. 
Besonders hervorzuheben ist unter den ersteren die Arbeit über den 
Rückstand in der Leidener Flasche, welche liiemann schon im An- 
schluss an die Mittheilung in der Göttinger Naturforscher- Versammlung 
zur Publication vorbereitet hatte, ferner die in lateinischer Sprache 
geschriebene Beantwortung einer Preisfrage der Pariser Akademie über 
isotherme Curven, welche besonders deshalb von hohem Interesse ist, 
weil darin Kiemann's Untersuchungen über die allgemeinen Eigen- 
schaften der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten in den Grund- 
zügen niedergelegt sind und eine merkwürdige Verwendung finden. 
Die Darstellung in dieser Abhandlung ist eine äusserst knappe, und 
die Wege, auf denen die endlichen Resultate erhalten wurden, finden 
sich darin nur im Allgemeinen angedeutet. Von der Ausführung einer 
beabsichtigten zweiten eingehenderen Darstellung des Gegenstandes 
wurde Riemann durch seinen Gesundheitszustand abgehalten. Dass ich 
im Stande bin, diese schöne Untersuchung in der letzten von Riemann 
herrührenden Redaction zum Abdruck zu bringen, verdanke ich der 
Güte des beständigen Secretärs der Pariser Akademie, Herrn Dumas, 
welcher auf ein namens der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften 
von Herrn Wo hl er an ihn gerichtetes Ansuchen mit der dankens- 
werthesten Bereitwilligkeit mir das Originalmanuscript zur Verfügung 
stellte. 

Von Riemann^s Untersuchungen über lineare Differentialgleichungen 
mit algebraischen Coefficienten liegt der erste Theil in ziemlich druck- 
fertiger Form von Riemann's Hand vor und war vermuthlich zu der 
Publication bestimmt, die in der Abhandlung über AbePsche Functionen 
angekündigt ist, aber nicht zur Ausführung kam. Ein zweiter Theil, 
der die wahre Verallgemeinerung der Theorie der hypergeometrischen 
Reihen enthält, fand sich nur im ersten Entwürfe vor, jedoch so, dass 
der Gedankengang vollständig hergestellt werden konnte. 



Vorrede. V 

Ferner ist hier noch der in italienischer Sprache geschriebene An- 
fang zu einer Untersuchung über die Darstellbarkeit des Quotienten 
zweier hypergeometrischer Reihen durch einen Kettenbruch zu erwähnen, 
deren Bearbeitung H. A. Schwarz in Göttingen übernommen hat, 
dem ich hierfür sowie für manchen Rath an anderen Stellen hier 
meinen Dank ausspreche. 

Obwohl die Vorlesungen Riemann's dem ursprünglichen Plane nach 
von dieser Sammlung ausgeschlossen sind, so habe ich mich doch zur Auf- 
nahme zweier kleinerer, in sich abgeschlossener Untersuchungen über die 
Convergenz der p-fach unendlichen Theta-Reihe und über die 
AbeTschen Functionen für den Fall 2^ = 3 entschlossen, bei deren 
Bearbeitung ein von G. Roch geführtes Vorlesungsheit zu Grunde ge- 
legt werden konnte, theils wegen des grossen Interesses, welches die 
Gegenstände haben, theils weil eine zusammenhängende Veröffentlichung 
dieser Vorlesungen, wie es scheint, vorläufig nicht in Aussicht steht. 

Ich erwähne hier noch die den Anhang bildenden naturphilo- 
sophischen Fragmente, welche wenigstens eine ungefähre Vorstellung 
von dem Inhalt der Speculationen geben können, denen Riemann 
einen grossen Theil seiner Gedankenarbeit widmete und die ihn viele 
Jahre seines Lebens hindurch begleitet haben. Diese Bruchstücke 
dürften trotz ihrer Lückenhaftigkeit und Unvollständigkeit geeignet 
sein, auch in weiteren Kreisen Aufmerksamkeit zu erregen, wenn sie 
auch nicht viel mehr als die Anfänge und die allgemeinsten Grundzüge 
einer eigenthümlichen und tiefsinnigen Weltanschauung enthalten. 

Eine willkommene Beigabe für die Freunde und Verehrer Rie- 
mann's wird endlich die biographische Skizze sein, welche Dedekind 
auf meinen Wunsch auf der Grundlage von Briefen und anderen Mit- 
theilungen der Riemann 'sehen Familie, unterstützt durch seine eigenen 
Erinnerungen verfasst hat. 

Was die Anordnung des Stoffes betrifft, so ist in den beiden 
ersten Abtheilungen die chronologische Reihenfolge streng inne ge- 
halten worden; in der dritten Abtheilung, welche den Nachlass enthält, 
konnte diese Anordnung nicht ganz consequent durchgeführt werden, 
theils weil sich die Entstehungszeit hier nicht immer vollständig fest- 
stellen Hess, theils weil die mehr ausgeführten Untersuchungen dem 
Fragmentarischen vorangestellt werden sollten. 

Königsberg, im März 1876. H. Weber. 



VIII Inhalt. 

-« ^ ^ Reite 

indefini pour qu'un t^ysteme de courbes isothermes, a un instant donne, 
restent isothermes apres nn teraps qnelconque, de teile sortc quo 
la temperature d'un point puisse s'exprimer en fonction du temps 

et de deux aiitres variables independantos." (1861.) 370 

Anmerkungen zur vorstehenden Abhandlung 384 

XXIIT. Sullo svolgimento del quoziente di dne serie ipergeometrichc in iVa- 

zione coutinua infinita. (1863.) 400 

XXIV. Ueber das Potential eines Ringes 407 

XXV. Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem Quer- 
schnitt und parallelen Axen 413 

XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung . 417 

XXVIl. Fragmente über die Grrenzfälle der elliptischen Modulfunctionen. (1852.) 427 

Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten 438 

XXVIIl. Fragment aus der Analysis Situs 448 

XXIX. Convergenz der ^^-fach unendlichen Theta-Reihe 452 

XXX. Zur Theorie der Abel'schen Functionen für den Fall p =--= 3 . . . . 456 

Anhang. 

Fragmente ])hilosophischen Inhalts. 

I. Zur Psychologie und Metaphysik 477 

IL Erkenntnisstheoretisches 489 

III. Naturphilosophie 494 

Bernhard Riemann's Lebenslauf 507 



Erste Abtlieihmg. 



Riemann's gesammelte mathematische Werke. 1. 



I. 

Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer 
veränderlichen complexen Grösse. 

(Inauguraldissertation, Göttingen, 1851.) 

1. 

Denkt man sich unter z eine veränderliche Grösse, welche nach 
und nach alle möglichen reellen Werthe annehmen kann, so wird, 
wenn jedem ihrer Werthe ein einziger Werth der unbestimmten Grösse 
tv entspricht, w eine Function von z genannt, und wenn, während z 
alle zwischen zwei festen Werthen gelegenen Werthe stetig durch- 
läuft, lü ebenfalls stetig sich ändert, so heisst diese Function inner- 
halb dieses Intervalls stetig oder continuirlich. (^) 

Diese Definition setzt offenbar zwischen den einzelnen Werthen 
der Function durchaus kein Gesetz fest, indem, wenn über diese 
Function für ein bestimmtes Intervall verfügt ist, die Art ihrer Fort- 
setzung ausserhalb desselben ganz der Willkür überlassen bleibt. 

Die Abhängigkeit der Grösse %ü von z kann durch ein mathe- 
matisches Cjfesetz gegeben sein, so dass durch bestimmte Grössen- 
operationen zu jedem Werthe von z das ihm entsprechende iv gefunden 
wird. Die Fähigkeit, für alle innerhalb eines gegebenen Intervalls 
liegenden Werthe von z durch dasselbe Abhängigkeitsgesetz bestimmt 
zu werden, schrieb man früher nur einer gcAvissen Gattung von 
Functionen zu (functiones continuae nach Euler's Sprachgebrauch); 
neuere Untersuchungen haben indess gezeigt, dass es analytische Aus- 
drücke giebt, durch welche eine jede stetige Function für ein gege- 
benes Intervall dargestellt werden kann. Es ist daher einerlei, ob 
man die Abhängigkeit der Grösse %v von der Grösse z als eine will- 
kürlich gegebene oder als eine durch bestimmte Grössenoperationen 

1* 



4 I. (jirundlug(,'ii i'ür oiiw; all^n'HM'iiic 'l'hcoric 

bodin^fic clofiniri. Heide IJoj^riife .sind in I^dj^c dci- crwillinlcn 'riicorcnic 
(;(>ngnieni. 

And(^rH verhält es sich aber, w(>nn die Veriindcrlichkeit der Gröase 
z nicht auf reeUe Werthe beschränkt wird, sondern auch coinjdcxc 
von der Form x + yi (wo i = ]/ — 1) zugelassen werden. 

Es s(5ien x + yi und x -\- yi -\- dx + dyi zwei unendlich w<'ni^' 
verschiedene Werilie der (J rosse ^, w(dchen die Werthe n -f- vi und 
n -f" '''" H~ '/" + '^'"' ^^''1' (lirösse w entspnichen. ALsdjinn wird, wenn 
di(^ Abhiln^'igkeit <ler (irösse iv von z ein«; willkürlich anj^enoniinejH' 

ist, das Verhältniss ', , ', . sich mit d(^n Werthen von dx und dti 
(Ix -|- (lyi •' 

allgemein /n reden ändern, indem, wenn man dx -f- dyl --^ tc/i"' setzt, 

(In -f- (l ri 
tl.i- -f- (/ i/i 



. . \"()u dv , /"()V , ^W\ . "1 



(lyi 
dyi 



2 (/) i 



wird. Anl' weh'he Art aber auch tv als l^'unction von ä' durch Ver- 
bind nn<^' der einfachen (irössenoperationen bestimmt werden möge, 

immer wircl der VVerih des Ditferentialquotienten -j-^ v(m dem beson- 

dcMii Werthe des Ditferentials dz unabhängig sein*). Offenbar kann 
also auf diest^ni Wege nicht jede beliebige Abhängigkeit der complexen 
({ rosse w von der com])lexen («riksse s ausgedrückt werden. 

Das oben hervorgehobene Merknuil aller irgendwie durch Grössen- 
operationen bestimmbaren Functionen werden wir für die folgendem 
llnlersuchung, wo eine solche Fuiu'tion unabhängig von ihrem Aus- 
drucke betracht(»t werdiui soll, zu (Jrunde legen, indem wir, ohne jetzt 
dessen Allgemeingültigkeit vmd Zidänglichkeit für dcMi Hegriff (uuör 
durch (irijssenoperalionen a,usdrückbar<Mi Abhängigkeit zu beweisen, 
von folgender Oeliniiion ausgehen: 

♦) Diese HeliaupUnig iwt olVeiibiir in allen Fällen jjfcreclitftu-iigi, wo sieh aus 
dem Ausdrucke von w durch z luittelst der Regeln der Diilereuliatiün ein Aus- 
druck von - *^ durch z finden läsHi; ihre streng allgemeine Ciültigkoit bleibt für 
dz 

j(»t/t dahin gestellt. 



(Ici- l''imcl,i(»ii<'ii einer vciTindcrlicIicii cuin|il<'\eii ( .' ir»^s^e 5 

Eim; vcniri(l(^rlicli(' (*()Mi|>l(3xe (fr()Hse lO lioissl ciin; ImiiicUoii cjucr 



[iiiderii vorilrulorli(;hoii coinploxen drösHO <£?, wenn sie mit ihr .sich ho 
jidert, (hiss der Worth dos Diffcreiit 
dcuii VVerthc des DiHerentiiils dz ist. 



ilndort, (hiss der Worth dos Diffcrentialquotienten -y^ unabhängig von 



2. 

Sowold die (jlrösse 0, als die (irnssc; tu werdcMi als vorändcrliclio 
(u'üssen hotnif'litet, die jodcai cornploxon Worth aiinelinion können. 
Die Aultassung einer solchen Veränderlichkeit, welche sich auf ein 
zusammenhängendes (lebiet von zwei Dimensionen 'erstreckt, wird 
wesentlich erleichtert durch eine Anknüpfung an räumliche Anschau- 
ungen. 

Man denke sich jeden Werth x -\- yi der Grösse z repräsentirt 
durcli oiiion Punkt der E})ene A, dessen rechtwinklige Coordinaten 
,r, y/, jeden Werth u -\- vi der Grösse w durch einen Punkt Q der 
l^'ibeno ]i, dessen rechtwinklige Coordinaten u, v sind. Eine jede Ab- 
hängigkeit der Grösse iv von ^ wird sich dann darstellen als eine 
Abhängigkeit der Lage des Punktos Q von der des Punktes 0. Ent- 
s{)richt jedem Werthe von z ein ])estimniter mit z stetig sich ändern- 
der Werth von w, mit andern Worten, sind ^i und v stetige Functionen 
von X, y, so wird jodom Punkte der Ebene A ein Punkt der Ebene IJ, 
jeder Linie, allgemein zu roden, eine Linie, jedem zusammenhängondon 
l^^lächenstücko ein zusammenhängendes Flächenstück entsprechen. Man 
wird sich also diese Abhängigkeit der Grösse w von z vorstellen können 
als eine Ab})ildung dor Ebene yt auf der Ebouo J>. 

3. 

Es soll nun untersucht worden, welche Eigenschaft diese Abbil- 
dung erhält, wenn iv eine Function der complexen Grösse z, d. h. 

wenn von dz umibhängig ist. 

AVir bezeichnen durch o einen unbestimmten Punkt der Ebene Ä 
in der Nähe von 0, sein Bild in der Ebene 7> durch r/, ferner durch 
•^' + //^ + (^^' + (^y^ und u -{- vi -\- du -\- dvi die Werthe der 
Grössen z und w in diesen Punkten. Es können dann dx, dy und 
dit, dv als rechtwinklige Coordinaten der Punkte o und q in l^ezug 
auf di^ Punkte und Q als Anfangsj)unkte- angesehen wenhai, und 
wenn man dx -\- dyi = se'P' und du -\- dvi = rjc'^"' setzt, so werden 
die Grössen £, cp, y], i^ Polarcoordinaten dieser Punkte für dieselben 



6 I. GiuiHllageu für eine allgemeine Theorie 

Anfangspunkte sein. Sind nun o' und o" irgend zwei bestimmte 
Lagen des Punktes o in unendlicher Nähe von 0, und drückt man die 
von ihnen abhängigen Bedeutungen der übrigen Zeichen durch ent- 
sprechende Jndices aus, so giebt die Voraussetzung 

du -}- dv' i du" -\- dv" i 

dx' -\- dy i dx" -{■ dy" i 
und fol<jlich 



du -{-dv 'i __ 7] (,;.'_, ^"),- _ dx ;\-J.y'i _ l .(,p'_,p"), 

7 /» 1 T ff . /> O ' ' T ff' ,' -,' "ff '. ff ly ' ' 

du -\- dv t 7] dx -f- dy i s 



woraus -L = — und ijj' — ^" = cp' — (p" , d. h. in den Dreiecken 

dOo" und q'Qq" sind die Winkel o'Oo" und q'Qq" gleich und die 
sie einschliessenden Seiten einander proportional. 

Es findet also zwischen zwei einander entsprechenden unendlich 
kleinen Dreiecken und folglich allgemein zwischen den kleinsten Thei- 
leii der Ebene Ä und ihres Bildes auf der Ebene 1» Aehnlichkeit 
Statt. Eine Ausnahme von diesem Satze tritt nur in den besonderen 
Fällen ein, wenn die einander entsprechenden Aenderungen der Grössen 
z und tv nicht in einem endlichen Verhältnisse zu einander stehen, 
was bei Herleitung desselben stillschweigend vorausgesetzt ist*). 



4. 

Bringt man den Differentialquotienten ^-^ — T * . in die Form 

ö . -^ dx -\- dyi 

(du , ^«^ A 7 , (dv ?u .\ 7 . 
\cx ^ ex j \py (^y J 

dx -\- dyi ' 

so erhellt, dass er und zwar nur dann für je zwei Wertlie von dx 
und dy denselben Werth haben ward, wenn 

du Cü -, €V C^l 

dx dy dx dy 

ist. Diese Bedingungen sind also hinreichend und nothwendig, damit 
iv = II -\- vi eine Function von z = x -\- yi sei. Für die einzelnen 
Glieder dieser Function fliessen aus ihnen die folgenden: 



*) Ueber diesen Gegenstand sehe man: 
.^Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Thcile einer gegebenen Fläche so 
abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich 
wird, von C. F. Gauss. (Als Beantwortung der von der königlichen Societät der 
Wissenschaften in Copeuhagen für 1822 aufgegebenen Preisfrage", abgednickt in: 
,, Astronomische Abhandlungen, herausgegeben von Schumacher. Drittes Heft. 
Altona. 1825.") (Gauss Werke Bd. lY, p. 189.) 



der Functionen einer veriindcrliclien complexen Grösse. 



^z -r fy2 — 0,^,-Y ^-i — 0, 

welche für die Untersucliung der Eigenscliaften, die Einem Gliede 
einer >solclien Function einzeln betrachtet zukommen, die Grundlage 
bilden. Wir werden den Beweis für die wichtigsten dieser Eigen- 
schaften einer eingehenderen Betrachtung der vollständigen Function 
voraufgehen lassen, zuvor aber noch einige Punkte, welche allgemei- 
neren Gebieten angehören, erörtern und festlegen, um uns den Boden 
für jene Untersuchungen zu ebenen. 



5. 

Für die folgenden Betrachtungen beschränken wir die Veränder- 
lichkeit der Grössen x, y auf ein endliches Gebiet, indem wir als Ort 
des Punktes nicht mehr die Ebene A selbst, sondern eine über 
dieselbe ausgebreitete Fläche T betrachten. Wir wählen diese Ein- 
kleidung, bei der es unanstössig sein wird, von auf einander liegenden 
Flächen zu reden, um die Möglichkeit offen zu lassen, dass der Ort 
des Punktes über denselben Theil der Ebene sich mehrfach er- 
strecke, setzen jedoch für einen solchen Fall voraus, dass die auf 
einander liegenden Flächentheile nicht längs einer Linie zusammen- 
hängen, so dass eine Umfaltung der Fläche, oder eine Spaltung in auf 
einander liegende Theile nicht vorkommt. 

Die Anzahl der in jedem Theile der Ebene auf einander liegen- 
den Flächentheile ist alsdann vollkommen bestimmt, wenn die Begren- 
zung der Lage und dem Sinne nach (d. h. ihre innere und äussere 
Seite) gegeben ist; ihr Verlauf kann sich jedoch noch verschieden 
gestalten. 

In der That, ziehen wir durch den von der Fläche bedeckten 
Theil der Ebene eine beliebige Linie /, so ändert sich die Anzahl der 
über einander liegenden Flächentheile nur beim üeberschreiten der 
Begrenzung, und zwar beim Ue bertritt von Aussen nach Innen um 
-f- 1, im entgegengesetzten Falle um — 1, und ist also überall be- 
stimmt. Längs des Ufers dieser Linie setzt sich nun jeder angrenzende 
Flächentheil auf ganz bestimmte Art fort, so lange die Linie die Be- 
grenzung nicht trifft, da eine Unbestimmtheit jedenfalls nur in einem 
einzelnen Punkte und also entweder in einem Punkte der Linie selbst 
oder in einer endlichen Entfernung von derselben Statt hat; wir kön- 
nen daher, wenn wir unsere Betrachtung auf einen im Innern der 
Fläche verlaufenden Theil der Linie l und zu beiden Seiten auf eiuej) 



8 I. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

liiiireiclieiid kleinen Flliclienstreifen beschränken, von bestimmten 
angrenzenden Flächentheilen reden, deren Anzahl auf jeder Seite gleich 
ist, und die wir, indem wir der Linie eine bestimmte Richtung bei- 
legen, auf der Linken mit a^, a^^ ... an, auf der Rechten mit a/, a/, ... d n, 
bezeichnen. Jeder Flächentheil a wird sich dann in einen der Flächen- 
theile d fortsetzen; dieser wird zwar im Allgemeinen für den ganzen 
Lauf der Linie l derselbe sein, kann sich jedoch für besondere Lagen 
von / in einem ihrer Punkte ändern. Nehmen wir an,.dass oberhalb 
eines solchen Punktes ö (d. h. längs des vorhergehenden Theils von l) 
mit den Flächentheilen a\, a\^, . . . d n der Reihe nach die Flächen- 
theile a,, c?^,, . . . «,, verbunden seien, unterhalb desselben aber die 
Flächentheile a«i, aa.>y • • • ««„; wo «i, «^, . . . a^ nur in der Anordnung 
von 1, 2, .. . . n verschieden sind, so wird ein oberhalb (5 von % in d^ 
eintretender Punkt, wenn er unterhalb 6 auf die linke Seite zurück- 
tritt, in den Fläch entheil «„i gelangen, und wenn er den Punkt 6 von 
der Linken zur Rechten umkreiset, wird der Index des Flächentheils, 
in welchem er sich befindet, der Reihe nach die Zahlen 

1, r^i, «„1, . . . ^, dl,, ... 

durchlaufen. Tn dieser Reihe sind, so lange das Glied 1 nicht wieder- 
kehrt, nothwendig alle Glieder von einander verschieden, weil einem 
beliebigen mittlem Gliede «^< nothwendig ^ und nach einander alle 
früheren Glieder bis 1 in unmittelbarer Folge vorhergehen 5 wenn aber 
nach einer Anzahl von Gliedern, die offenbar kleiner als n sein muss 
und = m sei, das Glied 1 wiederkehrt, so müssen die übrigen Glieder 
in derselben Ordnung folgen. Der um ö sich bewegende Punkt kommt 
alsdann nach je m Umläufen in denselben Flächentheil zurück und 
ist auf m der auf einander liegenden Flächentheile' eingeschränkt, 
welche sich über ö zu einem einzigen Punkte vereinigen. Wir nennen 
diesen Punkt einen Windungspunkt m — 1 ster Ordnung der Fläche T. 
Durch Anwendung desselben Verfahrens auf die übrigen n — m Flächen- 
theile werden diese, wenn sie nicht gesondert verlaufen, in Systeme 
von w^, m^, ... Flächentheilen zerfallen, in welchem Falle auch noch 
Windungspunkte m^ — Ister, m.^ — Ister Ordnung in dem Punkte ö 
liegen. 

Wenn die Lage und der ♦Sinn der Begrenzung von T und die 
Lage ihrer Windungspunkte gegeben ist, so ist T entweder vollkom- 
men bestimmt oder doch auf eine endliche Anzahl verschiedener Ge- 
stalten beschränkt; Letzteres, in so fern sich diese Bestimmungsstücke 
auf verschiedene der auf einander liegenden Flächentheile beziehen 
können. 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 9 

Eine veränderliche Grösse, die für jeden Punkt der Fläche T, 
allgemein zu reden, d. h. ohne eine Ausnahme in einzelnen Linien und 
Punkten'^) auszuschliessen, Einen bestimmten mit der Lage desselben 
stetig sich ändernden Werth annimmt, kann offenbar als eine Function 
von X, y angesehen werden, und überall^ wo in der Folge von Functionen 
von X, y die Rede sein wird, werden wir den Begriff derselben auf 
diese Art festlegen. 

Ehe wir uns jedoch zur Betrachtung solclier Functionen wenden, 
schalten wir noch einige Erörterungen über den Zusammenhang einer 
Fläche ein. Wir beschränken uns dabei auf solclie Flächen, die sich 
nicht längs einer Linie spalten. 

6. 

Wir betrachten zwei Flächentheile als zusammenhängend oder 
Einem Stücke angehörig, wenn sich von einem Punkte des einen durch 
das Innere der Fläche eine Linie nach einem Punkte des andern ziehen 
lässt, als getrennt, wenn diese Möglichkeit nicht Statt findet. 

Die Untersuchung des Zusammenhangs einer Fläche beruht auf 
ihrer Zerlegung durch Querschnitte, d. h. Linien, welche von einem 
Begrenzungspunkte das Innere einfach — keinen Punkt mehrfach — 
bis zu einem Begrenzungspunkte durchschneiden. Letzterer kann auch 
in dem zur Begrenzung hinzugekommenen Theile, also in einem 
frühern Punkte des Querschnitts, liegen. 

Eine zusammenhängende Fläche heisst, wenn sie durch jeden 
Querschnitt in Stücke zerfällt, eine einfach zusammenhängende, andern- 
falls eine mehrfach zusammenhängende. 

Lehrsatz I. Eine einfach zusammenhängende Fläche A zerfällt 
durch jeden Querschnitt ah in zwei einfach zusammenhängende Stücke. 

Gesetzt, eins dieser Stücke würde durch einen Querschnitt cd 
nicht zerstückt, so erhielte man offenbar, je nachdem keiner seiner 
Endpunkte oder der Endpunkt o oder beide Endpunkte in ah fielen, 
durch Herstellung der Verbindung längs der ganzen Linie ah oder 
längs des Theils ch oder des Theils cd derselben eine zusammen- 



*) Diese Beschränkung ist zwar nicht durch den Begriif einer Function au 
sich geboten, aber um Infinitesimalrechnung auf sie anwenden zu können erfor- 
derlich: eine Function, die in allen Punkten einer Fläche unstetig ist, wie z. B. 
eine Function, die für ein commensurables x und ein commensurables y den 
Werth 1, sonst aber den Werth 2 hat, kann weder einer Differentiation, noch 
einer Integration, also (unmittelbar) der Infinitesimalrechnung überhaupt nicht un- 
terworfen werden. Die für die Fläche T hier willkürlich gemachte Beschränkung 
ird sich später (Art. 15.) rechtfertigen. 



w 



10 I. Gruiidlageu für eine allgcmeino Theorie 

hängende Fläche, welclie durch einen Querschnitt aus Ä entstände, 
gegen die Vorraussetzung. 

Lehrsatz IL Wenn eine Fläche T durch ?2^*) Querschnitte q^ in 
ein System T^ von 7)1^ einfach zusammenhängenden Flächenstücken 
und durch n^ Querschnitte q.^ in ein System T.^ von m., Flächenstücken 
zerfällt, so kann 7io — m.^ nicht > n^ — m^ sein. 

Jede Linie ^o bildet, wenn sie nicht ganz in das Querschnitt- 
system q^ fällt, zugleich einen oder mehrere Querschnitte q.^ der 
Fläche T^. Als Endpunkte der Querschnitte g^' ^^^^ anzusehen: 

1) die 2n2 Endpunkte der Querschnitte q.^, ausgenommen, wenn ihre 
- vt Enden mit einem Theil des Liniensystems q^ zusammenfallen, 

2) jeder mittlere Punkt eines Querschnitts q.^, in welchem er in 
einen mittlem Punkt einer Linie q^ eintritt, ausgenommen, wenn 
er sich schon in einer andern Linie q^ befindet, d. h. wenn ein 
Ende eines Querschnitts g^ mit ihm zusammenfällt. 

Bezeichnet nun ^, wie oft Linien beider Systeme während ihres 
Laufes zusammentreffen oder auseinandergehen (wo also ein einzelner 
gemeinsamer Punkt doppelt zu rechnen ist), v^, wie oft ein Endstück 
der ^1 mit einem mittlem Stücke der g.2, v^, wie oft ein Endstück 
der q., mit einem mittlem Stücke der g^, endlich v.^, wie oft ein End- 
stück der q^ mit einem Endstücke der q.^ zusammenfällt, so liefert 
Nr. 1 2 »2 — '^2 — "^^3? Ni'- ^ f^ — '^i Endpunkte der Querschnitte gV? 
beide Fälle zusammengenommen aber umfassen sämmtliche Endpunkte 
und jeden nur einmal, und die Anzahl dieser Querschnitte ist daher 

- '^ ^^ Js -r ^ ^ ^_ ^^^ _|_ ^ Durch ganz ähnliche Schlüsse er- 

giebt sich die Anzahl der Querschnitte q\ der Fläche,v^T^, welche durch 
die Linien q^ gebildet werden, = — ^- — J'"^ ^ , also == ^^^ -f" ^"• 

Die Fläche 1\ wird nun offenbar durch die n.^ + s Querschnitte q^ in 
dieselbe Fläche verwandelt, in welche T.j durch die w^ + s Querschnitte 
q\ zerfällt wird. Es besteht aber T^ aus m^ einfach zusammenhän- 
genden Stücken und zerfällt daher nach Satz L durch n.^ + 6* 
Querschnitte in ni^^ + n^ + ^ Flächenstücke-, folglich müsste, wäre 
m.^ < m^ + ^2 — '*h> ^i^ ^^^^ ^®^ Flächenstücke jf^ durch n^ -\- s Quer- 
schnitte um mehr als n^ + s vermehrt werden, was ungereimt ist. 

Zufolge dieses Lehrsatzes ist, wenn die Anzahl der Querschnitte 
unbestimmt durch n, die Anzahl der Stücke durch m bezeichnet wird, 



*) Unter einer Zerlegung durch mehrere Querschnitte ist stets eine successive 
zu verstehen, d. h. eine solche, wo die durch einen Querschnitt entstandene 
Fläche durch einen neuen Querschnitt weiter zerlegt wird. 



der Finictionen einer veränderlichen coraplexen Grösse. 11 

n — ni für alle Zerlegungen einer Fläche in einfach zusammenhängende 
Stücke constant; denn betrachten wir irgend zwei bestimmte Zer- 
legungen durch Wi Querschnitte in m^ Stücke und durch n.^ Quer- 
schnitte in Wcj Stücke, so muss, wenn erstere einfach zusammenhängend 
sind, Wg — ^Wy < »^1 — tnj^, und wenn letztere einfach zusammenhän- 
gend sind, % — m^'^n^ — ni^y also wenn Beides zutrifft, n.^ — mg 
= n^ — m^ sein. 

Diese Zahl kann füglich mit dem Namen „Ordnung des Zusam- 
menhangs" einer Fläche belegt werden; sie wird 

durch jeden Querschnitt um 1 erniedrigt — nach der Definition — , 

durch eine von einem innern Punkte das Innere einfach bis zu 
einem Begrenzungspunkte oder einem frühern Schnittpunkte durch- 
schneidende Linie nicht geändert und 

durch einen innern allenthalben einfachen in zwei Punkten endenden 
Schnitt um 1 erhöht, 

weil erstere durch Einen, letztere aber durch zwei Querschnitte in 
Einen Querschnitt verwandelt werden kann. 

Endlich wird die Ordnung des Zusammenhangs einer aus mehreren 
Stücken bestehenden Fläche erhalten, wenn man die Ordnungen des 
Zusammenhangs dieser Stücke zu einander addirt. 

Wir werden uns indess in der Folge meistens auf eine aus Einem 
Stücke bestehende Fläche beschränken, und uns für ihren Zusammen- 
hang der kunstloseren Bezeichnung eines einfachen, zweifachen etc. 
bedienen , indem wir unter einer n fach zusammenhängenden Fläche 
eine solche verstehen, die durch n — 1 Querschnitte in eine einfach 
zusammenhängende zerlegbar ist. 

In Bezug auf die Abhängigkeit des Zusammenhangs der Begren- 
zung von dem Zusammenhang einer Fläche erhellt leicht: 

1) Die Begrenzung einer einfach zusammenhängenden Fläche be- 
steht nothw endig aus Einer in sich zurücklaufenden Linie. 

Bestände die Begrenzung aus getrennten Stücken, so würde ein 
Querschnitt q, der einen Punkt eines Stücks a mit einem Punkte eines 
andern h verbände, nur zusammenhängende Flächentheile von einander 
scheiden, da sich im Innern der Fläche längs a eine Linie von der 
einen Seite des Querschnitts g an die entgegengesetzte führen .Hesse; 
und* folglich würde q die Fläche nicht zerstücken, gegen die Voraus- 
setzung. 

2) Durch jeden Querschnitt wird die Anzahl der Begrenzungsstücke 
entweder um 1 vermindert oder um 1 vermehrt. 

Ein Querschnitt q verbindet entweder einen Punkt eines Begren- 
zungsstücks a mit einem Punkte eines andern h, — in diesem Falle 



12 1. Urundhigcn für eine allgejueiue Tlicorie 

bilden alle diese Linien zusammengenommen in der Folge Oj (j, h, q 
ein einziges in sich zurücklaufendes Stück der Begrenzung — 

oder er verbindet zwei Punkte Eines Stücks der Begrenzung, — 
in diesem Falle zerfallt dieses durch seine beiden Endj)unkte in zwei 
Stücke, deren jedes mit dem Querschnitte zusammengenommen ein in 
sich zurücklaufendes Begrenzungsstück bildet — 

oder endlich, er endet in einem seiner früheren Punkte und kann 
betrachtet werden als zusammengesetzt aus einer in sich zurücklaufen- 
den Linie o und einer andern ?, welche einen Punkt von o mit einem 
Punkte eines Begrenzungsstücks a verbindet, — in Avelchem Falle o 
eines Theils, und «, l, o, l andern Theils je ein in sich zurücklaufen- 
des Begrenzungsstück bilden. 

Es treten also entweder — im erstem Falle — an die Stelle 
zweier Ein, oder — in den beiden letzteren Fällen — an die Stelle 
Eines zwei Begrenzungsstücke, woraus unser Satz folgt. 

Die Anzahl der Stücke, aus welchen die Begrenzung eines wfach 
zusammenhängenden Flächenstücks besteht, ist daher entweder = n 
oder um eine gerade Zahl kleiner. 

Hieraus ziehen wir noch das Corollar: 

Wenn die Anzahl der Begrenzungsstücke einer nfach zusammen- 
hängenden Fläche = n ist, so zerfällt diese durch jeden überall ein- 
fachen im Lmern in sich zurücklaufenden Schnitt in zwei getrennte 
Stücke. 

Denn die Ordnung des Zusammenhangs wird dadurch nicht ge- 
ändert, die Anzahl der Begrenzungsstücke um 2 vermehrt; die Fläche 
würde also, wenn sie eine zusammenhängende wäre, einen w fachen 
Zusammenhang und n -\- 2 Begrenzungsstücke haben, was unmöglich ist. 



7. 

Sind X und Y zwei in allen Punkten der über Ä ausgebreiteten 
Fläche T stetige Functionen von x, y, so ist das über alle Elemente 
clT dieser Fläche ausgedehnte Integral 

wenn in jedem Punkte der Begrenzung die Neigung einer auf sie nach 
Innen gezogenen Normale gegen die x-kxQ durch 5, gegen die y-Axe 
durch fj bezeichnet wird, und sich diese Litegration auf sämmtliche 
Elemente ds der Begrenzungslinie erstreckt. 

Um das Integral / -^dT zu transforiniren, zerlegen wir den 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 13 

von der Fläche T bedeckten Tlieil der Ebene A durch ein System der 
x-KnQ paralleler Linien in Elementarstreifen, und zwar so, dass jeder 
Windungspunkt der Fläche T in eine dieser Linien fällt. Unter dieser 
Voraussetzung besteht der auf jeden derselben fallende Theil von T 
aus einem oder mehreren abgesondert verlaufenden trapezförmigen 
Stücken. Der Beitrag eines unbestimmten dieser Flächenstreifen, 
welcher aus der y-Axe das Element dy ausscheidet, zu dem Werthe 

von I ^-; (IT wird dann offenbar = cly j 0— dx^ wenn diese Inte- 
gration durch diejenige oder diejenigen der Fläche T angehörigen 
geraden Linien ausgedehnt wird, welche auf eine durch einen Punkt 
von dy gehende Normale fallen. Sind nun die unteren Endpunkte 
derselben (d. h. welchen die kleinsten Werthe von x entsprechen) 
0^, 0^^, 0^^^, . . ., die oberen 0', 0'\ 0"\ . . . und bezeichnen wir mit 
X^, X^^, .... X\ X", ... 7 die Werthe von X in diesen Punkten, 
mit ds^, ds^^y .... ds'j ds\ .... die entsprechenden von dem Flächen- 
streifen aus der Begrenzung ausgeschiedenen Elemente, mit ^^, |^^, . . . . 
5', 5"; . • • • die Werthe von | an diesen Elementen, so wird 



j 



. dx== — X — X —X 

ex ' " ' 



+ X' + X" -f X" .... 

Die Winkel % werden offenbar spitz an den unteren, stumpf an den 
oberen Endpunkten, und es wird daher 

dy = cos Ids^ = cos ^jls^^ .... 

= — cos ^'ds = — cos ^''ds' .... 

Durch Substitution dieser Werthe ergiebt sich 



y^d X 
j- dx ==— UX cos ^dSy 



wo sich die Summation auf alle Begrenzungselemente bezieht, welche 
in der ^-Axe dy zur Projection haben. 

Durch Integration über sämmtliche in Betracht kommende dy 
werden offenbar sämmtliche Elemente der Fläche T und sämmtliche 
Elemente der Begrenzung erschöpft, und man erhält daher, in diesem 
Umfange genommen, 

I j^dT= — I Xcos ^ds. 

Durch ganz ähnliche Schlüsse findet man 



14 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

und folglich 

8. 

Bezeichnen wir in der Begrenzungslinie^ von einem festen Anfangs- 
punkte aus in einer bestimmten später festzusetzenden Richtung ge- 
rechnet, die Länge derselben bis zu einem unbestimmten Punkte Oo 
durch 5, und in der in diesem Punkte Oo errichteten Normalen die 
Entfernung eines unbestimmten Punktes von demselben und zwar 
nach Innen zu als positiv betrachtet durch jü, so können offenbar die 
Werthe von x uud y im Punkte als Functionen von 5 und p an- 
geseheü werden, und es werden dann in den Punkten der Begrenzungs- 
linie die partiellen Differentialquotienten 

ex j. cy ex , ^2/ -r fc 

T^— = cos t, "—- = cos 79, -7^— = + cos ri, -F^ = + cos \. 

wo die oberen Zeichen gelten, wenn die Richtung, in welcher die 
Grösse ,s' als wachsend betrachtet wird, mit p einen gleichen Winkel 
einschliesst, wie die x-Axe mit der ^-Axe, wenn einen entgegen- 
gesetzten, die unteren. Wir werden diese Richtung in allen Theilen 
der Begrenzung so annehmen, dass 

ex cy 1 p 1 T 1 ^y ^^ 

-r— == -K^ und folsjlich , "^ = — .— - 
CS cj) CS öp 

ist, was die Allgemeinheit unserer Resultate im Wesentlichen nicht 
beeinträchtigt. 

Offenbar können wir diese Bestimmungen auch auf Linien im 
Innern von T ausdehnen; nur haben wir hier zur Bestimmung der 
Vorzeichen von dp und dSj wenn deren gegenseitige Abhängigkeit wie 
dort festgesetzt wird, noch eine Angabe hinzuzufügen, welche entweder 
das Vorzeichen now. dp oder von ds festsetzt; und zwar werden wir 
bei einer in sich zurücklaufenden Linie angeben, von welchem der 
durch sie geschiedenen Flächentheile sie als Begrenzung gelten solle, 
wodurch das Vorzeichen von dp bestimmt wird, bei einer nicht in 
sich zurücklaufenden aber ihren Anfangspunkt, d. h. den Endpunkt, 
wo s den kleinsten Werth annimmt. 

Die Einführung der für cos | und cos t] erhaltenen Werthe in die 
im vorigen Art. bewiesene Gleichung giebt, in demselben Umfange wie 
dort genommen. 



der Functionen einer veränderlichen complexeu Grösse. 15 

9. 

Durch Anwendung des Satzes am Schlüsse des vorigen Art. auf 
den Fall^ wo in allen Theilen der Fläche 

dX' , dY 
dx ' cy 

ist, erhalten wir folgende Sätze: 

J. Sind X und Y zwei in allen Punlvten von T endliclie und 
stetige und der Gleichung 

dx "' dy 

genügende Functionen, so ist, durch die ganze Begrenzung von T aus- 
gedehnt, 



Denkt man sich eine heliebigc über A ausgestreckte Fläche T^ in 
zwei Stücke 1\, und T., auf beliebige Art zerfällt, so Ivann das Integral 



/(^g +>-;;) 



ds 



in Bezug auf die Begrenzung von 1\> betrachtet werden als die Differenz 
der Integrale in Bezug auf die Begrenzung von T^ und in Bezug auf 
die Begrenzung von T.^^ indem, wo T^ sich bis zur Begrenzung von 
1\ erstreckt, beide Integrale sich aufheben, alle übrigen Elemente aber 
einem Elemente der Begrenzung von T.^ entsprechen. 
Mittelst dieser Umformuner ersieht sich aus I. : 



IL Der Werth des Integrals 



durch die ganze Begrenzung einer über A ausgebreiteten Fläche er- 
streckt, bleibt bei beliebiger Erweiterung oder Verengerung derselben 
constant, wenn nur dadurch keine Flächentheil dein- oder austreten, 
innerhalb welcher die Voraussetzungen des Satzes I. nicht erfüllt sind. 
Wenn die Functionen X, Y zwar in jedem Theile der Fläche T 
der vorgeschriebenen Differentialgleichung genügen, aber in einzelnen 
Linien oder Punkten mit einer Unstetigkeit behaftet sind, so kann man 
jede solche Linie und jeden solchen Punkt mit einem beliebig kleinen 
Flächentheil als Hülle umgeben und erhält dann durch Anwendung 
des Satzes IL: 



IG I. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

IlL Das Integral 



o 



J \ cp ' dp) 



in Bezug auf die ganze Begrenzung von T ist gleich der Summe der 
Integrale 



C3^ 



J\ 



^S+i-g)"' 



in Bezug auf die Umgrenzungen aller Unstetigkeitsstellen, und zwar 
behält in Bezug auf jede einzelne dieser Stellen das Integral denselben 
Werth^ in wie enge Grenzen man sie auch einschliessen möge. 

Dieser Werth ist für einen blossen Unstetigkeitspunkt nothw endig 
gleich 0, wenn mit der Entfernung q des Punktes von demselben 
zugleich qX. und () F unendlich klein werden; denn führt man in Be- 
zug auf einen solchen Punkt als Anfangspunkt und eine beliebige An- 
fangsrichtung Polarcoordinaten q, (p ein und wählt zur Umgrenzung 
einen um denselben mit dem Radius q beschriebenen Kreis, so wird 
das auf ihn bezügliche Integral durch 



ausgedrückt und kann folglich nicht einen von Null verschiedenen 
Werth 7t haben, weil, was auch oi sei, q immer so klein angenommen 

werden kann, dass abgesehen vom Zeichen IXi^ -\- Y ^\ q für jeden 
Werth von qp < — und folglich 

27t 



/(^S+^ll)^"^<'< 



wird. 

IV. Ist in einer einfach zusammenhängenden über A ausgebrei- 
teten Fläche für jeden Flächentheil das durch dessen ganze Begrenzung 
erstreckte Integral 



oder 



/(^lf-^lf)'^« = '' 



so erhält für irgend zwei feste Punkte Oo und dies Integral in 
Bezug auf alle von 0,, in derselben nach gehende Linien denselben 
Werth. 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 17 

Je zwei die Punkte 0,, und verbindende Linien 5^ und 5^ bilden 
zusammengenommen eine in sich zurücklaufende Linie s.^. Diese Linie 
besitzt entweder selbst die Eigenschaft, keinen Punkt mehrfach zu 
durchschneiden, oder man kann sie in mehrere allenthalben einfache 
in sich zurücklaufende Linien zerlegen, indem man von einem belie- 
bigen Punkte aus dieselbe durchlaufend jedesmal, wenn man zu einem 
frühern Punkte zurückgelangt, den inzwischen durchlaufenen Theil 
ausscheidet und den folgenden als unmittelbare Fortsetzung des vor- 
hergehenden betrachtet. Jede solche Linie aber zerlegt die Fläche in 
eine einfach und eine zweifach zusammenhängende; sie bildet daher 
noth wendig von Einem dieser Stücke die ganze Begrenzung, und das 
durch sie erstreckte Integral 



/(^If-^H)^^ 



wird also der Voraussetzung nach = o. Dasselbe gilt folglich auch 
von dem durch die ganze Linie s. erstreckten Integrale, wenn die 
Grösse s überall in derselben Richtung als wachsend betrachtet wird; 
es müssen daher die durch die Linien 6\ und Sg erstreckten Integrale, 
wenn diese Richtung ungeändert bleibt, d. h. in einer derselben von 
0„ nach und in der andern von nach 0« geht, einander auflieben, 
also^ wenn sie in letzterer geändert wird, gleich werden. 

"Hat man nun irgend eine beliebige Fläche 7] in welcher allgemein 
zu reden 

dx "'" dy 
ist, so schliesse man zunächst, wenn nöthig, die Unstetigkeitsstellen aus, 
so dass im übrigen Flächenstücke für jeden Flächentheil 

ist, und zerlege dieses durch Querschnitte in eine einfach zusammen- 
hängende Fläche T*. Für jede im Innern von T* von einem Punkte 
Oa nach einem andern gehende Linie hat dann unser Integral den- 
selben Werth; dieser Werth, für den zur Abkürzung die Bezeichnung 



fC^yi-^M)'^' 



gestattet sein möge, ist daher, 0„ als fest, als beweglich gedacht, 
für jede Lage von abgesehen vom Laufe der Verbindungslinie ein 
bestimmter und kann folglich als Function von x, y betrachtet werden. 
Die Aenderung dieser Function wird für eine Verrückung von längs 



eines beliebigen Linienelements ds durch 

ütbmann's gosaiiuuelte niatlieniatische Werke. I. 



18 I. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

ausgedrückt, ist in J'* überall stetig und längs eines Querschnitts von 
T zu beiden Seiten gleich 5 



V. das Integral 






bildet daher, 0,, als fest gedacht, eine Function von x, y, welche in T* 
überall sich stetig, beim Ueberschreiten der Querschnitte von T aber 
um eine längs derselben von einem Zweigpunkte zum andern constante 
Grösse ändert, und von welcher der partielle Differentialquotient 

-TT- = J: , -— = — A ist. 
ex ' cy 

Die Aenderungen beim Ueberschreiten der Querschnitte sind von 
einer der Zahl der Querschnitte gleichen Anzahl von einander unab- 
hängiger Grössen abhängig; denn wenn man das Querschnittsystem 
A<ückwärts — die späteren Theile zuerst — durchläuft, so ist diese 
Aenderung überall bestimmt, wenn ihr Werth beim Beginn jedes 
Querschnitts gegeben wird; letztere Werthe aber sind von einander 
unabhängig. (^) 

10. 

Setzt man für die bisher durch X bezeichnete Function 

du r du ■, du , du 

u -, li TT— und %i ^ n ^— 

dx ex cy dy 



für Y, so wird 

dJX 





dx '^ dy ~~'^ \dx' ■+" dy') " \dx' "^ cy^ ' 



wenn also die Functionen u und u' den Gleichungen 

d'^u _| d'^u d/'u I d'^u 

dx' ' dy"' ' dx' ' dy' 

genügen, so wird 

dX , dY 

dx ^ dy ' 

und es finden auf den Ausdruck 
welcher 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 19 



/V du , du\ . 

—J \ dp cp) 



wird, die Sätze des vorigen Art. Anwendung. 

Machen wir nun in Bezug auf die Function ii die Voraussetzung, 
dass sie nebst ihren ersten Differentialquotienten etwaige Unstetig- 
keiten jedenfalls nicht längs einer Linie erleidet, und für jeden Un- 
stetigkeitspunkt zugleich mit der Entfernung q des Punktes von 

demselben p ^- und p 0- unendlich klein werden, so können die Un- 

^ ex oy ' 

Stetigkeiten von u in Folge der Bemerkung zu III. des vorigen Art. 
ganz unberücksichtigt bleiben. 

Denn alsdann kann man in jeder von einem Unstetigkeitspunkte 
ausgehenden geraden Linie einen Werth li von q so annehmen, dass 

du dudxj^ du öy 

^ d Q "dxdQ~^^dydQ 

unterhalb desselben immer endlich bleibt, und bezeichnet U den Werth 
von n für ^ = 7?, 31 abgesehen vom Zeichen den grössten Werth der 

Function q ^— in jenem Intervall, so wird, in derselben Bedeutung 
genommen, stets u — Z7 < Jf (log q — log R) sein, folglich Q (U — U) 
und also auch qu mit q zugleich unendlich klein werden; dasselbe 

gilt aber der Voraussetzung nach von q t- und q >- - und folglich, 
wenn u' keiner U n Stetigkeit unterliegt, auch von 

(du , ( ii\ , /du du\ 

u r, — u . I und p 1 u r— — u 7.— 1; 
ex ex) "^ \ cy cy)^ 

der im vorigen Art. erörterte Fall tritt hier also ein. 

W^ir nehmen nun ferner an, dass die den Ort des Punktes 
bildende Fläche T allenthalben einfach über A ausgebreitet sei, und 
(lenken uns in derselben einen beliebigen festen Punkt Oo, wo ?/, a;, y 
die Werthe w«, Xo, j/o erhalten. Die Grösse 

i log (^{x — Xof + (2/ — l/of \ = log r , 

als Function von x, y betrachtet, hat alsdann die Eigenschaft, dass 

d -* log r _, ^ ^ log r 



dx"^ ' dy'' 

wird, und ist nur für x = Xo, y = yo, also in unserm Falle nur für 
Einen Punkt der Fläche T mit einer Unstetigkeit behaftet. 

Es wird daher nach Art. 9., IIL, wenn wir log r für n setzen 



JY t/'logr , du\ .. 

( u — -r^ log r ) ds 
\ cp - cpj 



2* 



20 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

in Bezug auf die ganze Begrenzung von T gleich diesem Integrale in 
Bezug auf eine beliebige Umgrenzung de^ Punktes Oo und also, wenn 
wir dazji die Peripherie eines Kreises^ wo r einen constanten Werth 
hat, wählen und von einem ihrer Punkte in einer beliebigen festen 
Richtung den Bogen bis in Theilen des Halbmessers durch (p be- 
zeichnen, gleich 

J* ^ log r -, . , [*'cu -j 

u-^^^-rdcp-logrJ ^^ch 



oder da 



ts, 



ü 

welcher Werth, wenn u im Punkte Oo stetig ist, für ein unendlich 
kleines r in — iio27t übergeht. 

Unter den in Bezug auf u und T gemachten Voraussetzungen 
haben wir daher für einen beliebigen Punkt Oo im Innern der Fläche, 
in welchem u stetig ist, 

1 /Vi ^ «* ^ log r\ j 

in Bezug auf die ganze Begrenzung derselben und 

2 TT 



in Bezug auf einen um Oo beschriebenen Kreis. Aus dem ersten dieser 
Ausdrücke ziehen wir folgenden 

Lehrsatz. Wenn eine Function ti innerhalb einer die Ebene 
Ä allenthalben einfach bedeckenden Fläche T allgemein zu reden der 
Di fferentialgleichung 

d^u , d^u 

senügt und zwar so, dass 

1.) die Punkte, in welchen diese Differentialgleichung nicht erfiVllt 
ist, keinen Flächentheil, 

2.) die Punkte, in welchen ?/, ^-, t^- unstetig werden, keine Linie 

'' ^ ' c x^ y ^ 

stetig erfüllen, 
3.) für jeden Unstetigkeitspunkt zugleich mit der Entfernung q 

des Punktes von demselben die Grössen o ^r-, o .— unend- 

^ ox^ ^ cy 

lieh klein werden und 



clor Functionen einer veränderlichen complcxen Grösse. 21 

4.) bei u eine durch Abänderung ihres Werthes in einzehicji 
Punkten hebbare Unstetigkeit ausgeschlossen ist, 
so ist sie nothwendig nebst allen ihren Difterentialquotienten für alle 
Punkte im Innern dieser Fläche endlich und stetig. 

In der That, betrachten wir den Punkt Oo als beweglich, so än- 
dern sich in dem Ausdrucke 

nur die Werthe log r, —^^, ^ • Diese Grössen aber sind für jede« 

Element der Begrenzung, so lange Oo im Innern von T bleibt, nebst 
allen ihren DifFerentialquotienten endliche und stetige Functionen von 
Xoy lloj da die Differentialquotienten durch gebrochene rationale 
Functionen dieser Grössen ausgedrückt werden, die nur Potenzen von 
r im Nenner enthalten. Dasselbe gilt daher auch für den Werth 
unsers Integrals und folglich für die Function Uq. Denn diese könnte 
unter den früheren Voraussetzungen nur in einzelnen Punkten, indem 
sie unstetig würde, einen davon verschiedenen Werth haben, welche 
Möglichkeit durch die Voraussetzuug 4.) unsers Lehrsatzes wegfällt. 

11. 

Unter denselben Voraussetzungen in Bezug auf u und T, wie am 
Schlüsse des vorigen Art. haben wir folgende Sätze: 

I. Wenn längs einer Linie u = o und p- = o ist, so ist u 
überall = o. 

Wir beweisen zunächst, dass eine Linie A, wo u== o und ^ = o 

' dp 

ist, nicht die Begrenzung eines Flächentheils a, wo u positiv ist, 
bilden könne. 

Gesetzt, dies fände statt, so scheide man aus a ein Stück aus, 
welches eines Theils durch A, andern Theils durch eine Kreislinie be- 
grenzt wird und den Mittelpunkt dieses Kreises nicht enthält, welche 
Construction allemal möglich ist. Man hat dann, wenn man die Polar- 
coordinaten von O in Bezug auf 0^, durch r, (p bezeichnet, durch die 
ganze Begrenzung dieses Stücks ausgedehnt 

^logy 



J*i du -, i* clos 



(h 



also in Folge der Annahme auch für den ganzen ihr angehörigen 
Kreisbogen 



/ udcp + \ogr ri^^fJs = o, 



22 I- Crrundlagen für eine allgemeine Theorie 

oder da 

dp 



j 



ds 



ist, 



i ud(p 



0, 



was mit der Voraussetzung, dass y( im Innern von a positiv sei, un- 
verträglich ist. 

Auf ähnliehe Art wird bewiesen, dass die Gleichungen u = o und 

du 

^ = nicht in einem Begrenzungstheile eines Flächenstücks b, wo a 

negativ ist, stattfinden könne. 

Wenn nun in der Fläche T in einer Linie u = o und -^--- = o ist 

und in irgend einem Theile derselben u von Null verschieden wäre, 
so müsste ein solcher Flächentheil offenbar entweder durch diese Linie 
selbst oder durch einen Flächentheil, wo u = o wäre, also jedenfalls 

durch eine Linie w^o u und 75— == o wäre, begrenzt werden, was noth- 

wendig auf eine der vorhin widerlegten- Annahmen führt. 

IL Wenn der Werth von u und 0— längs einer Linie gegeben 
ist, so ist u dadurch in allen Theilen von T bestimmt. 

Sind Wj und Wg irgend zwei bestimmte Functionen, welche den der 
Function u auferlegten Bedingungen genügen, so gilt dies auch, wie 
sich durch Substitution in diesen Bedingungen sofort ergiebt, für ihre 
Differenz tf^ — U2. Stimmten nun ttj^ und ti^ längs einer Linie nebst 
ihren ersten Differentialquotienten nach p überein, in einem andern 
Flächentheile aber nicht, so würden längs dieser Linie ii^ — U2 = 

und — M; == sein, ohne überall = zu sein, dem Satze I. 

öp ' ' 

zuwider. 

III. Die Punkte im Innern von T, wo u einen constanten Werth 
hat, bilden, wenn u nicht überall constant ist, nothwendig Linien, 
welche Flächentheile, wo u grösser ist, von Flächentheilen, wo ti kleiner 
ist, scheiden. 

Dieser Satz ist aus folgenden zusammengesetzt: 

u kann nicht in einem Punkte im Imiern von T ein Minimum oder 
ein Maximum haben; 

it kann nicht nur in einem Theile der Fläche constant sein; 

die Linien, in denen ii = a ist, können nicht beiderseits Flächen- 
theile begrenzen, wo ti — a dasselbe Zeichen hat; 



der Functionen einer veriinderliehen coniplexen Grösse. 23 

Sätze, deren Gegentheil , wie leicht zu sehen, allemal eine Verletzung 
der im vorigen Art. bewiesenen Gleichung 



2 n 

~Jnd<p 



oder 

I (ii — U(^) d(p = o 

herbeit'iihron uulsste und l'olglich unmöglich ist. 

12. 

Wir wenden uns jetzt zurück zur Betrachtung einer veränderlichen 
complexen Grösse tv = ii-\-vi, welche, allgemein zu reden (d. h. ohne 
eine Ausnahme in einzelnen Linien und Punkten auszuschliessen), für 
jeden Punkt der Fläche T Einen bestimmten mit der Lage desselben 
stetig und den Gleichungen 

du d V du dv 

dx dy^ dy dx 

gemäss sich ändernden Werth hat, und bezeichnen diese Eigenschaft 
von 10 nach dem früher Festgestellten dadurch, dass wir w eine 
Function von z == x -\- yi nennen. Zur Vereinfachung des Folgenden 
setzen wir dabei im Voraus fest, dass bei einer Function von z eine 
durch Abänderung ihres Werthes in einem einzelnen Punkte hebbare 
Unstetigkeit nicht vorkommen solle. 

Der Fläche T wird vorerst ein einfacher Zusammenhang und eine 
allenthalben einfache Ausbreitung über die Ebene A beigelegt. 

Lehrsatz. Wenn eine Function lu von z eine Unterbrechung der 
Stetigkeit jedenfalls nicht längs einer Linie erleidet und ferner für 
jeden" beliebigen Punkt 0' der Fläche, wo z = z sei, iv{z — /) mit 
unendlicher Annäherung des Punktes unendlich klein wird, so ist 
sie nothwendig nebst allen ihren Differentialquotienten in allen Punkten 
im Innern der Fläche endlich und stetig. 

Die über die Veränderungen der Grösse w gemachten Voraus- 
gesetzt wird, für ii und v in 



Setzungen zerfallen, 


wenn z - 


-Z =Qc'f' 


die folgenden: 








1) 


du d r 
dx dy ' 


und 








2-) 


du .du 
dy "•" dx ~ 



24 ^- Grundlagen für eine aligemeine Theorie 

für jeden Theil der Fläche T; 3.) die Fimktioiien ti und v sind nicht 
längs einer Linie unstetig; 4.) für jeden Punkt 0' werden mit der Ent- 
fernung Q des Punktes von demselben q u und q v unendlich klein ; 
5.) für die Functionen u und v sind Unstetigkeiten , die durch Ab- 
änderung ihres Werthes in einzelnen Punkten gehoben werden könnten, 
ausgesclilossen. 

In Folge der Voraussetzungen 2.), 3.), 4.) ist für jeden Theil der 
Fläche T das über dessen ganze Begrenzung ausgedehnte Integral 

,/'(« li - * S) ''* 

nach Art. 9., III. = o und das Integral 



/ M^ ^ — ^ ^1 (^s 



erhält daher (nach Art. 9., IV.) durch jede von Oo nach gehende 
Linie erstreckt denselben Werth und bildet, Oo als fest gedacht, eine 
bis auf einzelne Punkte noth wendig stetige Function U von x, y, von 
welcher (und zwar nach 5.) in jedem Punkte) der Differentialquotient 

cU dU 

-^- = n und -7^— = — V ist. Durch Substitution dieser Werthe für u 

ex cy 

und V aber gehen die Voraussetzungen 1.), 3.), 4.) in die Bedingungen 
des Lehrsatzes am Schlüsse des Art. 10. über. Die Function U ist 
daher nebst allen ihren Differentialquotienten in allen Punkten von T 
endlich und stetig und dasselbe gilt folglich auch von der complexen 

Function tv = -^^-- — .^— i und ihren nach s genommenen Diö'erential- 

quotienten. 

13. 

Es soll jetzt untersucht werden, was eintritt, wenn wir -unter 
Beibehaltung der sonstigen Voraussetzungen des Art. 12. annehmen, 
dass für einen bestimmten Punkt 0' im Innern der Fläche {2 — /) w 
= Qe^' IV bei unendlicher' Annäherung des Punktes nicht mehr 
unendlich kkin wird. In diesem Falle wird also w bei imendlicher 
Annäherung des Punktes an 0' unendlich gross, und wir nehmen 

an, dass, -wenn die Grösse iv nicht mit - von gleicher Ordnung bleibt, 

d. h. der Quotient beider sich einer endlichen Grenze nähert, wenig- 
stens die Ordnungen beider Grössen in einem endlichen Verhältnisse 
zu einander stehen, so dass sich eine Potenz von q angeben lässt, 
deren Product in iv für ein unendlich kleines- q entweder unendlich 



df'i- Functionen einer veränderlichen coraplexen Grösse. 25 

klein wird oder endlich bleibt. Ist ^ der Exponent einer solchen 
Potenz und n die nächst grössere ganze Zahl, so wird die Grösse 
(z — z'Y w = q'^ e'"^' IV mit q unendlich klein, und es ist daher 

(z — zy~^ w eine Function von z (da ^^— ^~ ^^ von dz unabhängig 

ist), welche in diesem Theile der Fläche den Voraussetzungen des Art. 12. 
genügt und folglich im Punkte 0' endlich und stetig ist. Bezeichnen 
wir ihren Werth im Punkte 0' mit ün—i, so ist {z — zy~ iv — a„_i 
eine Function, die in diesem Punkte stetig und = o ist und folglich 
mit Q unendlich klein wird, woraus man nach Artikel 12. schliesst, dass 

(z — /)" IV — -^—7 eine im Punkte 0' stetige Function ist. Durch 

z — z 

Fortsetzung dieses Verfahrens wird offenbar w mittelst Subtraction 
eines Ausdruckes von der Form 

«1 , a.> ein — 1 

7Zr7 + 



in eine Function verwandelt, welche im Punkte 0' endlich und stetig 
bleibt. 

Wenn daher unter den Voraussetzungen des Art. 12. die Aenderung 
eintritt, dass bei unendlicher Annäherung von an einen Punkt 0' 
im Innern der Fläche T die Function iv unendlich gross wird, so ist 
die Ordnung dieses unendlich Grossen (eine im verkehrten Verhältnisse 
der Entfernung wachsende Grösse als ein unendlich Grosses erster 
Ordnung betrachtet) wenn sie endlich ist, noth wendig eine ganze Zahl; 
und ist diese Zahl = m, so kann die Function iv durch Hinzufügung 
einer Function, welche 2 m willkürliche Constanten enthält, in eine in 
diesem Punkte 0' stetige verwandelt werden. 

Anm. Wir betrachten eine Function als Eine willkürliche Constante ent- 
haltend, wenn die möglichen Arten, sie zu bestimmen, ein stetiges Gebiet von 
I5iner Dimension umfassen. 

14. 

Die im Art. 12. und 13. in Bezug auf die Fläche T gemachten 
Beschränkungen sind für die Gültigkeit der gewonnenen Resultate nicht 
wesentlich. Offenbar kann man jeden Punkt im Innern einer beliebigen 
Fläche mit einem Stücke derselben umgeben, welches die dort voraus- 
gesetzten Eigenschaften besitzt, mit alleiniger Ausnahme des Falles, 
wo dieser Punkt ein Windungspunkt der Fläche ist. 

Um diesen Fall zu untersuchen, denken wir uns die Fläche T oder 
ein beliebiges Stück derselben, welches einen AVin(]ungsi»unkt w- Ister 
Ordnung 0', wo z = z = x + y i sei, enthält, mittelst der Function 



26 1. U rund lagen für eine allgemeine Theorie 

^ = (^ — ^')'* ^^^f einer andern Ebene yl abgebildet, d. h. wir denken 
uns den Wertli der Function g == J -f i^ i im Punkte durcli einen 
Punkt &, dessen rechtwinklige Coordinaten |, t] sind, in dieser Ebene 
vertreten, und betrachten @ als 13ild des Punktes 0. Auf diesem Wege 
erhält man als Abbildung dieses Theils der Fläche T eine zusammen- 
hängende über J ausgebreitete Fläche, die im Punkte @', dem Bilde 
des Punktes 0' keinen AVindungspunkt hat, wie sogleich gezeigt wer- 
den soll. 

Zur Fixirung der Vorstellungen denke man sich um den Punkt 0' 
in der Ebene A mit dem Halbmesser B einen Kreis beschrieben und 
parallel mit der x-Axe einen Durchmesser gezogen, wo also z — / 
reelle Werthe annehmen wird. Das durch diesen Kreis ausgeschiedene 
den Windungspunkt umgebende Stück der Fläche T wird dann zu 
beiden Seiten des Durchmessers in n, wenn R hinreichend klein ge- 
wühlt wird, abgesondert verlaufende halbkreisförmige Flächenstücke 
zerfallen. Wir bezeichnen auf derjenigen Seite des Durchmessers, wo 
y — y positiv ist, diese Flächenstücke durch a^, «2 • • • • ^^^n, auf der 
entgegengesetzten Seite durch a\, d^ .... «'„, und nehmen an, dass 
für negative Werthe von z — s a^, a^ .... an der Reihe nach mit 
a\, d^ .... ci nj für positive dagegen mit a'„, a\ dn—i ver- 
bunden seien, so dass ein den Punkt 0' (im erforderlichen Sinne) 

umkreisender Punkt der Reihe nach die Flächen a^, a\^ a^^d.^ a„, d n 

durchläuft und durch d „, wieder in a^ zurückgelangt, welche Annahme 
offenbar gestattet ist. Führen wir nun für beide Ebenen Polarcoordi- 
naten ein, indem wir z — / == Qe^\ g = Oe" setzen, und wählen zur 

Abbildung des Flächenstücks a^ denjenigen Werth von 
1 1 f/) . 

{z — /)"*== ^ '* e ^ , welchen letzterer Ausdruck unter der Annahme 

o<9)<7r erhält, so wird für alle Punkte von a^ a<:^Il'^ und 
ö<^< — 5 ^iß Bilder derselben in der Ebene v4 fallen also sämmtlich 

in einen von ib = o bis ib = — sich erstreckenden Sector eines um ®' 

^ ^ n 

1 

mit dem Radius II '' beschriebenen Kreises, und zwar entspricht jedem 
Punkte von «^ Ein zugleich mit dem'selben stetig fortrückender Punkt 
dieses Sectors und umgekehrt, woraus folgt, dass die Abbildung der 
Fläche a^ eine zusammenhängende einfach über diesen Sector aus- 
gebreitete Fläche ist. Auf ähnliche Art erhält man für die Fläche d^ als 

Abbildung einen von i/; = — bis ih = — , für a^ einen von ip = — bis 



der Functionen einer veränderlichen conii>lexen Grösse. "21 

w, = — , endlich für a» einen von t = "^^^ ;r bis i/^ = '27t .sich 

erstreckenden Sector, wenn man cp für jeden Punkt dieser Fläcljen der 
Reihe nach zwischen 7t und 2:r, 2;r und 3;r .... (2n — l)7t und 2nÄ 
wählt, was immer und nur auf eine Weise möglich ist. Diese Sectoren 
schliessen sich aber in derselben* Folge an einander, wie die Flächen 
a und a\ und zwar so, dass den hier zusammenstossenden Punkten 
auch dort zusammenstossende Punkte entsprechen; sie können daher 
zu einer zusammenhängenden Abbildung eines den Punkt 0' ein- 
schHessendcn Stückes der Fläche T zusammengefügt werden, und diese 
Abbildung ist offenbar eine über die Ebene A einfach ausgebreitete 
Fläche. 

Eine veränderliche Grösse, die für jeden Punkt einen bestimmten 
Werth hat, hat dies auch für jeden Punkt & und umgekehrt, da jedem 
nur ein & und jedem nur ein entspricht; ist sie ferner eine 

Function von 2, so ist sie dies auch von J, indem, wenn -j- von cZ^, 

auch ^.- von cl^ unabhängig ist, und umgekehrt. Es ergiebt sich 

hieraus, dass auf alle Functionen iv von z auch im Windungspunkte 

O' die Sätze der Art. 12. und 13. angewandt werden können, wenn 

1 

man sie als Functionen von {z — z) " betrachtet. Dies liefert folgen- 
den Satz: 

Wenn eine Function w von z bei unendlicher Annäherung von 
an einen Windungspunkt n- Ister Ordnung ()' unendlich wird, so ist 
dieses unendlich Grosse nothwendig von gleicher Ordnung mit einer 

Potenz der Entfernung, deren Exponent ein Vielfaches von - ist, und 



m 
n 
Ausdrucks von der Form 



kann, wenn dieser Exponent = — ist, durch Hinzufügung eines 



^-r + — ^^ 



{z~zY (z—Z)"' {z — z')" 

WO «i, «5, .... 6//,, willkürliche complexe Grössen sind, in eine im Punkte 
0' stetige verwandelt werden. 

Dieser Satz enthält als Corollar, dass die Function w im Punkte 

(/ stetig ist, wenn (z — /) " iv bei unendlicher Annähei*»uig des Punktes 
an 0' unendlich klein wird. 



28 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

^ 15. 

Denken wir uns jetzt eine Function von z, welche für jeden Punkt 
der beliebig über A ausgebreiteten Fläche T einen bestimmten Werth 
hat und nicht überall constant ist, geometrisch dargestellt, so dass ihr 
Werth w == h -{- vi im Punkte durch einen Punkt Q der Ebene B 
vertreten wird, dessen rechtwinklige Coordinaten w, v sind, so ergiebt 
sich Folgendes: 

I. Die Gesammtheit der Punkte Q kann betrachtet werden, als 
eine Fläche S bildend, in welcher jedem Punkte Ein bestimmter mit 
ihm stetig in T fortrückender Punkt entspricht. 

Um dieses zu beweisen, ist offenbar nur der Nachweis erforderlich, 
dass die Lage des Punktes Q mit der des Punktes sich allemal (und 
zwar allgemein zu reden stetig) ändert. Dieser ist in dem Satze ent- 
halten : 

Eine Function iv = u -\- vi von s kann nicht längs einer Linie 
constant sein, wenn sie nicht überall constant ist. 

Beweis: Hätte iv längs einer Linie einen constanten Werth a-^-hiy 

so wären u — a und — -^s ^, welches = o-, für diese Linie und 

dp ' cs^ 

d^{u — ä) ^^ d^{u — a) 

72 I 



überall = o; es müsste also nach Art. IL, L u — a und folglich, da 

du d V du d V 

dx dy^ dy cx^ 

auch V — h überall == o .sein, gegen die Voraussetzung. 

IL In Folge der in I. gemachten Voraussetzung kann zwischen 
den Theilen von S nicht ein Zusammenhang Statt finden ohne einen 
Zusammenhang der entsprechenden Theile von T; umgekehrt kann 
überall, wo in T Zusammenhang Statt findet und tv stetig ist, der 
Fläche S ein entsprechender Zusammenhang beigelegt werden. 

Dieses vorausgesetzt entspricht die Begrenzung von S einestheils 
der Begrenzung von T, anderntheils den Unstetigkeitsstellen; ihre inneren 
Theile aber sind, einzelne Punkte ausgenommen, überall schlicht über 
B ausgebreitet, d. h. es findet nirgends eine Spaltung in auf einander 
liegende Theile und nirgends eine Umfaltung Statt. 

Ersteres könnte, da T überall einen entsprechenden Zusammen- 
hang besitzt, offenbar nur eintreten, wenn in T eine Spaltung vor- 
käme — der Annahme zuwider — ; Letzteres soll sogleich bewiesen 
werden. 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 29 

Wir beweisen zuvörderst, dass ein Punkt ^/, wo . endlich ist^ 
nicht in einer Falte der Fläche S Hegen kann. 

In der That, umgeben wir den Punkt 0', welcher Q' entspricht, 
mit einem Stücke der Fläche T von beliebiger Gestalt und un- 
liestimmten Dimensionen, so müssen (nach Art. 3.) die Dimensionen 
desselben stets so klein angenommen werden können, dass die Gestalt 
des entsprechenden Theils von S beliebig wenig abweicht, und folg- 
lich so klein, dass die Begrenzung desselben aus der Ebene B ein (/ 
einschliessendes Stück ausscheidet. Dies aber ist unmöglich', wenn Q' 
in einer Falte der Fläche S liegt. 

Nun kann ,— , als Function von 2, nach I. nur in einzelnen 

dz ^ ' 

Punkten = o, und, da iv in den in Betracht kommenden Punkten von 
'T stetig ist, nur in den Windungspunkten dieser Fläche unendlich 
werden; folglich etc. w. z. b. w. 

III. Die Fläche S ist folglich eine Fläche, für welche die im Art. 5. 
für T gemachten Voraussetzungen zutreffen; und in dieser Fläche hat 
für jeden Punkt Q die unbestimmte Grösse z Einen bestimmten Werth, 

dz 
welcher sich mit der Lage von Q stetig und so ändert, dass -r— von 

o c. o ^ diu 

der Richtung der Ortsänderung unabhängig ist. Es bildet daher in 
dem früher festgelegten Sinne z eine stetige Function der veränder- 
lichen complexen Grösse ic für das durch S dargestellte Grössengebiet. 

Hieraus folgt ferner: 

Sind 0' nnd Q' zwei entsprechende innere Punkte der Flächen T 
und S und in denselben z = /, w = iv\ so nähert sich, wenn keiner 
von ihnen ein Windungspunkt ist, bei unendlicher Annäherung von 

an 0' - — -,- einer endlichen Grenze, und die Abbildunor ist daselbst 

z — z •' '^^ 

eine in den kleinsten Theilen ähnliche; wenn aber ()' ein Windungs- 
punkt M-lsier, (/ ein Windungspunkt Wi - 1 ster Ordnung ist, so nähert 
1 

sich ~ bei imondlicher Annäherung von an 0' einer endlichen 

^z ~ z'Y' 
Grenze, und für die anstossenden Flächentheile findet eine Abbildungs- 
art Statt, die sich leicht aus Art. 14. ergiebt. 



30 I. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

16. 

Lehrsatz. Sind a und ß zwei beliebige Functionen von Xy y, 
für welche das Integral 

2n 



/[(g."»y+ (15 +?'.)■ 



dT 



durch alle Theile der beliebig über A ausgebreiteten Fläche T aus- 
gedehnt einen endlichen AVerth hat^ so erhält das Integral bei Aenderung 
von a um stetige oder doch nur in einzelnen Punkten unstetige 
Functionen, die am Eande = o sind, immer für eine dieser Functionen 
einen Minimumwerth und, wenn man durch Abänderung in einzelnen 
Punkten hebbare Unstetigkeiten ausschliesst, nur für Eine. 

Wir bezeichnen durch l eine unbestimmte stetige oder doch nur 
in einzelnen Punkten unstetige Function, welche am Rande = o ist 
und für welche das Integral 



-=/((£)■+©>- 



über die ganze Fläche ausgedehnt einen endlichen Werth erhält, durch 
CO eine unbestimmte der Functionen a-\- ky endlich das über die ganze 
Fläche erstreckte Integral 

durch 5i. Die Gesammtheit der Functionen l bildet ein zusammen- 
hängendes in sich abgeschlossenes Gebiet, indem jede dieser Functionen 
stetig in jede andere übergehen, sich aber nicht einer längs einer 
Linie unstetigen unendlich annähern kann, ohne dass L unendlich wird 
(Art. 17.) 5 für jedes l erhält nun, o = a -\- l gesetzt, u<i einen end- 
lichen Werth, der mit L zugleich unendlich wird, sich mit der Gestalt 
von l stetig ändert, aber nie unter Null herabsinken kann; folglich 
hat 5i wenigstens für Eine Gestalt der Function co ein Minimum. 

Um den zweiten Theil unseres Satzes zu beweisen, sei u eine der 
Functionen 09, welche ß einen Minimumwerth ertheilt, h eine un- 
bestimmte in der ganzen Fläche constante Grösse, so dass ii-\- lik den 
der Function oj vorgeschriebenen Bedingungen genügt. Der Wertli 
von 5i für a = u -\- hkj welcher 






der Functionen einer veränderlichen comp! exen Grösse. 31 

niuss alsdann für jedes X (nach dem Begriffe des Minimums) grösser 
als 3/ werden, sobald h nur hinreichend klein genommen ist. Dies 
erfordert aber, dass für jedes X N=o sei; denn andernfalls würde 



2 Nh + Lh'' = Lh' (l + ^j\ 



negativ werden, wenn h dem N entgegengesetzt und abgesehen vom 

Zeichen < ^ angenommen würde. Der Werth von Sl für « = i( + A, 

in welcher Form offenbar alle möglichen AVerthe von co enthalten sind, 
wird daher = M -\- L, und folglich kann, da L wesentlich positiv 
ist, Sl für keine Gestalt der Function o einen kleinern Werth erhalten, 
als für CD = i(. 

Findet nun für eine andere ii der Functionen a ein Minimum- 
werth 31' von Sl Statt, so muss von diesem offenbar dasselbe gelten, 
man hat also M' <:iM und M<^ÄL\ folglich M = M' . Bringt man 
aber n auf die Form u + A', so erhält man für M' den Ausdruck 
M-]-L'j wenn IJ den Werth von L für k = k' bezeichnet, und die 
Gleichung M = M' giebt L' = o. Dies ist nur möglich, wenn in 
allen Fläch entheilen 

cx' dx' 

cx ' dy 

ist, und es hat daher, so weit A' stetig ist, diese Function nothwendig 
einen constanten und folglich, da sie am Rande = o und nicht längs 
einer Linie unstetig ist, höchstens in einzelnen Punkten einen von 
Null verschiedenen Werth. Zwei der Functionen co, welche Sl einen 
Minimumwerth ertheilen, können also nur in einzelnen Punkten von 
einander verschieden sein, und wenn in der Function u alle durch 
Abänderung in einzelnen Punkten hebbaren Unstetigkeiten beseitigt 
werden, ist diese vollkommen bestimmt. 

17. 

Es soll jetzt der Beweis nachgeliefert werden, dass A unbeschadet 
der Endlichkeit von L sich nicht einer längs einer Linie unstetigen 
Function y unendlich annähern könne, d. h. wird die Function A der 
Bedingung unterworfen, ausserhalb eines die Unstetigkeitslinie ein- 
schliessenden Flächentheils T' mit y übereinzustimmen, so kann T' 
stets so klein angenommen werden, dass L grösser als eine beliebig 
gegebene Grösse C werden musg. 

Wir bezeichnen, .s und ^) in Bezug auf die Unstetigkeitslinie in 
der gewohnten Bedeutung genommen, für ein unbestimmtes s die 
Krümmung, eine auf der Seite der positiven p convexe als positiv be- 



32 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

trachtet, durcli x^ den Werth von p an der Grenze von T' auf der 
positiven Seite durcli p^, auf der negativen Seite durch 2h ^^^ ^i^ ent- 
sprechenden Werthe von y durch y^^ und y.^- Betrachten wir nun 
irgend einen stetig gekrümmten Theil dieser Linie, so liefert der 
zwischen den Normalen in den Endpunkten enthaltene Theil von T', 
wenn er sich nicht bis zu den Krümmungsraittelpunkten erstreckt, zu 
L den Beitrag 

Jäsj'dp (1 - ^p) [ (gy + (gy --^^]; 
der kleinste Werth des Ausdrucks 






Pi 

bei den festen Grenzwerthen y^ und y.^ von A findet sicli aber nach 
u j^^bekannten Regeln ( J^ ^^. } 

log (1 — HP2) — log (1 — ^i\y 

und folglich wird jener Beitrag nothwendig, wie auch X innerhalb T 
angenommen werden möge, 

^ J log (1 — «P2) — log (1 — -^Vv)' 
Die Function y wäre für p = stetig, wenn der grösste Werth, den 
(^1 ~~ y^^ füi' J^i >i>i > ö und iJTg <P2 < ö erhalten kann, mit it^ — Tt.^ 
unendlich klein würde; wir können folglich für jeden Werth von s eine 
endliche Grösse m so annehmen, dass, wie klein auch it^ — JTg an- 
genommen werden möge, stets innerhalb der durch J^i>1>i^ö und 
^2 < P2 < ö (wo die Gleichheiten sich gegenseitig ausschliessen) aus- 
gedrückten Grenzen Werthe von p^ und p.^ enthalten sind, für welche 
[y^ — y^^'^ > m wird. Nehmen wir ferner unter den früheren Be- 
schränkungen eine Gestalt von T beliebig an, indem wir ^h ^^^^ 1\ 
bestimmte Werthe P^ und P^ beilegen, und bezeichnen den Werth des 
durch den in Betracht gezogenen Theil der Unstetigkeitslinie aus- 
gedehnten Integrals 

m%ds 



ß 



\0g{i — yiP,)-l0g{l~'>lP,) 

durch a, so können wir offenbar 



/. 



(yi —Y^y^ds 



> c 



log (1 _ X j?2) — log (1 ~ Tip,) 
machen, indem wir p^ und p.^ für jeden Werth von 8 so annehmen, 



dass den Ungleichheiten 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 33 



Pi < —- --y Ih > ^-T ^ und {y, - y^) 



^ ^ m 



genügt wird. Dies aber hat zur Folge, dass, wie auch X innerhalb 
T' angenommen werden möge, der aus dem in Betracht gezogenen 
Stücke von T' stammende Theit von L und folglich um so mehr L 
selbst > C wird, w. z. b. w. (^). 

18. 

Nach Art. 16. haben wir für die dort festgelegte Function n und 
für irgend eine der Functionen l 

,Y= r\(p _, |i\ |i + ci^ + m lii dT 

J \_\o^ cyj dx ' \öy ' cxj öt/J 

dutch die ganze Fläche T ausgedehnt = o. Aus dieser Gleichung 
sollen jetzt weitere Schlüsse gezogen werden. 

Scheidet man aus der Flüche T ein die Unstetigkeitsstellen von 
ti, ß, A einschliessendes Stück T' aus, so findet sich der von dem 
übrigen Stücke T" herrührende Theil von N mit Hülfe des Art. ^,/ L./« 

wenn man (i -—-] X für X und (:, hl ^ für Y setzt, 

\öx öyj \cy ^ cxj ' 

In Folge der der Function X auferlegten Grenzbedingun^ wird der auf 
das mit T gemeinschaftliche Begrenzungsstück von T" bezügliche 
Theil von 

gleich 0, so dass N betrachtet werden kann als zusammengesetzt aus 
dem Integral 

in Bezug auf T" und 

/[(^i - g) i + ® + S) ig -^^ +/(S + i) ^«^^ 

in Bezug auf T\ 

Offenbar würde nun, wenn ö— ä + ö— 5 ^^ irgend einem Theile der 

Fläche T von verschieden wäre, N ebenfalls einen von verschie- 
denen Werth erhalten, so bald man X, was frei steht, innerhalb T' 

gleich und innerhalb T" so wählte, dass X (t-^ -\- ^-^ | überall 

Kiemann's gcsumrnelto niatheuiatische Werke. 1. 3 



34 I. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

dasselbe Zeichen hätte. Ist aber ^ + q-^ in allen Theilen von T=o, 

so verschwindet der von T" herrührende Bestandtheil von N für jedes 
A, und die Bedingung N = o ergiebt dann, dass die auf die Unstetig- 
keitsstellen bezüglichen Bestandtheile = o werden. 

Für die Functionen 0— — A b- + ^ haben wir daher, wenn wir 

ex öy^ cy ^ ex ' 

erstere = X und letztere = Y setzen, nicht bloss allgemein zu reden 
die Gleichung 

— -4-^=0 
c .r ~^ vy ^ 

sondern es wird auch durch die ganze Begrenzung irgend eines Theils 
von T erstreckt 



/(^?f+^^5 



ds 



in so fern dieser Ausdruck überhaupt einen bestimmten Werth hat. 

Zerlegen wir also (nach Art. 9., V.) die Fläche 1\ wenji sie einen 
mehrfachen Zusammenhang besitzt, durch Querschnitte in eine einfach 
zusammenhängende T*, so hat das Integral 



m + ä) ■' 



für jede im Innern von T* von Oo nach gehende Linie denselben 
Werth und bildet, Oo als fest gedacht, eine Function von x, y, welche 
in T* überall eine stetige und längs eines Querschnitts beiderseits 
eine gleiche Aenderung erleidet. Diese Function v zn ß hinzugefügt, 
liefert uns eine Function v = ß -\- v , von welcher der Differentialquotient 

cv du ■, cv du . , 

TT- = — ^^- und K" = y.— ist. 
ex cy cy ex 

Wir haben daher folgenden 

Lehrsatz. Ist in einer zusammenhängenden, durch Querschnitte 
in eine einfach zusammenhängende T* zerlegten Fläche T eine com- 
plexe Function a-\- ßl von x, y gegeben, für welche 



/ \_\dx eyj "^ \ey ' dxj 



dT 



durch die ganze Fläche ausgedehnt einen endlichen Werth hat, so 
kann sie immer und nur auf Eine Art in eine Function von z ver- 
wandelt werden durch Hinzufügung einer Function ft + 1/ ^ von x, y, 
welche folgenden Bedingungen genügt: 

1) ft ist am Rande = oder doch nur in einzelnen Punkten 
davon verschieden, v in Einem Punkte beliebig gegeben, 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 36 

2) die Aenderungen von ft sind in T, von v in T* nur in ein- 
zelnen Punkten und nur so unstetig, dass 



,/[(:■)> cm '"'-/[(:;■)'+©' 



dT 



durch die ganze Fläche erstreckt endlich bleiben, und letztere 

längs der Querschnitte beiderseits gleich. 
Die Zulänglichkeit der Bedingungen zur Bestimmung von ^ -\- vi 
folgt daraus, dass ^, durch welches v bis auf eine additive Constante 
bestimmt ist, stets zugleich ein Minimum des Integrals Sl liefert, da, 
II = a -\- ^ gesetzt, offenbar für jedes l N = o wird ; eine Eigenschaft, 
die nach Art. 16. nur Einer Function zukommen kann. 

19. 

Die Principien, welche dem Lehrsatze am Schlüsse des vorigen 
Art. zu Grunde liegen, eröffnen den Weg, bestimmte Functionen 
einer veränderlichen comj)lexen Grösse (unabhängig von einem Aus- 
drucke für dieselben) zu untersuchen. 

Zur Orientirung auf diesem Felde wird ein Ueberschlag über den 
Umfang der zur Bestimmung einer solchen Function innerhalb eines 
gegebenen Grössengebiets erforderlichen Bedingungen dienen. 

Halten wir uns zunächst an einen bestimmten Fall, so kann, wenn 
die über Ä ausgebreitete Fläche, durch welche dies Grössengebiet dar- 
gestellt wird, eine einfach zusammenhängende ist, die Function 
w = n-\-vi von z folgenden Bedingungen gemäss bestimmt werden: 

1) für li ist in allen Begreuzungspunkten ein Werth gegeben, 
der sich für eine unendlich kleine Ortsänderung um eine un- 
endlich kleine Grösse von derselben Ordnung, übrigens aber 
beliebig ändert*); 

2) der Werth von v ist in irgend einem Punkte beliebig ge- 
geben; 

3) die Function soll in allen Punkten endlich und stetig sein. 
Durch diese Bedingungen aber ist sie vollkommen bestimmt. 

In der That folgt dies aus dem Lehrsatze des vorigen Art., wenn 
man, was immer möglich sein wird, a-\-ßi so bestimmt, dass a am 
Rande dem gegebenen Werth gleich und in der ganzen Fläche für 
jede unendlich kleine Ortsänderung die Aenderung von a -\- ß i unend- 
lich klein von derselben Ordnung ist. 

*) An sich sind die Aenderungen dieses Werthes nur der Beschränkung unter- 
worfen, nicht längs eines Theils der Begrenzung unstetig zu sein; eine weitere 
Beschränkung ist nur gemacht, um hier unnöthige Weitläufigkeiten zu vermeiden. 

3* 



36 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

Es kauu also, allgemein zu reden, u am Rande als eine ganz 
willkürliche Function von s gegeben werden, und dadurch ist v überall 
mit bestimmt; umgekehrt kann aber auch v in jedem Begrenzungs- 
punkte beliebig angenommen werden, woraus dann der Werth von u 
folgt. Der Spielraum für die Wahl der Werthe von w am Rande um- 
fasst daher eine Mannigfaltigkeit von Einer Dimension für jeden Be- 
grenzungspunkt, und die vollständige Bestimmung derselben erfordert 
für jeden Begrenzungspunkt Eine Gleichung, wobei es indess nicht 
wesentlich sein wird, dass jede dieser Gleichungen sich auf den Werth 
Eines Gliedes in Einem Begrenzungspunkte allein bezieht. Es wird 
diese Bestimmung auch so geschehen können, dass für jeden Begren- 
zungspunkt Eine mit der Lage dieses Punktes ihre Form stetig 
ändernde, beide Glieder enthaltende Gleichung gegeben ist, oder für 
mehrere Theile der Begrenzung gleichzeitig so, dass jedem Punkte 
eines dieser Theile n — 1 bestimmte Punkte, aus jedem der übrigen 
Theile einer, zugesellt und für je n solcher Punkte gemeinschaftlich n 
mit ihrer Lage stetig veränderliche Gleichungen gegeben sind. Diese 
Bedingungen, deren Gesammtheit eine stetige Mannigfaltigkeit bildet 
und welche durch Gleichungen zwischen willkürlichen Functionen aus- 
gedrückt werden, werden aber, um für die Bestimmung einer im Innern 
des Grössengebiets überall stetigen Function zulässig und hinreichend 
zu sein, allgemein zu reden, noch einer Beschränkung oder Ergänzung 
durch einzelne Bedingungsgleichungen — Gleichungen für willkürliche 
Constanten — bedürfen, indem bis auf diese sich die Genauigkeit un- 
serer Schätzung offenbar nicht erstreckt. 

Für den Fall, wo das Gebiet der Veränderlichkeit der Grösse z 
durch eine mehrfach zusammenhängende Fläche dargestellt wird, erlei- 
den diese Betrachtungen keine wesentliche Abänderung, indem die An- 
wendung des Lehrsatzes im Art. 18. eine bis auf die Aenderungen 
beim Ueberschreiten der Querschnitte ebenso wie vorhin beschaffene 
Function liefert — Aenderungen, welche = o gemacht werden können, 
wenn die Grenzbedingungen eine der Anzahl der Querschnitte gleiche 
Anzahl verfügbarer Constanten enthalten. 

Der Fall, wo im Innern längs einer Linie auf Stetigkeit ver- 
zichtet wird, ordnet sich dem vorigen unter, wenn man diese Linie 
als einen Schnitt der Fläche betrachtet. 

Wenn endlich in einem einzelnen Punkte eine Verletzung der 
Stetigkeit, also nach Art. 12. ein Unendlichwerden der Function, zuge- 
lassen wird, so kann unter Beibehaltung der sonstigen in unserm 
Anfangsfalle gemachten Voraussetzungen für diesen Punkt eine Function 
von z, nach deren Subtraction die zu bestimmende Function stetig 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 37 

werden soll, beliebig gegeben werden; dadurch aber ist sie völlig be- 
stimmt. Denn nimmt man die Grösse « -J- ßi in einem beliebig klei- 
nen um den Unstetigkeitspunkt beschriebenen Kreise gleich dieser 
gegebenen Function, übrigens aber den früheren Vorschriften gemäss 
an, so wird das Integral 

/((K-if)'+(g+i9")" 

über diesen Kreife erstreckt = o, über den übrigen Theil erstreckt 
einer endlichen Grösse gleich, und man kann also den Lehrsatz des 
vorigen Art. anwenden, wodurch man eine Function mit den verlang- 
ten Eigenschaften erhält. Hieraus kann man mit Hülfe des Lehr- 
satzes im Art. 13. folgern, dass im Allgemeinen, wenn in einem 
einzelnen Unstetigkeitspunkte die Function unendlich gross von der 
Ordnung n werden darf, eine Anzahl von 2n Constanten verfügbar wird. 
Geometrisch dargestellt liefert (nach Art. 15.) eine Function w 
einer innerhalb eines gegebenen Grössengebiets von zwei Dimensionen 
veränderlichen complexen Grösse z von einer gegebenen Ä bedecken- 
den Fläche T ein ihr in den kleinsten Theilen, einzelne Punkte aus- 
genommen, ähnliches, B bedeckendes Abbild S. Die Bedingungen, 
welche so eben zur Bestimmung der Function hinreichend und noth- 
wendig befunden worden sind, beziehen sich auf ihren Werth entweder 
in Begrenzungs- oder in Unstetigkeitspunkten; sie erscheinen also 
(Art. 15.) sämmtlich als Bedingungen für die Lage der Begrenzung 
von S, und zwar geben sie für jeden Begrenzungspunkt Eine Bedin- 
gungsgleichung. Bezieht sich jede derselben nur auf Einen Begren- 
zungspunkt, so werden sie durch eine Schaar von Curven repräsentirt, 
von denen für jeden Begrenzungspunkt Eine den geometrischen Ort 
bildet. Werden zwei mit einander stetig fortrückende Begrenzungs- 
I)unkte gemeinschaftlich zwei Bedingungsgleichungen unterworfen, so 
entsteht dadurch zwischen zwei Begrenzungstheilen eine solche Ab- 
hängigkeit, dass, wenn die Lage des einen willkürlich angenommen 
wird, die Lage des andern daraus folgt. Aehnlicher Weise ergiebt 
sich für andere Formen der Bedingungsgleichungen eine geometrische 
Bedeutung, was wir indess nicht weiter verfolgen wollen. 

20. 

Die Einführung der complexen Grössen in die Mathematik hat 
ihren Ursprung und nächsten Zweck in der Theorie einfacher*) durch 

*) Wir betrachten hier als Elementaroperationen Addition und Subtraction, 
Multiphcation und Division, Integration und Differentiation, und ein Abhängigkeits- 



38 i- GruDdlagtMi für eine allgcnioinc Theorie 

Grössenoperationeii ausgedrückter Abliängigkeitsgesetze zwischen ver- 
änderlichen Grössen. AVendet man nämlich diese Abhängigkeitsgesetze 
in einem erweiterten Umfange an, indem man den veränderlichen 
Grössen, auf welche sie sich beziehen, complexe Werthe giebt, so tritt 
eine sonst versteckt bleibende Harmonie und Regelmässigkeit hervor. 
Die Fälle, in denen dies geschehen ist, umfassen zwar bis jetzt erst 
ein kleines Gebiet — sie lassen sich fast sämmtlich auf diejenigen 
Abhängigkeitsgesetze zwischen zwei veränderlichen Grössen zurück- 
führen, wo die eine entweder eine algebraische*) Function der an- 
dern ist oder eine solche Function, deren Differentialquotient eine 
algebraische Function ist — aber beinahe jeder Schritt, der hier ge- 
than ist, hat nicht bloss den ohne Hülfe der complexen Grössen 
gewonnenen Resultaten eine einfachere, geschlossenere Gestalt gegeben, 
sondern auch zu neuen Entdeckungen die Bahn gebrochen, wozu die 
Geschichte der Untersuchungen über algebraische Functionen, Kreis- 
oder Exponentialfunctionen, elliptische und AbeFsche Functionen den 
Beleg liefert. 

Es soll kurz angedeutet werden, was durch unsere Untersuchung 
für die Theorie solcher Functionen gewonnen ist. 

Die bisherigen Methoden, diese Functionen zu behandeln, legten 
stets als Definition einen Ausdruck der Function zu Grunde, wodurch 
ihr Werth für jeden Werth ihres Arguments gegeben wurde; durch 
unsere Untersuchung ist gezeigt, dass, in Folge des allgemeinen 
Charakters einer Function einer veränderlichen complexen Grösse, in 
einer Definition dieser Art ein Theil der Bestimmungsstücke eine Folge 
der übrigen ist, und zwar ist der Umfang der Bestimmungsstücke auf 
die zur Bestimmung nothwendigen zurückgeführt worden. Dies ver- 
einfacht die Behandlung derselben wesentlich. Um z. B. die Gleichheit 
zweier Ausdrücke derselben Function zu beweisen, musste man sonst 
den einen in den andern transformiren, d. h. zeigen, dass beide für 
jeden Werth der veränderlichen Grösse übereinstimmten; jetzt genügt 
der Nachweis ihrer Uebereinstimmung in einem weit geringern Umfange. 

Eine Theorie dieser Functionen auf den hier gelieferten Grund- 
lagen würde die Gestaltung der Function (d. h. ihren Werth für jeden 
Werth ihres Arguments) unabhängig von einer Bestimmungsweise der- 
selben durch Grössenoperationen festlegen, indem zu dem allgemeinen 
Begriffe einer Function einer veränderlichen complexen Grösse nur die 



gesetz als desto einfacher, durch je weniger Elementaroperationen die Ab- 
hängigkeit bedingt wird. In der That lassen sich durch eine endliche Anzahl 
dieser Operationen alle bis jetzt in der Analysis benutzten Functionen definiren. 
*; D. h. wo zwisclien beiden eine algebraische Gleichung Statt findet. 



der Functionen einer veränderlichen complexeu Grösse. 31) 

zur Bestimmung der Functiuii iiothw endigen Merkmale hinzugefügt 
würden, und dann erst zu den verscliiedenen Ausdrücken deren die 
Function fähig ist übergehen. Der gemeinsame Charakter einer Gat- 
tun<»- von Functionen, welche auf ähnliche Art durch Grössenoperationen 
ausgedrückt werden, stellt sich dann dar in der Form der ihnen auf- 
erlegten Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen. Wird z. B. das Gebiet 
der Veränderlichkeit der Grösse z über die ganze unendliche Ebene A 
einfach oder mehrfach erstreckt, und innerhalb derselben der Function 
nur in einzelnen Punkten eine ünstetigkeit, und zwar nur ein Unend- 
lichwerden, dessen Ordnung endlich ist, gestattet (wobei für ein un- 
endliches z diese Grösse selbst, für jeden endlichen Werth z derselben 

aber , als ein unendlich Grosses erster Ordnung gilt), so ist die 

z — z 

Function noth wendig algebraisch, und umgekehrt erfüllt diese Bedin- 
gung jede algebraische Function. 

Die Ausführung dieser Theorie, welche, wie bemerkt, einfache 
durch Grössenoperationen bedingte Abhängigkeitsgesetze ins Licht zu 
setzen bestimmt ist, unterlassen wir indess jetzt, da wir die Betrach- 
tung des Ausdruckes einer Function gegenwärtig ausschliessen. 

Aus demselben Grunde befassen wir uns hier auch nicht damit, 
die Brauchbarkeit unserer Sätze als Grundlagen einer allgemeinen 
Theorie dieser Abhängigkeitsgesetze darzuthun, wozu der Beweis er- 
fordert wird, dass der hier zu Grunde gelegte Begriff einer Function 
einer veränderlichen complexen Grösse mit dem einer durch Grössen- 
operationen ausdrückbaren Abhängigkeit^) völlig zusammenfällt. 

21. 

Es wird jedoch zur Erläuterung unserer allgemeinen Sätze ein 
ausgeführtes Beispiel ihrer Anwendung von Nutzen sein. 

Die im vorigen Artikel bezeichnete Anwendung derselben ist, ob- 
wohl die bei ihrer Aufstellung zunächst beabsichtigte, doch nur eine 
specielle. Denn wenn die Abhängigkeit durch eine endliche Anzahl 
der dort als Elementar Operationen betrachteten Grössenoperationen be- 
dingt ist, so enthält die Function nur eine endliche Anzahl von Para- 
metern, was für die Form eines Systems- von einander unabhängiger 
Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen, die zu ihrer Bestimmung hin- 



*) Es ^vi^d darunter jede durch eine endliche oder unendliche Anzahl der 
vier einfachsten Rechnungsoperationen, Addition und Subtraction , Multiplication 
und Division, ausdrückbare Abhängigkeit begriffen. Der Ausdruck Grössenopera- 
tionen soll (im Gegensatze zu Zahlenoperationen) solche Kechnungsoperationen 
andeuten, bei denen die Commensurabilität der Grössen nicht in Betracht kommt. 



40 I- Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

reichen, den Erfolg hat, dass unter ihnen längs einer Linie in jedem 
Punkte willkürlich zu bestimmende Bedingungen gar nicht vorkommen 
können. Für unsern jetzigen Zweck schien es daher geeigneter, nicht 
ein dorther entnommenes Beispiel zu wählen, sondern vielmehr ein 
solches, wo die Function der complexen Veränderlichen von einer will- 
kürlichen Function abhängt. 

Zur Veranschaulichung und bequemeren Fassung geben wir dem- 
selben die am Schlüsse des Art. 19. gebrauchte geometrische Einklei- 
dung. Es erscheint dann als eine Untersuchung über die Möglichkeit, 
von einer gegebenen Fläche ein zusammenhängendes in den kleinsten 
Theilen ähnliches Abbild zu liefern, dessen Gestalt gegeben ist, wo 
also, in obiger Form ausgedrückt, für jeden Begrenzungspunkt des Ab- 
bildes eine Ortscurve, und zwar für alle dieselbe, ausserdem aber 
(Art. 5.) der Sinn der Begrenzung und die Windungspunkte desselben 
gegeben sind. Wir beschränken uns auf die Lösung dieser Aufgabe 
in dem Falle, wo jedem Punkte der einen Fläche nur Ein Punkt der 
andern entsprechen soll und die Flächen einfach zusammenliängend 
sind, für welchen Fall sie in folgendem Lehrsatze enthalten ist. 

Zwei gegebene einfach zusammenhängende ebene Flächen können 
stets so auf einander bezogen werden, dass jedem Punkte der einen 
Ein mit ihm stetig fortrückender Punkt der andern entspricht und 
ihre entsprechenden kleinsten Theile ähnlich sind; und zwar kann zu 
Einem innern Punkte und zu Einem Begrenzungspunkte der entspre- 
chende beliebig gegeben werden; dadurch aber ist für alle Punkte die 
Beziehung bestimmt. 

Wenn zwei Flächen T und R auf eine dritte S so bezogen sind, 
dass zwischen den entsprechenden kleinsten Theilen Aehnlichkeit Statt 
findet, so ergiebt sich daraus eine Beziehung zwischen den Flächen T 
und JR, von welcher offenbar dasselbe gilt. Die Aufgabe, zwei belie- 
bige Flächen auf einander so zu beziehen, dass Aehnlichkeit in den 
kleinsten Theilen Statt findet, ist dadurch auf die zurückgeführt, jede 
beliebige Fläche durch Eine bestimmte in den kleinsten Theilen ähn- 
lich abzubilden. Wir haben hiernach, wenn wir in der Ebene B um 
den Punkt, yfo w = o ist, mit dem Radius 1 einen Kreis K beschrei- 
ben, um unsern Lehrsatz darzuthun, nur nöthig zu beweisen: Eine 
beliebige einfach zusammenhängende A bedeckende Fläche T kann 
durch den Kreis K stets zusammenhängend und in den kleinsten Thei- 
len ähnlich abgebildet werden und zwar nur auf Eine Art so, dass 
dem Mittelpunkte ein beliebig gegebener innerer Punkt 0„ und einem 
beliebig gegebenen Punkte der Peripherie ein beliebig gegebener Be- 
grenzungspunkt 0' der Fläche T entspricht. 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 41 

Wir bezeichnen die bestimmten Bedeutungen von s; Q für die 
Punkte Oa, 0' durch entsprechende Indices und beschreiben in T um 
Oo als Mittelpunkt einen beliebigen Kreis 0, welcher sich nicht bis 
zur Begrenzung von T erstreckt und keinen Windungspunkt enthält,. 
Führen wir Polarcoordinaten ein, indem wir z — Zo = re^' setzen, so 
wird die Function log {0 — z,,) = log r -{- cpi. Der reelle Werth ändert 
sich daher im ganzen Kreise mit Ausnahme des Punktes 0„, wo er 
unendlich wird, stetig. Der imaginäre aber erhält, wenn überall unter 
den möglichen Werthen von cp der kleinste positive gewählt wird, 
längs des Radius, wo z — z,, reelle positive Werthe annimmt, auf der 
einen Seite den Werth o, auf der andern den Werth 2;r, ändert sich 
aber dann in allen übrigen Punkten stetig. Oftenbar kann dieser Ra- 
dius durch eine ganz beliebige vom Mittelpunkte nach der Peripherie 
gezogene Linie l ersetzt werden, so dass die Function log (z — Zo) 
beim Uebertritt des Punktes von der negativen (d. h. wo nach 
Art. 8. I? negativ wird) auf die positive Seite dieser Linie eine plötz- 
liche Verminderung um 27t i erleidet, ü1)rigens aber sich mit dessen 
Lage im ganzen Kreise stetig ändert. Nehmen wir nun die com- 
plexe Function a -{- ßi von x, y im Kreise S = log (z — Zo), ausser- 
halb desselben aber, indem wir l beliebig bis an den Rand verlängern, 
so an, dass sie 

1) an der Peripherie von (:) = log (z — Zo)j am Rande von T 
blo*ss imaginär wird, 

2) beim Uebertritt von der negativen auf die positive Seite der 
Linie / sich um — 2jtt, sonst aber bei jeder unendlich klei- 
nen Ortsänderung um eine unendlich kleine Grösse von der- 
selben Ordnung ändert, 

was immer möglich sein wird, so erhält das 

/((K-K)"+(g+?4r)" 

über ® ausgedehnt den Werth Null, über den ganzen übrigen Theil 
erstreckt einen endlichen Werth, und es kann daher « + ßi durch 
Hinzufügung einer bis auf einen bloss imaginären constanten Rest 
bestimmten stetigen Function von x, y, welche am Rande bloss imaginär 
ist, in eine Function t = m -\- nl von z verwandelt werden. Der reelle 
Theil m dieser Function wird am Rande = 0, im Punkte 0« = — 00 
und ändert sich im ganzen übrigen T stetig. Für jeden zwischen 
und — 00 liegenden Werth a von m zerfällt daher T durch eine Linie, 
wo m = a ist, in Theile, wo m <Ca ist und die 0^ im Innern enthal- 
ten, einerseits und andererseits in Theile, wo m > a ist und deren 



42 1. Grundlagen für eine allgemeine Theorie 

Begrenzung theils durch den Rand von T, theils durch Linien, wo 
ni = a ist, gebildet wird. Die Ordnung des Zusammenhangs der 
Fläche T wird durch diese Zerfiiilung entweder nicht geändert oder 
erniedrigt, die Fläche zerfällt daher, da diese Ordnung = — 1 ist, 
entweder in zwei Stücke von der Ordnung des Zusammenhangs o und 
— 1, oder in mehr als zwei Stücke. Letzteres aber ist unmöglich, 
weil dann wenigstens in Einem dieser Stücke m überall endlich und 
stetig und in allen Theilen der Begrenzung constant sein müsste, 
folglich entweder in einem Flächentheil einen constanten Werth, oder 
irgendwo, — in einem Punkte oder längs einer Linie — einen Maxi- 
mum- oder Minimumwerth haben müsste, gegen Art. 11., III. Die 
Punkte, wo m constant ist, bilden also in sich zurücklaufende allent- 
halben einfache Linien, welche ein den Punkt Oo einschliessendes Stück 
begrenzen, und zwar nimmt m nach Innen zu nothwendig ab, woraus 
folgt, dass bei einem positiven Umlaufe (wo nach Art. 8. s wächst) n, 
soweit es stetig ist, stets zunimmt, und also, da es nur beim Ueber- 
tritt von der negativen auf die positive Seite der Linie l eine plötz- 
liche Aenderung um — 2%"^) erleidet, jedem Werth zwischen o und 
2% Einmal von einem Vielfachen von 2% abgesehen gleich wird. 
Setzen wir nun e^ = tv, so werden e"* und n Polarcoordinaten des 
Punktes Q in Bezug auf den Mittelpunkt des Kreises K. Die Ge- 
sammtheit der Punkte Q bildet dann offenbar eine über K allenthalben 
einfach ausgebreitete Fläche S: der Punkt Qo derselben fällt auf den 
Mittelpunkt des Kreises; der Punkt Q' aber kann vermittelst der in n 
noch verfügbaren Constante auf einen beliebig gegebenen Punkt der 
Peripherie gerückt werden, w. z. b. w. 

In dem Falle, wo der Punkt Oo ein Windungspunkt m- Ister Ord- 
nung ist, gelangt man, wenn nur log (^ — ^o) durch - log (^ — 0^) 

ersetzt wird, durch ganz ähnliche Schlüsse zum Ziele, deren weitere 
Ausführung man indess aus Art. 14. leicht ergänzen wird. 



22. 

Die vollständige Durchführung der Untersuchung des vorigen 
Artikels für den allgemeinern Fall, wo Einem Punkte der einen Fläche 



*) Da die Linie l von einem im Innern des Stücks gelegenen Punkte bis zu 
einem äussern führt, so muss sie, wenn sie dessen Begrenzung mehrmals schneidet, 
Einmal mehr von Innen nach Aussen, als von Aussen nach Innen gehen, und die 
Summe der plötzlichen Aenderungen von n während eines positiven Umlaufs ist 
daher stets = — 2n. 



der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse. 43 

mehrere Punkte der andern entsprechen sollen, und ein einfacher Zu- 
sammenhang für dieselben nicht vorausgesetzt wird, unterlassen wir 
hier, zumal da, aus geometrischem Gesichtspunkte aufgefasst, unsere 
ganze Untersuchung sich in einer allgemeinern Gestalt hätte führen 
lassen. Die Beschränkung auf ebene, einzelne Punkte ausgenommen, 
schlichte Flächen, ist nämlich für dieselbe nicht wesentlich; vielmehr 
gestattet die Aufgabe, eine beliebig gegebene Fläche auf einer andern 
beliebig gegebenen in den kleinsten Theilen ähnlich abzubilden, eine 
ganz ähnliche Behandlung. Wir begnügen uns, hierüber auf zwei 
Gauss'sche Abhandlungen, die zu Art. 3. citirte und die disquis. gen. 
circa superf. art. 13., zu verweisen. 



1 n h a 1 1. 

• Seite 

1. Eine veränderliche complexe Grösse ic ^^ u -\- vi heisst eine Function einer 
andern veränderlichen Grösse z = x -\- yi, wenn sie mit ihr sich so ändert, 

dass -— von dz unabhängig ist. Diese Definition wird begründet durch 

die Bemerkung dass dies immer stattfindet, wenn die Abhängigkeit der 
Grösse iv von z durch einen analytischen Ausdruck gegeben ist. ... 3 

2. Die Werthe der veränderlichen complexen Grössen z und tu werden dar- 
gestellt durch die Punkte und Q zweier Ebenen Ä und B, ihre Ab- 
hängigkeit von einander als eine Abbildung der einen Ebene auf die andere. 5 

3. Ist die Abhängigkeit eine solche (Art. 1.) dass -^ von <?^ unabhängig ist, 

U/ Z 

80 findet zwischen dem Original und seinem Bilde Aehnlichkeit in den 
kleinsten Theilen statt 5 

4. Die Bedingung, dass ^— von dz unabhängig ist, ist identisch mit fol- 

T du cv du dv . .. _- c^^u . d'^u 

genden: - = _ , j_ = _ g_ . Aus ihnen folgen — + ^ = 0, 

^ + ^ = 6 

5. Als Ort des Punktes wird für die Ebene A eine begrenzte über die- 
selbe ausgebreitete Fläche T substituirt. Windungspunkte dieser Fläche. 7 

6. Ueber den Zusammenhang einer Fläche , .... 9 

I* /d X d Y\ 

7. Das Integral I 1 -^^— + ■^— | d T durch die ganze Fläche T erstreckt, 

ist gleich — f {X. cos | -}- Ycos iq) ds durch ihre ganze Begrenzung, wenn 
X und Y beliebige in allen Punkten von T stetige Functionen von x 
und y sind 12 

8. Einführung der Coordinaten s und p des Punktes O in Bezug auf eine 
beliebige Linie. Die gegenseitige Abhängigkeit des Vorzeichens von ds 

V X (j 11 

und dp wird so festgesetzt, dass — = -^ ist 14 

9. Anwendung des Satzes im Art. 7., wenn in allen Flächentheilen 

ex ' üy 

ist 15 

10. Bedingungen, unter welciien im Innern einer A einfach bedeckenden 
Fläche T eine Function u, welche, allgemein zu reden ^ der Gleichung 

^—2 -j- -K—^ = genügt, nebst allen ihren Difi:erentialquotienten überall 

endlich imd stetig ist 18 



^) Diese Inhaltsübersicht rührt fast vollständig von Riemann her. 



Inhalt. 45 

Seite 

11. Eigenschaften einer solchen Function 21 

12. Bedingungen, unter welchen im Innern einer A einfach bedeckenden ein- 
fach zusammenhängendeu Fläche T eine Function w von z überall nebst 
allen ihren Difterentialquotienteu endlich und stetig ist 23 

13. Unstetigkeiten einer solchen Function in einem inneren Punkte .... 24 

14. Ausdehnung der Sätze des Art. IS. und 13. auf Punkte im Innern einer 
beliebigen ebenen Fläche 25 

15. Allgemeine Eigenschaften der Abbildung einer in der£bene A ausgebrei- 
teten Fläche T auf eine in der Ebene B ausgebreitete Fläche aS', durch 
welche die Werthe einer Function iv von z geometrisch dargestellt werden. 28 



16. 



Das Integral j \{ß^ - -^) '^ [diji ^ Wx) ] '^^' ^"^^^' ^'"^ ^^"^^^ 



Fläche 2' erstreckt, erhält bei Aenderung von a um stetige oder doch 
nur in einzelnen Punkten unstetige Functionen, die am Rande = sind, 
immer für Eine einen Minimumswerth und wenn man durch Abänderung 
in einzelnen Punkten hebbare Unstetigkeiten ausschliesst, nur für Eine . 30 

17. Begründung eines im vorigen Art. vorausgesetzten Satzes mittelst der 
Grenzmethode 31 

18. Ist in einer beliebigen zusammenhängenden, durch Querschnitte in eine 
einfach zusammenhängende T* zerlegten ebenen Fläche T eine Function 
a -]- ßi von X, y gegeben, für welche 

durch die ganze Fläche endlich ist, so kann sie immer und nur auf eine 
Art in eine Function von z verwandelt werden durch Hinzufügung einer 
Function ^i -\- vi von .t, y welche so bedingt ist: 1.) /* ist am Rande = 0, 
V in Einem Punkte gegeben. 2.) Die Aenderungen von ^ sind in T, 
die von v in T* nur in einzelnen Punkten und nur so unstetig, dass 

/[Ö^+fö1 ^'^•- /[Ö^+fö] "^ ^"- ^^« 

ganze Fläche endlich bleiben und letztere an den Querschnitten beider- 
seits gleich 33 

19. Ueberschlag über die hinreichenden und nothwendigen Bedingungen zur 
Bestimmung einer Function complexen Arguments innerhalb eines gege- 
benen Grössengebiets 35 

20. Die frühere Bestimmungsweise einer Function durch Grössenoperationen 
enthält überflüssige Bestandtheile. Durch die hier durchgeführten Betrach- 
tungen ist der Umfang der Bestimmungsstücke einer Function auf das 
nothwendige Mass zurückgeführt .,..- 37 

21. Zwei gegebene einfach zusammenhängende Flächen können stets so auf 
einander bezogen werden, dass jedem Punkte der einen Ein mit ihm stetig 
fortrückender Punkt der andern entspricht und ihre entsprechenden klein- 
sten Theile ähnlich sind; und zwar kann zu Einem inneren Punkt und zu 
Einem Begrenz ungspmikt der entsprechende beliebig gegeben werden. 
Dadurch ist für alle Punkte die Beziehung bestimmt 39 

22. Schlussbemerkungen 42 



Anmerkungen. 

(1) (zu Seite 3.) In Riemann's Papieren findet sich der folgende an diese Stelle 
gehörige Zusatz: 

„Unter dem Ausdruck: die Grösse w ändert sich stetig mit z zwischen den 
Grenzen z = a und z =^ b verstehen wir: in diesem Intervall entspricht jeder 
unendlich kleinen Aenderung von z eine unendlich kleine Aenderung von w 
oder, greiflicher ausgedrückt: für eine beliebig gegebene Grösse s lässt sich 
stets die Grösse a so annehmen, dass innerhalb eines Intervalls für z, welches 
kleiner als cc ist, der Unterschied zweier Werthe von 2u nie grösser als s ist. 
Die Stetigkeit einer Function führt hiernach, auch wenn dies nicht besonders 
hervorgehoben ist, ihre beständige Endlichkeit mit sich/' 

(2) (zu Seite 18.) Zur Erläuterung dieser im Ausdruck etwas dunkeln Stelle kann 
folgendes Beispiel dienen: 

_ _ In der beistehenden Figur ist T 

eine dreifach zusammenhängende 
Fläche, (ah) sei der ersteQuerschnitt 
(/i, (cd) der zweite q.^. Man hat hier 
drei verschiedene constante Werth- 
differenzen der Function 




Z 



,/■( 



X 



dy 



■) 



ds 



zu unterscheiden. Diese seien: ander 
= Strecke («c) : ^, an der Strecke (cb):B^ 
^ an der Strecke (cd) : C. Durchläuft 
man also zuerst (cd), so kann hier C 
irgend einen Werth haben. Durchläuft man hierauf (6c), so kann hier B 
einen andern beliebigen Werth haben. An (ac) ist aber hiernach die constanie 
WerthdifFerenz Ä der Function Z völlig bestimmt, nämlich (wenn die Vor- 
zeichen passend bestimmt werden) A =^ B -\- C. Auf ähnliche Weise schliesst 
man allgemein, dass, so oft beim Rückwärtsdurchlaufen des Querschnitt- 
systems ein schon durchlaufener Querschnitt einmündet, die Aenderung, welche 
die constante Werthdifferenz der Function dadurch erfährt, vollkommen be- 
stimmt ist. 
(3) (zu Seite 33.) Die folgenden Bemerkungen sind fast wörtlich den in Riemann's 
handschriftlichen Nachlass gefundenen Entwürfen zu Art. 17. entnommen und 
dienen theils zur Erläuterung, theils zur Ergänzung der Untersuchung. 

Von den Werthen Pj und P^ kann auch einer überall = genommen 
werden, wenn nur T' eine endliche Breite behält, wodurch unser Beweis 
auf den Fall anwendbar wird, wo die Unstetigkeit längs eines Theils der Be- 
grenzung einträte, oder durch Abänderung von y längs einer Linie im Innern 
entstanden wäre. Für m ist deshalb nicht geradezu der kleinste Werth von 
(Vi ~ 72^ ^^ d^i^ angegebenen Intervall von j^i ^^^ P2 gesetzt, damit der 
Beweis auch auf den Fall anwendbar ist, wo y unendlich viele Maxima und 

Minima, also z. B. in der Nähe der Unstetigkeitslinie den Werth sin — , hätte. 

In ähnlicher Weise lässt sich zeigen, dass L über alle Grenzen wächst, wenn 



Anmerkungen. 47 

X sich einer Function y unbegrenzt nähert, die in einem Punkt 0' so unstetig 
wird, dass in einem Theil einer mit dem Radius q um 0' beschriebenen 

Kreislinie o , , , für ein unendlich kleines p sich einer endlichen Grenze 

nähern oder unendlich werden. 

Es lägst sich in diesem Fall ein Werth B, von q so annehmen, dass unter- 
halb desselben 



^i\p:!^m]'^ 



u 
nicht wird. Bezeichnen wir den kleinsten Werth dieser Grösse in diesem 
Intervall durch a, so wird der Beitrag eines zwischen q = B und 9 = r (wo 
r <i li) enthaltenen Kreisrings zu L 

R 2Jt ^ R 

f'''J' [®' ■*" ©1 "^^ ^/^ ''" ^ " *'"^ ^' ~ ^"^ '' 

/• U r 

und folglich, wenn man r = lie " annimmt ^ C. Wählt man also zur 

_ c 

Begrenzung von T' einen Kreis, wo 9 <^ lie ", so wird der aus dem übrigen 
T stammende Theil von L und folglich L selbst, wie auch l im Innern des 
Kreises angenommen werden möge, ]> C. 

(Diese Untersuchung bezieht sich zwar zunächst auf einen Punkt, der kein 
Winduugspunkt und kein Begrenzungspunkt ist, erleidet aber eine wesent 
liehe Aenderung nur für einen Begrenzuugspunkt, wo die Fläche eine Spitze, 
d. h. ihre Begrenzung einen Kückkehrpunkt hat. Die Bestimmung eines 
Grades der Unstetigkeit, welchen X nicht erreichen kann, beruht indess auch 
hier auf denselben Principien und wir begnügen uns daher mit der Andeu- 
tung dieses Falles.) 

Es liefert also, wenn der Flächentheil, wo X und y verschieden sind, un- 
endlich klein wird, im Fall einer Unstetigkeitslinie T' selbst, im Fall eines 
Unstetigkeitspunktes der übrige Theil von T einen unendlichen Beitrag zu X, 
und unsere Behauptung ist daher, wenn die Unstetigkeit den hier voraus- 
gesetzten Grad erreicht, gerechtfertigt. Ihre Gültigkeit in diesem Umfang 
genügt für uns und in der That wird sie für leichtere Unstetigkeiten unrichtig, 
wie z. B. wenn y in der Entfernung q des Punktes O vom Unstetigkeitspunkt 

^= (log — ) und iti << i ist. Wir geben daher dem ersten Theil des Satzes 

im Art. 16. folgende Beschränkung: Das Integral Sl hat, a = cc -\- X gesetzt, 
entweder für eine der Functionen X ein Minimum, oder X nimmt, während Sl 
sich einem kleinsten Grenzwerth nähert doch nur in einzelnen Punkten eine 

Unstetigkeit an, bei welcher die Ordnung von 0— ;» 0— » wenn sie unendlich 
werden, die Einheit nicht erreicht. 

Eine Unstetigkeit der Function co, die durch Abänderung eines Werthes in 
einem Punkt hebbar ist, muss z. B. eintreten, wenn in der Fläche irgendwo 
ein Stich, also ein einzelner Begrenzungspunkt, wo /l = sein müsste, an- 
genommen würde. 



IL 

lieber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität 
in ponderabeln Körpern, wenn diese nicht als vollkommene 
Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Span- 
nungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebend 
betrachtet werden. 

(Amtlicher Bericht über die 31. Versanimhmg deutscher Naturforscher 
und Aerzte zu Göttingeu im September 1854. *) 

Mittelst der sinnreichen Werkzeuge für Spannungselectricität, 
welche Herr Prof. Kohlrauscli in der gestrigen Sitzung dieser Section 
erwähnte, hat derselbe auch die Bildung des Rückstandes in der Ley- 
dener Flasche und in andern Apparaten zur Bindung von Electricität 
untersucht. Diese Erscheinung ist im Wesenthchen folgende: Wenn 
man eine Leydener Flasche, nachdem sie längere Zeit geladen gestan- 
den hat, entladet und sie dann eine Zeit lang isolirt stehen lässt, so 
tritt nach einiger Zeit eine merkliche Ladung wieder auf. Sie führt 
zu der Annahme, dass bei der ersten Entladung nur ein Theil der 
geschiedenen Electricitätsmenge sich wieder vereinigte, ein Theil aber 
in der Flasche zurückblieb. Den ersten Theil nennt man die dispo- 
nible Ladung, den zweiten den Rückstand. Die Genauigkeit der 
Messungen, welche Herr Prof. Kohlrausch über das Sinken der dis- 
ponibeln Ladung und über das Wiederauftreten des Rückstandes an- 
gestellt hat, reizte mich, an derselben ein aus andern Gründen wahr- 
scheinliches Gesetz zu prüfen, welches eine in der bisherigen Theorie 
der Spannungselectricität vorhandene Lücke ausfüllt. 

Bekanntlich beziehen sich die mathematischen Untersuchungen 
über Spannungselectricität auf ihre Vertheilung in vollkommenen und 
völlig isolirten Leitern; man betrachtet also die ponderabeln Körper 
entweder als absolute Leiter oder als absolute Nichtleiter. Eine Folge 

davon ist, dass nach dieser Theorie sich beim Gleichgewicht die ge- 

<♦ 

*=) Vortrag gehalten am 21. Sept. 1854. 



II. Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungäelectricität etc. 49 

saminte Spannungselectricität nur an den Grenzflüchen der Leiter und 
Isolatoren ansammelt. Zugestandenermassen aber ist dies eine blosse 
Fiction. In der Natur wird es weder einen Körper geben, in welchen 
durchaus keine Spannungselectricität eindringen kann, noch einen Körper, 
in welchem sich die gesammte Spannungselectricität auf eine mathe- 
matische Fläche zusammenziehen kann. Man muss vielmehr annehmen, 
dass die ponderabeln Körper dem Aufnehmen oder dem Enthalten von 
Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstreben, und zwar ist 
die Annahme, deren Consequenzen sich der Erfahrung gemäss zeigen, die, 
dass sie nicht dem electrisch Werden oder dem Aufnehmen von Span- 
nungselectricität, sondern dem electrisch Sein oder dem Enthalten von 
Spannungselectricität widerstreben. Das Gesetz dieses Widerstrebens 
ist, je nach der dualistischen oder unitarischen Vorstellungsart, folgen- 
des. Nach der dualistischen Vorstellungsart, nach welcher die Span- 
nungselectricität der Ueberschuss der positiven Electricität über die 
negative ist, muss man in jedem Punkte des ponderabeln Körpers eine 
Ursache annehmen, welche mit einer der Dichtigkeit dieses Ueber- 
schusses proportionalen Intensität die Dichtigkeit der Electricität 
gleichen Zeichens — derjenigen, welche im Ueberschuss vorhanden ist 
— zu vermindern und die der entgegengesetzten zu vermehren strebt. 
Nach der unitarischen Auffassungsweise, nach welcher die Spannungs- 
electricität der Ueberschuss der in dem Körper enthaltenen Electricität 
über die ihm natürliche ist, muss man in jedem Punkte desselben eine 
Ursache annehmen, welche mit einer der Dichtigkeit dieses Ueber- 
schusses proportionalen Intensität die Dichtigkeit der Electricität zu 
vermindern oder bei negativem Ueberschuss zu vermehren strebt. Ausser 
dieser Bewegungsursache hat man nun, wenn keine merklichen ther- 
mischen oder magnetischen oder voltainductorischen Wirkungen und 
Einflüsse stattfinden, und die ponderabeln Körper gegen einander 
ruhen, nur noch die dem Coulomb'schen Gesetz gemässe electromoto- 
risclie Kraft in Rechnung zu ziehen. Unter denselben Umständen kann 
man für die Abhängigkeit der erfolgten Bewegung von den Bewegungs- 
ursachen Proportionalität zwischen electromotorischer Kraft und Strom- 
intensität annehmen. 

Um diese Bewegungsgesetze in Formeln auszudrücken, seien x, ?/, z 
rechtwinklige Coordinaten und im Punkte (:r, y^ z) zur Zeit i die Dich- 
tigkeit der Spannungselectricität (), und u der 4:nrte Theil des Poten- 
tials der gesammten Spannungselectricität nach Gaussscher Definition, 
nach welcher das Potential in einem bestimmten Punkte gleich ist dem 
Integral über sämmtliche Massen Spannungselectricität, jede dividirt durch 
die Entfernung von diesem Punkte. Die dem Couldmb'schen (resetz 

KiEMANN'ä gesainmelto muthomatiscbe Wi-rke. 1. 4 



50 n. Ueber die Gesetze der Vertheiiuug von Spannungselectricität etc. 

gemässe electromotorische Kraft ist dann, nach den Richtungen der 
drei Axen zerlegt, proportional 

du du du 

dx'~~dy ' "Wz ' 

die von der Reaction des ponderabeln Körpers herrührende proportional 

d^ dg^ dg 

d x^ dy ^ dz' 

Die Componenten der electromotorischen Kraft können also gleich 
gesetzt werden 

^J* (32 '^± ^J* „ /?2 ^ _ ^ _ /i2 ^ 

ex P dx' dy ^ dy ^ 'dz P dz ^ 

wo /3- nur von der Natur des ponderabeln Körpers abhängt. Diesen 
sind nun die Componenten der Stromintensität proportional, sie sind 
also = a^, arjy a^, wenn man durch i, rj, t, die Componenten der 
Stromintensität und durch a eine von der Natur des ponderabeln Kör- 
pers abhängige Constante bezeichnet. 

Verbindet man hiermit die phoronomische Gleichung 

'^dt ~^ dx~^ dy '^ dz ' 

welche man erhält, indem man die in das Raumelement dxdyds im 
Zeitelement dt einströmende Electricitätsmenge auf doppelte Weise 
ausdrückt, und die Gleichung 

d'^u j, d^u j_ d^u 

W''^ dy'^'^ dV^~~ ~ ^^ 

welche aus dem Begriffe des Potentials folgt, so erhält man, indem 
man erstere mit a multiplicirt und für ^, t], t, ihre Werthe setzt, die 
Gleichung 

Diese giebt für ti eine partielle Differentialgleichung, welche in 
Bezug auf t vom ersten , in Bezug auf die Raumcoordinaten vom 
vierten Grade ist, und um von einem bestimmten Zeitpunkte an u 
innerhalb des ponderabeln Körpers allenthalben vollständig zu bestim- 
men, werden ausser dieser Gleichung in jedem Punkte desselben Eine 
Bedingung für die Anfangszeit und für die Folge in jedem Ober- 
flächenpunkte zwei Bedingungen erforderlich sein. 

Ich werde nun die Consequenzen dieser Gesetze in einigen beson- 
deren Fällen mit der Erfahrung vergleichen. 

Für das Gleichgewicht (in einem System isolirter Leiter) ist 



II. (Jeber die Gesetze der Vertbeilung von Spaunungselectricitixt etc. 51 



oder 
oder^ da 



1^ , >32 ^9 _ 0, ^" + ß'l^ = 0, ^^ + ß' ?^ = 
tt + /3-() = Const., 

»-^^(C + ?? + S)=Const. 

Für die Stromausgleichung oder den Beharrungszustand der Verthei- 
hmg (im Schliessungsbogen constanter Ketten) ist 

dt ^ 
oder 

Wenn nun die Länge ß gegen die Dimensionen des ponderabelu 
Körpers sehr klein ist, so nimmt u — Const. im erstem Falle und q 
im zweiten von der Oberfläche ab sehr schnell ab und ist im Innern 
überall sehr klein, und zwar ändern sich diese Grössen mit dem Ab- 

stände ]) von der Oberfläche nahe wie c K Dieser Fall wird bei 
den metallischen Leitern angenommen werden müssen; wird /3 = 
gesetzt, so erhält man die bekannten Formeln für vollkommene Leiter. 

Bei der Anwendung dieser Gesetze auf die Rückstandsbildung in 
der Leydener Flasche musste ich, da Angaben über die Dimensionen 
der Apparate fehlten, annehmen, dass die Dimensionen derselben gegen 
den Abstand der Belegungen als unendlich gross betrachtet werden 
dürften. Mit der Ausführung der Rechnung wage ich die verehrten 
Anwesenden nicht zu ermüden und begnüge mich das Resultat dersel- 
ben anzugeben. 

Aus den Messungen des Herrn Prof. Kohlrausch hatte sich erge- 
ben, dass die disponible Ladung, als Function der Zeit betrachtet, 
nahe durch eine Parabel dargestellt wird, dass jedoch der Parameter 
der Parabel, welche sich der Ladungscurve am nächsten anschliesst, 
langsam abnimmt, so dass wenn man die anfängliche Ladung durch Zo, 

die zur Zeit t durch Lt bezeichnet, " ^ ^^ eine Grösse ist, welche 

"j/T 

mit wachsendem i allmählich abnimmt. 

Dasselbe ergab sich auch aus der Rechnung, wenn angenommen 
wurde, dass sowohl a als /3^ beim Glase, wie dies von vorn herein zu 
erwarten war, sehr gross sei und als unendlich gross betrachtet wer- 

4* 



52 II. lieber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität etc. 

(leu dürfe, während ihr Quotient endlich bleibt. Eine schärfere Ver- 
gleichung der Rechnung mit den Beobachtungen habe ich nicht ange- 
gestellt, namentlich aus dem Grunde, weil mir Angaben über die 
Dimensionen der Apparate und überhaupt alle Mittel fehlten, die wegen 
der Abweichungen von den Vorraussetzungen der Rechnung nöthigen 
Correctionen zu bestimmen. Es wäre eine solche namentlich zur Be- 
stimmung der electrischen Constanten des Glases zu wünschen. Doch 
halte ich das hier aufgestellte Gesetz für die Vertheilung der Span- 
nungselectricität für vollkommen durch die Messungen des Herrn Prof. 
Kohl rausch bestätigt. 

Ich darf wohl noch in der Kürze die Anwendung dieses Gesetzes 
auf einen andern Gegenstand besprechen. 

Bekanntlich wird die Fortpflanzung der galvanischen Ströme in 
metallischen Leitern und die in Folge derselben stattfindende Strom- 
ausgleichung bei Constanten oder langsam sich ändernden electromo- 
torischen Kräften durch die dabei auftretende Spannungselectricität 
bewirkt. Dieser Vorgang ist wegen seiner ungemein kurzen Dauer 
und den hinzukommenden thermischen und magnetischen Wirkungen 
nur in seinen Resultaten der experimentalen Forschung zugänglich, 
und die einzigen experimentellen Bestimmungen, welche wir darüber 
haben, sind die Messungen der Fortpflanzungsgeschwindigkeit in Tele- 
graphendrähten und die Ohm 'sehen Gesetze der Stromausgleichung. 
Eine genauere Analyse der Ohm' sehen Gesetze führt indess ebenfalls 
zu der hier gemachten Annahme, und ich wurde in der That dadurch 
zuerst auf sie geführt. 

Ohm bestimmt die Stromvertheilung bei der Stromausgleichung 
durch folgende zwei Bedingungen: 

1) Um die den wirklich erfolgten Stromintensitäten proportionalen 
electromotorischen Kräfte zu erhalten, muss man zu den äussern electro- 
motorischen Kräften Kräfte hinzufügen, welche die Differentialquotienten 
Einer Function des Orts, der Spannung, sind. 

2) Bei der Stromausgleichung strömt in jeden Theil des pön- 
derabeln Leiters eben so viel Electricität ein als aus. 

Ohm glaubte nun, dass die Spannung, diese Function des Orts, 
von welcher die inneren electromotorischen Kräfte die Differentialquo- 
tienten sind, von der Spannungselectricität so abhingen, dass sie ihrer 
Dichtigkeit proportional sei, welche Annahme in der That das Zu- 
standekommen beider Bedingungen erklärt. Aber es haben schon, fast 
gleichzeitig; Herr Prof. Weber*) und Kirchhoff**) darauf aufmerksam 



*) Abhandlungen d. k. sächs. Ges. d. W. 1852, T. S. 293. 
**) Poggendorifs Annalen. Bd. 79, S. 506. 



II. Ueber die Gesetze der VerÜieilung von Spannungselectricität etc. 53 

gemacht, dass dann die Electricität im Gleichgewicht sein müsste, 
wenn sie den ponderabeln Körper mit gleichmässiger Dichtigkeit er- 
füllte, während sie doch der Erfahrung nach beim Gleichgewicht auf 
der Oberfläche vertheilt ist. Die Spannung muss eine Function sein, 
welche beim Gleichgewicht im ganzen Leiter constant ist, und also 
vielmehr dem Potential der Spannungselectricität proportional sein, 
und diese innern electromotorischen Kräfte sind mit den dem Coulomb'- 
schen Gesetz gemässen identisch. 

Diese Ansicht über die Spannung wurde auch von den meisten 
Forschern angenommen. Dabei aber blieb es ununtersucht, durch welche 
Ursachen bei der Stromausgleichung die zweite Bedingung hergestellt 
wurde, dass in jedem ponderabeln Körpertheil die Electricitätsmenge 
constant bleibe. 

Nach der dualistischen Auffassung muss sowohl die positive als 
die negative Electricitätsmenge constant bleiben; dass kein merklicher 
Ueberschuss Einer Electricität sich bilde, scheint man, wenigstens so 
lange man auf die Grössenverhältnisse nicht näher eingeht, aus der An- 
ziehung der entgegengesetzten Electricitäten nach dem CoulomVschen 
Gesetz erklären zu können, und man muss dann noch eine Ursache, 
dass die neutrale Electricität in jedem Körpertheil constant bleibe, also 
einen Druck des Ponderabile auf sie, annehmen. Diese Annahme habe 
ich auf Anregung des Herrn Prof. AVeber schon vor mehreren Jahren 
der Rechnung zu unterwerfen gesucht, ohne zu einem befriedigenden 
Resultat zu gelangen. 

Nach unitarischer Auffassung bedarf es nur einer Ursache, welche 
die in einem ponderabeln Körpertheil enthaltene Electricitätsmenge con- 
stant zu erhalten strebt. Man wird so geradeswegs zu der obigen 
Annahme geführt, dass jeder ponderabele Körper Electricität von be- 
stimmter Dichtigkeit zu besitzen strebt und sowohl einem grösseren 
als einem geringeren erfüllt Sein widerstrebt. Das Gesetz dieses Wider- 
strebens kann man so annehmen, wie es sich für das Glas durch die 
Erfahrung bestätigt hat. 

Diese Betrachtungen führen also dazu, die ursprüngliche Franklin'sche 
Auffassung der electrischen Erscheinungen als diejenige anzunehmen, 
welche man für das tiefere Eindringen in den Zusammenhang dieser Er- 
scheinungen unter sich und mit andern Erscheinungen zu Grunde zu 
legen und der weitern Aus- und Umbildung nach den Geboten und 
Winken der Erfahrung zu unterwerfen hat. 

Möchten sie in dem Kreise bewährter Forscher, vor denen ich sie zu 
entwickeln die Ehre hatte, einer nähern Prüfung werth gefunden werden. 



III. 

Zur Theorie der Nobili 'sehen Farbenringe. 

(Aus Poggendorffs Annalen der Physik und Chemie. Bd. 95, 28. März 1855.) 

Die Nobili 'sehen Farbenringe bilden ein schätzbares Mittel, die 
Gesetze der Stromverzweigung in einem durch Zersetzung leitenden 
Körper experimentell zu studiren. Die Erzeugungsweise dieser Ringe 
ist folgende. Man übergiesst eine Platte von Platin, vergoldetem Silber 
oder Neusilber mit einer Auflösung von Bleioxyd in concentrirter 
Kalilauge und lässt den Strom einer starken galvanischen Batterie 
durch die Spitze eines feinen in eine Glasröhre eingeschmolzenen Platin- 
draths in die Flüssigkeitsschicht ein und durch die Platte austreten. 
Das Anion, Bleisuperoxyd nach Beetz, lagert sich dann auf der Metall- 
platte in einer zarten durchsichtigen Schicht ab, welche je nach der 
Entfernung vom Eintrittspunkte des Stroms verschiedene Dicke besitzt, 
so dass die Platte nach Entfernung der Flüssigkeit New tonische 
Farbenringe zeigt. Aus diesen Farbenringen lässt sich dann die 
relative Dicke der Schicht in verschiedenen Entfernungen bestimmen 
und hieraus mittelst des Far ad ay 'sehen Gesetzes, nach welchem die 
Menge der abgeschiedenen Substanz der durchgegangenen Elektricitäts- 
menge allenthalben proportional sein muss, die Stromvertheilung beim 
Austritt aus der Flüssigkeit ableiten. 

Der erste Versuch, die Stromvertheilung durch Rechnung zu be- 
stimmen und das gefundene Resultat mit der Erfahrung zu vergleichen, 
ist von E. Becquerel gemacht worden. Derselbe hat vorausgesetzt, 
dass die Ausdehnung der Flüssigkeitsschicht gegen ihre Dicke als 
unendlich gross betrachtet werden dürfe, der Strom durch einen Punkt 
ihrer Oberfläche eintrete und sich nach den Ohm 'sehen Gesetzen in 
derselben ausbreite. Er glaubt nun bei diesen Voraussetzungen ohne 
merklichen Fehler die Strömungscurven als gerade Linien betrachten 



111. Zur Theorie der Nobili'Hchen Farbenringe. 55 

zu können und leitet aus dieser Annahme das Gesetz ab, dass die 
I^icke der niedergeschlagenen Schicht dem Abstände vom Eintritts- 
punkte umgekehrt proportional sein müsste, welches Gesetz er experi- 
mentell bestätigt habe. 

Herr Du-Bois-Reymond .hat dagegen in einem vor der physi- 
kalischen Gesellschaft zu Berlin gehaltenen Vortrage gezeigt, dass bei 
Voraussetzung gerader Strömungslinien die Dicke der in ihrem End- 
punkte abgeschiedenen Substanz vielmehr dem Cubus ihrer Länge um- 
gekehrt proportional sich ergiebt und dadurch Herrn Beetz zu einer 
Reihe von dem Anschein nach bestätigenden Versuchen veranlasst, 
welche in Poggendorffs Annalen Bd. 71, S. 71 beschrieben sind und 
viel Vertrauen erwecken. 

Die genaue Rechnung indessen lehrt, dass die Voraussetzung 
gerader Strömungslinien unzulässig ist und ein ganz falsches Resultat 
liefert. Allerdings sind die Strömungslinien, wenigstens bei grösserer 
Entfernung ihres Austrittspunktes (da sie zwischen zwei sehr nahen 
Parallel-Linien liegen und höchstens einen Wendepunkt besitzen), in 
dem mittleren Theile ihres Laufes in beträchtlicher Ausdehnung sehr 
wenig gekrümmt; hieraus aber darf man keineswegs schliessen, dass 
sie ohne merklichen Fehler durch gerade von ihrem Eintrittspunkte 
nach ihrem Austrittspunkte gehende Linien ersetzt werden können. 
Ich werde zunächst die bei genauer Rechnung aus den Voraussetzungen 
der Herren E. Becquerel und Du-Bois-Reymond fliessenden Fol- 
gerungen entwickeln und schliesslich auf die Versuche des Herrn Beetz 
zurückzukommen mir erlauben. 

Ich nehme an, dass der Eintritt des Stromes in die durch zwei 
horizontale Ebenen begrenzte Flüssigkeitsschicht in einem Punkte statt- 
finde, und bezeichne für einen Punkt derselben den Horizontalabstand 
vom Einströmungspunkt durch r, die Höhe über der unteren Grenz- 
fläche durch s, die Erhebung seiner Spannung über die Spannung an 
der oberen Seite dieser Grenzfläche durch n. Ferner sei die Stärke 
des ganzen Stromes S, der specifische Leitungswiderstand der Flüssig- 
keit w, im Einströmungspunkt z= a, an der Oberfläche z == ß. Es 
muss nun ii als Function von r und z bestimmt werden; die Strom- 
intensität im Punkte (r, ö), welcher nach dem Faraday'schen Gesetz 
die gesuchte Dicke der dort niedergeschlagenen Schicht proportional 

sein muss, ist dann gleich dem Werthe von - ,.— in diesem Punkte. 

^ ^ lü dz 

Wird zunächst vorausgesetzt, dass die Ausdehnung der Flüssigkeits- 
schicht gegen ihre Dicke als unendlich gross betrachtet werden dürfe, 
so sind die Bedingungen zur Bestimmung von n 



56 111. Zur Theorie tler Nobili'schen Farbenringe. 

(1.) für — oo < /' < ^, ()<Z< ß, 

(2.) für — oü < >• < oo, ^ = 0, w = 0; 

(3.) für - oo<r<oo, , = ß, || = 0; 

(4.) für r = ■^- oo, <s < ß, u endlich; 

(5.) für r = 0, = a, 



u = 



4=71 -j/,.^ -f (0 — a)2 

oder = -===^::^ 

27t y rr -\- {z — af 



-j- einer 



stetigen Function von r, z, je nachdem der Einströmungspunkt im 
Innern oder in der Oberfläche liegt. 
Diesen Bedingungen genügt 

„ = fi^ y ( _ 1)». ( ___L_ - ' \ 

oder wenn man zur Vereinfachung S= — annimmt: 

„ = y ( - 1)» U ^ _ ' "> 

— CO , CO 

Setzt man u = a^ sin -^ + «2 sin 2 ^ + % sin 3 ^ + . . , so wird 
für ein gerades n der Coefficient an = und für ein ungerades 

2/! 



^an===j\inn^^{-\)-(^ 



dt 



y rr + (^ + 2mß — «) 

— CO, CO ■' ' ' 



a)'V 



y rr + (^ -I- 2mß + 



j (sin n f^ (t + a)- sin n ^^ {t - «))^ 



+ it 

.V. 71 a i' nt dt c^ • 71 a / 

2 sm n -- / cos n ---tt — rr=z == 2 sm w -^ / 



n 

CO n -^ ti 

71 1 dt ^ . 71 a /'e "'^ cZ^ 



]/rrH-^^ 
In letzterem Integral kann statt 1 auch 2 / geschrieben werden. 

— CO ri 

Führt man für t als Veränderliche tri ein, so erhält man 



111. Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe. 57 



ilso 



u = E sin n 



\ Hin n ^ a 1» ^ ~ ■' ' 
n 



2ß"/'e ^^ dt 



n'^ ^ 



e \P dt 



über alle positiven ungeraden Werthe von n ausgedehnt. 

Nimmt man an, dass die Flüssigkeit bei r = c begrenzt sei und 
zwar beispielshalber durch einen Nichtleiter, so muss für /• = c >- = 

werden und also zu dem oben erhaltenen Werth von tij der durch u' 
bezeichnet werden möge, noch eine Function tt" hinzugefügt werden, 
welche folgenden Bedingungen genügt 



(2.) 


für — c < /• < 6', < ^' < ß, 

c'u" 

für — 6' < r < c, z = 0, 


+ 


1 
r 


?u" 

dr 


' cz' ' 
«" = 0; 


(3.) 


für -- c < r < c, z = ß, 








^ = 0^ 


(4.) 


für r = ±c, 0<z< ß, 








d u" c u 
dr ~ dr ' 



und überall stetig ist. 

Den Bedingungen (1.) bis (3.) zufolge muss u" ebenfalls in der Form 

^i sin ^ ^ + 6, sin 3 — ^ + ?>5 sin 5 ^ ^ + . . . 

darstellbar sein, und zwar Hiesst aus (1.) für hn die Bedingung 

d'^bn i^ 1 dbn nnrnc -. ^ 

Ir^ '^ T Ir T^ ^^ ^ ^' 

Eine particuläre Lösung dieser Gleichung ist, wie schon bekannt, 

7t 

e ^ dt 

—j=i:zr^\ eine andere erhält man, wenn man dasselbe Integral 

zwischen — 1 und 1 nimmt; die allgemeinste ist also, wenn c„ und y^ 
Constanten bedeuten. 



J 



, fe 'l' dt , /'e 'I' dt 



oder wenn man 



58 111- ^vir Theorie der Nobili'scheii Faibeiiiiiige. 

r-^_=:_z^=r durcli fiq). 1 ^,-z=r:: diirch wiq) 



bezeichnet: 

hn = Cnf(n j^ r^ + yn(p (^n ^^ r^ 

Die Entwicklung nach steigenden Potenzen von q giebt 

0, a> 

es wird also f(g) für ^ = unendlich und damit ti" für r = stetig 
bleibe, muss c„ = sein; yn ergiebt sich dann aus (4.) gleich 



mithin 






. 4 sin n ^^ « , . , \ /' (^ T« ^) 

« = Z- sm » ,^ . --p-^ j / (n ^-p- ,•) - ^ (« j-p- ^j-^-^ 

über alle positiven ungeraden Werthe von n ausgedehnt. 

Zur Berechnung von /" ($) und (p (q) können für grosse Werthe 
von q die halbconvergenten Reihen 



/■(g) = e-^ y^^- 2" (- 1)"* - 



3 . . .2m — 1)' 



9 (g) = e^'^ ^ ^^ 2; " mT(i6g)- 

benutzt werden, welche indess ihren Werth nur bis auf Bruch theile 
von der Ordnung der Grösse e~^'i geben; genügt diese Genauigkeit 
nicht, so ist es wohl am zweckmässigsten die Entwicklungen nach 
steigenden Potenzen von q anzuwenden. 

Für hinreichend grosse Werthe von -^ erhält man also mit Yer- 

nachlässigung von Grössen von der Ordnung der Grösse e~ 2^^ 

. . na 
4 sin 



„_,i„- ^ß -./TJ,.-?-:^a-3...2m-i)= 



2ß ß 



|/i .-^'2'^----)^^(_^) 



IJl. Zur Theorie der Nobili'schen Farbcuringe. 

2^ (^ • -^ • • • 2w -"^1)'^ (2 m + 1) / ^\ '" ' 
m! (2m — 1)~ ' \ Änc) 



59 



y (1 . 3 . . . 2m — 1)' (2m 4- 1) / ß 

^ m!(2m— f) 



\47rc/ 



Uli 



d die Dicke der Schicht proportional (j-) oder proportional 



Ttr 

2ß 



e -'^ "S^l (1 ■ 3 



2m — 1)' 






2m — i: 



'^ 






"^ (1 ^^^ 2m — 1)^ (2m -f 1) / ß_\ 

-^ " m~! (2 m — 1) " \ 47rc/ 



2^^ 



2m — 1)2 (2?/i + 



\43rc/ 



m! (2m — 1) 

Dieses Resultat bleibt im Allgemeinen auch richtig, wenn statt 
des Einströmungspunktes eine beliebige Umdrehungsfläche als Kathode 
angenommen wird; denn für Werthe von r zwischen c und demjenigen 
VVerthe, bis zu welchem die Bedingungen (1.) bis (3.) gültig bleiben, 
muss n auch dann durch eine Reihe von der Form 



H = EKn sin n 



f 






dargestellt werden. Eine Ausnahme würde nur eintreten, wenn ^^ = 
würde. 

Die von Herrn E. Becquerel gemachte und von Herrn Du-Bois- 
Reymond im Wesentlichen beibehaltene specielle Voraussetzung ist 
die, dass die Kathode ein Punkt der Oberfläche, also « = /3 sei; in 
diesem Falle ist, wie die geführte Rechnung zeigt, die Dicke der Schicht 

für grosse Werthe von — weder der Entfernung vom Einströmungs- 
punkte, wie Herr Becquerel, noch ihrem Cubus, wie Herr Du-Bois- 
Reymond gefunden hat, umgekehrt proportional, sondern sie nimmt 

mit wachsenden — vielmehr al>, wie eine Potenz mit dem Exponenten 



GO iU- >^ur Theorie der Nobili'schen Faibeuriimt 



"^"^{^l 



— , so dass ^t^wJ. ^^^j^ einem festen Grenzwerthe — —■ schliess- 
lich bis zu jedöm Grade nähert. Dagegen ist das Gesetz des Herrn 
Du-Bois-Reymond nicht bloss näherungsweise für grosse Werthe 

von — , sondern strenge richtig, wenn /3 = c» ist, da sich alsdann 



V (- 1)- (- ^ -===L=^ 

^ \yrr -\-{z + 2mß ~ af Vrr -f (^ + 2mß + a)V 



auf 



und folglich 



y rr -f {z — a)'-^ }/ rr -\- {z -{- ay 



yrr -j- uk 

reducirt. Die Vermuthung aber, aus welcher derselbe dieses Resultat 
abgeleitet hat, dass nämlich die Strömungslinien als gerade betrachtet 
werden dürften, bestätigt sich keineswegs. Die Gleichung der Strö- 
mungslinien ist 

I (r 1^- dr — r ö— dz\ = v = const., 

J \ dz dr ) 

und zwar ist die Constante, multiplicirt mit --, wenn man das Integral 

so nimmt, dass es für r = verschwindet, gleich dem imierhalb der 
Umdrehungsfläche {v = const) fliessenden Theile des Stromes. In 
unserem Falle also sind die Strömungslinien die in der Gleichung 

V = 2 , H — = const. 

|/ rr -\- {z -\- aY Y rr + (^ — «)' 

enthaltenen Linien, welche Linien für alle grösseren Werthe der const. 
beträchtlich von einer geraden abweichen. Da Herr Du-Bois-Reymond 
zwar die Annahme macht, dass der Einströmungspunkt in der Oberfläche 
liege, seine ferneren Schlüsse aber nicht wesentlich auf diese Annahme 
stützt, so liegt wohl die Vermuthung nahe, dass bei den Versuchen des 
Herrn Beetz, welche eine nicht zu verkennende Annäherung an das Ge- 
setz der Guben ergeben, die Forderung des Herrn Du-Bois-Reymond, 
dass die Oberfläche der Flüssigkeit durch den Einströmungspunkt gehe, 
nicht berücksichtigt wordefi ist, sondern dass Herr Beetz, was zweck- 
mässiger sein dürfte, grössere Flüssigkeitsmengen anwandte, so dass 

in der Reihe für ( ö- | 

V (— 1> / 2mß-{-a _ 2mß-a \ 

0, or> 



III. Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe. 61 

die späteren Glieder oder doch ihre Summe gegen das erste vernach- 
lässigt werden konnten. In diesem Falle würden die hübschen Ver- 
suche des Herrn Beetz wirklich als ein Beweis anzusehen sein^ dass 
die Stromvertheilung nahezu nach den vorausgesetzten Gesetzen erfolgt. 
Sollte aber diese Vermuthung irrig sein, so wäre aus Herrn Beetz 's 
Versuchen zu schliessen, dass noch andere Umstände bei der Berech- 
nung der Stromvertheilung in Betracht zu ziehen sind, deren Ermitt- 
lung einer neuen experimentellen Untersuchung obliegen würde.*) 



*) In einer späteren Abhandlung (Poggendorff's Annalen Bd. 95. p. 22) ist 
Herr Beetz auf diesen Gegenstand zurückgekommen. Es ergiebt sich daraus zu- 
nächst, dass bei den Versuchen von Beetz die Einströmungsstelle immer unmittelbar 
an der Oberfläche der Flüssigkeit lag und mithin die Vermuthung von Riemann 
irrig ist. Es ist aber gleichwohl nicht noth wendig, nach anderen Umständen zu 
suchen, welche die Gesetze der Stromvertheilung beeinflussen könnten, da das 
theoretische Hesultat von Itiemann mit den Versuchen in noch vollständigerer 
Uebereinstimmung steht als das von Du-Bois-Reymond, wie aus den in der er- 
wähnten Abhandlung enthaltenen Zusammenstellungen zu ersehen ist. W. 



IV. 

' Beitrage zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe 
F {ci, j5, y, x) darstellbaren Functionen. 

(Aus dem siebenten Baude der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Göttingen. 1857.) 

Die Gau SS 'sehe Reihe jP(«, /3, 7, x), als Function ihres vierten 
Elements x betrachtet , stellt diese Function nur dar^ so lange der 
Modul von X die Einheit nicht überschreitet. Um diese Function in 
ihrem ganzen Umfange, bei unbeschränkter Veränderlichkeit dieses 
ihres Arguments, za untersuchen, bieten die bisherigen Arbeiten über 
dieselbe zwei Wege dar. Man kann nämlich entweder von einer 
linearen Differentialgleichung welcher sie genügt ausgehen, oder von 
ihrem Ausdrucke durch bestimmte Integrale. Jeder dieser Wege ge- 
währt eigenthümliche Yortheile; jedoch ist bis jetzt, in der reichhaltigen 
Abhandlung von Kummer im, 15. Bande des mathematischen Journals 
von Grelle und auch in den noch unveröffentlichten Untersuchungen 
von Gauss*), nur der erste betreten, wohl hauptsächlich desshalb, weil 
die Rechnung mit bestimmten Integralen zwischen complexen Grenzen 
noch zu wenig ausgebildet war, oder doch nicht als einem grossen 
Leserkreise geläufig vorausgesetzt werden konnte. 

In der folgenden Abhandlung habe ich diese Transcendente nach 
einer neuen Methode behandelt, welche im Wesentlichen auf jede 
Function, die einer linearen Differentialgleichung mit algebraischen 
Coefficienten genügt, anwendbar bleibt. Nach derselben lassen sich 
die früher zum Theil durch ziemlich mühsame Rechnung gefundenen 
Resultate fast unmittelbar aus der Definition ableiten, und dies ist in 
dem hier vorliegenden Theile dieser Abhandlung geschehen, haupt- 
sächlich in der Absicht für die vielfachen Anwendungen dieser Function 
in physikalischen und astronomischen Untersuchungen eine bequeme 
Uebersicht über ihre möglichen Darstellungen zu geben. Es ist nöthig, 
einige allgemeine Vorbemerkungen über die Betrachtung einer Function 
bei unbeschränkter Veränderlichkeit ihres Arguments voraufzuschicken. 



*^ Gauss Werke. Bd. 111 1866. S. 207. W. 



JV. Bciträg(3 zur Theorie etc. C3 

Betrachtet man den Wertli der unabhängig veränderlichen Grösse 
X = 1/ -\- zi zur leichteren Auffassung ihrer Veränderlichkeit als ver- 
treten durch einen Punkt einer unendlichen Ebene, dessen rechtwinklige 
Coordinaten- y, z sind, und denkt sich die Function iv in einem Theile 
dieser Ebene gegeben, so kann sie von dort aus nach einem leicht zu 

beweisenden Satze nur auf eine Weise der Gleichung 0- = ^ ^"^ %^~ 

mäss stetig fortgesetzt werden. Diese Fortsetzung muss selbstredend 
nicht in blossen Linien geschehen, worauf eine j^artielle Differential- 
gleichung nicht angewandt werden könnte, sondern in Flächenstreifen 
von endlicher Breite. Bei Functionen, welche, wie die hier zu unter- 
suchende, „ mehrwerthig " sind oder für denselben Werth von x je 
nach dem Wege, auf welchem die Fortsetzung geschehen ist, mehrere 
Werthe annehmen können, giebt es gewisse Punkte der ^-Ebene, um 
welche herum sich die Function in eine andere fortsetzt, wie z. B. b^ 
|/(a; — a), log (ic — a), (x — dy^ wenn \i keine ganze Zahl ist, der Punkt 
a. Wenn man von diesem Punkte a aus sich eine beliebige Linie ge- 
zogen denkt, so kann der Werth der Function in der Umgebung von 
a so gewählt werden, dass er sich ausserhalb dieser Linie überall 
stetig ändert; sie nimmt aber dann zu beiden Seiten dieser Linie ver- 
schiedene Werthe an, so dass die Fortsetzung der Function über diese 
Linie hinüber eine von der jenseits schon vorhandenen verschiedene 
Function giebt. 

Zur Erleichterung des Ausdrucks sollen die verschiedenen Fort- 
setzungen Einer Function für denselben Theil der x- Ebene „Zweige" 
dieser Function genannt werden und ein Werth von x^ um welchen 
herum sich ein Zweig einer Function in einen andern fortsetzt, ein 
„Verzweigungswerth"; für einen Werth, in welchem keine Verzweigung 
stattfindet, heisst die Function „einändrig oder monodrom". 

L 

Ich bezeichne durch * 

iahe 

eine Function von a", welche folgende Bedingungen erfüllt: 

1. Sie ist für alle Werthe von x ausser a, &, c einändrig und 
endlich. 

2. Zwischen je drei Zweigen dieser Function P', V\ V" findet 
eine lineare homogene Gleichung mit Constanten Coefficienten Statt, 

cP-|-cP -fc P = (.). 



()4 



IV. Beiträge zur Theorie 



3. Die Function lässt sich in die Formen 

c, P(") + Ca' F^"'\ c^ P(/^) + Cß' B^\ cy F^y^ + Cy' F^y') 
mit Constanten c«, Ca'y • • ., Cy' setzen, so dass 

P(") (x—a)-", P^«') (o;— a)-«' 
für a; = a einändrig bleiben und weder Null noch unendlich werden, 
und ebenso B^^ {x—h)-i\ B(^'^ {x — h)-i^' für x = h und P«^') (:z;— c)->', 
P^^'^ (:>t' — c)~y' für .-t' = c. In Betreff der sechs Grössen a, a, . . ., / 
wird vorausgesetzt, dass keine der Differenzen a — a, ß — /3', y — y 
eine ganze Zahl und die Summe aller, a-{-a-{-ß-\-ß'-\-'y-\-'y'=l sei. 

Wie mannigfaltig die Functionen seien, welche diesen Bedingungen 
genügen, bleibt vorläufig unentschieden und wird sich im Laufe der 
Untersuchung (Art. 4.) ergeben. Zu grösserer Bequemlichkeit des Aus- 
drucks werde ich x die Veränderliche, a, ?>, c den ersten, zweiten, 
dritten Verzweigungswerth und a, a- ß, ß' -^ y, y das erste, zweite, 
dritte Exponentenpaar der P-function nennen. 



Zunächst einige unmittelbare Folgerungen aus der Definition. 
a 1) c 



In der Function P 



können die drei ersten Vertikal- 



a ß y X 
d ß' y 

reihen beliebig unter einander vertauscht werden, sowie auch a mit «', 
ß mit ß\ y mit /. Es ist ferner 

a h c \ ia V c 

F a ß y x\ = F \a ß y x 
a ß' y \ [ «' ß' y 

wenn man für x einen rationalen Ausdruck ersten Grades von x setzt, 
der für x == a, &, c die Werthe d, J) , c annimmt. 

Ooül 
Für F a ß y x\ ^ auf welche Function sich demzufolge alle P- 

a ß y 
functionen mit denselben «, «', . . . , y zurückführen lassen, werde ich 

zur Abkürzung auch blos P ( , v^, , x] setzen. 

\a ß y J 

In einer solchen Function können also von den Grössen a, «'; 

ß) ß'i 7^ y ^^^ Grössen jedes Paars unter sich, sowie auch die drei 

Grössenpaare beliebig mit einander vertauscht werden, wenn man nur 

in der sich ergebenden P-function als Veränderliche einen rationalen 

Ausdruck ersten Grades von x substituirt, welcher für die zum ersten, 



a h 


c 


a + ö ß- 


— d y X 


u'+ö ß'- 


-d/ 



der durch die Gauss'sche Reihe F[a, ß, y, x) darstellbaren Functionen, ßf) 

zweiten, dritten Exponentenpaar dieser Function gehörigen Werthe 
von X die Werthe 0, oo, 1 annimmt. Auf diese Weise erhält man 

die Function F ( , ^,, , ./) ausgedrückt durch P-functionen mit den 

\u ß y J 

Veränderlichen rr, 1 — x. —, 1 ,^—7) :; und denselben Ex- 

' ' .X ' » X ^ X — 1 ' 1 — a; 

ponenten in anderer Ordnung. 

Aus der Definition folgt femer: 

in h c ] 

Wß'v 1 ^ ^ 

also auch 

a;^ (1-xV pC^^ A = P ("-^^' ß-d-.y+. X 
* ^^ ^^ ^ \aß'y'-') ^ \a+d ^'-d-^t y + e ■")■ 

Durch diese Umformung können zwei Exponenten verschiedener Paare 
beliebig gegebene Werthe erhalten und als Werthe der Exponenten, 
da zwischen ihnen die Bedingung a-\-a-\-ß-{-ß'-\-y-\-y= 1 statt- 
findet, jedwede andere eingeführt werden, für welche die drei Difl:e- 
renzen a — a ^ ß — ß'^ y — y dieselben sind. Aus diesem Grunde werde 
ich später zur Erleichterung der Uebersicht durch 
V{a-a, ß-ß\ y-y\x) 

sämmtliche in der Form x'^ (i — xY F l , ,, , x j enthaltenen Functionen 

\a ß y / 

bezeichnen. 

3. 

Es ist jetzt vor allen Dingen nöthig, den Verlauf der Function 
etwas genauer zu untersuchen. Zu diesem Ende denke man sich durch 
sämmtliche Verzweigungspunkte der Function eine in sich zurück- 
laufende Linie l gezogen, welche die Gesammtheit der complexen 
Werthe in zwei Grössengebiete scheidet. Innerhalb jedes von ihnen 
wird alsdann jeder Zweig der Function stetig und von den übrigen 
gesondert verlaufen; längs der gemeinschaftlichen Grenzlinie aber wer- 
den zwischen den Zweigen des einen und des andern Gebiets in ver- 
schiedenen Begrenzungstheilen verschiedene Relationen stattfinden. Zu 
ihrer bequemeren Darstellung werde ich die mittelst des Coefficienten- 

systems S = (^^^ ^\ aus den Grössen t, u gebildeten linearen Aus- 
drücke pt -\- qu, rt + SU durch (>S') (t, ti) bezeichnen. Es möge ferner 
nach Analogie der von Gauss vorgeschlagenen Benennung „positiv 
laterale Einheit" für + / als „positive" Seitenrichtung zu einer ge- 
gebenen Richtung diejenige bezeichnet werden, welche zu ihr ebenso 

Riehann's geüainmelte niatheinatische Werke. 1. 5 



6G IV. Beiträge zur Theorie 

liegt, wie + l zu 1 (also bei der übliclien Darstellungsweise der com- 
plexen Grössen die linke). Demgemäss maclit x einen „positiven Um- 
lauf um einen Verzweigungswertli a", wenn es sich durch die ganze 
Begrenzung eines nur diesen und keinen andern Verzweigungswertli 
enthaltenden Grössengebiets in einer gegen die Richtung von Innen 
nach Aussen positiv liegenden Richtung bewegt. Es gehe nun die 
Linie l der Reihe nach durch die Punkte x = c, x = 1), x = a^ und 
in dem auf ihrer positiven Seite liegenden Gebiete seien P', P" zwei 
in keinem constanten Verhältnisse stehende Zweige der Function P. 
Jeder andere Zweig P"' lässt sich dann, da in der vorausgesetzter- 
massen stattfindenden Gleichung c P' -f~ ^" P + ^'" ^ = ^^ ^'" 
nicht verschwinden kann, linear und mit constanten Coefficienten in 
P' und F" ausdrücken. Nimmt man nun an, dass P', P" durch einen 
positiven Umlauf der Grösse x um a in (Ä) (P', P"), um h in 
(P) (P', P"), um c in (C) (P', P") übergehe, so wird durch die Coeffi- 
cienten der Systeme (J.), (P), {C) die Periodicität der Function völlig 
bestimmt sein. Zwischen diesen finden aber noch Relationen Statt. 
Wenn nämlich x das negative Ufer der Linie l durchläuft, so müssen 
die Functionen P', P" die vorigen Werthe wieder annehmen, da der 
durchlaufene Weg negativerseits die ganze Begrenzung eines Grössen- 
gebiets bildet, innerhalb dessen diese Functionen allenthalben einändrig 
sind. Es ist dies aber dasselbe, als ob der Werth x sich von einem 
der Werthe c, h, a bis zum folgenden auf der positiven Seite fort- 
bewegt, dann aber jedesmal um diesen Werth positiv herum, wobei 
(P; P") der Reihe nach in ((7) (F, P"), (C) (P) (P', P"), schliesslich 
in {C) (P) {A) {P\ P") übergeht. Es ist daher 

(1) (G)(B){Ä)= (J^J), 

welche Gleichung vier Bedingungsgleichungen zwischen den zwölf 
Coefficienten von A, B, C liefert. 

Bei der Discussion dieser Bedingungsgleichungen beschränke ich 
mich, zur Fixirung der Vorstellungen, auf die Function P(^, ^, ^, x\ 

also auf den Fall, wenn a = 0, & = oo, c = 1, was die Allgemeinheit 
der Resultate nicht wesentlich beeinträchtigt, und wähle für die durch 
1, cx), zu ziehende • Linie l die Linie der reellen Werthe, welche um 
der Reihe nach durch c, h, a zu gehen von — oo nach + oo ge- 
richtet sein muss. Innerhalb des auf der positiven Seite dieser Linie 
liegenden Gebiets, welches die complexen Werthe mit positiv imagi- 
närem Gliede enthält, sind dann die oben charakterisirten Bestandtheile 
der Function P, die Grössen P«, P" , P^ , PA', P' , P''\ einändrige 



der durch die Gauss'sche Reihe F («, ß, y, ./) darstellbaren Functioneu. G7 

Functionen von x und sind bis auf constante Factoren, welche von 
der Wahl der Grössen Cuy Cu', ..., Cy' abhängen, völlig bestimmt, 
wenn die Function P gegeben ist. Die Functionen 2^", P"' gehen 
durch einen positiven Umlauf der Grösse x um in P" e"^'", P" e"^"' 
über und ebenso durch einen positiven Umlauf dieser Grösse um oo 
die Functionen P*, P/^' in P/* el^^^'y W e/*'^^' und durch einen positiven 
Umlauf um 1 die Functionen P>', Fy' in P>'e>'2^', Py'ey'^""'. Be- 
zeichnet man den Werth, in welchen P durch einen positiven Umlauf 
von X um übergeht^ durch P', so ist^ wenn 

P = Cu P" + Ca' P", P' = c« e"'-^'"- P« + c«- e«'-^''' P«'. 

Diese Ausdrücke haben eine von Null verschiedene Determinante^ da 
n. V. a — a keine ganze Zahl ist, und folglich können P", P"' auch 
umgekehrt in P, P' also auch in F^, P'^ ; py, py linear mit constan- 
ten Coefficienten ausgedrückt werden. Setzt man nun 

P" = «, Pi^ + ß ,- jv = a.^ py + ay' py, 

P"'=a., P' + a\r P^' = «', ^' + «V' ^'', 
und zur Abkürzung ^^ "";' 1 = (^); h' ""l 1 = W 

und die inversen Substitutionen von (h) und (c) bez. w. = (h)~'^ und 
{c)"'^, so ergeben sich für die Functionen (P", P") die Substitutionen 

Aus der Gleichung (C) (P) (^) == (i' V) ^o\gi nun zunächt, da die 

Determinante einer zusammengesetzten Substitution dem Producte aus 
den Determinanten ihrer Componenten gleich ist, 
1 = Det {Ä) Det (P) Det (0) 

_ ^(a + a' + /^+/^' + y + y')2^.- ßct (6) Dct (ft)"^ Dct (c) Det(r)-1 

oder, da Det (&) Det (&)-i = 1, Det (c) Det (c)-i =1, 

(2) « + «' + /3 + /3' + 7^ + / = einer ganzen Zahl, womit die obige 

Annahme, dass diese Exponentensumme = 1 sei, vereinbar ist. 

Die übrigen drei in (C) (B) (Ä) = (p/ ^ ) enthaltenen Relationen 

geben drei Bedingungen für (h) und (c), welche indess leichter auf 
folgendem Wege gefunden werden. 

Wenn x erst um und dann um c» negativ herumgeht, so bil- 
det der durchlaufene Weg zugleich einen positiven Umlauf um 1. Der 
Werth, in welchen P" dadurch übergeht, ist daher 

= ay er'"' Py + «y- c-y'^'"' Pr = (a^^ e-^*^^' P^ + ar r-'^'-'"' 7^') e-"^-"'. 



68 IV". Beiträge zur Theorie 

Multiplicirt man diese Gleicliuug mit einem willkürlichen Factor 
f,—ani ^jj(j ^\q Gleichung 

ay Py + c(y' Py = aß P(^ -\- a^' Pi^ mit c"^^' 
und subtrahirt^ so ergieht sich nach Abwerfung eines allgemeinen 
Factors 

ay sm(a -~y)7iey"' Py + ay' sm{a — 'y')7tey''"' Py' = 
a.i sin((? + « + /3)7rc-(«+/^)''' P-'^ + a^' sm{a + « + ß')7te-^"+(^'^''^ P^ . 
Aus ganz ähnlichen Gründen hat man auch, wenn man überall a für 
a setzt, die Gleichung 

a'y sin((> — y)7tey''^ Py + «V sin ((7 — /) :nc e^'^' Py = 
a\i sin ((?+«' + /3) ;rß-("'+/^)''' J-^/^ + c^^ sin (a + a + /3') ;r e-(«'+/^')'^' P'^' 
mit der willkürlichen Grösse a. Befreit man beide Gleichungen von 
einer der Functionen, z. B. Py , indem man c demgemäss bestimmt, 
so können sich die resultirenden Gleichungen nur durch einen all- 



gemeinen constanten Factor unterscheiden, da —~, nicht constant ist. 

Diese Elimination von Py giebt daher: 

,^s uy a(i sin (a + ß + y')7te—"^i u^i' sin (a + ß' -f y')ne—""^ 

^ ^ a'y oi ß sin (a' + ^ -|- y')ne—(^'^i a ^-i' sin (a' -f- |3' -J- y')7ce—"'^i 

und die ähnliche Elimination von Py 

rt «y' a^y sin (a -f- ß -|- y)ne—<^^i uß' sin (ör -\- ^' -\- y)ne—f^^i 

^ ^ a'y' cc'ß sin (a' -{- ß -{- y)7re— «'•«■«■ aß' sin (a' -|- ß' -f- y)iie—"'"i ^ 

welches die vier gesuchten Relationen sind. Aus ihnen ergeben sich 
die Verhältnisse der Quotienten -?^, -^, -^, ^. Die Gleichheit der 

a ß^ a ß'^ uy^ ay' 

beiden aus der zweiten und vierten fliessenden Werthe von -h- : -r- 

a ß aß' 

erhellt leicht als eine Folge aus a-\- a -\- ß -\- ß -\' y -{- y = 1 mittelst 
der Identität sinsjr = sin(l — s)7t. 

Demnach sind von den Grössen -r-, -fi-, -i^. -^ durch eine von 

a ß ^ a ß'^ ay ^ a y' 



ihnen, z. B. -^, die übrigen bestimmt und die drei Grössen a ß'^ a'y, a'y- 

durch die fünf Grössen aß, aß, aß', ay, ay . Diese fünf Grössen aber 
hängen von den in P«, P"', P^, P^ , P^, P>'', wenn die Function P 
gegeben ist, noch von willkürlichen Factoren oder vielmehr von deren 
Verhältnissen ab, und können durch geeignete Bestimmung derselben 
jedwede endliche Werthe erhalten. 



der durch diu G'auss'schü iieihe F {a, ß, y, x) darstellbaren Functionen. 69 

4. 

Die so eben gemachte Bemerkung bahnt den Weg zu dem Satze, 
dass in zwei P-functionen mit gleichen Exponenten die denselben Ex- 
ponenten entsprechenden Bestandtheile sich nur durch einen constanten 
Factor unterscheiden. 

In der That, ist ]\ eine Function mit denselben Exponenten wie 
P, so kann man die fünf Grössen a^, «^', «y, «/ und a^ bei beiden 
gleich annehmen und dann müssen auch die Grössen a\i-y a'y, d y- bei 
beiden übereinstimmen. Man hat also gleichzeitig: 

und 

(P,«, P."') -^ [h) {P/, P/) == {c) (P,y, P,y) 

folglich 

(P«P/ - -P«'P/0 = üet(&) (P/^ P/ — P/*'P/) = Det(c) (P>'P/'--P/Piy). 
Von diesen drei Ausdrücken bleibt der erste, mit ar'"~"' multiplicirt, 
offenbar für x = einändrig und endlich; ebenso der zweite, mit 
x^-^l^' = ,^— «- «'-/-/+ 1 multiplicirt, für :r = oo, der dritte, mit 
(l~x)~y''y' multiplicirt, für x=lj und dasselbe gilt von allen drei 
Ausdrücken für alle von 0, c», 1 verschiedenen Werthe von x] es ist 
daher 

(P« F/ — P« Pi«) X-"-"' (l—x)-y-y' 

eine allenthalben stetige und einändrige Function, also eine Constante. 
Sie ist ferner == für x = oc und muss folglich allenthalben = sein. 
Hieraus folgt 

I!lL — -^ 

pu' pa' 



p/ 


i\y 

pY' 


«^P'^-f«/ 
ay l\y +«/ 


P/ __ ^\" 
p.^' ~ p« 

py Pi" 


py 


ay py + a/ 


py p« 



p " 
Die Function -~ ist demnach einwerthii? und muss überdies allent- 
p . 

halben endlich, also, w. z. b. ist, constant sein, wenn noch bewiesen 
Avird, dass P" und P" nicht zugleich für einen von 0, 1, oo verschie- 
denen Werth von x verschwinden können. 
Zu diesem Ende bemerke man, dass 

Det(,(p.^^_p.-9, 



70 IV. Beiträge zur Theorie 

und folglich für .r = 0, oo, 1 unendlich klein von den Ordnungen 
a-\- a — Ij ß -\- ß' -{- l =2 — « — a — y — y,y~\- / — 1 wird, übrigens 
aber stetig und einändrig bleibt, so dass 

eine allenthalben stetige und einändrige Function bildet, folglich einen 
Constanten Werth hat. Dieser constante Werth dieser Function ist 
noth wendig von Null verschieden, weil sonst log P" — log P"' == 
const., folglich « = «' sein würde gegen die Voraussetzung; offenbar 
müsste sie gleich Null werden, wenn für einen von 0, 1, oo verschie- 
denen Werth von x P" und P"' gleichzeitig verschwänden, da -^-, 

dx 

als Derivirte einändrig und stetig bleibender Functionen nicht 
dx 

unendlich werden können. 

Es werden daher P*^ und P'^ für keinen von 0, 1, oo verschie- 
denen Werth von x gleichzeitig = 0, und es bleibt die einwerthige 
Function 

P « j> «' p [^ p i^' p y p y' 

pcc pa' p[i -p^r py py' 

allenthalben endlich, mithin constant, w. z. b. w. 

Aus dem eben bewiesenen Satze folgt, dass in zwei Zweige Einer 
P-function, deren Quotient nicht constant ist, jede andere P-function 
mit gleichen Exponenten sich linear mit constanten Coefficienten aus- 
drücken lässt und dass durch die im Art. 1. geforderten Eigenschaften 
die zu definirende Function bis auf zwei linear in ihr enthaltene Con- 
stanten völlig bestimmt ist. Diese werden in jedem Falfe leicht aus 
den Werthen der Function für specielle Werthe der Veränderlichen 
gefunden, am bequemsten, indem man die Veränderliche einem der 
Verzweigungswerthe gleich setzt. 

Ob es immer eine jenen Bedingungen genügende Function gebe, 
bleibt freilich noch unentschieden, wird sich aber später durch die 
wirkliche Darstellung der Function mittelst bestimmter Integrale und 
hypergeometrischer Reihen erledigen und bedarf daher keiner beson- 
dern Untersuchung. 

5. 

Ausser den für jedwede Werthe der Exponenten möglichen Trans- 
formationen des Art. 2. ergeben sich aus der Definition noch leicht 
die beiden Transformationen: 



ilur durch die Gauss'schc Keihe i'' («, ß, y, .1) darstellbaren Functionen. 71 

(Ooo 1 I f -1 00 1 

(A) P ß y A .^V \y 2ß y ^x 

WO nticli dem Früheren ß -{- ß' -jr 7 -\- V = i «ein muss, und 



oo 1 

(13) P {0 r X 



,2 



= V ^y y y Yx 

i i r \ W y y 

wo y -\-y = T» ^111^ Q ^^^6 imaginäre dritte Wurzel der Einheit be- 
zeichnet. Um sämmtliche Functionen, welche sich mit Hülfe dieser 
Transformationen auf einander zurückführen lassen, bequem zu über- 
sehen, ist es zweckmässig, statt der Exponenten ihre Differenzen ein- 
zuführen und, wie oben vorgeschlagen, durch P(a — a, ß — ß', y — /, x) 

sämmtliche in der Form x'^ (1 — xY P 1 , L , ./;) enthaltenen Func- 

\a ß y J 

tionen zu bezeichnen, wobei a — «', ß — /3', y — / die erste, zweite, 
dritte Exponentendiff'erenz genannt werden mag. 

Aus den Formeln im Art. 2. folgt dann, dass in der Function 

P (A, ^, V, x) 
die Grössen k, ^, v beliebig in's Entgegengesetzte verwandelt und be- 
liebig unter einander vertauscht werden können. Die Veränderliche 

1 \ \ X 

nimmt dabei einen der 6 Werthe x, 1 — x, —. 1 — , , - 

' ^ X^ X ^ \ — x^ x—\ 

an, und zwar haben von den 48 auf diese Weise sich ergebenden P- 
functionen je acht, welche durch blosse Zeichenänderung der Grössen 
A, ft, V aus einander hervorgehen, dieselbe Veränderliche. 

Von den in diesem Art. angegebenen Transformationen A und B 
ist die erste anwendbar, wenn von den Exponentendifferenzen entweder 
eine gleich ^ oder zwei einander gleich sind, die zweite, wenn von 
ihnen entweder zwei = J, oder alle drei einander gleich sind. Durch 
successive Anwendung dieser Transformationen erhält man daher durch 
einander ausgedrückt: 
I. P (|u., V, i, x.,\ P (fA, 2v, ii, X,) und P {v, 2^1, v, x^\ 

wobei y (1 — rCg) = 1 — 2^^, y fl — - J = 1 — 2x.^, also 
^2 = '^^1 (1— ^i) = 'i^;'(hll^' ^^^^^ ergiebt. 



n 



P(v, V, V, X,), P (^v, l-, i, x?j, P ^|, 2v, -^, x,y 

^ (h V, \, x,y, p (^, ^, \, x^, p (^, i, ~, x^, 



72 IV. Beiträge zur Theorie 

wenn 1 - i- --^ f^^'^-t^Y und folglich 1 ^ iii -^!l 3 d - < ), 

^4 U ^,) - .7^2-fnr^y, ^ = "27^^"(T=^P 5 ferner nach 1. 

4., (1-.,) = ., == 1^^^. 4^ (1—3) = -. -= l^i_.,. 
III. P (i., X., i, x^, P (v, 2v, V, x,\ 

Avenn x, = \ (2-x,~^^ = 4x, (1 x,), x, = 4x, (l-^rj. 

Alle diese Functionen können noch mittelst der allgemeinen Trans- 
formationen umgeformt und dadurch ihre ExioonentendifFerenzen be- 
liebig vertauscht und mit beliebigen Vorzeichen versehen werden. 
Ausser den beiden Transcendenten II. und III. lässt, wenn eine Ex- 
ponentendiflPerenz willkürlich bleiben soll^ nur noch die Function 
P {^> i^ i) = P (y) 1? v) eine häufigere Wiederholung der Trans- 
formationen A und B zu, welche indess, da 

P(^ ^ ^ x] = const. X' + const.; 

auf ganz elementare Formeln führt. 

In der That ist die Transformation B nur anwendbar auf P (v, v, v) 
oder P (^, V, \), also nur auf die Transcendente II.; die Trans- 
formation A aber lässt sich häufiger als in I. nur wiederholen, wenn 
entweder von den Grössen ft, v, 2ti, 2v eine gleich ^ gesetzt oder eine 
der Gleichungen ^ = v, ^ == 2v, v = 2^ angenommen wird. Von 
diesen Annahmen führt ^ = 2v oder v = 2^ auf die Transcendente IL, 
[i = Vj sowie 2^ oder 2v = ^ auf die Transcendente III., endlich ^ 
oder V == ^ auf die Function P (v, ^, ^). 

Die Anzahl der verschiedenen Ausdrücke, welche man durch diese 
Transformationen für jede der Transcendenten I — III. erhält, ergiebt sich, 
wenn man berücksichtigt, dass in den obigen P-functionen als Ver- 
änderliche alle Wurzeln der Gleichungen, durch welche sie bestimmt 
werden, zulässig sind und jede Wurzel zu einem Systeme von 6 Werthen 
gehört, welche mittelst der allgemeinen Transformation für einander 
als Veränderliche eingeführt werden können. 

Es führen aber im Falle I. die beiden Werthe von Xj^ und x^y 
welche zu einem gegebenen x^ gehören, auf dasselbe System von 6 
Werthen, so dass jede der Functionen I. durch P-functionen mit 6.3 = 18 
verschiedenen Veränderlichen ausgedrückt werden kann. 

Im Falle IL führen von den zu einem gegebenen Werthe von x^ 
gehörigen Werthen die beiden Werthe von Xq und o^^, die 6 Werthe 
von ^3 und von den 6 Werthen von x^ je zwei zu demselben Systeme 



der durch die Gauss'sche Reihe F {a, |3, y, x) darstellbaren Functionen. 73 

von 6 Werthen, während die drei Werthe von x.^ zu drei verschiedenen 
Systemen von je 6 Werthen. führen. Es liefern also x^ und x.j, je drei 
und x.^j x^, x^j Xq je ein System von 6 Wei-then, also alle zusammen 
6 . 10 = 60 Werthe, durch deren P-functionen sich jede der Functionen 
IL ausdrücken lässt. 

Im Falle III. endlich liefern x^j die beiden Werthe von x,^^ die 
beiden Werthe von x^^, und von den vier Werthen von Xi je zwei ein 
System von 6 Werthen, so dass jede der Functionen III. durch P- 
functionen von 6 . 5 = 30 verschiedenen Veränderlichen darstellbar ist. 

In jeder P-function können nun ohne Aenderung der Veränder- 
lichen mittelst der allgemeinen Transformationen die Exponenten- 
differenzen beliebige Vorzeichen erhalten, und also kann, da keine 
dieser ExponentendifFerenzen = ist, eine und dieselbe Function auf 
8 verschiedene Arten als P-function derselben Veränderlichen dargesteUt 
werden. Die Anzahl sämmtlicher Ausdrücke beträgt also im Falle I. 
8 . 6 . 3 == 144, im Falle IL 8 . 6 . 10 == 480, im Falle III. 8.6.5=- 240. 



Wenn man sämmtliche Exponenten einer P-function um ganze 
Zahlen ändert, so bleiben in den Gleichungen (3) Art. 3. die Grössen 
sin {cc -\- ß -\- y') 7te—"^i sin (a -{- ß' -{- y) ne— "^^ 

sin {cc -\- ß -{- y) ttc— «'''*■ ^ sin («' -j- ß' + 7) ^re— «'^« 

sin (« -f (3 -j- y) TTC— "^i sin (a -\- ß' -\- y) ne— «^' 
sin (a' -|- ^ -j- y) 7ce~"'^i ' sin {a -\- ß' -\- y) ne—"'^i 
ungeändert. 

Sind daher in den Functionen P ( ^, ^^, ^, x\ P, (^J \} ^l x] die 

\a ß y 1 ' \a, ß^y, ) 

entsprechenden Exponenten a^ und «, etc. um ganze Zahlen verschie- 
den, so kann man die acht Grössen («/y)i, (^V)i?'(^(^')i? ••• ^^^ ^Q\^i 
Grössen «^, a'^, a^' ^ ... gleich annehmen, da aus der Gleichheit der 
fünf willkürlichen die Gleichheit der drei übrigen folgt. 

Nach der im Art. 4. angewandten Schlussweise folgt hieraus: 
P« Pi«'- -V-^-^ = Det (6) (P.^ P/'^ -V^'F^?^) = Det (c) {F^T;^'^ - Py Fj^ ) ; 
und wenn man von den Grössen a -{- a\ und «^ + «', ß -\- ß\ und 
ßi ~\- ß) ? -\- y'i und 7i -\- y diejenigen Grössen jedes Paars, welche 
um eine positive ganze Zahl kleiner sind, als die andern, durch cc, ß, y 
bezeichnet, so ist 

(P« F/^ — P« Pi«0 ^~" (1—^)"^ 
eine Function von x, welche einändrig und endlich bleibt für x = 0, 
X = 1 und alle übrigen endlichen Werthe von x, für a; = oo aber 



74 IV. Beiträge zur Theorie 

unendlich wird von der Ordnung — a — y — ßj folglich eine ganze 
Function F vom Grade — a — ß — y. • 

Man bezeichne nun, wie früher, die Exponentendifferenzen a — a, 
ß ~~ ß y y — y durch A, \i, v. In Betreff dieser ergiebt sich zunächst: 
ihre Summe ändert sich um eine gerade Zahl, wenn sich sämmtliche 
Exponenten um ganze Zahlen ändern; denn sie übertrifft die Summe 
sämmtlicher Exponenten, welche unverändert = 1 bleibt, um 
— 2 («' + /3' + /), welche Grösse sich dabei um eine gerade Zahl ändert. 
Sie können sich aber dabei um jedwede ganze Zahlen ändern, deren 
Summe gerade ist. Bezeichnet man ferner a^ — a\, ß^ — ^ ^ , y^ — /, 
durch A^, ft^, v^ und durch AI, A^^ Av die absoluten Werthe der 
Differenzen A — A^, \i — ft^, v — v^^ so ist von den Grössen a + «'i 
und d + «1 diejenige, welche um die positive Zahl AX kleiner ist als 
die andere 

a -\- et ^ "4" ^' ~l~ ^1 ^^ 



a = 



2 
/IX 



also 



a + a' 


+ «' 4- «1 




2 


ß-f ß'i 


+ ß' + ß, 




2 


y + y'i 


+ y' + y, 



und ebenso 



— z/v 

y "" T 2 

Der Grad der ganzen Function F, welcher gleich der Summe dieser 
Grössen ist, ergiebt sich daher 

^X -\- Jfi -\- Jv ^ 

7. 



ei 



Smd jetzt pC, J l A P, h J 'l .), P. h J 'J .) dr 

Functionen, in welchen sich die entsprechenden Exponenten um ganze 
Zahlen unterscheiden, so fliesst aus diesem Satze mittelst der identi- 
schen Gleichung 

+ P/- (P« P/^ — P«' Pi«0 = ö 

der wichtige Satz, dass zwischen ihren entsprechenden Gliedern eine 
lineare homogene Gleichung stattfindet, deren Coefficienten ganze 
Functionen von x sind, und dass also 

„sämmtHche P-functionen, deren entsprechende Exponenten sich 
um ganze Zahlen unterscheiden, sich in zwei beliebige von ihnen 



der durch die Gauss'sche Reihe F {a, ß, y, x) darstellbaren Functionen. 75 

linear mit rationalen Functionen von x als Coefficienten ausdrücken 

lassen". 

Eine specielle Folge aus den Beweisgründen dieses Satzes ist, dass 

>icli der zweite Differentialquotient einer P-function linear mit rationalen 

\mctionen als Coefficienten in d§n ersten und die Function selbst 

lusdrücken lässt, und also die Function einer linearen homogenen 

Differentialgleichung zweiter Ordnung genügt. 

Beschränkt man sich, um ihre Ableitung möglichst zu vereinfachen, 
Ulf den Fall y = 0, auf welchen der allgemeine nach Art. 2. leicht 
airückgeführt wird, und setzt F = y, P^ == y ^ P"' = v/", so ergiebt 
nch, dass die Functionen 

' dlogx ^ d log X ^ d log x'^ ^ d log x'^'^ ^d log x d log x^ d log x d log x'^ 

mit x~"'^"' (1 — x)~~y''^^ multiplicirt, endlich und einändrig bleiben 
Tür endliche Werthe von x und unendlich von der ersten Ordnung wer- 
len für x = oo, und dass überdies das erste dieser Producte für ^= 1 
unendlich klein von der ersten Ordnung wird. Für 

y = const.' y' -\- const." y" 
findet daher eine Gleichung von der Form statt 

(1 — ) äw^' - (^i + ^*) äw. + (^' - ^'''•) y = 0' 

in welcher A, B, Ä, J/, noch zu bestimmende Constanten bezeichnen. 
Nach der Methode der unbestimmten Coefficienten lässt sich eine 
Ijösung dieser Differentialgleichung nach um 1 steigenden oder fallen- 
den Potenzen in eine Reihe 

Ija X 

n 

entwickeln, und zwar wird der Exponent ^ des Anfangsgliedes im 
ersten Falle, wo er der niedrigste ist, durch die Gleichung 

\i\i, — A\i + J.' = 0, 
und im zweiten, wo er der höchste ist, durch die Gleichung 

fift + i?iii + J5' = 

bestimmt. Die Wurzeln der ersteren Gleichung müssen « und «', die 

der letztern — /3 und — /3' sein und folglich ist 

A =^ a -\- d ^ Ä ^= adj 

B = ß + ß', B' = ßß', 

und es genügt die Function P ( ,, , xj = ij der Differentialgleichung 



76 IV. Beiträge zur Theorie 

Es bestimmen sich ferner die Coefficienten aus einem von ihnen 
mittelst der Recursionsformel 

MiL in 4 - ß) {u + f^ 

«„ ln-{-l ~cc) {n-i-1 - a'y 

welcher a. == ^-^_-^-^-_-_^_^^ ^_^^^ genügt. 

Demnach bildet die Reihe 
y == Const. 2: 



77 (n — a) 77 (n - «') U ( - w — ß) 77 (— ti — ß')' 

sowohl wenn die Exponenten von a oder a an um die Einheit steigej , 
als auch wenn sie von — ß oder — ß' an um die Einheit fallen, ein ^ 
Lösung der Dijfferentialgleichung und zwar bez. w. diejenigen parti 
cularen Lösungen, welche oben durch P", P"', P;^, Pi^' bezeichne!, 
worden sind. 

Nach Gauss, welcher durch F (a, h, c, x) eine Reihe bezeichne , 
in welcher der Quotient des n + Iten Gliedes in das folgend'! 

= 7 — I ... , , ! X und das erste Glied = 1 ist, lässt sich dieses 
{n + 1) (n -j- c) ^ 

Resultat für den einfachsten Fall, für « = 0, so ausdrücken 



oder 



F (a, h, ., ^) = P« (J l^ , x). 

\1— che — a — hj 



Aus demselben erhält man auch leicht einen Ausdruck der 1- 
function durch ein bestimmtes Integral, indem man in dem allgemeinen 
Gliede der Reihe für die 77-functionen ein Euler'sches Litegral zweiti i- 
Gattung einführt und dann die Ordnung der Summati on und Litegration 
vertauscht. Auf diese Weise findet man, dass das Integral 

von einem der vier Werthe 0, 1, — , 00 bis zu einem dieser vier Wertl e 



auf beliebigem Wege erstreckt eine Function Fi , , , x\ bildet m \ 

bei passender Wahl dieser Grenzwerthe und des Weges von eine 11 
zum andern jede der sechs Functionen P«, P/*, ..., F^' darstellt. I^s 
lässt sich aber auch direct zeigen, dass das Integral die charakterisl l- 
schen Eigenschaften einer solchen Function besitzt. Es wird dies n 
der Folge geschehen, wo dieser Ausdruck der P-function durch e n 
bestimmtes Integral zur Bestimmung der in P" , P" , . . noch willkü -- 



der durch die Gauss'sche Reihe F {cc, ß, y, .r) darstellbaren Functionen. 77 

lieh gebliebenen Factoren benutzt werden soll; und ich bemerke hier 
nur noch, dass es, um diesen Ausdruck allgemein anwendbar zu 
machen, einer Modification des Weges der Integration bedarf, wenn die 

Function unter dem Integralzeichen für einen der Werthe 0, 1, - , oo 

so unendlich wird, dass sie die .Integration bis an denselben nicht 
zulässt. 

8. 

Zufolge der im Art. 2. und dem vorigen erhaltenen Gleichungen 

\a ß y J \a— «/ii+a + yy — y J 

Const. .x" (1 - a:y F {ß + a -^ y, ß' -^ a + y, a - a + \, oc) 

rtiesst aus jedem Ausdrucke einer Function durch eine P-function eine 
Entwicklung derselben in eine hypergeometrische Reihe, welche nach 
steigenden Potenzen der Veränderlichen in dieser P-function fort- 
schreitet. Nach Art. 5. giebt es 8 Darstellungen einer Function durch 
J*-functionen mit derselben Veränderlichen, welche durch Vertauschung 
zusammengehöriger Exponenten aus einander erhalten werden, also 
z. B. 8 Darstellungen mit der Veränderlichen x. Von diesen liefern 
aber je zwei, welche durch Vertauschung ihres zweiten Paares, ß und 
/3', aus einander entstehen, dieselbe Entwicklung; man erhält also vier 
Entwicklungen nach steigenden Potenzen von Xj von denen zwei, welche 
durch Vertauschung von y und / aus einander erhalten werden, die 
Function P", die beiden andern die Function P" darstellen. Diese 
vier Entwicklungen convergiren, solange der Modul von ic < 1, und 
divergiren, wenn er grösser als 1 ist, während die vier Reihen nach 
fallenden Potenzen von x, welche P/^ und P^' darstellen, sich um- 
gekehrt verhalten. Für den Fall, wenn der Modul von x gleich 1 ist, 
folgt aus der Fourier 'sehen Reihe, dass die Reihen zu convergiren 
aufhören, wenn die Function für x = 1 unendlich von einer höhern 
Ordnung als der ersten wird, aber convergent bleiben, wenn sie nur 
unendlich von einer niedrigem Ordnung als 1 wird oder endlich bleibt. 
Es convergiren also auch in diesem Falle nur die Hälfte der 8 Ent- 
wicklungen nach Potenzen von Xj solange der reelle Theil von / — y 
nicht zwischen — 1 und -|- 1 liegt, und sie convergiren sämmthch, 
sobald dieses stattfindet. 

Demnach hat man zur Darstellung einer P-function im Allgemeinen 
24 verschiedene hypergeometrische Reihen, welche nach steigenden oder 
fallenden Potenzen von drei verschiedenen Grössen fortschreiten, und 
von denen für einen gegebenen Werth von x jedenfalls die Hälfte, also 



78 IV. Beiträge zur Theorie etc. 

zwölf convergiren. Im Falle I. Art. 5. sind alle diese Anzahlen mii 
3, im Falle IL mit 10, im Falle III. mit fünf zu multipliciren. Am 
geeignetsten zur numerischen Rechnung werden von diesen Reihen 
meistens diejenigen sein, deren viertes Element den kleinsten Modul hat. 
Was die Ausdrücke einer P-function durch bestimmte Integrale 
betrifft, die sich durch die am Schlüsse des vorigen Art. aus den Trans 
formationen des Art. 5. ableiten lassen, so sind diese Ausdrücke sämmt 
lieh von einander verschieden. Man erhält also im Allgemeinen 48, 
im Falle I. 144, im Falle II. 480, im Falle III. 240 bestimmte Inte 
grale, welche dasselbe Glied einer P-function darstellen und also zi 
einander ein von x unabhängiges Verhältniss haben. Von diesen lassej 
sich je 24, welche durch eine gerade Anzahl von Vertauschungen dej 
Exponenten aus einander hervorgehen, auch in einander transformirei 
durch eine solche Substitution ersten Grades, dass für irgend drei von 

den Werthen 0, 1, cx), — ;- der Integrationsveränderlichen s die neu( 

Veränderliche die Werthe 0, 1, cx) annimmt. Die übrigen Gleichungen 
erfordern, soweit ich sie untersucht habe, zu ihrer Bestätigung durch 
Methoden der Integralrechnung die Transformation von vielfachen 
Integralen. 



Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung. 

(Göttiuger Nachrichten, 1857, Nr. 1.) 

Am G. November 185G wurde der königlichen Societiit eine von 
ihrem Assessor, Herrn Doctor Riemann, eingereichte mathematische 
Abhandlung vorgelegt, welche „Beiträge zur Theorie der durch die 
Gauss'sche Reihe F {a^ ß, y, x) darstellbaren Functionen" 
enthält. 

Diese Abhandluncj ist einer Classe von Functionen gewidmet, 
welche bei der Lösung mancher Aufgaben der mathematischen Physik 
gebraucht werden. Aus ihnen gebildete Reihen leisten bei schwierigeren 
Problemen dieselben Dienste, wie in den einfacheren Fällen die jetzt 
so vielfach angewandten Reihen, welche nach Cosinus und Sinus der 
Vielfachen einer veränderlichen Grösse fortschreiten. Diese Anwen- 
dungen, namentlich astronomische, scheinen, nachdem schon Euler sicli 
aus theoretischen Interesse mehrfach mit diesen Functionen beschäftiirt 
hatte, Gauss zu seinen Untersuchungen über dieselben veranlasst zu 
haben, von denen er einen Theil in seiner der Kön. Soc. im J. 1812 
übergebenen Abhandlung über die Reihe, welche er durch F (a, /3, y, x) 
bezeichnet, veröffentlicht hat. 

Diese Reihe ist eine Reihe, in welcher der Quotient des (w + l)ten 
Gliedes in das folgende 

^ (n 4- g) (n + ß) ^ 
{n + 1) (n -f- y) -^ 

und das erste Glied = 1 ist. Die für sie jetzt gewöhnliche Benennung 
hypergeometrische Reihe ist schon früher von Johann Friedrich Pfaff 
für die allgemeineren Reihen vorgeschlagen worden, in denen der 
Quotient eines Gliedes in das folgende eine rationale Function des 
Stellenzeigers ist; Avährend Euler nach Wallis darunter eine Reihe 
verstand, in welcher dieser Quotient eine ganze Function ersten Grades 
des Stellenzeigers ist. 

Der unveröffentlichte Theil der Gauss'schen Untersuchungen über 
diese Reihe, welcher sich in seinem Nachlasse vorgefunden hat, ist 



80 V. Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung. 

unterdessen schon im J. 1835 durch die im 15. Bande des Journals 
von Grelle enthaltenen Arbeiten Kummers ergänzt worden. Sie be- 
treffen die Ausdrücke der Reihe durch ähnliche Reihen, in denen statt 
des Elements x eine algebraische Function dieser Grösse vorkommt. 
Einen speciellen Fall dieser Umformungen hatte schon Euler aufge- 
funden und in seiner Integralrechnung, so wie in mehreren Abhand- 
lungen behandelt (in der einfachsten Gestalt in den N. Acta Acad. 
Petr. T. XII. p. 58); und diese Relation ward später von Pfaff (Disquis. 
anal. Helmstadii 1797), Gudermann (Grelle J. Bd. 7. S. 306) und 
Jacobi auf verschiedenen Wegen bewiesen. Kummer gelang es, die 
Methode Euler's zu einem Verfahren auszubilden, durch welches sämmt- 
liche Transformationen gefunden werden konnten; die wirkliche Aus- 
führung desselben erforderte aber so weitläufige Discussionen, dass er 
für die Transformationen dritten Grades von der Durchführung der- 
selben abstand und sich begnügte, die Transformationen ersten und 
zweiten Grades und die aus ihnen zusammengesetzten vollständig ab- 
zuleiten. 

In der anzuzeigenden Abhandlung wird auf diese Transcendenten 
eine Methode angewandt, deren Princip in der Inaug. Diss. des Ver- 
fassers (Art. 20.) ausgesprochen worden ist und durch die sich sämmt- 
liche früher gefundenen Resultate fast ohne Rechnung ergeben. Einige 
weitere mittelst derselben Methode gewonnenen Ergebnisse hofft der 
Verf. demnächst der Königlichen Societät vorlegen zu können. 



VI. 

Theorie der AbeT sehen Functionen. 

(Aus Borcbardt'ö Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 54. 1857.) 

1. Allgemeine Voraussetzungen und Hülfsmittel für die Untersuchung 
von Functionen unbeschränkt veränderlicher Grössen. 

Die Absicht den Lesern des Journals für Mathematik Unter- 
suchungen über verschiedene Transcendenten/ insbesondere auch über 
Ab eP sehe Functionen vorzulegen^ macht es mir wünschenswerth, um 
Wiederholungen zu vermeiden, eine Zusammenstellung der allgemeinen 
Voraussetzungen, von denen ich bei ihrer Behandlung ausgehen werde, 
in einem besonderen Aufsatze voraufzuschicken. 

Für die unabhängig veränderliche Grösse setze ich stets die jetzt 
allgemein bekannte Gau ss^ sehe geometrische Repräsentation voraus, 
nach welcher eine complexe Grösse 2 = x -{- yi vertreten wird durch 
einen Punkt einer unendlichen Ebene, dessen rechtwinklige Coordina- 
ten X, y sind; ich werde dabei die complexen Grössen und die sie 
repräsentirenden Punkte durch dieselben Buchstaben bezeichnen. Als 
Function von x + yi betrachte ich jede Grösse iv, die sich mit ihr 
der Gleichung 

. dw cw • 

dx cy 

gemäss ändert, ohne einen Ausdruck von iv durch x und y vorauszusetzen. 
Aus dieser Differentialgleichung folgt nach einem bekannten Satze, dass 
die Grösse w durch eine nach ganzen Potenzen von z — a fortschrei- 

71= 00 

tende Reihe von der Form ZOn {z — «)" darstellbar ist, sobald sie in 

der Umgebung von a allenthalben einen bestimmten mit z stetig sich 
ändernden Werth hat, und dass diese Darstellbarkeit stattfindet bis zu 
einem Abstände von a oder Modul von z — a, für welchen eine Un- 
stetigkeit eintritt. Es ergiebt sich aber aus den Betrachtungen, welche 
der Methode der unbestimmten Coefficienten zu Grunde liegen, dass 

Rikmann's gosummcUc mathematische Werke. I. Ü 



82 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

die Coefficienten a^ völlig bestimmt sind, wemi iv in einer endlichen 
fibrigens beliebig kleinen von a ausgebenden Linie gegeben ist. 

Beide Ueberlegungen verbindend, wird man sich leicht von der 
Richtigkeit des Satzes überzeugen: 

Eine Function von x -\- yi, die in einem TJieile der (x, y)- Ebene 
gegeben ist, Jcann darüber- hinaus nur auf Eine Weise stetig fortgesetzt 
iverden. 

Man denke sich nun die zu untersuchende Function nicht durch 
irgend welche z enthaltende analytische Ausdrücke oder Gleichungen 
bestimmt, sondern dadurch, dass der Werth der Function in einem 
beliebig begrenzten Theile der ^- Ebene gegeben ist und sie von dort 
aus stetig (der partiellen Differentialgleichung 

. dw dw 

■ 'dx ~ dy 

gemäss) fortgesetzt wird. Diese Fortsetzung ist nach den obigen 
Sätzen eine völlig bestimmte, vorausgesetzt, dass sie nicht in blossen 
Linien geschieht, wobei eine partielle Differentialgleichung nicht zur 
Anwendung kommen könnte, sondern durch Flächenstreifen von end- 
licher Breite. Je nach der Beschaffenheit der fortzusetzenden Function 
wird nun entweder die Function für denselben Werth von z immer 
wieder denselben Werth annehmen, auf welchem Wege auch die Forf- 
setzung geschehen sein möge, oder nicht. Ln ersteren Falle nenne 
ich sie eimverthig , sie bildet dann eine für jeden Werth von z völlig 
bestimmte und nicht längs einer Linie unstetige Function. Im letzteren 
Falle, wo sie melirwerthig heissen soll, hat man, um ihren Verlauf 
aufzufassen, vor Allem seine Aufmerksamkeit auf gewisse Punkte der 
^- Ebene zu richten, um welche herum sich die Function in eine an- 
dere fortsetzt. Ein solcher Punkt ist z. B. bei der Function log {z — a) 
der Punkt a. Denkt man sich von diesem Punkte a aus eine belie- 
bige Linie gezogen, so wird man in der Umgebung von a den Werth 
der Function so wählen können, dass sie sieh ausser dieser Linie 
überall stetig ändert; zu beiden Seiten dieser Linie nimmt sie aber 
dann verschiedene Werthe an, auf der negativen*) einen um 27ti 
grösseren, als auf der positiven. Die Fortsetzung der Function von 
einer Seite dieser Linie aus, z. B. von der negativen, über sie hinüber 
in das jenseitige Gebiet giebt dann offenbar eine von der dort schon 
vorhandenen verschiedene Function und zwar im hier l)etrachteten 
Falle eine allenthalben um 2;ri 



*) Im Anschlüsse an die von Gauss vorgeschlagene Benennung positiv laterale 
Einheit für -j- i werde ich als positive Seitenrichtung zu einer gegebenen Richtung 
diejenige bezeichnen^ welche zu ihr ebenso liegt, wie -j- i zu 1. 



VI. Theorie der Aberöchea Functionen. 83 

Zur bequemeren Bezeichnung dieser Verhältnisse sollen die ver- 
schiedenen Fortsetzungen eine7' Function für denselben Theil der 
;::- Ebene Zweige dieser Function genannt werden und ein Punkt, um 
welchen sich ein Zweig einer Function in einen andern fortsetzt eine 
Verziveigungsstelle dieser Function; wo keine Verzweigung stattfindet, 
heisst die Function cinändrig o^er monodrom. 

Ein Zweig einer Function von mehreren unabhängig veränder- 
lichen Grössen z, s, t, . . . ist einündrig in der Umgebung eines be- 
stimmten Werthensystemes z = a, s = h, t == c, . . ., w^enn allen 
Werthencombinationen bis zu einem endlichen Abstände von demsel- 
ben (oder bis zu einer bestimmten endlichen Grösse der Moduln von 
z — a, s — h, t — c, ..^ ein bestimmter mit den veränderlichen Grössen 
stetig sich ändernder Werth dieses Zweiges der Function entspricht. 
Eine Verzweigungsstelle oder eine Stelle, um welche sich ein Zweig 
in einen andern fortsetzt, wird bei einer Function von mehreren Ver- 
änderlichen durch sämmtliche einer Gleichung zwischen ihnen genügende 
Werthe der unabhängig veränderlichen Grössen gebildet. 

Nach einem oben angeführten bekannten Satze ist die Einändrig- 
keit einer Function identisch mit ihrer Entwickelbarkeit, ihre Ver- 
zweigung mit ihrer Nichtentwickelbarkeit nach ganzen positiven oder 
negativen Potenzen der Aenderungen der veränderlichen Grössen. Es 
scheint aber nicht zweckmässig, jene von ihrer Darstellungsweise un- 
abhängigen Eigenschaften durch diese an eine bestimmte Form ihres 
Ausdrucks geknüpften Merkmale auszudrücken. 

Für manche Untersuchungen, namentlich für die Untersuchung 
algebraischer und AbeU scher Functionen ist es vortheilhaft, die Ver- 
zweigungsart einer mehrwerthigen Function in folgender Weise geome- 
trisch darzustellen. Man denke sich in der {x, ?/)- Ebene eine andere 
mit ihr zusammenfallende Fläche (oder auf der Ebene einen unendlich 
dünnen Körper) ausgebreitet, welche sich so weit und nur so weit 
erstreckt, als die Function gegeben ist. Bei Fortsetzung dieser Function 
wird also diese Fläche ebenfalls weiter ausgedehnt werden. In einem 
Theile der Ebene, für welchen zwei oder mehrere Fortsetzungen der 
Function vorhanden sind, wird die Fläche doppelt oder mehrfach sein; 
sie wird dort aus zwei oder mehreren Blättern bestehen, deren jedes 
einen Zweig der Function vertritt. Um einen Verzweigungspunkt der 
Function herum wird sich ein Blatt der Fläche in ein anderes fort- 
setzen, so dass in der Umgebung eines solchen Punktes die Fläche 
als eine Schraubenfläche mit einer in diesem Punkte auf der (.r, y)- 
Ebene senkrechten Axe und unendlich kleiner Höhe des Schrauben- 
ganges betrachtet werden kann. Wenn die Function nach mehren 

6* 



84 VT. Theorie der Aberschen Functionen. 

Umläufen des 2 um den Verzweigungswerth ihren vorigen Werth wie- 

m 

der erhält (wie z. B. {s — a) « , wenn m, n relative Primzahlen sind, 
nach n Umläufen von s um d), muss man dann freilich annehmen, 
dass sich das oberste Blatt der Fläche durch die übrigen hindurch in 
das unterste fortsetzt. 

Die mehrwerthige Function hat für jeden Punkt einer solchen 
ihre Verzweigungsart darstellenden Fläche nur einen bestimmten Werth 
und kann daher als eine völlig bestimmte Function des Orts in dieser 
Fläche angesehen werden. 



2. Lehrsätze aus der analysis situs für die Theorie der Integrale 
von zweigliedrigen vollständigen Differentialien. 

Bei der Untersuchung der Functionen, welche aus der Integration 
vollständiger Differentialien entstehen, sind einige der analysis situs 
angehörige Sätze fast unentbehrlich. Mit diesem von Leibnitz, wenn 
auch vielleicht nicht ganz in derselben Bedeutung, gebrauchten Namen 
darf wohl ein Theil der Lehre von den stetigen Grössen bezeichnet 
werden, welcher die Grössen nicht als unabhängig von der Lage 
existirend und durch einander messbar betrachtet, sondern von den 
Massverhältnissen ganz absehend, nur ihre Orts- und Gebietsverhält- 
nisse der Untersuchung unterwirft. Indem ich eine von Massverhält- 
nissen ganz abstrahirende Behandlung dieses Gegenstandes mir vor- 
behalte, werde ich hier nur die bei der Integration zweigliedriger 
vollständiger Differentialien nöthigen Sätze in einem geometrischen 
Gewände darstellen. 

Es sei eine in der {x, 1/) -Ebene einfach oder mehrfach ausge- 
breitete Fläche T gegeben*) und X, Y seien solche stetige Functionen 
des Orts in dieser Fläche, dass in ihr allenthalben Xdx -f- Ydy ein 
vollständiges Differential, also 

^ _ ^ = 

dy dx 

ist. Bekanntlich ist dann 

r {Xdx + Ydij) , 

um einen Theil der Fläche T positiv oder negativ herum — d. h. 
durch die ganze Begrenzung entweder allenthalben nach der positiven 



*) Man sehe die vorhergehende Abhandlung S. 83. 



y\. Theorie der Aberschen Functionen. 85 

oder allenthalben nach der negativen Seite gegen die Richtung von 
Innen nach Aussen (Siehe die Anmerkung Seite 82 der vorhergehenden 
Abhandlung) — erstreckt, == 0, da dies Integral dem über diesen 
Theil ausgedehnten Flilchenintegrale 



j-(lrr-l9« 



identisch im ersteren Falle gleich, im zweiten entgegengesetzt ist. 
Das Integral 

'\xdx+Y(hj) 



j 



hat daher, zwischen zwei festen Punkten auf zwei verschiedenen Wegen 
erstreckt, denselben Werth, wenn diese beiden Wege zusammengenom- 
men die ganze Begrenzung eines Theils der Fläche T bilden. Wenn 
also jede im Innern von T in sich zurücklaufende Curve die ganze 
Begrenzung eines Theils von T bildet, so hat das Integral von einem 
festen Anfangspunkte bis zu einem und demselben Endpunkte er- 
streckt immer denselben Werth und ist eine von .dem Wege der In- 
tegration unabhängige allenthalben in T stetige Function von der 
Lage des Endpunkts. Dies veranlasst zu einer Unterscheidung der 
Flächen in einfach zusammenhängende, in welchen jede geschlossene 
Curve einen Theil der Fläche vollständig begrenzt — wie z. B. ein 
Kreis — , und mehrfach zusammenhängende, für welche dies nicht 
stattfindet, — wie z. B. eine durch zwei concentrische Kreise begrenzte 
Ringfläche. Eine mehrfach zusammenhängende lässt sich durch Zer- 
schneidung in eine einfach zusammenhängende verwandeln (S. die 
durch Zeichnungen erläuterten Beispiele am Schluss dieser Abhand- 
lung). Da diese Operation wichtige Dienste bei der Untersuchung 
der Integrale algebraischer Functionen leistet, so sollen die darauf 
bezüglichen Sätze kurz zusammengestellt werden; sie gelten für be- 
liebig im Räume liegende Flächen. 

Wenn in einer Fläche F zwei Curvensysteme a und h zusammen- 
genommen einen Theil dieser Fläche vollständig begrenzen, so bildet 
jedes andere Curvensystem, das mit a zusammen einen Theil von F 
vollständig begrenzt, auch mit h die ganze Begrenzung eines Flächen- 
theils, der aus den beiden ersteren Flächentheilen längs a (durch 
Addition oder Subtraction, jenachdem sie auf entgegengesetzter oder 
auf gleicher Seite von a liegen) zusammengesetzt ist. Beide Curven- 
systeme leisten daher für völlige Begrenzung eines Theils von F das- 
selbe und können für die Erfüllung dieser Forderung einander ersetzen. 

Wenn in einer Fläche F sich n geschlossene Curven a,, Og» • • v ^« 
zielien lassen, welche weder für sich noch mit einander einen Tfieil dieser 



86 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

Flüche F vollständig begrenzen j mit derm Znzichumj aber jede andere 
(jescldossenc Ciirve die vollständige Begrenzung eines Theils der Fläche F 
bdden Jcann, so heisst die Fläche eine (ji + \)fach zusammenhängende. 

Dieser Charakter der Fläche ist unabhängig von der Wahl des 
Curvensystems a^, a.,, .. ., «„, da je n andere geschlossene Curven 
b^, bo, . . .; bay welche zu völliger Begrenzung eines Theils dieser 
Fläche nicht ausreichen, ebenfalls mit jeder andern geschlossenen Curve 
zusammengenommen einen Theil von F völlig begrenzen. 

In der That, da b^ mit Linien a zusammengenommen einen Theil 
von F vollständig begrenzt, so kann eine dieser Curven a durch b^ 
und die übrigen Curven a ersetzt werden. Es ist daher mit b^ und 
diesen n — 1 Curven a jede andere Curve, und folglich auch b.^, zu 
völliger Begrenzung eines Theils von F ausreichend, und es kann eine 
dieser n — 1 Curven a durch 6^, b.^ und die übrigen n — 2 Curven a 
ersetzt werden. Dieses Verfahren kann offenbar, wenn, wie voraus- 
gesetzt, die Curven b zu vollständiger Begrenzung eines Theils von F 
nicht ausreichen, so lange fortgesetzt werden, bis sämmtliche a durch 
die b ersetzt worden sind. 

Fine (^^ +1) fach zusammenhängende Fläche F kann durch einen 
Querschnitt — d. h. eine von einem BegrenzungspunMe durch das Innere 
bis zu einem BegrenzungspunMe geführte Schnittlinie — in eine nfach 
zusammenhängende F' verwandelt iverden. Fs gelten dabei die durch die 
Zerschneidung entstehenden Begrenzungstheile schon während der weiteren 
Zerschneidung als Begrenzung, so dass ein Querschnitt keinen Punkt 
mehrfach durchschneiden, aber in einem seiner früheren Funkte enden kann. 

Da die Linien a^, a^, . . ., «« zu völliger Begrenzung eines Theils 
von F nicht ausreichen, so muss, wenn man sich F durch diese 
Linien zerschnitten denkt, sowohl das auf der rechten, als das auf der 
linken Seite von a>i anliegende Flächenstück noch andere von den 
Linien a verschiedene und also zur Begrenzung von F gehörige Be- 
grenzungstheile enthalten. Man kann daher von einem Punkte von a„, 
sowohl in dem einen, als in dem andern dieser Flächenstücke eine die 
Curven a nicht schneidende Linie bis zur Begrenzung von F ziehen. 
Diese beiden Linien cf und q" zusammengenommen bilden alsdann 
einen Querschnitt q der Fläche F, welcher das Verlangte leistet. 

In der That sind in der durch diesen Querschnitt aus F ent- 
stehenden Fläche F' die Linien a^, a.^, . . ., a^^i im Innern von F' 
verlaufende geschlossene Curven, welche zur Begrenzung eines Theils 
von F, also auch von F' nicht hinreichen. Jede andere im Innern 
von F' verlaufende geschlossene Curve l aber bildet mit ihnen die ganze 
Begrenzung eines Theils von F\ Denn die Linie l bildet mit einem 



VI. Theorie der Abcri-cheii Functionen. 87 

Complex aus den Linien a^, a,^, . . ., ein die ganze Begrenzung eines 
Theils /" von F. Es lässt sich aber zeigen, dass in der Begrenzung 
desselben ctn nicht vorkommen kann; denn dann würde, je nach dem 
/■ auf der linken oder rechten Seite von a« läge, q' oder q" aus dem 
Innern von /" nach einem Begrenzungspunkte von i\ also nach einem 
ausserhalb /' gelegenen Punkte, führen und also die Begrenzung von /* 
schneiden müssen gegen die Voraussetzung, dass / sowohl als die 
Linien a, den Durchschnittspunkt von an und q ausgenommen, stets 
im Innern von F' bleiben. 

Die Fläche F', in welche F durch den (^)uerschnitt q zerfällt, ist 
demnach, wie verlangt, eine nfach zusammenhängende. 

Es soll jetzt bewiesen werden, dass die Fläche F durch jeden 
Querschnitt ^), welcher sie nicht in getrennte Stücke zerfället, in eine 
iifach zusammenhängende F' verwandelt wird. Wenn die zu beiden 
Seiten des Querschnitts p angrenzenden Flächentheile zusammenhängen, 
so lässt sich eine Linie h von der einen Seite desselben durch das 
Innere von F' auf die andere Seite zum Anfangspunkte zurück ziehen. 
Diese Linie b bildet eine im Innern von F in sich zurücklaufende 
Linie, welche, da der Querschnitt von ihr aus nach beiden Seiten zu 
einem Begixuzungspunkte führt, von keinem der beiden Flächenstücke, 
in welche sie F zerschneidet, die ganze Begrenzung bildet. Man kann 
daher eine der Curven a durch die Curve h und jede der übrigen 
n — 1 Curven a durch eine im Innern von i*" verlaufende Curve und 
wenn nötliig die Curve h ersetzen, worauf der ßeweis, dass F' wfach 
zusammenhängend ist, durch dieselben Schlüsse, wie vorhin, geführt 
werden kann. 

Fine (w + 1) fach zusammenhängende Fläche ivird daher durch 
jeden sie nicht in Stücke zerschneidenden Querschnitt in eine nfach zu- 
sammenhängende venvandelt. 

Die durch einen Querschnitt entstandene Fläche kann durch einen 
neuen Querschnitt weiter zerlegt werden, und bei >i maliger Wieder- 
holung dieser Operation wird eine (ji -\- 1) fach zusammenhängende 
Fläche durch n nach einander gemachte sie nicht zerstückelnde Quer- 
schnitte in eine einfach zusammenhängende verwandelt. 

Um diese Betrachtungen auf eine Fläche ohne Begrenzung, eine 
geschlossene Fläche, anwendbar zu machen, muss diese durch Aus- 
scheidung eines beliebigen Punktes in eine begrenzte verwandelt wer- 
den, so dass die erste Zerlegung durch diesen Punkt und einen in ihm 
anfangenden und endenden Querschnitt, also durch eine geschlossene 
Curve, geschieht. Die Oberfläche eines Ringes z. B., welche eine drei- 



88 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

fach zusammenhängende ist, wird durch eine geschlossene Curve und 
einen Querschnitt in eine einfach zusammenhängende verwandelt. 

Auf das im Eingange betrachtete Integral des vollständigen 
Differentials Xdx + Ydij wird nun die eben behandelte Zerschneidung 
der mehrfach zusammenhängenden Flächen in einfach zusammenhän- 
gende, wie folgt, angewandt. Ist die die (x, y) -'Ebene bedeckende 
Fläche jT, in welcher X, Y allenthalben stetige der Gleichung 

y (^^ 
genügende Functionen des Orts sind, ?«^fach zusammenhängend, so wird 
sie durch n Querschnitte in eine einfach zusammenhängende T' zer- 
schnitten. Die Integration von Xdx + Ydy von einem festeji An- 
fangspunkte aus durch Gurven im Innern von T' liefert dann einen 
nur von der Lage des Endpunkts abhängigen Werth, welcher als 
Function von dessen Goordinaten betrachtet werden kann. Substituirt 
man für die Goordinaten die Grössen .x', y^ so erhält man eine Function 

z= f{Xdx+ Ydy) 

von X, y, welche für jeden Punkt von T' völlig bestimmt ist und sich 
innerhalb T' allenthalben stetig, beim Ueberschreiten eines Querschnitts 
aber allgemein zu reden um eine endliche von einem Knotenpunkte 
des Schnittnetzes zum andern constante Grösse ändert. Die Aenderun- 
gen beim Ueberschreiten der Querschnitte sind von einer der Zahl 
der Querschnitte gleichen Anzahl von einander unabhängiger Grössen 
abhängig; denn wenn man das Schnittsystem rückwärts, — die späteren 
Theile zuerst — , durchläuft, so ist diese Aenderung überall bestimmt, 
wenn ihr Werth beim Beginn jedes Querschnitts gegeben wird; 
letztere Werthe aber sind von einander unabhängig. 

Um das, was oben (S. 85, 86) unter einer ?ifach zusammenhängenden 
Fläche verstanden wird, anschaulicher zu machen, folgen in den nach- 
stehenden Zeichnungen Beispiele von einfach, zweifach und dreifach 
zusammenhängenden Flächen. 

Einfach zusammenhängende Fläche. 

Sie wird durch jeden Quer- 
schnitt in getrennte Stücke zer- 
fällt, und es bildet in ihr jede 
geschlossene Gurve die ganze 
Begrenzung eines Theils der 
Fläche. 




VI. Theorie der Aberschen Functionen. 



89 



Zweifach zusanimenhängende Fläche. 



Sie wird durch jeden sie 
nicht zerstückelnden Querschnitt 
q in eine einfach zusammen- 
hängende zerschnitten. Mit Zu- 
ziehung der Curve a kann in ihr 
jede geschlossene Curve die 
ganze Begrenzung eines Theils 
der Fläche bilden. 




Dreifach zusammeuhäugende Fläche. 



In dieser Fläche kann jede 
geschlossene Curve mit Zu- 
ziehung der Curven a^ und a.^ 
die ganze Begrenzung eines 
Theils der Fläche bilden. Sie 
zerHillt durch jeden sie nicht 
zerstückelnden Querschnitt in 
eine zweifach zusammenhän- 
gende und durch zwei solche 
Querschnitte, q^ und q.^, in eine 
einfach zusammenhängende. 

In dem Theile cc ßy d der 
Ebene ist die Fläche doppelt. 
Der (ii enthaltende Arm der 
Fläche ist als unter dem an- 
dern fortgehend betrachtet und 
daher durch punktirte Linien 
angedeutet. 





3. Bestimmung einer Function einer veränderlichen complexen 
Grösse durch Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen. 

Wenn in einer Ebene, in welcher die rechtwinkligen Coordinaten 
eines Punkts x, y sind^ der Werth einer Function von x -\- yi in einer 
endlichen Linie gegeben ist, so kann diese von dort aus nur auf eine 
Weise stetig fortgesetzt werden und ist also dadurch völlig bestimmt 
(Siehe oben S. 82). Sie kann aber auch in dieser Linie nicht willkür- 
lich angenommen werden, wenn sie von ihr aus einer stetigen Fort-, 
Setzung in die anstossenden Flächentheile nach beiden Seiten hin fähig 



i)() Vf. Theorie der AbeFschen Functionen. 

sein soll, da sie durch ihren Verlauf in einem noch so kleinen entl- 
lichen Theile dieser Linie schon für den übrigen Theil bestimmt ist. 
Bei dieser Bestimmungsweise einer Function sind also die zu ihrer 
Bestimmung dienenden Bedingungen nicht von einander unabhängig. 

Als Grundlage für die Untersuchung einer Transcendenten ist es 
vor allen Dingen nöthig, ein System zu ihrer Bestimmung hinreichen- 
der von einander unabhängiger Bedingungen aufzustellen. Hierzu kann 
in vielen Fällen, namentlich bei den Integralen algebraischer Functionen 
und ihren inversen Functionen, ein Princip dienen, welches Dirichlet 
zur Lösung dieser Aufgabe für eine der Laplace' sehen partiellen 
Differentialgleichung genügende Function von drei Veränderlichen, 
wohl durch einen ähnlichen Gedanken von Gauss veranlasst — in 
seinen Vorlesungen über die dem umgekehrten Quadrat der Entfernung 
proportional wirkenden Kräfte seit einer Reihe von Jahren zu geben 
pflegt. Für diese Anwendung auf die Theorie von Transcendenten ist 
jedoch gerade ein Fall besonders wichtig, auf welchen dies Princip in 
seiner dortigen einfachsten Form nicht anwendbar ist, und welcher 
dort als von ganz untergeordneter Bedeutung unberücksichtigt bleiben 
kann. Dieser Fall ist der, wenn die Function an gewissen Stellen des 
Gebiets, wo sie zu bestimmen ist, vorgeschriebene Unstetigkeiten an- 
nehmen soll; was so zu verstehen ist, dass sie an jeder solchen Stelle 
der Bedingung unterworfen ist, unstetig zu werden, wie eine dort ge- 
gebene unstetige Function, oder sich nur um eine dort stetige Function 
von ihr zu unterscheiden. Ich werde hier das Princip in der für die 
beabsichtigte Anwendung erforderlichen Form darstellen und erlaube 
mir dabei in Betreff einiger Nebenuntersuchungen auf die in meiner 
Doctordissertation (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen 
einer veränderlichen complexen Grösse. Göttingen 1851) gegebene Dar- 
stellung desselben zu verweisen. 

Man nehme an, dass eine die (x, y) -Ebene einfach oder mehrfach 
bedeckende beliebig begrenzte Fläche T und in derselben zwei für 
jeden ihrer Punkte eindeutig bestimmte reelle Functionen von x, i/, 
die Functionen a und ß gegeben seien, und bezeichne das durch die 
Fläche T ausgedehnte Integral 



j'(("-ifr+e+iö>'^' 



durch Sl (a), wobei die Functionen a und ß beliebige Unstetigkeiten 
besitzen können, wenn nur das Integral dadurch nicht unendlich wird. 
Es bleibt dann auch Sl (a — A) endlich, wenn A allenthalben stetig ist 
und endliche Differentialquotienten hat. Wird diese stetige Function A 



\'l. TJieoiio der Al)Lr«clien Functionen. Dl 

der Bedingung unterworfen, nur in einem unendlich kleinen Theile der 
Flüche T von einer unstetigen Function y verschieden zu sein, so w^ird 
^l (« — A) unendlich gross, wenn y längs einer Linie unstetig ist oder 
in einem Punkte so unstetig ist, dass 



jm-^^)'' 



unendlich wird (Meine Inaug. Diss. Art. 17 j; es bleibt aber il (a — A) 
endlich, wenn y nur in einzelnen Punkten und nur so unstetig ist, dass 



j'm+(^:n"^ 



durch die Fläche T erstreckt endlich bleibt, wie z. B. wenn y in der 
Umgebung eines Punktes im Abstände r von demselben = ( — logrj* 
und <C i < i ist. Zur Abkürzung mögen hier die Functionen, in 
welche A unbeschadet der Endlichkeit von Sl (cc — Aj übergehen kann, 
unstetig von der ersten Art, die Functionen, für welche dies nicht 
möglich ist, unstetig von der zweiten Art genannt werden. Denkt man 
sich nun in £1 (« — ^) für ^ alle stetigen oder von der ersten Art 
unstetigen Functionen gesetzt, welche an der Grenze verschwinden, so 
erhält dies Integral immer einen endlichen, aber seiner Natur nach nie 
einen negativen Werth, und es muss daher wenigstens einmal, für 
a — fi = ti, ein Minimumwerth eintreten, so dass 5i für jede Function 
cc — /i, die unendlich wenig von u verschieden ist, grösser als il{i() 
wird. 

Bezeichnet daher ö eine beliebige stetige oder von erster Art un- 
stetige Function des Orts in der Fläche T, die an der Grenze allent- 
halben gleich ist, und h eine von x, y unabhängige Grösse, so muss 
§l{u-\-h(5) sowohl für ein positives, als für ein negatives hinreichend 
kleines h grösser als ü (</) werden, und daher in der Entwicklung 
dieses Ausdrucks nach Potenzen von Ji der Coefficient von li ver- 
schwinden. Ist dieser 0, so ist 

ß (« + ha) = Sl («) + l>'J'{0 + (^_")) äT 

und folglich Sl immer ein Minimum. Das Minimum tritt nur für eine 
einzige Function u ein; denn fände auch ein Minimum für n -\- a 
statt, so könnte Sl (n -{- ö) nicht > Sl(^u) sein, weil sonst 

Sl (w + ha) < Sl (u + ö) 

für /i < 1 würde; also könnte Sl (u -(- ö) nicht kleiner als die an- 
liegenden Werthe sein. Ist aber Sl (u + (?)== ü (w), so muss ö constant, 
also da es in der Begrenzung ist, überall sein. Es wird daher 



92 Vf. Theorie der Abersclien Functionen. 

nur für eine einzige Function u das Integral il ein Minimum und die 
Variation erster Ordnung oder das /^ proportionale Glied in i>l((ii -\-ha), 

J \V^v dy) dx ' \dy ' dxjcy) 

Aus^ dieser Gleichung folgt, dass das Integral 

durch die ganze Begrenzung eines Theils der Fläche T erstreckt stets 
= ist. Zerlegt man nun (nach der vorhergehenden Abhandlung) die 
Fläche T, wenn sie eine mehrfach zusammenhängende ist^ in eine ein- 
fach zusammenhängende T, so liefert die Integration durch das- Innere 
von T von einem festen Anfangspunkte bis zum Punkte {x, y) eine 
Function von x, y, 

--/((l^ + S'^^+fö-S^^) + --*•' 

welche in T' überall stetig oder unstetig von der ersten Art ist und 
sich beim Ueber schreiten der Querschnitte um endliche von einem 
Knotenpunkte des Schnittnetzes zum andern constante Grössen ändert. 
Es genügt dann v = ß — v den Gleichungen 

dv du dv du ' 

dx ~dy^ dy dx' 

und folglich ist ii -{- vi eine Lösung der Differentialgleichung 

d {u -\-vi) . d {u -\-vi) __ 

öy ex 

oder eine Function von x + yi. 

Man erhält auf diesem Wege den in der erwähnten Abhandlung 
Art. 18 ausgesprochenen Satz: 

Ist in einer zusammenhängenden durch Querschnitte in eine einfacli 
zusammenhängende T zerlegten Fläche T eine complexe Function a + ßi 
von X, y gegeben, für welche 

/((lf-«)'+(|f+av^ 

durch die ganze Fläche ausgedehnt einen endlichen Werth hat, so Jcann 
sie immer und nur auf Eine Art in eine Function von x + yi ^^- 
wandelt werden durch Subtraction einer Function ^-\-vi von x,y, welche 
folgenden Bedingungen genügt: 

1) ft ist am Bande == oder doch nur in einzelnen Bunhten davon 
verschieden, v in Einem B unkte heliebig gegeboi. 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 93 

2) Die Anidcrungcn von ^ sind in T, von v in T' nur in einzelnen 
FunMen und nur so unstetig, dass 



nnd 






durch die ganze Fläche erstreckt, endlich bleiben, und letztere längs der 
Querschnitte beiderseits gleich. 

Wenn die Function a-\-ßi, wo ihre Differentialquotienten unend- 
lich werden, unstetig wird, wie eine gegebene dort unstetige Function 
von X + yij und keine durch eine Abänderung ihres Werthes in einem 
einzelnen Punkte hebbare Unstetigkeit besitzt, so bleibt Sl(a) endlich, 
und es wird ^-{-vi in T' allenthalben stetig. Denn da eine Function 
von X -\- y i gewisse Unstetigkeiten, wie z. B. Unstetigkeiten erster Art, 
gar nicht annehmen kann (Meine Diss. Art. 12), so muss die Differenz 
zweier solcher Functionen stetig sein, sobald sie nicht von der zweiten 
Art unstetig ist. 

Nach dem eben bewiesenen Satze lässt sich daher eine Function 
von x-\-yi so bestimmen, dass sie im Innern von T, von der Un- 
stetigkeit des imaginären Theils in den Querschnitten abgesehen, ge- 
gebene Unstetigkeiten annimmt, und ihr reeller Theil an der Grenze 
einen dort allenthalben beliebig gegebenen Werth erhält; wenn nur 
für jeden Punkt, wo ihre Differentialquotienten unendlich werden sollen, 
die vorgeschriebene Unstetigkeit die einer gegebenen dort unstetigen 
Function von x + yi ist. Die Bedingung an der Grenze kann man, 
wie leicht zu sehen, ohne eine wesentliche Aenderung der gemachten 
Schlüsse durch manche andere ersetzen. 

4. Theorie der Abel'schen Functionen. 

In der folgenden Abhandlung habe ich die Abel'schen Functionen 
nach einer Methode behandelt, deren Principien in meiner Inaugural- 
dissertation*) aufgestellt und in einer etwas veränderten Form in den 
drei vorhergehenden Aufsätzen dargestellt worden sind. Zur Erleich- 
terung der Uebersicht schicke ich eine kurze Inhaltsangabe vorauf. 

Die erste Abtheilung enthält die Theorie eines Systems von gleich- 
verzweigten algebraischen Functionen und ihren Integralen, soweit für 
dieselbe nicht die Betrachtung von 'S- -Reihen massgebend ist, und han- 



*) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränder- 
lichen complexen Grösse. Göttingen 1851. 



94 VI. Theorie der Aberschcn Functioueii. 

clelt im §. 1 — 5 von der Bestimmung dieser Functionen durch ihre 
Verzweigungsart und ihre Unstetigkeiten^ im §. 6 — 10 von den ratio- 
nalen Ausdrücken derselben in zwei durch eine algebraische Gleichung 
verknüpfte veränderliche Grössen^ und im §. 11 — 13 von der Trans- 
formation dieser Ausdrücke durch rationale Substitutionen. Der hei 
dieser Untersuchung sich darbietende Begriff einer Klasse von algebrai- 
schen Gleichungen, welche sich durch rationale Substitutionen jn einan- 
der transformiren lassen, dürfte auch für andere Untersuchungen wichtig 
und die Transformation einer solchen Gleichung in Gleichungen niedrig- 
sten Grades ihrer Klasse (§. 13) auch bei anderen Gelegenheiten von 
Nutzen sein. Diese Abtheilung behandelt endlich im §. 14 — IG zur 
Vorbereitung der folgenden die Anwendung des AbeTschen Additions- 
theorems für ein beliebiges System allenthalben endlicher Integrale von 
gleichverzweigten algebraischen Functionen zur Integration eines Systems 
von Differentialgleichungen. 

In der zweiten Abtheilung werden für ein beliebiges System von 
immer endlichen Integralen gleichverzweigter, algebraischer, 2p +1 fach 
zusammenhängender Functionen die Jacobi'schenUmkehrungsfunctionen 
von p veränderlichen Grössen durch pfach unendliche i^Reihen aus- 
gedrückt, d. h. durch Reihen von der Form 



%'{t\, v^, ..., Vp) = ( V l e 



p ( 2; j ü/^, , i^i' mfi m +2 Hv^, Wu 

■ — CO 

worin die Summationen im Exponenten sich auf ^ und ^\ die äusseren 
Summationen auf m^, m^, ..., mp beziehen. Es ergiebt sich, dass zur 
allgemeinen Lösung dieser Aufgabe eine — wenn p > 3 specielle — 

Gattung von 0-- Reihen ausreicht, in denen zwischen den '^—^— 

Grössen a — ~ ^ ß -—- Relationen stattfinden, so dass nur 32? — 3 
1 . ^ 

willkürlich bleiben. Dieser Theil der Abhandlung bildet zugleich eine 
Theorie dieser speciellen Gattung von '9'- Functionen; die allgemeinen 
'^-Functionen bleiben hier ausgeschlossen, lassen sich jedoch nach einer 
ganz ähnlichen Methode behandeln. 

Das hier erledigte Jacob i'sche Umkehrungsproblem ist für die 
hyperelliptischen Integrale schon auf mehreren Wegen durch die be- 
harrlichen mit so schönem Erfolge gekrönten Arbeiten von Weierstrass 
gelöst worden, von denen eine Uebersicht im 47. Bande des Journ. 
für Mathm. (S. 289) mitgetheilt worden ist. Es ist jedoch bis jetzt 
nur von dem Theile dieser Arbeiten, welcher in den §§. 1 und 2 und 
der ersten die elliptischen Functionen betreffenden Hälfte des §. 3 der 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 95 

angeführten Abhandlung skizzirt wird, die wirkliche Ausführung ver- 
öffentlicht (Bd. 52, S. 285 d. Journ. f. Math.); in wie weit zwischen 
den späteren Theilen dieser Arbeiten und meinen hier dargestellten 
eine Uebereinstimmung nicht bloss in Resultaten^ sondern auch in den 
zu ihnen führenden Methoden stattfindet, wird grossentheils erst die 
versprochene ausführliche Darstellung derselben ergeben können. 

Die gegenwärtige Abhandlung bildet mit Ausnahme der beiden 
letzten §§. 2G und 21, deren Gegenstand damals nur kurz angedeutet 
werden konnte, einen Auszug aus einem Theile meiner von Michaelis 
1855 bis Michaelis 1856 zu Göttingen gehaltenen Vorlesungen. Was 
die Auffindung der einzelnen Resultate betrifft, so wurde ich auf das 
im §. 1 — 5, 9 und 12 Mitgetheilte und die dazu nöthigen vorbereiten- 
den Sätze, welche später Behufs der Vorlesungen so, wie es in dieser 
Abhandlung geschehen ist^ weiter ausgeführt wurden, im Herbste 1851 
und zu Anfang 1852 durch Untersuchungen über die confornie Ab- 
bildung mehrfach zusammenhängender Flächen geführt, ward aber dann 
durch einen andern Gegenstand von dieser Untersuchung abgezogen. 
Erst um Ostern 1855 wurde sie wieder aufgenommen und in den 
Oster- und Michaelisferien jenes Jahres bis zu §.21 incl. fortgeführt; 
das Uebrige wurde bis Michaelis 1850 hinzugefügt. Einzelne ergän- 
zende Zusätze sind an manchen Stellen während der Ausarbeitung 
liinzugekommen. 

Erste Albtheiliiii^. 

1. 

Ist s die Wurzel einer irreductibeln Gleichung nien Grades, deren 
Coefficienten ganze Functionen mten Grades von z sind, so entsprechen 
jedem Werthe von 2 n Werthe von s, die sich mit z überall, wo sie 
nicht unendlich werden, stetig ändern. Stellt man daher (nach S. 83) 
die Verzweigungsart dieser Function durch eine in der ,:-Ebene aus- 
gebreitete unbegrenzte Fläche T dar, so ist diese in jedem l^ieile der 
Ebene nfach, und s ist dann eine einwerthige Function des Orts in 
dieser Fläche. Eine unbegrenzte Fläche kann entweder als eine Fläche 
mit unendlich weit entfernter Begrenzung oder als eine geschlossene 
angesehen werden, und Letzteres soll bei der Fläche 7' geschehen, so 
dass dem Werthe .z = (x> in jedem der )i Blätter der Fläche Ein 
Funkt entspricht, wenn nicht etwa für z = (x> eine Verzweigung statt- 
findet. 

Jede rationale Function von s und ,: ist offenbar ebenfalls eine 
einwerthige Function des Orts in der Fläche T und besitzt also die- 



9G Vr. Theorie der AbeFscheu Functionen. 

selbe Verzweigungsart wie die Function s, und es wird sich unten 
ergeben^ dass auch das Umgekehrte gilt. 

Durch Integration einer solchen Function erhält man eine Function^ 
deren verschiedene Fortsetzungen für denselben Theil der Flüche T 
sich nur um Constanten unterscheiden, da ihre Derivirte für denselben 
Punkt dieser Fläche immer denselben Werth wieder annimmt. 

Ein solches System von gleichverzweigten algebraischen Functionen 
und Integralen dieser Functionen bildet zunächst den Gegenstand un- 
serer Betrachtung; statt aber von diesen Ausdrücken dieser Functionen 
auszugehen, werden wir sie mit Anwendung des Dirichl et 'sehen 
Princips (S. 92) durch ihre Unstetigkeiten definiren. 

2. 

Zur Vereinfachung des Folgenden heisse eine Function für einen 
PunJä der Fläche T unendlich Mein von der ersten Ordming, wenn ihr 
Logarithmus bei einem positiven Umlaufe um ein diesen Punkt um- 
gebendes Flächenstück, ili welchem sie endlich und von Null ver- 
schieden bleibt, um 2;r^ wächst. Es ist demnach für einen Punkt, 
um den die Fläche T sich ^ mal windet, wenn dort ,0 einen endlichen 

Werth a hat, (-e — a)'", also {dzy\ wenn aber ,2^=00, (--) unendlich 

klein von der ersten Ordnung. Der Fall, wo eine Function in einem 
Punkte der Fläche T unendlich klein oder unendlich gross von der 
^'ten Ordnung wird, kann so betrachtet werden, als wenn die Function 
in V dort zusammenfallenden (oder unendlich nahen) Punkten unend- 
lich klein oder unendlich gross von der ersten Ordnung wird, wie in 
der Folge bisweilen geschehen soll. 

Die Art und Weise, wie jene hier zu betrachtenden Functionen 
unstetig werden, kann dann so ausgedrückt werden. Wird eine von 
ihnen in einem Punkte der Fläche T unendlich, so kann sie, wenn r 
eine beliebige Function bezeichnet, die in diesem Punkte unendlich 
klein von der ersten Ordnung wird, stets durch Subtraction eines end- 
lichen Ausdrucks von der Form 

Ä\ogr-\- Br-'' -\-Cr~^ +'" 

in eine dort stetige verwandelt werden, wie sich aus den bekannten 

— nach Cauchy oder durch die Fourier'sche Reihe zu beweisenden 

— Sätzen über die Entwicklung einer Function in Potenzreihen ergiebt. 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 97 

3. 

Man denke sich jetzt eine in der ,?- Ebene allenthalben nfach aus- 
gebreitete unbegrenzte und nach dem Obigen als geschlossen zu be- 
trachtende zusammenhängende Fläche T gegeben und diese in eine 
einfach zusammenhängende T zerschnitten. Da die Begrenzung einer 
einfach zusammenhängenden Fläche aus Einem Stücke besteht, eine 
geschlossene Fläche aber durch eine ungerade Anzahl von Schnitten 
eine gerade Zahl von Begrenzungsstücken, durch eine gerade eine un- 
gerade erhält, so ist zu dieser Zerschneidung eine gerade Anzahl von 
Schnitten erforderlich. Die Anzahl dieser Querschnitte sei = 2p. Die 
Zerschneidung werde zur Vereinfachung des Folgenden so ausgeführt, 
dass jeder spätere Schnitt von einem Punkte eines früheren bis zu 
dem anstossenden Punkte auf der andern Seite desselben geht: wenn 
sich dann eine Grösse längs der ganzen Begrenzung von T stetig 
ändert und im ganzen Schnittsysteme zu beiden Seiten gleiche Aende- 
rungen erleidet, so ist die Differenz der beiden Werthe, die sie in 
demselben Punkte des Schnittnetzes annimmt, in allen Theilen Eines 
Querschnitts derselben Constanten gleich. 

Man setze nun z = x-\-yl und nehme in T eine Function a-\- ßi 
von Xj y folgendermassen an: 

In der Umgebung der Punkte t^, f^? ••• bestimme man sie gleich 
gegebenen in diesen Punkten unendlich werdenden Functionen von 
x-{-yij und zwar um £,; indem man eine beliebige Function von z, 
die in 6v unendlich klein von der ersten Ordnung wird, durch r,, be- 
zeichnet, gleich einem endlichen Ausdrucke von der Form 

worin Ay, By, Cv,... willkürliche Constanten sind. Man ziehe ferner 
nach einem beliebigen Punkte von allen Punkten f, für welche die 
Grösse A von Null verschieden ist, einander nicht schneidende Linien 
durch das Innere von T' j von £, die Linie ly. Man nehme endlich 
die Function in der ganzen noch übrigen Fläche T so an, dass sie 
ausser den Linien / und den Querschnitten überall stetig, auf der posi- 
tiven (linken) Seite der Linie /,- um — 2jitAr und auf der positiven 
Seite des i/ten Querschnitts um die gegebene Constante ¥^^ grösser ist, 
als auf der andern, und dass das Integral 

durch, die Fläche T ausgedehnt einen endlichen Werth erhält. Dies 
ist wie leicht zu sehen immer möglich, wenn die Summe sämmtlicher 

Riemann's gesannnplte mathematische Wi^rke. I. 7 



98 VT. Theorie der Aberschen Functionen. 

Grössen A gleich Null ist, aber auch nur unter dieser Bedingung, weil 
nur dann die Function nach einem Umlaufe um das System der Linien 
/ den vorigen Werth wieder annehmen kann. 

Die Constanten ¥^\ W\ ..., Wi'\ um welche eine solche Function auf 
der positiven Seite der Querschnitte grösser ist, als auf der andern, 
sollen die Feriodicitätsmoduln dieser Function genannt werden. 

Nach dem Dirichlet'schen Princip kann nun die Function a-\-ßi 
in eine Function « von x -f- yi verwandelt werden durch Subtraction 
einer ähnlichen in T allenthalben stetigen Function von x, y mit rein 
imaginären Periodicitätsmoduln, und diese ist bis auf eine additive 
Constante völlig bestimmt. Die Function a stimmt dann mit a-\-ßi 
in den ünstetigkeiten im Innern von T und in den reellen Theilen 
der Periodicitätsmoduln über ein. Für o können daher die Functionen 
cpr und die reellen Theile ihrer Periodicitätsmoduln willkürlich gegeben 
werden. Durch diese Bedingungen ist sie bis auf eine additive Con- 
stante völlig bestimmt, folglich auch der imaginäre Theil ihrer Perio- 
dicitätsmoduln. 

Es wird sich zeigen, dass diese Function ca sämmtliche im §. 1 
bezeichneten Functionen als specielle Fälle unter sich enthält. 

4. 

Allenthalben endliche Functionen cd. (Integrale erster Gattung.) 

Wir wollen jetzt die einfachsten von ihnen betrachten und zwar 
zuerst diejenigen, die immer endlich bleiben und also im Innern von 
T' allenthalben stetig sind. Sind tv^^ tv^j ..., iVp solche Functionen, 
so ist auch 

IV = «1 iv^ -\- a^ u\^ -\- " • -\- ap tVp -\- const., 

worin a^, «g, ..., ccp beliebige Constanten sind, eine solche Function. 
Es seien die Periodicitätsmoduln der Functionen ii\, tt\^, . . ., tVp für den 
i/ten Querschnitt M , ^2\ ■-•, ^4 • -^^^ Periodicitätsmodul von tv für 

diesen Querschnitt ist dann a^ M"^^ + «2 ^'^^ ~\ \- (^p ^^J == ^ ] und 

setzt man die Grössen a in die Form y -\- äi, so sind die reellen 
Theile der 2j9 Grössen ¥^^, ¥'^\ ..., h'^^^ lineare Functionen der Grössen 
7i7 ?^2? •••; yp7 ^1? ^2) •••; ^j" Wenn nun zwischen den Grössen ti\, 
W2, . . ., Wp keine lineare Gleichung mit constanten Coefficienten statt- 
findet, so kann die Determinante dieser linearen Ausdrücke nicht ver- 
schwinden; denn es Hessen sich sonst die Verhältnisse der Grössen a 
so bestimmen, dass die Periodicitätsmoduln des reellen Theils von iv 
sämmtlich würden, folglich der reelle Theil von tv und also auch tv 



I 



VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 99 

selbst nach dem Dirichlet'schen Princip eine Constante sein müsste. 
Es können daher dann die 2p Grössen y und d so bestimmt werden, 
dass die reellen Theile der Periodicitätsmoduln gegebene Werthe er- 
halten*, und folglich kann tv jede immer endlich bleibende Function 
darstellen, wenn ti\, w^y ..., iv^ keiner linearen Gleichung mit con- 
stanten Coefficienten genügen. Diese Functionen lassen sich aber 
immer dieser Bedingung gemäss wählen^ denn so lange ii<Cp, finden 
zwischen den Periodicitätsmoduln des reellen Theils von 

«1 tv^ -\- «2 ^^'2 + ••• + «/* ^^> + const. 

lineare Bedingungsgleichungen statt; es ist daher '^^7/ + 1 nicht in dieser 
Form enthalten, wenn man, was nach dem Obigen immer möglich ist, 
die Periodicitätsmoduln des reellen Theils dieser Function so bestimmt, 
dass sie diesen Bedingungsgleichungen nicht genügen. 

Functionen co, die für einen Funlct der Fläche T unendlicli 
von der ersten Ordnung iverden. (Integrale zive'der Gattung.) 

Es sei CO nur für einen Punkt e der Fläche T unendlich, und für 
diesen seien alle Coefficienten in 9 ausser B gleich 0. Eine solche 
Function ist dann bis auf eine additive Constante bestimmt durch die 
Grösse B und die reellen Theile ihrer Periodicitätsmoduln. Bezeichnet 
t^ {b) irgend eine solche Function, so können in dem Ausdrucke 

t{E) = ß t^ (e) + a^ u\ + a., tv._, -\ 1- «^ tVp + const. 

die Constanten ß, a^, a.,^ . . ., ap immer so bestimmt werden, dass für 
ihn die Grösse B und die reellen Theile der Periodicitätsmoduln be- 
liebig gegebene Werthe erhalten. Dieser Ausdruck stellt also jede 
solche Function dar. 

Functionen co, ivclche für zwei Punlte der Fläche T loga- 
rithmisch unendlich iverden. (Integrale dritter Gattung.) 

Betrachten wir drittens den Fall, wo die Function co nur loi^fa- 
rithmisch unendlich wird, so muss dies, da die Summe der Grössen A 
gleich sein muss, wenigstens für zwei Punkte der Fläche T, 6^ und f^, 
geschehen und Ä.^ = — A^ sein. Ist von den Functionen, bei denen 
dies statt hat und die beiden letztern Grössen = 1 sind, irgend eine 
^^(^u ^2)7 so sind nach ähnlichen Schlüssen, wie oben, alle übrigen 
in der Form 

■^ (^o ^2) = '^^(«i; ^2) + «1 ^''1 + «2 ^^*2 H h «/> ^0' + const. 

enthalten. 

7* 



100 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

Für die folgenden Bemerkungen nehmen wir zur Vereinfachung 
an, dass die Punkte e keine Verzweigungspunkte sind und nicht im 
Unendlichen liegen. Man kann dann r,. = 2 — <^v setzen, indem man 
durch 5", den Werth von s in f ,. bezeichnet. Wenn man dann to (s^, f ^) 
so nach ^'^ dififerentiirt , dass die reellen Theile der Periodicitätsmoduln 
(oder auch p von den Periodicitätsmoduln) und der Werth von 'oT (f^, s.^ 
für einen beliebigen Punkt der Fläche T constant bleiben, so erhält 

man eine Function t(s^)j die in f^ unstetig wie 737- wird. Umgekehrt 
ist, wenn t{sj) eine solche Function ist, 1 t{£j) dz^, durch eine be- 

liebige in T von ^^ ß^ch £3 führende Linie genommen, gleich einer 
Function oT (f^, £3). Auf ähnliche Art erhält man durch n successive 
Differentiationen eines solchen t{a^ nach z^ Functionen o, welche im 
Punkte £^ wie n! (^ — ^i)~"~^ unstetig werden und übrigens endhch 
bleiben. 

Für die ausgeschlossenen Lagen der Punkte £ bedürfen diese Sätze 
einer leichten Modification. 

Offenbar kann nun ein mit constanten Coefficienten aus Functionen 
iVy aus Functionen 'co und ihren Derivirten nach den Unstetigkeits- 
werthen gebildeter linearer Ausdruck so bestimmt werden, dass er im 
Innern von T beliebig gegebene Unstetigkeiten von der Form, wie o, 
erhält, und die reellen Theile seiner Periodicitätsmoduln beliebig ge- 
gebene Werthe annehmen. Durch einen solchen Ausdruck kann also 
jede gegebene Function co dargestellt werden. 

5. 

Der allgemeine Ausdruck einer Function «, die für m Punkte der 
Fläche T, fi, f27 •••; ^m unendlich gross von der ersten Ordnung wird, 
ist nach dem Obigen 

S = ßJl + kh-i h ßra t.a + «i ^i + «2 ^2 H h «i> ^^i> + COUst., 

worin U eine beliebige Function t{£,) und die Grössen a und ß Con- 
stanten sind. Wenn von den m Punkten £ eine Anzahl q in denselben 
Punkt 7] der Fläche T zusammenfallen, so sind die ^* diesen Punkten 
zugehörigen Functionen t zu ersetzen durch eine Function t {rf) und 
deren Q — 1 erste Derivirte nach ihrem Unstetigkeitswerthe (§. 2). 

Die 2p Periodicitätsmoduln dieser Function 5 sind lineare homogene 
Functionen der p + m Grössen a und ß. Wenn w>j)+l, lassen 
sich also 2p von den Grössen a und ß als lineare homogene Functionen 
der übrigen so bestimmen, dass die Periodicitätsmoduln sämmtlich 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 101 

werden. Die Function enthält dann iiocli m ~ p -\- 1 willkürliche Con- 
stanten, von denen sie eine lineare homogene Function ist, und kann 
als ein linearer Ausdruck von m — p Functionen betrachtet werden, 
deren jede mir für i:> + 1 Wertlie unendlich von der ersten Ordnung 
wird. 

Wenn m=p -\- 1 ist, so smd die Verhältnisse der 2j) + 1 Grössen 
a und ß bei jeder Lage der p -f- 1 Punkte e völlig bestimmt. Es 
können jedoch für besondere Lagen dieser Punkte einige der Grössen 
ft gleich werden. Die Anzahl dieser Grössen sei = m — ^, so dass 
die Function nur für ^ Punkte unendlich von der ersten Ordnung wird. 
Diese ^ Punkte müssen dann eine solche Lage haben, dass von den 
2p Bedingungsgleichungen zwischen den i^ + |u. übrigen Grössen ß und a 
^) -f- 1 — ^ eine identische Folge der übrigen sind, und es können 
daher nur 2^ — p — 1 von ihnen beliebig gewählt werden. Ausserdem 
enthält die Function noch 2 willkürliche Constanten. 

Es sei nun s so zu bestimmen, dass ft möglichst klein wird. Wenn s 
|Ltmal unendlich von der ersten Ordnung wird, so ist dies auch mit 
jeder rationalen Function ersten Grades von s der Fall; man kann 
daher für die Lösung dieser Aufgabe einen der ^ Punkte beliebig 
wählen. Die Lage def übrigen muss dann so bestimmt werden, dass 
p -{-1 — ft von den Bedingungsgleichungen zwischen den Grössen a 
und ß eine identische Folge der übrigen sind; es muss also, wenn 
die Verzweigungswerthe der Fläche T nicht besondern Bedingungs- 
gleichungen genügen, p-\-\ — ^ ^ i^ — 1 oder ft^ ^i? + 1 sein. 

Die Anzahl der in einer Function s, die nur für 7n Punkte der 
Fläche T unendlich von der ersten Ordnung wird und übrigens stetig 
bleibt, enthaltenen willkürlichen Constanten ist in allen Fällen 
= 2m—p-\-l. 

Eine solche Function ist die Wurzel einer Gleichung n'"" Grades^ 
dere^i Coefficienten ganze Functionen m'^'* Grades von s sind. 

Sind 5i, ^2, ..., Sn die n Werthe der Function s für dasselbe z, 
und bezeichnet (5 eine beliebige Grösse, so ist ((? — s^ {6 — s^J-'-C^ — ^n) 
eine einwerthige Function von z, die nur für einen Punkt der ^-Ebene, 
der mit einem Punkte e zusammenfällt, unendlich wird und unendlich 
von einer so hohen" Ordnung, als Punkte s auf ihn fallen. In der 
That wird für jeden auf ihn fallenden Punkt f , der kein Verzweigungs- 
punkt ist, nur ein Factor dieses Products von einer um 1 höheren- 
Ordnung unendlich, für einen Punkt £, um den die Fläche T sich 

fimal windet, aber [l Factoren von einer um — höheren Ordnung. 

Bezeichnet man nun die Werthe von z in den Punkten f, wo z nicht 



102 VI. Theorie der Abel'sclien Functionen. 

unendlich ist, durch t^, ^,, . . ., ?,■ und (^ - g^) (^—^ ... (^—^,,) durch 
a-^^, so ist 0(^(0 — Si)...(a — Sn) eine einwerthige Function von s, die 
für alle endlichen Werthe von z endlich ist und für ^==00 unendlich 
von der m*'" Ordnung wird, also eine ganze Function m^''' Grades von z. 
►Sie ist zugleich eine ganze Function n'^« Grades von ö, die für ö = s 
verschwindet. Bezeichnet man sie durch F und, wie wir in der Fol<re 
thun wollen, eine ganze Function F n*""" Grades von 6 und m^'" Grades 

n m n m 

von z durch F (0, z), so ist s die Wurzel der Gleichung F (s, z) = 0. 

Die Function F ist eine Potenz einer un zerfällbaren — d. h. nicht 
als ein Product aus ganzen Functionen von a und z darstellbaren — 
Function. Denn jeder ganze rationale Factor von F {a, z) bildet, da 
er für einige der Wurzeln s^, s^, ..., Sn verschwinden niuss, für a = s 
eine Function von z, die in einem Theile der Fläche T verschwindet 
und folglich, da diese Fläche zusammenhängend ist, in der ganzen 
Fläche sein muss. Zwei unzerfällbare Factoren von F ((?, z) könnten 
aber nur für eine endliche Anzahl von Werthenpaaren zugleich ver- 
schwinden, wenn die eine nicht durch Multiplication mit einer Con- 
stanten aus der andern erhalten werden könnte. Folglich muss F eine 
Potenz einer unzerfällbaren Function sein. 

Wenn der Exponent v dieser Potenz > 1 ist, so wird die Ver- 
zweigungsart der Function s nicht dargestellt durch die Fläche T, 

sondej-n durch eine in der ^- Ebene allenthalben —fach ausgebreitete 

Fläche r, in welcher die Fläche T allenthalben i'fach ausgebreitet ist. 
Es kann dann zwar s als eine wie T verzweigte Function betrachtet 
werden, nicht aber umgekehrt T als verzweigt, wie s. 

Eine solche nur in einzelnen Punkten von T unstetige Function, 
wie 5, ist auch -j~. Denn diese Function nimmt zu beiden Seiten der 

Querschnitte und der Linien / denselben Werth an, da die Differenz 
der beiden Werthe von a in diesen Linien längs denselben constant 
ist-, sie kann nur unendlich werden, wo o unendlich wird, und in den 
Verzweigungspunkten der Fläche und ist sonst allenthalben stetig, da 
die Derivirte einer einändrig und endlich bleibenden Function ebenfalls 
einändrig und endlich bleibt. 

Es sind daher sämmtliche Functionen cj algebraische wie T ver- 
zweigte Functionen von z oder Integrale solcher Functionen. Dieses 
System von Functionen ist bestimmt, wenn die Fläche T gegeben ist 
und hängt nur von der Lage ihrer Verzweigungspunkte ab. 



VI. Theorie der Aberschen Functionen, 103 

6. 

n 7« 

Es sei jetzt die irreductible Gleichung F (s, z) = i) gegeben und 
die Art der Verzweigung der Function s oder der sie darstellenden 
Fläche T zu bestimmen. Wenn für einen Werth ß von z ^ Zweige 
der Function zusammenhängen/ so dass einer dieser Zweige sich erst 
nach ft Umläufen des'^ um ß wieder in sich selbst fortsetzt, so können 
diese ^ Zweige der Function (wie nach Cauchy oder durch die 
Fourier'sche Reihe leicht bewiesen werden kann) dargestellt werden 
durch eine Reihe nach steigenden rationalen Potenzen von z — ß mit 
Exponenten vom kleinsten gemeinschaftlichen Nenner ^, und um- 
gekehrt. 

Ein Punkt der Fläche T, in welchem nur zwei Zweige einer 
Function zusammenhängen, so dass sich um diesen Punkt der erste in 
den zweiten und dieser in jenen fortsetzt, heisse ein einfacJier Ver- 
zivelgungsimnld. 

Ein Punkt der Fläche, um welchen sie sich ('fi+l)mal windet, 
kann dann angesehen werden als ^ zusammengefallene (oder unendlich 
nahe) einfache Verzweigungspunkte. 

Um dies zu zeigen, seien in einem diesen Punkt umgebenden 
Stücke der ^-Ebene s^, s^, . . ., s^ij^i einändrige Zweige der Function .s 
und in der Begrenzung desselben, bei positiver Umschreibung auf 
einander folgend, a^, a^, ..., «^ einfache Verzweigungspunkte. Durch 
einen positiven Umlauf um a^ werde .s^ mit 5^, um a.^ s^ üiit s.^, ..., 
um «^ s^ mit s^<_|_i vertauscht. Es gehen dami nach einem positiven 
Umlaufe um ein alle diese Punkte (und keinen andern Verzweigungs- 
punkt) enthaltendes Gebiet 

in §2, ^3, . . ., 5^,-1-1, 5i, über, 

und es entsteht daher, wemi sie zusammenfallen, ein /iifacher Windungs- 
punkt. 

Die Eigenschaften der Functionen a hängen wesentlich davon ab, 
wie vielfach zusammenhängend die Fläche T ist. Um dies zu ent- 
scheiden, wollen wir zunächst die Anzahl der einfachen Verzweigungs- 
punkte der Function s bestimmen. 

In einem Verzweigungspunkte nehmen die dort zusammenhängen- 
den Zweige der Function denselben Werth an, und es werden daher 
zwei oder mehrere Wurzeln der Gleichung 

F(s) == (fo s'' + «1 s"-i H h ^« = ^ 

einander gleich. Dies kann nur geschehen, wemi 



104 VI. Theorie der Aberscheii Functionen. 

F' {s) = «0 ns"-i + a^ n^^l\s'«-2 _| (_ ^^_^ 

oder die einwerthige Function von z, F' {s^) F' (s^) . .. F' {Sy), ver- 
schwindet. Diese Function wird für endliche Werthe von z nur un- 
endlich, wenn s = <^, also a^ == ist und muss, um endHch zu bleiben, 
mit öfo"~^ multiplicirt werden. Sie wird dann eine einwerthige, für 
ein endliches z endliche Function von z, welche .für z = oo unendlich 
von der 2ni{n — l)ten Ordnung wird, also eine ganze Function 
2m{n — l)ten Grades. Die Werthe von z, für welche F' {s) und F{s) 
gleichzeitig verschwinden, sind also die Wurzeln der Gleichung 
2m{n — l)ten Grades 

Q{z)=%''-''nF'{si) = oder auch, da F' {s^=a^n{Si — Si), (i>i), 

i, i' 

welche durch Elimination von s aus F'(s) = und F(s) = gebildet 
werden kann. 

Wird F(s,z)==0 für s = a, z = ß, so ist 

+ , 

^ (*) = 17 + ^ (*-«> + ä?& (^-^) + - 
Ist also für {s = a. z = S) -— = und verschwinden -k-, -^-7- dann 

nicht, so wird s — a unendlich klein, wie (z — ß)^, und findet also ein 
einfacher Verzweigungspunkt statt. Es werden zugleich in dem 

Producte TIJP' (5,) zwei Factoren unendlich klein wie (^ — ß)^, und 
t 

Q{z) erhält dadurch den Factor {z — ß). In dem Falle, dass -j- 

d^F . . . . ■ dF 

und -ö-2~ Jiiö verschwinden, wenn gleichzeitig F = und -^ — = 

werden, entspricht demnach jedem linearen Factor von Q{z) ein ein- 
facher Verzweigungspunkt, und die Anzahl dieser Punkte, ist also 
= 2m(n—l). 

Die Lage der Verzweigungspunlde hängt von den Coefficienten 
der Potenzen von z in den Functionen a ab und ändert sich stetig mit 
denselben. 

Wenn diese Coefficienten solche Werthe annehmen, dass zwei 
demselben Zweigepaar angehörige einfache Verzweigungspunkte zu- 



VI. Theorie der AbeFschen Functionen. 1U5 

sammenfallen, so heben diese sich auf, und es werden zwei Wurzeln 
von i^Xcs) einander gleich, ohne dass eine Verzweigung stattfindet. 
Setzt sich um jeden von ihnen s^ in i^ und Sg in s^ fort, so geht durch 
einen Umlauf um ein beide enthaltendes Stück der ^- Ebene s^ in 8, 
und 8.2 in Sg über, und beide Z^reige werden einändrig, wenn sie zu- 

ds . 
sammenfallen. Es bleibt dann also auch ihre Derivirte -r^ einändrig 

und endlich, und folglich wird p = — j: ' ^= O, 



Wird F = y- = ~^- = für s==a, '^ = {^-, so ergeben sich aus 
den drei folgenden Gliedern der Entwicklung von F{s^ z) zwei Werthe 
für ^_a = -p,', (s = a, z = ß). Sind diese Werthe ungleich und end- 
lich, so können die beiden Zweige der Function 6', denen sie angehören, 
dort nich^ zusammenhängen und sich nicht verzweigen. Es wird dann 

dF 

^ für beide unendlich klein wie z — ß, und Q(z) erhält dadurch den 

Factor (z — ßf-^ es fallen also nur zwei einfache Verzweigungspunkte 
zusammen. 

Um in jedem Falle, wenn für z = ß mehrere Wurzeln der Gleichung 
_F(s) = gleich a werden, zu entscheiden, wie viele einfache Ver- 
zweigungspunkte für (s = «, z = ß) zusammenfallen, und wie viele von 
diesen sich aufheben, muss man diese Wurzeln (nach dem Verfahren 
von Lagrange) soweit nach steigenden Potenzen von z — ß entwickeln, 
bis diese Entwicklungen sämmtlich von einander verschieden werden; 
wodurch sich die wirklich noch stattfindenden Verzweigungen ergeben. 
Und man muss dann untersuchen, von welcher Ordnung F' (s) für 
jede dieser Wurzeln . unendlich klein wird, um die Anzahl der ihnen 
zugehörigen linearen Factoren von Q(z) oder der für (s = a, z = ß) 
zusammengefallenen einfachen Verzweigungspunkte zu bestimmen. 

Bezeichnet die Zahl q, wie oft sich die Fläche T um den Punkt 
(s, z) windet, so wird im Punkte ( z) F' (s) so oft unendlich klein von 
der ersten Ordnung, als dort einfache Verzweigungspunkte zusammen- 
fallen, dz ? so oft, als deren wirklich stattfinden, folglich F' {s)dz ? 
so oft, als von ihnen sich aufheben. 

Ist die Anzahl der wirklich stattfindenden einfachen Verzweigungen 
w, die Anzahl der sich aufliebenden 2 r, so ist 

w -{- 2r = 2(w — l)m. 

Nimmt man an, dass die Verzweigungspunkte nur paarweise und sich 
aufhebend zusammenfallen, so ist für r Werthenpaare (6* = 7^,, z = $n) 



106 VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 

^ dF dF ^ . c-F d'F /d'FV 

. jj = —- = ---^ = und 



-V 



ds dz dz^ ds'^ ydsdz^ 

rF ?^V 

nicht Null und für w Werthenpaare von .s^ und z F = 0, ^~ ==" ^, -^ 
nicht Null und -^^^ nicht Null. 

Wir beschränken uns meistens auf die Behandlung dieses Falles, 
da sich die Resultate auf die übrigen als Grenzfälle desselben leicht 
ausdehnen lassen, und wir können dies hier um so mehr thun, da 
wir die Theorie dieser Functionen auf eine von der Ausdrucksform 
unabhängige, keinen Ausnahmefällen unterworfene Grundlage gestützt 
haben. 

7. 

Es findet nun bei einer einfach zusammenhängenden, über einen 
endlichen Theil der ^- Ebene ausgebreiteten Fläche zwischen der An- 
zahl ihrer einfachen Verzweigungspunkte und der Anzahl der Um- 
drehungen, welche die Richtung ihrer Begrenzungslinie macht, die 
Relation statt, dass die letztere um eine Einheit grösser ist, als die 
erstere; und aus dieser ergiebt sich für eine mehrfach zusammen- 
hängende Fläche eine Relation zwischen diesen Anzahlen und der An- 
zahl der Querschnitte, welche sie in eine einfach zusammenhängende 
verwandeln. Wir können diese Relation, welche im Grunde von Mass- 
verhältnissen unabhängig ist und der analysis sittis angehört, hier für 
die Fläche T so ableiten. 

Nach dem Dirichl et 'sehen Princip lässt sich in der einfach zu- 
sammenhängenden Fläche T' die Function log J von 2 so bestimmen, 
dass S für einen beliebigen Punkt im Innern derselben unendlich klein 
von der ersten Ordnung wird, und log g längs einer beliebigen sich 
nicht schneidenden, von dort nach der Begrenzung führenden Linie 
auf der positiven Seite um — 27ti grösser, als auf der negativen, 
übrigens aber allenthalben stetig und längs der Begrenzung von T' 
rein imaginär ist. Es nimmt dann die Function ^ jeden Werth, dessen 
Modul < 1, einmal an; die Gesammtheit ihrer Werthe wird folglich 
durch eine über einen Kreis in der g- Ebene einfach ausgebreitete 
Fläche vertreten. Jedem Punkte von T' entspricht ein Punkt des 
Kreises, und umgekehrt. Es wird daher für einen beliebigen Punkt 
der Fläche, wo z = s\ i=t\ die Function S — 5' unendlich klein von 
der ersten Ordnung, und folglich bleibt dort, wenn die Fläche T' sich 
(/Lt+l)mal um ihn windet, bei endlichem 0' 



VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 107 

bei unendlichem z aber 



J* dz 

d log —, um den ganzen Kreis positiv herum- 

genommen^ ist gleich der Summe der Integrale um die Punkte^ wo 

j-r unendlich oder Null wird, und also = 2;rifw — 2n). Bezeichnet 8 
dg • 

ein Stück der Begrenzung von T' von einem und demselben bestimmten 

Punkte bis zu einem veränderlichen Punkte der Begrenzung, und (5 das 

entsprechende Stück auf dem Kreisumfange, so ist 

^ dz , dz . , ds , d^ 

log ^ = log ^ + log ^ - log ^, 

und^ durch die ganze Begrenzung ausgedehnt, 

J'dlog^ = (2p - 1) 2^i, Jdlog^ = 0, -fdlog'^ = - 2xi, 

also 



/ 



d\og'^ = {2p — 2)27ci. 



dt 

Es ergiebt sich demnach w — 2n == 2 {p — 1). Da nun 

w = 2 ((n — 1) m — rV 
so ist 

j? == (w — 1) (m — 1) — r. 



8. 

üer allgemeine Ausdruck der wie T verzweigten Functionen s 
von z, die für m' beliebig gegebene Punkte von T unendlich von der 
ersten Ordnung werden und übrigens stetig bleiben, enthält nach dem 
Obigen m' — p -\- \ willkürliche Constanten und ist eine lineare 
Function derselben (§. 5). Lassen sich also, wie jetzt gezeigt werden 
soll, rationale Ausdrücke von 6' und z bilden, die für m beliebig ge- 
gebene, der Gleichung jP=0 genügende Werthenpaare von s und z 
unendlich von der ersten Ordnung werden und lineare Functionen von 
m — p -{- 1 willkürlichen Constanten sind, so kann durch diese Aus- 
drücke jede Function s dargestellt werden. 

Damit der Quotient zweier ganzen Functionen % (ßj ^) "^^ ^' fe ^) 
für s = <x> und z = oc beliebige endliche Werthe annehmen kann, 
müssen beide von gleichem Grade sein-, der Ausdruck, durch welchen 



108 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

6'' dargestellt werden soll, sei daher von der Form ^ ' ~ , und über- 

dies sei v^ n — 1, ft > m — 1. Wenn zwei Zweige der Function s 
ohne zusammenzuhängen einander gleich werden, also für zwei ver- 
schiedene Punkte der Fläche T z = y und s = 8 wird, so wird s all- 
gemein zu reden in diesen beiden Punkten verschiedene Werthe an- 
nehmen; soll also i/' — s % allenthalben = sein, so muss für zwei 
verschiedene Werthe von s ifj (7, Ö) — s % (y, Ö) = 0' sein, folglich 
X (.7) 8) = und il> (y, ö) = 0. Es müssen also die Functionen % und 
tl^ für die r Werthenpaare s = yo, z = 8q (S. 105) verschwinden*). 

Die Function % verschwindet für einen Werth von z, für welchen 
die einwerthige und für ein endliches z endliche Function von z 
K(z) = a,''x{s,)x(is,) . . . x(sn) = 

ist-, diese Function wird für ein unendliches z unendlich von der Ord- 
nung mv -\- n^ und ist also eine ganze Function (mv -f- n^)ten Grades. 
Da für die Werthenpaare (7, d) zwei Factoren des Products n%{si) 

unendlich klein von der ersten Ordnung werden, also K{z) unendlich 
klein von der zweiten Ordnung, so wird % ausserdem noch unendlich 
klein von der ersten Ordnung für 

i = mv -f- n^i — 2r 
Werthenpaare von ,s' und z oder Punkte von T. 

Ist V > w — ^ 1, /L6 > m — 1, so bleibt der Werth der Function % 
ungeändert, wenn man 

V jii V — n jii — 7n n in 

%{s, z) + q{ s, z )F(s, z), 
worin q beliebig ist, für % (s, z) setzt*, es können also 

(y ^ _[_ 1) (^ _ 1^ _|_ 1) 

von den Coefficienten dieses Ausdrucks willkürlich angenommen wer- 
den. Werden nun von den 



*) Es ist hier, wie gesagt, nur der Fall berücksichtigt, wo die Verzweigungs- 
punkte der Function s nur paarweise und sich aufhebend zusammenfallen. Im 
Allgemeinen müssen in einem Punkte von T, wo nach der Auffassung im §. 6 
sich aufhebende Verzweigungspunkte zusammenfallen, % und ip, wenn T sich um 

1-1 
diesen Punkt ^ mal windet, unendlich klein werden, wie F'{s)ds^ , damit die 
ersten Glieder in der Entwicklung der darzustellenden Function nach ganzen 

Potenzen von (z/ 2) ^ beliebige Werthe annehmen können. 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 109 

(> +l)(v+l) — {v^n+ 1) (ji-mA- 1) 

noch übrigen r als lineare Functionen der übrigen so bestimmt, dass 
X für die r Werthenpaare (y, ö) verschwindet, so enthält die Function 
X noch 

s = {fi+l){v + l)-{v-n+l)(ß-m+\)-o' 
= n^ + mv — (n — 1) (ni — 1) — r + 1 

willkürliche Constanten. Es ist also 

i — £ = (n — 1) {m — 1) — r — 1 = j? — 1. 

Nimmt man ^ und v so an, dass e > ni ist, so kann man x so 
bestimmen, dass es für ni beliebig gegebene Werthenpaare unendlich 
klein von der ersten Ordnung wird, und dann, wenn m > j), ^ so ein- 

richten, dass -— für alle übrigen Werthe endlich bleibt. In der That 

ist 1^ ebenfalls eine lineare homogene Function von s willkürlichen 
Constanten, und es lassen sich also, wenn 6 — i -\- m > 1 ist, l — m' 
von ihnen als lineare Functionen der übrigen so bestimmen, dass i/^ 
für die i — m Werthenpaare von s und z, für welche x noch unend- 
lich klein von der ersten Ordnung wird, ebenfalls verschwindet. Die 
Function ^ enthält demnach s — i -\- m = m — p + 1 willkürliche 

Constanten, und - - kann also jede Function s darstellen. 



9. 

Da die Functionen -,-- alt^ebraische wie s verzweigte Functionen 

dz ^ ° 

von z sind (§. 5), so lassen sie sich zufolge des eben bewiesenen 
Satzes rational in s und z ausdrücken, und sämmtliche Functionen g) 
als Integrale rationaler Functionen von s und z. 

Ist IV eine allenthalben endliche Function «, so wird -r- unend- 
lieh von der ersten Ordnung für jeden einfachen Verzweigungspunkt 
der Fläche T, da dw und {dz)^ dort unendlich klein von der ersten 
Ordnung sind, bleibt aber sonst allenthalben stetig und wird für 
z = oo unendlich klein von der zweiten Ordnung. Umgekehrt bleibt 
das Integral einer Function, die sich so verhält, allenthalben endlich. 

Um diese Function -rz als Quotient zweier ganzen Functionen von 

dz 

s und z auszudrücken, muss man (nach §. 8) zum Nenner eine Function 
nehmen, die verschwindet in den Verzweigungspunkten und für die 
r Werthenpaare (7, d). Dieser Bedingung genügt man am einfachsten 



1 10 ' VI. Theorie der AbeFschen Functionen. 

durch eine Function, die nur für diese Werthe wird. Eine solche ist i 

-p- = %ns'' — ^ + a^n — Is*'~^ + • • • + ctn — i- 

c s 

Diese wird für ein unendHches s unendlich von der n — 2ten Ord- 
nung (da üq dann unendlich klein von der ersten Ordnung wird) und 

für ein unendliches ^ unendlich von der mten Ordnung. Damit -y- 

ausser den Verzweigungspunkten endlich und für ein unendliches ^ 
unendlich klein von der zweiten Ordnung ist, muss also der Zähler 

71' — 2 m — 2 

eine ganze Function (p{ s," ) sein, die für die r Werthenpaare 
(y, d) (S. 105) verschwindet. Demnach ist 

n — 2 711 — 2 n — 2 m — 2 

r (p { s, z )dz (vis, Z ) ds 

ds dz 

worin 9 = für s = y^,, = d^, ^ = 1 , 2, . . ., r. 

Die Function cp enthält (n — 1) (m — 1) constante Coefficienten, 
und wenn r von ihnen als lineare Functionen der übrigen so bestimmt 
werden, dass cp = für die r Werthenpaare s == y, z = d, so bleiben 
noch (m — 1) 0^ — 1) — ^ ^^^^ P willkürlich, und es erhält cp die E^orm 

«i9^i + «2^2 H h (^P^P^ 

worin (p^, (p^, . • ., ^p besondere Functionen qp, von denen keine eine 
lineare Function der übrigen ist, und a^, a.^, . . ., ap beliebige Con- 
stanten sind. Als allgemeiner Ausdruck von w ergiebt sich, wie oben 
auf anderem Wege 

a^iv^ + a^iv., -\- ''•-{- cCpWp -\- const. 
Die nicht allenthalben endlich bleibenden Functionen o und also 
die Integrale zweiter und dritter Gattung lassen sich nach denselben 
Principien rational in s und 2 ausdrücken, wobei wir indess hier nicht 
verweilen, da die allgemeinen Regeln des vorigen Paragraphen keiner 
weitern Erläuterung bedürfen und zur Betrachtung bestimmter Formen 
dieser Integrale erst die Theorie der '9'- Functionen Anlass giebt. 

10. 
Die Function (p wird ausser für die r Werthenpaare {y, d) noch 
für m in — 2) -\- n{m — 2) — 2r oder 2{p — 1) der Gleichung F =0 
genügende Werthenpaare von s und z unendlich klein von der ersten 
Ordnung. Sind nun 



und 



9,(^) = ap<p, + am<p, + • ■ ■ + a,^''<p. 



VI. Theorie der Abel'schen Functionen. Hl 

zwei beliebige Functionen cp, so kann man in dem Ausdrucke ^-j den 

Nenner so bestimmen, dass er für ^) — 1 beliebig gegebene der Glei- 
chung F = genügende Werthenpaare von s und z gleich Null wird, 
und dann den Zähler so, dass er für p — 2 von den übrigen Werthen- 
paaren, für welche 9)'^' noch gleich wird, gleichfalls verschwindet. 
Er ist dann noch eine lineare Function von zwei willkürlichen Con- 
stanten und folglich ein allgemeiner Ausdruck einer Function, die nur 
für 2) Punkte der Fläche T unendlich von der ersten Ordnung wird. 
Eine Function, die für weniger als j9 Punkte unendlich wird, bildet 
einen speciellen Fall dieser Function-, es lassen sich daher alle Functionen, 
die für weniger als j) + 1 Punkte der Fläche T an endlich von der 

ersten Ordnung werden, in der Form ^^ oder in der Form t^^, wenn 

IV ^^^ und w^^^ zwei allenthalben endliche Integrale rationaler Functionen 
von .s' und z sind, darstellen. 



11. 

Eine wie T verzweigte Function z^ von z, die für n^ Punkte 
dieser Fläche unendhch von der ersten Ordnung wird, ist nach dem 
Früheren (S. 101) die Wurzel einer Gleichung von der Form 

n rii 

und nimmt daher jeden Werth für n^ Punkte der Fläche T an. Wenn 
man sich also jeden Punkt von T durch einen den Werth von z^ in 
diesem Punkte geometrisch repräsentirenden Punkt einer Ebene ab- 
gebildet denkt, so bildet die Gesammtheit dieser Punkte eine in der 
<?!- Ebene allenthalben V^^fach ausgebreitete und die Fläche T — be- 
kanntlich in den kleinsten Theilen ähnlich — abbildende Fläche T^. 
Jedem Punkt in der einen Fläche entspricht dann eiit Punkt in der 
andern. Die Functionen co oder die Integrale wie T verzweigter 
Functionen von z gehen daher, wenn man für z als unabhängig ver- 
änderliche Grösse z^ einführt, in Functionen über, welche in der Fläche 
Tj allenthalben einen bestimmten Werth und dieselben Unstetigkeiten 
haben, wie die Functionen a in den entsprechenden Punkten von T, 
und welche folglich Integrale wie T^ verzweigter Functionen von 
Zi sind. 

Bezeichnet s^ irgend eine andere wie 2' verzweigte Function von 
Zj die für )ii^ Punkte von 'T und also auch von 2\ unendlich von der 
ersten Ordnung wird, so findet (§. b) zwischen .s\ und Zi eine Gleichung 
von der Form 



112 ^^- Theorie der Aberschen Functionen. 

n, Vit 

-statt, worin F^ eine Potenz einer unzerfällbaren ganzen Function von 
s^ und 0j^ ist, und es lassen sich, wenn diese Potenz die erste ist, alle 
wie Tj verzweigten Functionen von ^^ , folglich alle rationalen Functionen 
von s und .z rational in s^ und J2^ ausdrücken (§. 8). 

71 in 

Die Gleichung F(Sy ^) = kann also durch eine ratiiGmalfi^- Sub- 

stitution in -Fi (s^, -^i) = ^ und diese in jene transformirt werden. 

Die Grössengebiete (s, z) und (s^, z^ sind gleichvielfach zu- 
sammenhängend, da jedem Punkte des einen ein Punkt des andern 
entspricht. Bezeichnet daher r^ die Anzahl der Fälle, in welchen 
s^ und ^1 für zwei verschiedene Punkte des Grössengebiets (s^, z^ beide 

denselben Werth annehmen und folglich gleichzeitig F^, —^ und %r-^ 

gleich und 

ds^^ dz^^ yds^dzi J 
nicht Null ist, so rauss 

(Wi — 1) {m^ — 1) — r^ = p = (n — 1) (m — 1) — r 
sein. 

12. 

: Man betrachte nun als zu Einer Klasse gehörend alle irreductiblcn 
algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche 
sich durch rationale Suhstitutionen in einander transformiren lassen, so 
dass F{s, z) = und F^ (s^, z^ = zu derselben Klasse gehören, wenn 
sich für s und z solche rationale Functionen von s^ und z-^ setzen 
lassen, dass F{s,z)=^0 in F^{s^,z^ = übergeht und zugleich s^ 
und z^ rationale Functionen von s und z sind. 

Die rationalen Functionen von s und z bilden, als Functionen von 
irgend einer von ihnen t, betrachtet, ein System gleichverzweigter 
algebraischer Functionen. Auf diese Weise führt jede Gleichung 
offenbar zu einer Klasse von Systemen gleichverzweigter algebraischer 
Functionen, welche sich durch Einführung einer Function des Systems 
als unabhängig veränderlicher Grösse in einander transformiren lassen 
und zwar alle Gleichungen Einer Klasse zu derselben Klasse von 
Systemen algebraischer Functionen, und umgekehrt führt (§. 11) jede 
Klasse von solchen Systemen zu Einer Klasse von Gleichungen. 

Ist das Grössengebiet (5, z) 2p -\- 1 fach zusammenhängend und 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 113 

die Function J in ^it Punkten desselben unendlich von der ersten 
Ordnung, so ist die Anzahl der Verzweigungswerthe der gleich ver- 
zweigten Functionen von g, welche durch die übrigen rationalen 
Functionen von s und z gebildet werden, 2{^ -\- p — 1), und die An- 
zahl der willkürlichen Constanten in der Function ^2^ — i^ + 1 (§• 5). 
Diese lassen sich so bestimmen, dass 2 ^ — p -\- 1 Verzweigungswerthe 
gegebene Werthe annehmen, wenn diese Verzweigungswerthe von 
einander unabhängige Functionen von ihnen sind, und zwar nur auf 
eine endliche Anzahl Arten, da die Bedingungsgleichungen algebraisch 
sind. In jeder Klasse von Systemen gleichverzweigter 2^+1 fach 
zusammenhängender Functionen giebt es daher eine endliche Anzahl 
von Systemen ftwerthiger Functionen, in welchen 2^ — p -\- 1 Ver- 
zweigungswerthe gegebene Werthe annehmen. W^enn andererseits die 
2Qi-{-2) — 1) Verzweigungspunkte einer die f- Ebene allenthalben 
ftfacli bedeckenden 2p -{- 1 fach zusammenhängenden Fläche beliebig 
gegeben sind, so giebt es (§§. 3—5) immer ein System wie diese 
Fläche verzweigter algebraischer Functionen von J. Die 3^) — 3 
übrigen Verzweigungswerthe in jenen Systemen gleichverzweigter 
fiwerthiger Functionen können daher beliebige Werthe annehmen; 
und es hängt also eine Klasse von Systemen gleichverzweigter 2p -\- 1 jj 
fach zusammenhängender Functionen und die zu ihr gehörende Klasse ' 
algebraischer Gleichungen von 3p — 3 stetig veränderlichen Grössen 
ab, welche die Moduln dieser Klasse genannt werden sollen. 

Diese Bestimmung der Anzahl der Moduln einer Klasse 2p) + 1 
fach zusammenhängender algebraischer Functionen gilt jedoch nur 
unter der Voraussetzung, dass es 2^ — i^ + 1 Verzweigungswerthe 
giebt, welche von einander unabhängige Functionen der willkürlichen 
Constanten in der Function J sind. Diese Voraussetzung trifft nur zu, ^ 
wenn p> 1, und die Anzahl der Moduln ist nur dann = 3p> — 3, für ^ 
p = 1 aber = 1. Die directe Untersuchung derselben wird indess v' 
schwierig durch die Art und Weise, wie die willkürlichen Constanten 
in J enthalten sind. Man führe deshalb in einem Systeme gleichver- 
zweigter 22) + 1 fach zusammenhängender Functionen, um die Anzahl 
der Moduln zu bestimmen, als unabhängig veränderliche Grösse nicht 
eine dieser Functionen, sondern ein allenthalben endliches Integral 
einer solchen Function ein. 

Die Werthe, welche die Function tv von z innerhalb der Fläche 
T annimmt, werden geometrisch repräsentirt durch eine einen end- 
lichen Theil der 2r- Ebene einfach oder mehrfach bedeckende und die 
Fläche T' (in den kleinsten Theilen ähnlich) abbildende Fläche, welche 

IIikmann's gesammelte niathematisclie Werke. I. 8 



114 VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 

durch S bezeichnet werden soll. Da tv auf der positiven Seite des 
vten Querschnitts um die Constante ¥''^ grösser ist, als auf der nega- 
tiven, so besteht die Begrenzung von >S' aus Paaren von parallelen 
Curven, welche denselben Theil des T' begrenzenden Schnittsystems 
abbilden, und es wird die Orts Verschiedenheit der entsprechenden 
Punkte in den parallelen, den i'ten Querschnitt abbildenden Begren- 
zungstheilen von S durch die complexe Grösse ä;^^^ ausgedrückt. Die 
Anzahl der einfachen Verzweigungspunkte der Fläche S ist 2j9 — 2, 
da dtv in 2j) — 2 Punkten der Fläche T unendlich klein von der 
zweiten Ordnung wird. Die rationalen Functionen von s und sind 
dann Functionen von tv, welche für jeden Punkt von S Einen be- 
stimmten, wo sie nicht unendlich werden, stetig sich ändernden Werth 
haben und in den entsprechenden Punkten paralleler Begrenzungstheile 
denselben Werth annehmen. Sie bilden daher ein System gleichver- 
zweigter und 2jpfach periodischer Functionen von tv. Es lässt sich 
nun (auf ähnlichem Wege, wie in den §§. 3 — 5) zeigen, dass, die 
2p — 2 Verzweigungspunkte und die 2p) Ortsverschiedenheiten paralleler 
Begrenzungstheile der Fläche 8 als willkürlich gegeben vorausgesetzt, 
immer ein System wie diese Fläche verzweigter Functionen existirt, 
welche in den entsprechenden Punkten paralleler Begrenzungstheile 
denselben Werth annehmen und also 2j9fach periodisch sind, und die, 
als Functionen von einer von ihnen betrachtet, ein System gleichver- 
zweigter 2p -\- 1 fach zusammenhängender algebraischer Functionen 
bilden, folglich zu einer Klasse von 2p -\- 1 fach zusammenhängenden 
algebraischen Functionen führen. In der That ergiebt sich nach dem 
Dirichlet'schen Princip, dass in der Fläche S eine Function von tv 
bis auf eine additive Constante bestimmt ist durch die Bedingungen, 
im Innern von S beliebig gegebene Unstetigkeiten von der Form wie 
CO in T' anzunehmen und in den entsprechenden Punkten paralleler 
Begrenzungstheile um Constanten, deren reeller Theil gegeben ist, ver- 
schiedene Werthe zu erhalten. Hieraus schliesst man ähnlich, wie im 
§. 5, die Möglichkeit von Functionen, Avelche nur in einzelnen Punkten 
von S unstetig werden und in den entsprechenden Punkten paralleler 
Begrenzungstheile denselben Werth annehmen. Wird eine solche 
Function in w Punkten von S unendlich von der ersten Ordnung 
und sonst nicht unstetig, so nimmt sie jeden complexen Werth in 
9^ Punkten von S an; denn wenn a eine beliebige Constante ist, so ist 
/ d log {0 — a), um S erstreckt, = 0, da die Integration durch parallele 
Begrenzungstheile sich aufhebt, und es wird daher — a in S ebenso 
oft unendlich klein, als unendlich von der ersten Ordnung. Die Werthe, 
welche annimmt, werden folglich durch eine über die ,e- Ebene allent- 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 115 

halben nfach ausgebreitete Fläche repräsentirt, und die übrigen ebenso 
verzweigten und periodischen Functionen von iv bilden daher ein 
System wie diese Fläche verzweigter 2p -\- 1 fach zusammenhängender 
algebraischer Functionen von ^^ w. z. b. w. 

Für eine beliebig gegebene Klasse 2p -{- 1 fach zusammenhängender 
algebraischer Functionen kann man nun in dem als unabhängig ver- 
änderliche Grösse einzuführenden 

IC = a^ii\ + a.>ii\, + • • • + ((-ptCi, + c 

die Grössen a so bestimmen, dass p von den 2p Periodicitätsmoduln 
gegebene Werthe annehmen^ und c wenn J5 > 1 so, dass einer von den 
2p — 2 Verzweigungswerthen der periodischen Functionen von iv einen 
gegebenen Werth erhält. Dadurch ist iv völlig bestimmt, und also 
sind es auch die 3p — 3 übrigen Grössen, von denen die Verzwei- 
gungsart und Periodicität jener Functionen von w abhängt; und da 
jedweden Werthen dieser ?>p — 3 Grössen eine Klasse von 2p -\- \ fach 
zusammenhängenden algebraischen Functionen entspricht, so hängt eine 
solche von 3p — 3 unabhängig veränderlichen Grössen ab. 

Wenn p = 1 ist, so ist kein Verzweigungspunkt vorhanden, und 
es lässt sich in 

w = a^iv^ -\- c 

die Grösse a^ so bestimmen, dass ein Periodicitätsmodul einen ge- 
gebenen Werth erhält, und dadurch ist der andere Periodicitätsmodul 
bestimmt. Die Anzahl der Moduln einer Klasse ist also dann = 1. 



13. 

Nach den obigen (im §.11 entwickelten) Principien der Trans- 
formation muss man, um eine beliebig gegebene Gleichung F(s, z) = 
durch eine rationale Substitution in eine Gleichung derselben Klasse 

von möglichst niedrigem Grade zu transformiren, zuerst für z^ einen 
rationalen Ausdruck in .s und ^, r(s^ z), so bestimmen, dass n^ mög- 
lichst klein wird, und dann 5, gleich einem andern rationalen Aus- 
drucke r{Sj s) so, dass m^ möglichst klein wird und zugleich die zu 
einem beliebigen Werthe von s^ gehörigen Werthe von s^ nicht in 

71, »J, 

Gruppen unter einander gleielier zerfallen, so dass F^(s^^ s^^ nicht 
eine höhere Potenz einer unzerfällbaren Function sein kann. 



Wenn das Grössengebiet (.s^, z) 2 p -\- 1 fach zusammenhängend ist, 



116 VI. Theorie der Aberscheu Functionen. 

SO ist der kleinste Werth, den n^ annehmen kann, allgemein zu reden, 

> Y + 1 (§• ö) und die Anzahl der Fälle, in denen s^ und ^-^ für 

zwei verschiedene Punkte des Grössengebiets beide denselben Werth 
annehmen, 

= (^1 — 1) i^ni — l)~p. 

In einer Klasse von algebraischen Gleichungen zwischen zwei ver- 
änderlichen Grössen haben demnach, wenn ihre Moduln nicht beson- 
deren Bedinguhgsgleichungen genügen, die Gleichungen niedrigsten 
Grades folgende Form: 



2 2 






p = 2, F{t, l) = 0, r = 






jB = 2^ — 3, F(ß, g) = 0, )■ = (fi - 


-2f 




p = 2fi-2, F(s, ,?j = 0, r = (^ - 


- 1) (f* - 


-3). 



P>2 



Von den Coefficienten der Potenzen von s und in den ganzen 
Functionen F müssen r als lineare homogene Functionen der übrigen 

so bestimmt werden, dass -r^— und -^— für r der Gleichung: F = 

^ OS öz ° 

genügende Werthenpaare gleichzeitig verschwinden. Die rationalen 
Functionen von s und ^, als Functionen von einer von ihnen betrachtet, 
stellen dann alle Systeme 2p -\- 1 fach zusammenhängender algebrai- 
scher Functionen dar. 



14. 

Ich benutze nun nach Jacobi (Journ. f. Math. Bd. 9 Nr. 32 
§. 8) das AbeTsche Additionstheorem zur Integration eines Systems 
von Differentialgleichungen; ich werde mich dabei auf das beschränken, 
was in dieser Abhandlung später nöthig ist. 

Führt man in einem allenthalben endlichen Integrale w einer 
rationalen Function von s und als unabhängig veränderliche Grösse 
eine rationale Function von s und ^, ^, ein, die für m Werthenpaare 

von s und unendlich von der ersten Ordnung wird, so ist -,— eine 

m werthige Function von ^. Bezeichnet man die m Werthe von tv für 
dasselbe 5 durch w'^^\ w^^\ . . ., w'''''\ so ist 

dl; '^ dt '^ ^ dt 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 117 

eine einwerthige Function von ^, deren Integral allenthalben endlich 
bleibt, und folglich ist auch fd(w^^^ -|_ ^^c^^ _|- . . . _(_ ^("O) allenthalben 
einwerthig und endlich, mithin constant. Auf ähnliche Weise findet 
sich, weim w^^', w'^', . . ., 05 ('"^ die demselben g entsprechenden Werthe 
eines beliebigen Integrals co einer rationalen Function von s und z 
bezeichnen, f d{c3^^^ + ^^^^ + * * * + ^^"'0 ^i^ 3,uf eine additive Con- 
stante aus den Unstetigkeiten von co und zwar als Summe von einer 
rationalen Function und mit constanten Coefficienten versehenen Loixa- 
rithmen rationaler Functionen von ^. 

Mittelst dieses Satzes lassen sich, wie jetzt gezeigt werden soll, 
folgende jj gleichzeitige Differentialgleichungen zwischen den i> + 1 
der Gleichung F(Sj z) == genügenden Werthenpaaren von s und z, 

(^1; ^1); fe; ^2); -■-> fe + i; ^P+i) 

dFjs, , z,) "T- dF{s,,z,)" "^ ^ dF{si^i,Zp+i) 

dSi ds.^ dsp-^i 

für TT = 1, 2, . . ., jp, allgemein oder vollständig (complete) integriren. 
Durch diese Differentialgleichungen sind p von den Grössenpaaren 
(6>, z^i) als Functionen des einen noch übrigen völlig bestimmt, wemi 
für einen beliebigen Wertli des letzteren die Werthe der übrigen 
gegeben werden. Wenn man also diese p -\- \ Grössenpaare als 
Functionen einer veränderlichen Grösse f so bestimmt, dass sie für 
denselben Werth dieser Grösse beliebig gegebene Anfangswerthe 
(^'i^ ^1")? fe^ ^2^)7 • • V (A> + h ^% + y) amiehmen und den Differential- 
gleichungen genügen, so hat man dadurch die Differentialgleichungen 

allgemein integrirt. Nun lässt sich die Grösse -r- als einwerthige und 

folglich rationale Function von (s, z) immer so bestimmen, dass sie 
nur für alle oder einige von den |) + 1 Werthenpaaren (s^**, z^) un- 
endlich und für diese nur unendlich von der ersten Ordnung wird, da 
sich in dem Ausdrucke 

^ ^^t{Sf^, z^^ + 2 «^,«V + const. 

die Verhältnisse der Grössen a und /3 immer so bestimmen lassen, 
dass die Periodicitätsmoduln sämmtlich werden. Es genügen dami, 
wenn kein ß = ist, den zu lösenden Differentialgleichungen die 
jP + 1 Zweige der p + 1 werthigen gleichverzweigten Functionen 5 und 
z von 5, («1, z^), (^2, ^2), . . ., (5p+i, ^p + i), welche für 5 = die 
Werthe (s/', ^1^), fe^ V)» • • •; (A + ijA+O annehmen. Weim aber 
von den Grössen ß einige, etwa die i> + 1 — ^'^ letzten gleich 



118 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

werden^ so werden die zu lösenden Differentialgleichungen befriedigt 
durch die m Zweige der m werthigen Functionen s und 2 von J, (s^, z^), 
(52,^2)? •', {s,a,Zn?)y welche für 5 = gleich (sj^ V); i^-I",^-^)^ - -, 
{Sm^, ^in) werden, und durch constante also ihren Anfangs wer then 
.s'^,_|_i, . . ., z^pj^i gleiche Werthe der Grössen s,n^iy ^^n+i; . . .; s^+i, Zpj^i. 
Im letzteren Falle sind von den p linearen homogenen Gleichungen 






dsn 



für ;r = 1, 2, . . ., i> zwischen den Grössen ^- p. '^ i^ + 1 — »^ 



eine Folge der übrigen; es ergeben sich hieraus p -\- 1 — m Bedingungs- 
gleichungen, welche, damit dieser Fall eintritt, zwischen den Functionen 
{s^j z^, . . ., {Sm, ^7n) und also auch zwischen ihren Anfangswerthen 
(^1^ ^1^)7 • • •; {^m^y ^^n) erfüllt Sein müssen, und es können daher von 
diesen, wie oben (§. 5) gefunden, nur 2m — p — 1 beliebig gegeben 
werden. 



Es sei nun 



/ 



15. 

qpTT (g, Z)dz 
~dF{s,z) 



const., 



ds 

durch das Innere von T' integrirt, gleich Wjt und der Periodicitäts- 
modul von w^t für den vten Querschnitt gleich 'kr^ \ so dass sich die 
Functionen tv^, iv^j . . .; iVp des Grössenpaars {s, z) beim Uebertritt des 
Punkts (s, z) von der negativen auf die positive Seite des z/ten Quer- 
schnitts gleichzeitig um k^'''\ ^2^^^ • • •? ^p"^ ändern. Zur Abkürzung 
mag ein System von p Grössen (?>i, ?>2; • • •; ^p) einem andern 
(«1, «2 7 • • •; ^p) congruent nach 2p Systemen zusammengehöriger Moduln 
genannt werden, wenn es aus ihm durch gleichzeitige Aenderungen 
sämmtlicher Grössen um zusammengehörige Moduln erhalten werden 
kann. Ist der Modul der ;rten Grösse im ften Systeme == k^^, so 
heisst demnach 

(61, &2, • • •, bj,) £e: («1, «27 • • -7 CCpJy 

wenn 

hrt = «7t + ^ W^vÄ^^ 

r=l 

für 7t = 1,2, . . ., p und w^, Mg, . . ., mg^ ganze Zahlen sind. 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 119 

Da sich 2) beliebige Grössen a^, «2, . . ., üp immer und nur auf 

eine Weise in die F'orm ((„ = E ^^ä;J setzen lassen, so dass die 2 1) 

Grössen ^ reell sind, und durch Aenderung dieser Grössen g um ganze 
Zahlen alle congruenten Systeme und nur diese sich ergeben, so erhält 
man aus jeder Reihe congrueriter Systeme eins und nur eins, wenn 
man in diesen Ausdrücken jede Grösse | alle Werthe von einem be- 
liebigen Werthe bis zu einem um 1 grösseren, einen der beiden Grenz- 
werthe eingeschlossen, stetig durchlaufen lässt. 

Dieses festgesetzt, folgt aus den obigen Difierentialgleichungen 
oder aus den p Gleichungen 

y] (lW;r^f''> = für TT -- \,2, . . .,p 
durch Integration 

worin c^, r^, . . ., Cj, constante von den Werthen (5^, z^) abhängige 
Grössen sind. 

16. 
Drückt man g als Quotienten zweier ganzen Functionen von s und 
z, — , aus, so sind die Grössenpaare (s^, ^1), . . ., (5«, <^„j die gemein- 
schaftlichen Wurzeln der Gleichungen F = und ^ = t Da die 
ganze Function 

x—tt = r(s, z) 

für alle Werthenpaare, für welche % und 1^' gleichzeitig verschwinden, 
ebenfalls, was auch J sei, verschwindet, so können die Grössenpaare 
(^'1; ^\)y ' • •; fe«; ^"') ^^^^^ definirt werden als gemeinschaftliche Wurzeln 
der Gleichung F =0 und einer Gleichung f{s, z) = 0, deren Coeffi- 
cienten so sich ändern, dass alle übrigen gemeinschaftlichen Wurzeln 

constant bleiben. Wenn m<p-}-ly kann J in der Form ^^- dar- 
gestellt werden (§. 10) und /' in der Form 

Die allgemeinsten Werthe der den p Gleichungen 



df^^W =^0 für ;r = 1,2, . 



^=1 



120 VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 

genügenden Functionenpaare (s^, ^J, ..., (.s^,, :Sp) werden daher ge- 
bildet durch }) gemeinschaftliche Wurzeln der Gleichungen F = und 
(p = 0, welche so sich ändern^ dass die übrigen gemeinschaftlichen 
Wurzeln constant bleiben. Hieraus folgt leicht der später nöthige 
Satz, dass die Aufgabe, j> — 1 von den 2}) — 2 Grössenpaaren 
(Si; 5"/), . . ., (s2p-2, ^2p-2) als Functionen der p — 1 übrigen so zu 
bestimmen, dass die j; Gleichungen 

,ii~ 2p — 2 

^ dw„^^^) = für 7t = 1 , 2, . '. ., j> 

erfüllt werden, völlig allgemein gelöst wird, wenn man für diese 
2jj — 2 Grössenpaare die von den r Wurzeln 5 = 7^,, ^ = (J^ (§. 6) 
verschiedenen gemeinschaftlichen Wurzeln der Gleichungen F = und 
g) = oder die 2p — 2 Werthenpaare nimmt, für welche dw unend- 
lich klein von der zweiten Ordnung wird, und dass diese Aufgabe 
daher nur eine Lösung zulässt. Solche Grössenpaare sollen durch die 
Gleichung cp == verJcnüpft heissen. In Folge der Gleichungen 

27J — 2 2p — 2 2p — 2 2 p — 2 

^ dtv„W = wird ( ^ w,"-\ ^ to./"\ ..., ^ ^v„<">) , 

1 111 

die Summen über solche Grössenpaare ausgedehnt, congruent einem 
Constanten Grössensysteme (q, C2, . . ., Cp)^ worin c^ nur von der 
additiven Constante in der Function iv^ oder dem Anfangswerthe des 
sie ausdrückenden Integrals abhängt. 



Zweite Abtheiluug. 

17. 
Für die ferneren Untersuchungen über Integrale von algebraischen. 



2p -{- 1 fach zusammenhängenden Functionen ist die Betrachtung einer 
^fach unendlichen 'ö'-Reihe von grossem Nutzen, d. h. einer j^fach 
unendlichen Reihe, in welcher der Logarithmus des allgemeinen Gliedes 
eine ganze Function zweiten Grades der Stellenzeiger ist. Es sei in 
dieser Function für ein Glied, dessen Stellenzeiger m^, m^, . . ., nip 
sind, der Coefficient des Quadrats nif,? gleich a^t, ,«, des doppelten Pro- 
ducts m^7n^' gleich a^<, ^' == »u, ^o der doppelten Grösse m^^ gleich Vf.iy 
und das constante Glied = 0. Die Summe der Reihe, über alle ganzen 
positiven oder negativen Werthe der Grössen m ausgedehnt, werde 
als Function der p Grössen v betrachtet und durch ^(y^, v^, . . ., Vp) 
bezeichnet, so dass 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. l21 



(1.) ,^{v„v,,...,v,)- • ^-' -^'^ 



worin die Summationen im Exponenten sich auf ^ und ^', die äusseren 
Summationen aui' m^, nio, ...,mjj beziehen. Damit diese Reihe con- 

vergirt, muss der reelle Theil von lUj aft^^im^itn^c wesentlich negativ 

sein oder, als eine Summe von positiven oder negativen Quadraten 
reeller linearer von einander unabhilngiger Functionen der Grössen m 
dargestellt, aus p negativen Quadraten zusammengesetzt sein. 

Die Function %• hat die Eigenschaft, dass es Systeme von gleich- 
zeitigen Aenderungen der p Grössen v giebt, durch welche log ^ nur 
um eine lineare Function der Grössen v geändert wird, und zwar 2j) 
von einander unabhängige Systeme (d. h. von denen keins eine Folge 
der übrigen ist). Denn man hat, die ungeändert bleibenden Grössen 
V unter dem Functionszeichen d' weglassend, für ft = 1, 2, . . ., p 

(2.) %• = %• {v^, + 7t l) und 

(3.) ^ = /'''' + ''^'^'Q'iv, + «1,^,, V., + a^,^,, ...,Vp -\- üp,^), 

wie sich sofort ergiebt, wenn man in der Reihe für 0" den Stellen- 
zeiger m^i in 7n^i -\- 1 verwandelt, wodurch sie, während ihr Werth 
ungeändert bleibt, in den Ausdruck zur Rechten übergeht. 

Die Function %' ist durch diese Relationen und durch die Eigen- 
schaft, allenthalben endlich zu bleiben, bis auf einen constanten Factor 
bestimmt. Denn in Folge der letzteren Eigenschaft und der Rela- 
tionen (2.) ist sie eine einwerthige für endliche v endliche Function 

von e ^j e '\ . . ., e ^^ und folglich in eine pi'Aoh. unendliche Reihe 
von der Form 



2 



p 
A p ^ 



mit den constanten Coefficienten Ä entwickelbar. Aus den Relationen 
(3.) ergiebt sich aber 

p 
2 2J ajii, vt)i,( -f- Ol, V 

■^m^ , . . ._, wiv + 1 , ..., mp ^^ ^m, , . . ., mv , . . . , vip ^ 



folglich 



^m m = const. e , w. z. b. w. 



122 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

Man kann daher diese Eigenschaften der Function zu ihrer 
Definition verwenden. Die Systeme gleichzeitiger Aenderungen der 
Grössen Vy durch welche sich log %• nur um eine lineare Function von 
ihnen ändert, sollen Systeme zusmmnengeliöriyer Verioclicitätsmoduln der 
iinahhängig veränderlichen Grössen in dieser '9' -Function genannt werden. 

18. 

Ich substituire nun für die p Grössen v^, v.^, . . ., Vp p immer end- 
lich bleibende Integrale u^, u^, . . ., Up rationaler Functionen einer 
veränderlichen Grösse und einer 2^9+1 fach zusammenhängenden 
algebraischen Function s dieser Grösse, und für die zusammengehörigen 
Periodicitätsmoduln der Grössen v zusammengehörige (d. h. an dem- 
selben Querschnitte stattfindende) Periodicitätsmoduln dieser Integrale, 
so dass log d- in eine Function einer Veränderlichen 2 übergeht, 
welche sich, wenn s und z nach beliebiger stetiger Aenderung von 
den vorigen Werth wieder annehmen, um lineare Functionen der 
Grössen u ändert. 

Es soll zunächst gezeigt werden, dass eine solche Substitution für 
jede 2p -{- 1 fach zusammenhängende Function s möglich ist. Die Zer- 
schneidung der Fläche T muss zu diesem Zwecke so durch 2 p in sich 
zurücklaufende Schnitte a^, «2? • • •? ci^pj ^i? ^2; • • •; h^ geschehen, dass 
folgende Bedingungen erfüllt werden. Wenn man u^, 11.2, . . ., Up so 
wählt, dass der Periodicitätsmodul von Uf^i an dem Schnitte «a gleich 
Tci, an den übrigen Schnitten a gleich ist, und man den Periodicitäts- 
modul von U/^c an dem Schnitte hy durch a^^y bezeichnet, so muss 
cf'n,v = civ,fi und der reelle Theil von E a^^^'M^ifn^' für alle reellen 

(ganzen) Werthe der p Grössen m negativ sein. 

19. 

Die Zerlegung der Fläche T werde nicht wie bisher nur durch in 
sich zurücklaufende Querschnitte, sondern folgendermassen ausgeführt. 
Man mache zuerst einen in sich zurücklaufenden die Fläche nicht zer- 
stückelnden Schnitt öfjL und führe dann einen Querschnitt h^ von der 
positiven Seite von a^ auf die negative zum Anfangspunkte zurück, 
worauf die Begrenzung aus einem Stücke bestehen wird. Einen dritten 
die Fläche nicht zerstückelnden Querschnitt kann man demzufolge 
(wenn die Fläche noch nicht einfach zusammenhängend ist) von einem 
beliebigen Punkte dieser Begrenzung bis zu einem beliebigen Begren- 
zungspunkte, also auch zu einem früheren Punkte dieses Querschnitts 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 123 

führen. Man thue das Letztere, so dass dieser 'Querschnitt aus einer 
in sich zurücklaufenden Linie a.^^ und einem dieser Linie voraufgehen- 
den Theile c\ besteht, Avelcher das frühere Schnittsystem mit ihr ver- 
bindet. Den folgenden Querschnitt h.^ ziehe man von der positiven 
Seite von a., auf die negative zum Anfangspunkte zurück, worauf die 
Begrenzung wieder aus einem Stücke besteht. Die weitere Zerschnei- 
dung kann daher, wenn nöthig, wieder durch zwei in demselben 
Punkte anfangende und endende Schnitte a.^ und \ und eine das 
System der Linien a^ und 63 ^ai^ ihnen verbindende Linie c^ geschehen. 
Wird dieses Verfahren fortgesetzt, bis die Fläche einfach zusammen- 
hängend ist, so erhält man ein Schnittnetz, welches aus p Paaren von 
zwei in einem und demselben Punkte anfangenden und endenden Linien 
a^ und &i, a.y und h^, . . ., üp und hp besteht und aus i) — 1 Linien 
q^ (?2, ..., Cp-ij welche jedes Paar mit dem folgenden verbinden. Es 
möge Cv von einem Punkte von h,. nach einem Punkte von a,.|_i gehen. 
Das Schnittnetz wird als so entstanden betrachtet, dass der 2v — 1 te 
Querschnitt aus Cj_i und der von dem Endpunkte von c,_i zu diesem 
zurückgezogenen Linie a, besteht, und der 2viQ durch die von der 
positiven auf die negative Seite von a,. gezogene Linie hv gebildet wird. 
Die Begrenzung der Fläche besteht bei dieser Zerschneidung nach 
einer geraden Anzahl von Schnitten aus einem , nach einer ungeraden 
aus zwei Stücken. 

Ein allenthalben endliches Integral tv einer rationalen Function 
von s und z nimmt dann zu beiden Seiten einer Linie e denselben 
Werth an. Denn die ganze früher entstandene Begrenzimg besteht, 
aus einem Stücke und bei der Integration längs derselben von der 
einen Seite der Linie c bis auf die andere wird fdiv durch jedes früher 
entstandene Schnittelement zweimal, in entgegengesetzter Richtung, 
erstreckt. Eine solche Function ist daher in T allenthalben ausser 
den Linien a und h stetig. Die durch diese Linien zerschnittene Fläche 
T möge durch T" bezeichnet werden. 

20. 

Es seien nun tv^, W2, . . ., Wp von einander unabhängige solche 
Functionen, und der Periodicitätsmodul von iV/u an dem Querschnitte 
üy gleich Ä^^^ und an dem Querschnitte hv gleich ■B^^\ Es ist dann 

fX f.1 

das Integral fiv^idiVic, um die Fläche T" positiv herum ausgedehnt, 
= 0, da die Function unter dem Integralzeichen allenthalben endlich 
ist. Bei dieser Integration wird jede der Linien a und h zweimal, 
einmal in positiver und einmal in negativer Richtung durchlaufen, und 



124 VI. Theorie der Abel'sclieii Fimctionen. 

es muss während ieuer Integration, wo sie als Begrenzung des posi- 
tiverseits gelegenen Gebiets dient, für ti\i der Wertli auf der positiven 
Seite oder w^i'^, während dieser der Werth auf der negativen oder 
Wf^r genommen werden. Es ist also dies Integral gleich der Summe 
aller Integrale f {tv^t'^ ■ — Wf~) div^i- durch die Linien a und h. Die 
Linien h führen von der positiven zur negativen Seite der Linien a, 
und folglich die Linien a von der negativen zur positiven Seite der 
Linien h. Das Intejyral durch die Linie a,. ist daher 



('•) 



und das Integral durch die Linie Jh 

Das Integral f WjudWin'j um die Fläche T" positiv herum erstreckt, 
ist also 

und diese Summe folglich = 0. Diese Gleichung gilt für je zwei von 

den Functionen w^y w^, . . ., Wp und liefert also - — : — - — Relationen 

zwischen deren Periodicitätsmoduln. 

Nimmt man für die Functionen w die Functionen u oder wählt 



man 


sie so, 


dass ^J;^ 


für 


ein 


von 


f* 


verschiedenes 


V 


gleich 





und 


V 


= Tti ist, 


so gehen diese Relationen über 


in B''}: 


Jti 




Tii 


= 


oder 


in (^^,i.i' 


= a^',^. 























21. 

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Grössen a die zweite oben 
nöthig gefundene Eigenschaft besitzen. 

Man setze iv = ^ -\- vi und den Periodicitätsmodul dieser Function 
an dem Schnitte a^ gleich A^"^ = a^ -\- y^i und an dem Schnitte hv 
gleich B^^'^ = /3^ + d^i. Es ist dann das Integral 



j'(0"+©') 

1 Vcxcy oy ex] ^ 



dT 

j \\cx/ • \oyi j 

oder 



*) Dies Integral drückt den Inhalt der Fläche aus, welche die Gesammtheit 
der Worthe, die tv innerhalb T" annimmt, auf der ?/?- Ebene repräsentirt. 



VI. Theorie der Abel' sehen Functionen. 125 

durch die Fläche T" gleich dem Begrenzungsintegral f[idv um T" 
positiv herum erstreckt, also gleich der Summe der Integrale /(fA+ — ^~)dv 
durch die Linien a und h. Das Integral durch die Linie a^ ist 
= ccrfdv = a, dv, das Integral durch die Linie hy gleich ßvfdv =^ — ßvyv 
und folglich 

t/ \ / f t= 1 

Diese Summe ist daher stets positiv. 

Hieraus ergiebt sich die zu beweisende Eigenschaft der Grössen a, 
wenn man für tv setzt u^m^^ + u.,nk^ + • • * + ^h'^^^p- Denn es ist dann 
j^(v) ^^ rtivTci, jB^'^ = 2Ja^,,r%o folglich «„ stets = und 

oder gleich dem reellen Theile von — jcUa^^rmunh, welcher also für 
alle reellen Werthe der Grössen m positiv ist. 

22. 

Setzt man nun in der -O" -Reihe (1.) §. 17 für öf^,,«- den Periodi- 
citätsmodul der Function u^ an dem Schnitt hfi' und, durch e^^ e^^ ,..^ep 
beliebige Constanten bezeichnend, Ufj^ — e^, für i;^,, so erhält man eine 
in jedem Punkte von T eindeutig bestimmte Function von z^ 

^ (jh —^i, ^2 — ^2; • • • ; ^h — ^l)y 

welche ausser den Linien h stetig und endlich und auf der positiven 
Seite der Linie h^ (e"~ " ^^v "~ ^') ) mal so gross als auf der negativen 
ist, wenn man den Functionen u in den Linien h selbst den Mittel- 
werth von den Werthen zu beiden Seiten beilegt. Für wie viele 
Punkte von T' oder Werthenpaare von s und z diese Function un- 
endlich klein von der ersten Ordnung wird, kann durch Betrachtung 
des Begrenzungsintegrals fdlogd', um T' positiv herum erstreckt, 
gefunden werden; denn dieses Integral ist gleich der Anzahl dieser 
Punkte multiplicirt mit 2'jti. Andererseits ist dies Integral gleich der 
Summe der Integrale /((? log -0'+ — rflog-^-"") durch sämmtliclie Schnitt- 
linien a, h und c. Die Integrale durch die Linien a und c sind =^ 0, 
das Integral durch &,. aber gleich — 2fduy = 27ti, die Summe aller 
also = p27ti. Die Function -9' wird daher unendlich klein von der 
ersten Ordnung in p Punkten der Fläche T\ welche durch i^^, %y - -, Vp 
bezeichnet werden mögen. 



126 VI. Theorie der AbeFschen Functionen. 

Durch einen positiven Umlauf des Punktes (s, s) um einen dieser 
Punkte wächst log -ö- um 27ii, durch einen positiven Umlauf um das 
Schnittepaar Ov und Z>,. um — 27ti. Um daher die Function log -O" 
allenthalben eindeutig zu bestimmen, führe man von jedem Punkte t] 
einen Schnitt durch das Innere nach je einem Linienpaar, von Tjr den 
Schnitt ?v nach a^ und hy, und zwar nach ihrem gemeinschaftlichen 
Anfangs- und Endpunkte, und nehme in der dadurch entstandenen 
Fläche T* die Function allenthalben stetig an. Sie ist dann auf der 
positiven Seite der Linien l um — 2jti, auf der positiven Seite der 
Linie ttr um gr2%i und auf der positiven Seite der Linie &,. um 
— 2{iiv ^— er) — hr27ti grösser, als auf der negativen, wenn gr und h^ 
ganze Zahlen bezeichnen. 

Die Lage der Punkte rj und die Werthe der Zahlen g und h 
hängen von den Grössen e ab, und diese Abhängigkeit lässt sich auf 
folgendem Wege näher bestimmen. Das Integral flog d- du i^,, um T* 
positiv herum erstreckt, ist = 0, da die Function log d' in T* stetig 
bleibt. Dieses Litegral ist aber auch gleich der Summe der Integrale 
/(log'0'+ — log d--) dtiu durch sämmtliche Schnittlinien l, a, h und c 
und findet sich, wenn man den Werth von u^ im Punkte 7]v durdi 
«^/'^ bezeichnet, 

= 27ti ^ V c:^,(^) + Ji^Tti + V^,-a,, ^ — e^ + h\ 

worin Ä:^ von den Grössen e, ^, h und der Lage der Punkte rj unab- 
hängig ist. Dieser Ausdruck ist also = 0. 

Die Grösse ^^ hängt von der Wahl der Function Uj^i ab, welche 
durch die Bedingung, an dem Schnitte ü/n den Periodicitätsmodul Jti, 
an den übrigen Schnitten a den Periodicitätsmodul anzunehmen, nur 
bis auf eine additive Constante bestimmt ist. Nimmt man für ti^i eine 
um die Constante c^^ grössere Function und zugleich ^^, um c^< grösser, 
so bleiben die Function '9' und folglich die Punkte rj und die Grössen 
g, h ungeändert, der Werth von w^^ im Punkte Tjy aber wird a^^''^ -{- c^. 
Es geht daher h^ in Ä;^t — {jp — 1) c^ über und verschwindet, wenn 

c^ = —~~r genommen wird. 

Man kann folglich, wie für die Folge geschehen soll, die addi- 
tiven Constanten in den Functionen u oder die Anfangswerthe in den 
sie ausdrückenden Integralen so bestimmen, dass man durch die Sub- 
stitution von M^ — 2^«^/^^ für V/u in log'O' (v^, . . ., Vp) eine Function er- 
hält, welche in den Punkten ri logarithmisch unendlich wird und, durch 
7'* stetig fortgesetzt, auf der positiven Seite der Linien l um — 27ti, 



VJ. Theorie der Aberschen Functionen. 127 

V 

der Linien a um und der Linie &,, um — 2(iiy — Z'ßy^^') grösser 

1 

wird, als auf* der negativen. Zur Bestimmung dieser Anfangswerthe 
werden sich später leichtere Mittel darbieten, als der obige Integral- 
ausdruck für /i^. 



23. 

Setzt man {u^, i/^, . . ., Up) ^ (al^^^ cc.}^\ • • • , ccj^^^) nach den 2p 
Modulsystemen der Functionen ii (§. L5), also 

(r. ,v,,..., v„) ~ (- 2? <"\ - 'J? <''' • • • ' - 2? """* ) ' 

^1 1 1 ^ 

so wird -O- = 0. Wird umgekehrt -O- = für v^^ == r^,, so ist (r^, r^, . . ., r^,) 
einem Grössensysteme von der Form 

(-2"'"- 2"^'''' ■■■'-2 "'''') 

^1 1 1 ^ 

congruent. Denn setzt mau V/^^ = u^i — «^/^'^ + r^, indem man f]j, be- 
liebig wählt, so wird die Function d' ausser in rjp noch in p — 1 
andern Punkten unendlich klein von der ersten Ordnung, und be- 
zeichnet man diese durch rj^, i/^, . . •; Vp—h so ist 

(-"y <■>, - 2? «^"' ■■■'-"2 "'''') - ^''^' ''''■•■' '■''^- 

^1 1 1 ^ 

Die Function ^ bleibt ungeändert, wenn man sämmtliche Grössen 
V in's Entgegengesetzte verwandelt; denn verwandelt man in der Reihe 
für ^ {v^, v^, . . ., Vp) sämmtliche Indices m in's Entgegengesetzte, wo- 
durch der Werth der Reihe ungeändert bleibt, da — m^ dieselben Werthe 
wie niv durchläuft, so geht ^ {i\, v.^, . . . , Vj) über in 0'( — v^^ — '^2? • • •; — '^p)- 

Nimmt man nun die Punkte r]^, ^^ . . . , rjp — i beliebig an, so 

2) — 1 p — 1 

wird d' (— 2;«i^'>, ..., — 2:«/)) = und folglich, da die Function ^ 
1 1 

^ — 1 p—i 

wie eben bemerkt gerade ist, auch d' (Uaj^'\ ..., 2JcCp^''>) = 0. Es lassen 

1 1 

sich also die }) — 1 Punkte rjp^ rjp^i^ . . ., 'y]->p — 2 so bestimmen, dass 

p-l p—l . '2p -2 2p -2 

(2^« <■), . . ., 2' v>) - (- 2<'' ■■■'- 2'^"'") 

^1 i ^ "^ p p ^ 

und folglich 



128 VI. Theorie der AbeVscheu Functionen. 

2i> — 2 2JD-2 

^1 1 ^ 

ist. Die Lage der p — 1 letzten Punkte hängt dann von der Lage 
der 2^ — 1 ersten so ab^ dass bei beliebiger stetiger Aenderung der- 

selben E dan^'"> =0 iüv % =- \, 2, . . ., p, und folglich sind (§. 16) die 

Punkte 1] solche 2p ~ 2 Punkte^ für welche ein div unendlich klein 
von der zweiten Ordnung wird, oder wenn man den Werth des 
Grössenpaars (5, s) im Punkte r;,, durch ((7,., Si), bezeichnet, so sind 
((?!, Ji), ..., {a2p-2, S2J0-2) durch die Gleichung 9 = verknüpfte 
Werthenpaare (§. 16). 

Bei den hier gewählten Änfangswerthen der Integrale u wird also 



2p— 2 2p — 2 



) — 2 

^V))-(o,...,o) 

1 "^ 



tvenn die Siimmationen über sämmtliche von den Grössenpaaren (7^, d^)) 
(§. 6) verschiedene gemeinschaftliche Wurzeln der Gleichung F = und 
der Gleichung c-^^^ -\- c.^cp,^ -^ - - • -\- CpCp.p = erstrecld iverden, tvohei 
die Constanten Grössen c heliebig sind. 

Sind £^, £,,j . . ., Bni ni Punkte, für welche eine rationale Function | 
von s und 0, die m mal unendlich von der ersten Ordnung wird, den- 
selben Werth annimmt, und uj'''\ 5^<, Z/n die Werthe von u^t, 5, im 



m 



Punkte £^, so ist (§. 15) (27?(/'"\ ^^2^'^ • - -, 27 w^/'"^) congruent einem 

11 1 

Constanten, d. h. vom Werthe der Grösse | unabhängigen Grössen- 

systeme (ö^, ?>2 7 •••? ^p)} ^^^ ^s kann dann für jede beliebige Lage 

eines Punktes s die Lage der übrigen so bestimmt werden, dass 

m m 

{^u,'."\...,^u/A^(b„...,b„). 
^1 1 -^ 

Man kann daher, wenn m= p, (u^ — b^, . .., Up — h^,) und, wenn m < j;, 

p—m p— m 

für jede beliebige Lage des Punkts (s, z) und der p — m Punkte ?y 

p—\ p—\ 

auf die Form (— 27 a^^^^ . . . , — 27 «/')) bringen, indem man einen 
1 1 

der Punkte f mit (s, z) zusammenfallen lässt, und folglich ist 

p — 'ni j J — ?n 



VI. Theorie der Abel'schen Functionen. 129 

für jedwede Werthe des Grössenpaars (s, z) und der j) — m Grössen- 
paare (öy, f,) gleich 0. 

24. 

Aus der Untersuchung des §. 22 folgt als Corollar, dass ein be- 
liebig gegebenes Grössensystem {e^, . . ,, Cj) immer einem und nur 

einem Grössensystem e von der Form {Ea^^^'\ . . ., 2^«^^*^) congruent 

1 1 

ist, wenn die Function d' (n^ — c^, . . ., Up — Cp) nicht identisch ver- 
schwindet; denn es müssen dann die Punkte rj die j) Punkte sein^ für 
welche diese Function wird. Wenn aber '9- (w/^'^ — ^'d - - -7 ^/^'^ — Cp) 
für jeden Werth von (Sp, 0p) verschwindet, so lässt sich 

(«,<") -e,,..., «,0') - c,) = {-^u,('\ ..., -'^u.f'y) 

1 1 

setzen (§. 23), und es lassen sich also für jeden Werth des Grössen- 
paars (sp, Zp) die Grössenpaare {s^, z^, . . .^ (Sp—ij Zp—i) so bestim- 
men, dass 

^1 1 "^ 

P 

und folglich, bei stetiger Aenderung von (Sp, Zj), 2Jdtin^''^ = ist für 

1 

;r = 1, 2, . . ., jj. Die j) Grössenpaare (Sv, Zy) sind daher ^) von den 

Grössenpaaren (yo, ö\>) verschiedene Wurzeln einer Gleichung cp = Oy 

deren Coefficienten so sich ändern, dass die übrigen p — 2 Wurzeln 

constant bleiben. Bezeichnet man die Werthe von ii^ für diese j) — 2 

Werthenpaare von s und z durch Un^P'^^\ uJp~^^\ . . ., Un^'^^~'^\ so ist 

(^'^■,v'»,...;^v")=(o, ,0) 

und folglich 

2jo — 2 2 ^—2 

{e„ . . .,e,) = (- Vt(,<", . . ., - ^V»)- 

i> + 1 p 4- 1 

Umgekehrt ist, wenn diese Congruenz stattfindet, 

P P 

Ein beliebig gegebenes Grössensystem (e, , . . . , ep) ist also nur Einem 

p p 

Grössensysteme von der Form {2^cc^^''\ • . . , ^ccp^"') congruent ^ ivenn es 

1 1 

Rtfmakn's gpsanimolte raatheraatische Werke. I. 9 



130 VI. Theorie der AbeFschen Functionen. 

p-'2 p—2 

nicht einem Grössensysteme von der Form ( — 2Ja^^''\ . . ., — 27 a^/*)) con- 

1 1 



grtient ist, und unendlich vielen, wenn dieses stattfindet. 

Da d' {u, — i;«//'), ...,Uj, — hap (^')) = ^ (!;«//') — Wi , . . . ; hap (^') — Up\ 
1 1 1 1 

so ist '^ eine ganz ähnliche Function wie von (s^ 'z) auch von jedem 
derj^Grössenpaare (p^^^ y. Diese Function von ((J^,, J^,) wird = für das 
Werthenpaar {s, z) und für die den übrigen j; — 1 Grössenpaaren ((7, ^) 
durch die Gleichung ^ = verknüpften ^) — 1 Punkte. Denn bezeichnet 
man den Wertli von Un in diesen Punkten mit (^jP, ß/'^\..:, ßj^''~^\ so ist 

^ i 1 ^ 1 1 

und folglich -O- = 0, wenn rju mit einem dieser Punkte oder mit dem 
Punkte (s, s)* zusammenfällt. 

25. 

Aus den bisher entwickelten Eigenschaften der Function %- ergiebt 
sich der Ausdruck von log '0' durch Integrale algebraischer Functionen 

von (s, z\ {ö„ Si), ...,((T^, y. 

p p 

Die Grösse log 0- («f/'^) — 2:«/^'>, . . .) — log '^ (^f/l) — 2Ja^^^'\ . . .) 



ist, als Function von {a,,, ^,</) betrachtet, eine Function von der Lage 
des Punkts i^^^ welche im Punkte f^, wie — log (J^, — z^), im Punkte f^, 
wie log (f^ — Z2) unstetig wird und auf der positiven Seite einer von 
fj nach £2 zu ziehenden Linie um 27ti, auf der positiven Seite der 
Linie hv um 2 (uiM^ — u^^^^) grösser ist^ als auf der negativen^ ausser 
den Linien h und der Verbindungslinie von £^ und 62 aber allenthalben 
stetig bleibt. Bezeichnet nun arC'0(^£^^ £^) irgend eine Function von 
((7^,, S^), welche ausser den Linien h ebenso unstetig ist und auf der 
einen Seite einer solchen Linie ebenfalls um eine Constante grösser 
ist, als auf der andern, so unterscheidet sie sich (§. 3) von dieser nur 
um eine von ((j^^, i^^) unabhängige Grösse, und folglich ist sie von 

p 

2J'c3rC") (^£j ^ ^2) iiur um eine von sämmtlichen Grössen (ö, ^) unabhängige 

1 

und also bloss von (s^, z^) und (s^, z.^ abhängende Grösse verschieden. 
'üür^")(fi, fg) drückt den Werth einer Function la {e^, e.^ des §. 4 für 
(Sj z) == ((?^,, J,,) aus, deren Periodicitätsmoduln an den Schnitten a 
gleich sind. Aendert man diese Function um die Constante c, so 

p 
ändert sich 2;'co^>(£j, b^) um j)C\ man kann daher, wie für die Folge 



VI. Theorie der AbeVschen Functionen. 131 

geschehen soll, die additive Constante in der Function "w (f^, fg) ^^^^ 
den Anfangswerth in dem sie darstellenden Integrale dritter Gattung 

p 
so bestimmen, dass log '9'^''^^ — log %'^^^ = 2Jtar^>(£i, a.^. Da -O* von jedem 

1 

der Grössenpaare {(5, J) auf ähnliche Art, wie von {s, z) abhängt, so 
kann die Aenderung von log '9', wenn irgend eins der Grössenpaare 
(s, £), ((7^, Ji), ..., {pp, 5^,) eine endliche Aenderung erleidet, während 
die übrigen constant bleiben, durch eine Summe von Functionen "aT 
ausgedrückt werden. Offenbar kann man also, indem man nach und 
nach die einzelnen Grössenpaare (s, z)^ ((Jj, ^J, ..., {pp, 5/>) ändert, 
locf o)" ausdrücken durch eine Summe von Functionen tsr und 

log*(0,0, ...,0) 
oder dem Werth von log %^ für ein beliebiges anderes Werthen- 
system. Die Bestimmung von log -0" (0, 0, . . ., 0) als Function der 
3 p — 3 Moduln des Systems rationaler Functionen von s und z 
(§. 12) erfordert ähnliche Betrachtungen, wie sie von Jacobi in seinen 
Arbeiten über elliptische Functionen zur Bestimmung von (0) ange- 
wandt worden sind. Man kann dazu gelangen, indem man mit Hülfe 
der Gleichungen 

und 2 



wenn fi von ^' verschieden ist, die Differentialquotienten von log d^ 
nach den Grössen a in 

durch Integrale algebraischer Functionen ausdrückt. Für die Aus- 
führung dieser Rechnung scheint jedoch eine ausführlichere Theorie 
der Functionen, welche einer linearen Differentialgleichung mit alge- 
braischen Coefficienten genügen, nöthig, die ich nach den hier ange- 
wandten Principien nächstens zu liefern beabsichtige. 

Ist (so, Z2) unendlich wenig von (s^, z^) verschieden, so geht 
ür(fj, f^) über in dz^^t^s^), worin t (e^) ein Integral zweiter Gattung 

einer rationalen Function von s und z ist, welches in f, wie un- 

' ^ z — z^ 

stetig wird und an den Schnitten a den Periodicitätsmodul hat; und 
es ergiebt sich, dass der Periodicitätsmodul eines solchen Integrals an 

dem Schnitte hy gleich 2 —r-— ist und die Integrationsconstante sich 
so bestimmen lässt, dass die Summe der Werthe von / (fj) für die 
p Werthenpaare (c?^, JJ, . . ., ((>,;, ^,',) gleich ^^ — wird. Es ist dann 



132 VI. Theorie der Aberschen Functionen. 

g^^^ gleich der Summe der Wertlie von t (rj^a) für die den p — 1 

von (ö/^^, J^t) verschiedenen Grössenpaaren (öj J) durch die Gleichung 
cp = verknüpften p — 1 Werthenpaare und für das Werthenpaar 
(s, ^)^ und man erhält für 

~f^ dh + 2j h,c '^'^^' = ^ ^Qg ^ > 

einen Ausdruck, welchen Wei erstras s für den Fall^ wenn s nur eine 
zweiwerthige Function von ^ ist, gegeben hat (Journ. für Mathem. 
Bd. 47 S. 300 ..Form. 35). 

iDie Eigenschaften von 7o (s^ , f^) und t {e^) als Functionen von 
(s^j 2j) und (^2, ^2) ergeben sich aus den Gleichungen 

-^ fe; ^2) == J (log ^ 0^/-^> -pth, . . .) - log ^ (V^) - pih, . . .) ) 

welche in den obigen Ausdrücken für log d'^'^^ — log d-^^^ und — ~ 

als specielle Fälle enthalten sind. 

26. 

Es soll jetzt die Aufgabe behandelt werden, algebraische Functionen 
von 2 als Quotienten zweier Producte von gleichvielen Functionen 
^ {^h — ^1; • • •) ^^^ Potenzen der Grössen e^ darzustellen. 

Ein solcher Ausdruck erlangt bei den Uebergängen von {s, £) über 
die Querschnitte constante Factoren, und diese müssen Wurzeln der 
Einheit sein, wenn er algebraisch von b abhängen und also bei stetiger 
Fortsetzung für dasselbe z nur eine endliche Anzahl von Werthen an- 
nehmen soll. Sind alle diese Factoren /iite Wurzeln der Einheit, so 
ist die fite Potenz des Ausdrucks eine einwerthige und folglich ratio- 
nale Function von s und z. 

Umgekehrt lässt sich leicht zeigen, dass jede algebraische Function 
r von Zy die innerhalb der ganzen Fläche T' stetig fortgesetzt, allent- 
halben nur einen bestimmten Werth annimmt und beim üeberschrei- 
ten eines Querschnitts einen constanten Factor erlangt, sich auf man- 
nigfaltige Art als Quotient zweier Producte von -ö-- Functionen und 
Potenzen der Grössen e'^ ausdrücken lässt. Man bezeichne einen 
Werth von xi^ für r == 00 durch /3^, und für r = durch y^^ und 
nehme log r, indem man von jedem Punkte, wo r unendlich von der 
ersten Ordnung wird, nach je einem Punkte, wo r unendlich klein 
von der ersten Ordnung wird, eine Linie durch das innere von T' 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 133 

zieht, ausser diesen Linien in T' allenthalben stetig an. Ist dann 
logr auf der positiven Seite der Linie hy um (jy27ti und auf der posi- 
tiven Seite der Linie a, um — hy2'jti grösser, als auf der negativen, 
so ergiebt sich durch die Betrachtung des 13egrenzungsintegrals/logr fZ«^ 

V 

l'ür ^ = \y 2, . . . , p, worin r/r und hy nach dem oben Bemerkten 
rationale Zahlen sein müssen und die Summen auf der linken Seite 
der Gleichung über sämmtliche Punkte, wo r unendlich klein oder 
unendlich gross von der ersten Ordnung wird, auszudehnen sind, indem 
man einen Punkt, wo r unendlich klein oder unendlich gross von einer 
höheren Ordnung wird, als aus mehreren solchen Punkten bestehend 
betrachtet (§. 2). Wenn diese Punkte bis auf j) gegeben sind, so 
lassen sich diese p immer und allgemein zu reden nur auf eine Weise 

so bestimmen, dass die 2p Factoren e , e ' gegebene Werthe 

annehmen (§§. 15, 24). 

Wenn man nun in dem Ausdrucke 

P —2EhyUy 

worin P und Q Producte von gleichvielen Functionen -O- {n^ — Z'«/'^, . . .) 
mit demselben (s, z) und verschiedenen ((?, g) sind, die Werthenpaare 
von s und 2, für welche r unendlich wird, für Grössenpaare ((?, g) in 
den ^-Functionen des Nenners und die Werthenpaare, für welche r 
verschwindet, für Grössenpaare ((?, J) in den '9' -Functionen des Zählers 
substituirt und die übrigen Grössenpaare ((?, f) im Nenner und im 
Zähler gleich annimmt, so stimmt der Logarithme dieses Ausdrucks 
in Bezug auf die Unstetigkeiten im Innern von T' mit iog r überein 
und ändert sich beim Ueberschreiten der Linien a und h, wie log r, 
nur um rein imaginäre längs diesen Linien constante Grössen: er 
unterscheidet sich also von logr nach dem Dirichlet'schen Princip 
nur um eine Constante und der Ausdruck selbst von r nur durch 
einen constanten Factor. Bei dieser Substitution darf selbstredend 
keine der i)-- Functionen identisch, für jeden Werth von 5", verschwin- 
den. Dieses würde geschehen (§ 23.), wenn sämmtliche Werthenpaare, 
für welche eine einwerthige Function von (5, z) verschwindet, für 
Grössenpaare ((?, g) in einer und derselben O*- Function substituirt 
würden. 

27. 

Als Quotient ztveier #- Functionen, multiplicirt mit Potenzen der 
Grössen 6'", lässt sich demnach eine einwerthige oder rationale Function 



134 VI- Theorie der AbeVschen Functionen. 

von (s, z) nicht darstellen. . Alle Functionen r aber, die für dasselbe 
Werthenpaar von .s und z mehrere Werthe annehmen und nur für p 
oder weniger Werthenpaare unendlich von der ersten Ordnung wer- 
den, sind in dieser Form darstellbar und umfassen alle in dieser F^orm 
darstellbaren alö:ebraischen Functionen von z. Man erhält, abgesehen 
von einem constanten Factor, jede und jede nur einmal, wenn man in 

p 
für /i, und ^, rationale ächte Brüche und Uy — Za,M'^ für Vv setzt. 

1 

Diese Grösse ist zugleich eine algebraische Function von jeder 
der Grössen t, und die (im vor. §.) entwickelten Principien reichen 
völlig hin, um sie durch die Grössen z, ^i, ..., ^^^ algebraisch aus- 
zudrücken. 

In der That: Als Function von {s, z) nimmt sie, durch die 
ganze Fläche T' stetig fortgesetzt, allenthalben einen bestimmten 
Werth an, wird unendlich von der ersten Ordnung für die Werthen- 
paare ((?!, Ji), . . ., {0p, ^p) und erlangt an dem Schnitte a^ beim üeber- 

gange von der positiven zur negativen Seite den Factor e ^ , an 

dem Schnitte ?>,. den Factor e ; und jede andere dieselben Be- 

dingungen erfüllende Function von {s, z) unterscheidet sich von ihr 
nur durch einen von {s, z) unabhängigen Factor. Als Function von 
((?^, g^) nimmt sie, durch die* ganze Fläche T' stetig fortgesetzt, allent- 
halben einen bestimmten Werth an, wird unendlich von der ersten 
Ordnung für^das Werthenpaar (s, z) und für die den übrigen ^j — 1 Grössen- 
paaren ((?, durch die Gleichung ^ = verknüpften p — 1 Werthen- 
paare (^1*^^'^ ^/'"^)j •••? i^p^i) ^p—i) und erlangt an dem Schnitte av 

den Factor e ' ', an dem Schnitte hv den Factor e • ; und jede 
andere dieselben Bedingungen erfüllende Function von ((?^,, ^^,) unter- 
scheidet sich von ihr nur durch einen von (ö^, J^) unabhängigen 
Factor. Bestimmt man also eine algebraische Function von z, f^, . . ., ^j, 

f{(s, z)', {ö„ ti), ..., (Op, tp)) 

so, dass sie als Function von jeder dieser Grössen dieselben Eigen- 
schaften besitzt, so unterscheidet sie sich von dieser nur durch einen 
von sämmtlichen Grössen z, J^ , . . . , J^, unabhängigen Factor und wird 
also = Äf^ wenn Ä diesen Factor bezeichnet. Um diesen Factor zu 
bestimmen, drücke man in /' die von ((?^,, ^^<) verschiedenen Grössen- 
paare (ö, ?) durch (ö^^^\ ^Z^'-*)) • • -^ (^y>— i; ^^i) aus, wodurch e'r in 



VI. Theorie der Aberschen Functionen. 135 

übergehe; ott'enbar erhält man dann den inversen Werth der darzu- 
stellenden Function und also einen Ausdruck,, welcher == —.-. sein muss, 
wenn man in A(j für {Ony ^/O das Grössenpaar {s, z) und für die 

(irössen paare (.v, z)^ (<?/'"\ ^/'"O? •••? ^^/— i; SAO <^i^ Werthenpaare 
von {Sy z) substituirt, für welche die darzustellende Function und also 
/* = wird. Hieraus ergiebt sich A^ und also A bis auf das Vor- 
zeichen, welches durch directe Betrachtung der 0-- Reihen in dem dar- 
zustellenden Ausdrucke gefunden werden kann.*) 



*) üeber die Form clor algebraischen Function f mögen noch einige Bemer- 
kimgen folgen. Ist n der kleinste gemeinschaftliche Nenner der Grössen /t» und 
c^r, so ist die nte Potenz von f eine einwerthige Function sowohl von (s, z) als 
von sämmtlichen Grössenpaaren {g , ^) und folglich f die n te Wurzel aus einer 
rationalen Function. Diese rationale Function muss als Function von (s, z) so be- 
stimmt werden, dass sie für die j) Grössenpaare (a, ^) unendlich von der titen 
Ordnung wird, und dass von den n^; Punkten, für welche sie unendlich klein 
wird, ebenfalls je n zusammenfallen. 

Ist l irgend eine Function von (.s', z) welche an den Querschnitten dieselben 
Factoren erlangt, wie / und bezeichnet l^i den Werth dieser Function für das 
Werthenpaar ((T^<, ^f,), so ist f. l~^ Xi X.^ . . . Xp eine rationale Function q von 
*', z und sämmtlichen Grössen (ff, W) ; also : 

f= ^L. 

Aj A^ ... Xp 

[Bemerkung aus den in Kiemann's Nachlass befindlichen Entwürfen zur vor- 
stehenden Abhandlung] 



VII. 

Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer 
gegebenen Grösse. 

(Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.) 

Meinen Dank für die Auszeichnung , welche mir die Akademie 
durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden 
lassen, glauhe ich am besten dadurch zu erkennen zu geben ^ dass ich 
von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache 
durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Prim- 
zahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss 
und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen 
Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint. 

Bei dieser Untersuchung diente mir als Ausgangspunkt die von 
Euler gemachte Bemerkung, dass das Product 

1 



n 



1 n^ ' 



wenn für p alle Primzahlen, für n alle ganzen Zahlen gesetzt werden. 
Die Function der complexen Veränderlichen 6^, welche durch diese 
beiden Ausdrücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne 
ich durch t,{s). Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von 
s grösser als 1 ist; es lässt sich indess leicht ein immer gültig blei- 
bender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung 



erhält man zunächst 



d^ = "(^-^) 






n{s-\)i{s)=j -^ 



i'« — 1 dx 



VJl. lieber die Aiizalil der Primzahlen etc. 137 



Betrachtet man nun das Integral 

(— x)«—i dx 



f 



ex 



von -\- oo bis -|- oo positiv um ein Grössengebiet erstreckt, welches 
den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function 
unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses 
leicht gleich 



(,-.,. „,.w)J*-r 



- 1 (U 
1 



vorausgesetzt, dass in der vieldeutigen Function ( — xf'^ ^ =(yii—i)\og{—x) 
der Logarithmus von — ^ so bestimmt worden ist, dass er für ein 



negatives x reell wird. Man hat daher 



2sin;rs 77 (s — 1) S (^') = i f 



* ( — a:)« — 1 dx 



e^ 



das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden. 

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function J (s) für jedes 
beliebige complexe s und zeigt, dass sie einwerthig und für alle end- 
lichen Werthe von s, ausser 1, endlich ist, so wie auch, dass sie ver- 
schwindet, wenn ^ gleich einer negativen geraden Zahl ist. 

Wenn der reelle Theil von s negativ ist, kann das Integral, statt 
positiv um das angegebene Grössengebiet auch negativ um das Grössen- 
gebiet welches sämmtliche übrigen complexen Grössen enthält erstreckt 
werden, da das Integral durch Werthe mit unendlich grossem Modul 
dann unendlich klein ist. Im Innern dieses Grössengebiets aber wird 
die Function unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn x gleich einem 
ganzen Vielfachen von -j- 2 7ti wird und das Integral ist daher gleich 
der Summe der Integrale negativ um diese Werthe genommen. Das 
Integral um den Werth n27ti aber ist =( — n27iiy~'^( — 27t i), 
man erhält daher 

2sm7tsn(s— 1) i{s) = (27ty Un"-' ({— iy- ' + i'~'), 
also eine Relation zwischen J(s) und 5(1 — s), welche sich mit Be- 
nutzung bekannter Eigenschaften der Function 77 auch so ausdrücken 
lässt: 

bleibt ungeändert, wenn s in 1 — s verwandelt wird. 

Diese Eigenschaft der Function veranlasste mich statt 77 (s — 1) 

das Integral 77(4" — 1) "^ ^^^^ allgemeinen Gliede der Reihe ^ - 



138 VII. - Ueber die Anzahl der Primzahlen 

einzuführen^ wodurch man einen sehr bequemen Ausdruck der Function 
^(s) erhält. In der That hat man 

GO 

J,, 77(: - l) 7C'-i^J\- »«-^7-' dx, 



also, wenn man 

1 
setzt, 

r/S 

^(2 - 1) ''^ ^ ^ ^'^ = J </.(«) »V- ' dx, 

u 
oder da 

2t{j') + 1 = ^•~"2-(^2t/. 1^1^ 4_ 1^^ (Jacobi, Fund. S. 184) 

CO 1 

n(~^-l)^-it (s) =J ^(x)xi~\lx+ J\ (i-) x^ dx 

*1 

1 
ü 

00 

= s(s-i) + J ^W(^^'^ +^' ^'Jdx. 
Ich setze nun 6- == ^ + ^i und 



SO dass 

KO == i — (^^ + i) / ^ W -^""^'^ cos (4- 1 log ^) ^^ 
1 
oder auch 

1 

Diese Function ist für alle endlichen Werthe von t endlich, und 
lässt sich nach Potenzen von ^^ in eine sehr schnell convergirende 
Reihe entwickeln. Da für einen Werth von 5, dessen reeller Bestand- 
theil grösser als 1 ist, log ^ (s) = — U log (1 ~ p- ') endlich bleibt 
und von den Logarithmen der übrigen Factoren von J (t) dasselbe gilt, 
so kann die Function J (0 ^^^ verschwinden, wenn der imaginäre 
Theil von t zwischen ^ i und — ^ i liegt. Die Anzahl der Wurzeln 
von I {£) = 0, deren reeller Theil zwischen und T liegt, ist etwa 



unter einer gegebenen Grösse. 139 

T , 7 r 

= lof*" — - : 

denn das Integral f d\o^^(t) positiv um den Inbegriff der Werthe 
von t erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen \i und — \i und 
deren reeller Theil zwischen und T liegt, ist (bis auf einen Bruch- 

tlieil von der Ordnung der Grösse „,) gleich (Tlog„ ^)^; dieses 

Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden 
Wurzeln von 5(0 = ^^ multiplicirt mit 2JC^. Man findet nun in der That 
etwa so viel reelle Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr 
wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings 
ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung 
desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei 
Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung 
entbehrlich schien. 

Bezeichnet man durch a jede Wurzel der Gleichung | («) = 0, so 
kann man log J(0 durch 

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der* Grösse t 

mit t nur wie log — - wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird 

für ein unendliches t nur unendlich wie ^logf; er unterscheidet sich 
also von log | {t) um eine Function von tt, die für ein endliches t 
stetig und endlich bleibt und mit tt dividirt für ein unendliches t un- 
endlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, 
deren Werth durch Einsetzung von ^ = bestimmt werden kann. 

Mit diesen Hülfsmitteln lässt sich nun die Anzahl der Primzahlen, 
die kleiner als x sind, bestimmen. 

Es sei F(x\ wenn x nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich 
dieser Anzahl, wenn aber x eine Primzahl ist, um \ grösser, so dass 
für ein x, bei welchem F{x) sich sprungweise ändert, 



F{x) = n^' + 0) + i^(-^ - 0) 



Ersetzt man nun in 

iogg(.s) = — 2: log (1 —p-^) = zp--^ + ^up-'^ 4- i2:p-'' + 



durch s 



CC OD 

I x~''~^dx, i>~"^* durch s j x~'~Ulx^ 



140 VJI. lieber die Anzahl der Primzahlen 

SO erhält mau 



s 
wenn man 



logJW ,.v,.,,-._,,;^ 



=jmx- 



I'Xx) + i F(^) + i Fixi) + ■■■ 
durch f(x) bezeichnet. 

Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth a -\- hi von 
6', wenn a > 1. Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung 



gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier 'sehen Satzes die Function h 
durch die Function g ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn h(x) 
reell ist und 

g(a + hi) = g,(h) + ig.,{h), 
in die beiden folgenden: 

9i(P) = I ^K^)^~~" cos (b log x) ä log X, 
«/ 

. 

00 

'^Oi^P) =^ — ^ I ^^(^)^~ " sin (h log x) d log x. 



Wenn man beide Gleichungen mit 

(cos (h log y) + l sin {h log y)\ dh 

multiplicirt und von — oo bis -{- (x> integrirt, so erhält man in beiden 
auf der rechten Seite nach dem Fourier'schen Satze 7tli{y)y—<^j also, 
wenn man beide Gleichungen addirt und mit iy^ multiplicirt 

a -\- <*i i 

27tih(y) = J9{s)y'ds, 

a — Qo i 

worin die Integration so auszuführen ist, dass der reelle Theil von s 
constant bleibt. 

Das Integral stellt für einen Werth von y, bei welchem einö 
sprungweise Aenderung der Function h{jj) stattfindet, den Mittelwerth 
aus den Werthen der Function h zu beiden Seiten des Sprunges dar. 
Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function /*(.?;) 
besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein 



unter einer gegebenen Grösse. 141 

Für log ^ kann man nun den früher gefundenen Ausdruck 
1 log ;t - log (s - 1) - log n (I) + Z" log (l + (-i^) + log 1(0) 

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks 
würden aber dann ins Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, wes- 
halb es zweckmässig ist, die Gleichung vorher durch partielle Inte- 
gration in 

a-j- oo »■ 

r ^ log m 

f(oc) — / oc'^ds 

' ^ ^ 2ni log X ,y ds 

a — ao i 

umzuformen. 
Da 

- log n(|) = lim (y log (l + ^) - l- log m), 

n=l « "^ 

für m = oo, also 

ds X > ds ' 

1 

so erhalten dann sämmtliche Glieder des Ausdruckes für f(x) mit Aus- 
nahme von 

a-j- oo t 
a — 00 i 

die Form 

a -j- oo t 

— 2 Tri log .r «-^ ds 

a — 00 i 

Nun ist aber 



^{\M^~j)) 



1 



dß {ß-s)ß' 

und, wenn der reelle Theil von s grösser als der reelle Theil von ß ist, 

a-j- CO 



1 /' x»ds x^ r li , j 



2 



142 VII. Ueber die Anzahl der Primzahlen 

oder 

X 







je uaclidem der reelle Tlieil von ß negativ oder positiv ist. Man hat 
daher 



A^ l^g- . / --^ .T, ^ X'ds 



;r '/ ' ' ~~ ds 

a — 00 / 

^/ -|- CO / 



=i 



X 

". dx -\- const. im ersten 

log X ' 



und 



= / -1 dx + const. im zweiten Falle. 

J log -^ ' 

Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn 
man den reellen Theil von ß negativ unendlich werden lässt; im 
"zweiten Falle erhält das Integral von bis x um 2ni verschiedene 
Werthe^ je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit posi- 
tivem oder negativem Arcus geschieht^ und wird, auf jenem Wege ge- 
nommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von i in dem Werthe 
von ß positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coef- 
ficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken 

Seite log ( 1 — -ß) zn bestimmen ist, damit die Integrationsconstante 
wegfällt. 

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck von f(x) er- 
hält man 

t\x) = Li (x) - Z- {Li (;2;'^ + "') -f Li (*f^""0) 



CO 

/ 



1 X log X 



'^" ■ log 1(0), 



wenn in 2J" für a sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen 
Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung J (a) = 0, ihrer Grösse 
nach geordnet, gesetzt werden. Es lässt sich, mit Hülfe einer ge- 
naueren Discussion der Function ^, leicht zeigen, dass bei dieser An- 



ordnung der Werth der Reihe 



unter einer gegebenen Grösse. 143 

Z {Li {x^ + "') + Li (x" - "'■)) log ./: 



mit dem Grenzwerth, gegen welchen 



2 TT« ,/ ds 



x'ds 



])ei unaufhörlichem Wachsen der Grösse h convergirt, übereinstimmt; 
durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen 
Werth erhalten können. 

Aus f{x) findet sich L\x) mittelst der durch Umkehrung der 
Relation 

sich ergebenden Gleichung 

worin für 7n der Reihe nach die durch kein Quadrat ausser 1 theil- 
baren Zahlen zu setzen sind und ^ die Anzahl der Primlactoren von 
m bezeichnet. 

Beschränkt man 27" auf eine endliche Zahl von Gliedern^ so giebt 
die Derivirte des Ausdrucks für f{oc) oder, bis auf einen mit wachsen- 
dem X sehr schnell abnehmenden Theil, 

._i 22;« ^Q^("^ Qg^^) •'" 

log X log X 

einen angenüherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + 
der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate + \ von der Dichtigkeit 
der Primzahlcuben u. s. w. von der Grösse x. 

Die bekannte Näherungsformel F(x^) == Li(x) ist also nur bis 
auf Grössen von der Ordnung x^ richtig und giebt einen etwas zu 
grossen Werth; denn die nicht periodischen Glieder in dem Ausdrucke 
von F(x) sind, von Grössen, die mit x nicht in's Unendliche wachsen, 
abgesehen: 

Li (x) — i Li (x^) - i Li (x^) — l Li (.r^) + i L^(x^) 

-^Li{x^) + --- 

In der That hat sich Lei der von Gauss und Gold Schmidt vor- 
genommenen und bis zu x == drei Millionen fortgesetzten Vergleichung 
von Li{x) mit der Anzahl der Primzahlen unter x diese Anzahl schon 
vom ersten Hunderttausend an stets kleiner als Li{x) ergeben, und 



144 VII. Ueber die Anzahl der Primzahlen etc. 

zwar wächst die Differenz unter manclieji Schwankungen allmählich mit x. 
Aber auch die von den periodischen Gliedern abhängige stellenweise 
Verdichtung und Verdünnung der Primzahlen hat schon bei den Zäh- 
lungen die Aufmerksamkeit erregt, ohne dass jedoch hierin eine Ge- 
setzmässigkeit bemerkt worden wäre. Bei einer etwaigen neuen Zäh- 
lung würde es interessant sein^ den Einfluss der einzelnen in dem 
Ausdrucke für die Dichtigkeit der Primzahlen enthaltenen periodischen 
Glieder zu verfolgen. Einen regelmässigeren Gang als F{x) würde die 
Function f{x) zeigen, welche sich schon im ersten Hundert sehr deutlich 
als mit Li {x) + log | (o) im Mittel übereinstimmend erkennen lässt. 



VIII. 

lieber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher 
Schwingungsweite. 

(Aus dem achten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Göttingen. 1860.) 

Obwohl die Differentialgleichungen, nach welchen sich die Be- 
wegung der Gase bestimmt, längst aufgestellt worden sind, so ist 
doch ihre Integration fast nur für den Fall ausgeführt worden, wenn 
die Druckverschiedenheiten als unendlich kleine Bruchtheile des ganzen 
Drucks betrachtet werden können, und man hat sich bis auf die neueste 
Zeit begnügt, nur die ersten Potenzen dieser Bruchtheile zu berück- 
sichtigen. Erst ganz vor Kurzem hat Helmholtz auch die Glieder 
zweiter Ordnung mit in die Rechnung gezogen und daraus die objective 
Entstehung von Combinationstönen erklärt. Es lassen sich indess für 
den Fall, dass die anfängliche Bewegung allenthalben in gleicher 
Richtung stattfindet und in jeder auf dieser Richtung senkrechten Ebene 
Geschwindigkeit und Druck canstant sind, die exacten Differential- 
gleichungen vollständig integriren; und wenn auch zur Erklärung der 
bis jetzt experimentell festgestellten Erscheinungen die bisherige Be- 
handlung vollkommen ausreicht, so könnten doch, bei den grossen 
Fortschritten, welche in neuester Zeit durch Helmholtz auch in der 
experimentellen Behandlung akustischer Fragen gemacht worden sind, 
die Resultate dieser genaueren Rechnung in nicht allzu femer Zeit 
vielleicht der experimentellen Forschung einige Anhaltspunkte gewähren; 
und dies mag, abgesehen von dem theoretischen Interesse, welches die 
Behandlung nicht linearer partieller Differentialgleichungen hat, die 
Mittheilung derselben rechtfertigen. 

Für die Abhängigkeit des Drucks von der Dichtigkeit würde das 
Boyle^sche Gesetz vorauszusetzen sein, wenn die durch die Druck- 
veränderungen bewirkten Temperaturverschiedenheiten sich so schnell 
ausglichen, dass die Temperatur des Gases als constant betrachtet 
werden dürfte. Es ist aber wahrscheinlich der Wärmeaustausch ganz 
zu vernachlässigen, und man muss daher für diese Abhängigkeit das 

Kiümann'ö gesammelte mathematische Werke. I. 10 



14G Vlll. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

Gesetz zu Grunde legen, nach welchem sich der Druck des Gases mit 
der Dichtigkeit ändert, wenn es keine Wärme aufnimmt oder abgiebt. 
Nach dem Boyle'schen und Gay -Lussac'schen Gesetze ist, wenn 
V das Volumen der Gewichtseinheit, p den -Druck und T die Tem- 
peratur von — 273^0 an gerechnet bezeichnet, 

log j) + log ^' = log ^ + const. 

Betrachten wir hier T als Function von p und v und nennen die 
specifische Wärme bei constantem Drucke c, bei constantem Volumen c , 
beide auf die Gewichtseinheit bezogen, so wird von dieser Gewichts- 
einheit, wenn p und v sich um dp und dv ändern, die Wärmemenge 

'd^^'^ + 'd^^i' 

oder, da ,.—, — = o i '^ — = 1, 
' ö log V c log p ^ 

T (c d log V -{- c d log _2)) 
aufgenommen. Wenn daher keine Wärmeaufnahme stattfindet, so ist 
d\ogp = ,- dlogv, und also, weim man mit Poisson annimmt, 

dass das Verhältniss der beiden specifischen Wärmen — = Jq von 
Temperatur und Druck unabhängig ist, 

log p = — h log V + const. 

Nach neueren Versuchen von Regnault, Joule und W. Thomson 
sind diese Gesetze für Sauerstoff, Stickstoff und Wasserstoff und deren 
Gemenge unter allen darstellbaren Drucken und Temperaturen wahr- 
scheinlich sehr nahe gültig. 

Durch Regnault ist für diese Gase eine sehr nahe Anschmiegung 
an das Boyle^sche und Gay-Lussac'sche Gesetz und die Unabhängig- 
keit der specifischen Wärme c von Temperatur und Druck festgestellt 
worden. 

Für atmosphärische Luft fand Regnault 

zwischen — 30«C und -f lO^C c -=' 0,2377 
+ lO^C „ + 100«C c = 0,2379 
+ lOO^C „ + 215^0 c = 0,2376. 
Ebenso ergab sich für Drucke von 1 bis 10 Atmosphären kein merk- 
licher Unterschied der specifischen Wärme. 

Nach Versuchen von Regnault und Joule scheint ferner für 
diese Gase die von Clausius adoptirte Annahme Mayer's sehr nahe 
richtig zu sein, dass ein bei constanter Temperatur sich ausdehnendes 
Gas nur so viel Wärme aufnimmt, als zur Erzeugung der. äusseren 



von endlicher Schwingungsweite. 147 

Arbeit erforderlich ist. Wenn das Volumen des Gases sich um dv 
ändert^ während die Temperatur constant bleibt, so ist d\og2^ = — dlogv, 
die aufgenommene Wärmemenge T (c — c) d log v, die geleistete Arbeit 
pdiK Diese Hypothese giebt daher, wenn A das mechanische Aequi- 
valent der Wärme bezeichnet, . 

AT (c — c) d log V = pdv 

oder 

, pv^ 

c c — -^,, 

also von Druck und Temperatur unabhängig. 

c 
Hienach ist auch Je = — von Druck und Temperatur unabhängig 

und ergiebt sich, wenn c = 0,237733, A nach Joule = 424,55 Kilogr. 

met. und, für die Temperatur O^C oder T = ;,„-,, pv nach Regnault 

0,d665' -^ ° 

= 7990^267 angenommen wird, gleich 1,4101. Die Schallgeschwindig- 
keit in trockner Luft von O^C beträgt in der Secunde 



y 7990'",267 . 9^^,8088 k 

und würde also mit diesem Werthe von Je gleich 332°^,440 gefunden 
werden, während die beiden vollständigsten Versuchsreihen von Moll 
und van Beck dafür, einzeln berechnet, 332°',528 und 331^,867, ver- 
einigt 332°',271 geben und die Versuche von Martins und A. Bravais 
nach ihrer eignen Berechnung 332°',37. 

1. 

Für's erste ist es nicht nöthig über die Abhängigkeit des Drucks 
von der Dichtigkeit eine bestimmte Voraussetzung zu machen; wir 
nehmen daher an, dass bei der Dichtigkeit q der Druck cp^g) sei, und 
lassen die Function cp vorläufig noch unbestimmt. 

Man denke sich nun rechtwinklige Coordinaten x, y, z eingeführt, 
die a;-Axe in der Richtung der Bewegung, und bezeichne durch q die 
Dichtigkeit, durch p den Druck, durch u die Geschwindigkeit für die 
Coordinate x zur Zeit t und durch co ein Element der Ebene, deren 
Coordinate x ist. 

Der Inhalt des auf dem Element w stehenden geraden Cylinders 
von der Höhe dx ist dann adx^ die in ihm enthaltene Masse mqdx. 
Die Aenderung dieser Masse während des Zeitelements dt oder die 

Grösse ca ~2 dt dx bestimmt sich durch die in ihn einströmende Masse, 
welche = — w -ß-^ dx dt gefunden wird. Ihre Beschleunigung ist 

10* 



148 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

■^ + ^* ^ und die Kraft, welche sie in der Richtung der positiven 

;r-Axe forttreibt, = — ^^ « dx = — (p {q) ~ a dx, wenn cp' {q) die 

Derivirte von cp{Q) bezeichnet. Man hat daher für q und ii die beiden 
Differentialgleichungen 



dg dgu 

dt ex 



und p (^ + « g) = - ,p'(p) ll oder 

du . du ,/ s ^ log p 

^T -f- u ^T- = — CO (q) ~w -- 
dt ' dx ^ ^^^ ex 



und --^-^^^^ -4- u ^^^^ = _ ^ 

Wenn man die zweite Gleichung, mit + V^p'^q) multiplicirt, zur ersteren 
addirt und zur Abkürzung 

(1) fV^J^cUogQ = f(Q) xmd 

(2) /■((.) + « = 2r, /'(p) - « = 2s 
setzt, so erhalten diese Gleichungen die einfachere Gestalt 

^^) g? = - (« + i/'P (9)) g^' ät = - («-y«? (e)) a^, 

worin ?f und q durch die Gleichungen (2) bestimmte Functionen von 
r und 6" sind. Aus ihnen folgt 

(4) ^^ = ä^ (^^' ~ (^^ + V^'((>))^^0 

(5) c?5 == .-^ (c?^- — («( — ]/g)'((>))^0- 

Unter der in der Wirklichkeit immer zutreffenden Voraussetzung, 
dass (p\q) positiv ist, besagen diese Gleichungen, dass r constant 
bleibt, wenn x sich mit t so ändert, dass dx = (u -{- y (p\Q))dty 
und s constant bleibt, wenn x sich mit t so ändert, dass 
dx = (u — y(p\Q))dt ist. 

Ein bestimmter Werth von r oder von f^Q) + u rückt daher zu 

grösseren Werthen von x mit der Geschwindigkeit l/qp'(?) + ^^ ^^»rt, 
ein bestimmter Werth von s oder von fiß) — u zu kleineren Werthen 
von X mit der Geschwindigkeit ycp\Q) — u. 

Ein bestimmter Werth von r wird also nach und nach mit jedem 
vor ihm stattfindenden Werthe von s zusammentreffen, und* die Ge- 
schwindigkeit seines Fortrückens wird in jedem Augenblicke von dem 
Werthe von s abhängen, mit welchem er zusammentrifft. 



von endlicher Schwingungsweite. 149 



Die Analysis bietet nun zunächst die Mittel, die Frage zu be- 
antworten, wo und wann ein Werth r von r einem vor ihm befind- 
lichen Werthe 8 von s begegnet, d. h. x und i als Functionen von r 
und s zu bestimmen. In der That wenn man in den Gleichungen (3) 
des vor, Art. r und s als unabhängige Variable einführt, so gehen 
diese Gleichungen in lineare Differentialgleichungen für x und t über 
und lassen sich also nach bekannten Methoden integriren. Um die Zurück- 
führung der Differentialgleichungen auf eine lineare zu bewirken, ist 
es am zweckmässigsten, die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Art. 
in die Form zu setzen: 

(1) '^'- = £ 1'^ (- - (" + v<^'(o)) + ['''■ ^0^ + 

(2) äs = |i \^l (. - (n - y,'((.)) i) - \ä. ipfg^ + 1) 



+^^^(-!-^-^m- 



Man erhält dann, wenn man s und r als unabhängige Variable 
betrachtet, für x und t die beiden linearen Differentialgleichungen: 

d {x — (W + V(p'{Q))t) . / d log l/qp' (9) 



dt 



V (i log 9 / 

\ dlogQ J 



d {X — {u — y q>' {q)) t ) ^' ^ ^ <Zlog>/qp'(g) ^ 



In Folge derselben ist 

(3) (x — (w + ycp'io) )t)dr ~ (x~ (u — V(p'(q) ) t) ds 

ein vollständiges Differential, dessen Integral, iv, der Gleichung 



d'^io 4. ( ^ log y^\Q) 

drds 



_ /dlo^V^WL - A = m C^ + 'pi 

y d log Q ) \()r ' ds J 



i]fenüö:t, worin m = ^ , ,, , ( — ^ ^^ — 1 | , also eine Function 
^ ^ ' 2 >/95 (9) \^ r? log 9 y ^ 

von r -\- s ist. Setzt man /*(p) = r + 6* = (7, so wird > qp '.(^) = /loc"' 

./ log ^ 
folglich m = — ^ — ^ — -. 

Bei der Poisson'schen Annahme (piß) = ««()^ wird 

^— 1 

fiQ) = jrzj Q ' + const. 



150 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

und, wenn man für die willkürliche Constante den Werth Null wählt, 



^>^ =={i- z:3l) i = , 



Jc — S 

2 {k - 1) (r + s) 



Unter Voraussetzung des Boyl ersehen Gesetzes (p{q) = aag erhält man 

f^O) = «log 9 

V^\9) + w = r — 6' + üj Ycp'^Q) — ti^=s — r-\-a 

1 

7)1 = — -— 
2rt 

Werthe, die aus den obigen fliessen, wenn man f(Q) um die Constante 

. \ , also r und s um , *. vermindert und dann k = 1 setzt. 

Die Einführung von r und s als unabhängig veränderlichen Grössen 
ist indess nur möglich, wenn die Determinante dieser Functionen von 

X und t^ welche = 2]/g)'(()) t^ ö— , nicht verschwindet, also nur, wenn 

7^ und ^ beide von Null verschieden sind. 

ex ex 

Wenn ^=Oist,ergiebt sich aus (l)f/r =0 undaus (2)x — (ti — ycp'{Q) ) t 

= einer Function von s. Es ist folglich auch dann der Ausdruck (3) 
ein vollständiges Differential, und es wird iv eine blosse Function 
von s. 

Aus ähnlichen Gründen werden, wenn t^^ = ist, s auch in 



Bezug auf f constant, x — (ii -\~ y (p\q)) t und w Functionen von r. 
Wenn endlich ,-- und t^— beide = sind, i 

X d X ^ 

der Differentialgleichungen r, s und w Constanten 



Wenn endlich .-- und ^-; beide = sind, so werden in Folge 



Um die Aufgabe zu lösen, muss nun zunächst iv als Function von 
r und s so bestimmt werden, dass sie der Differentialgleichung 

und den Anfangsbedingungen genügt, wodurch sie bis auf eine Con- 
stante, die ihr offenbar willkürlich hinzugefügt werden kann, be- 
stimmt ist. 

Wo und wann ein bestimmter Werth von r mit einem bestimmten 
Werthe von s zusammentrifft, ergiebt sich dann aus der Gleichung 



von endlicher Schwingungsweite. 151 

(2) {x - iii + Wi^) ) t) elf - {x - (« - Y¥^) ) i) eis = <hv; 

und hierauf findet man schliesslich u und p als Functionen von x und 
t durch Hinzuziehung der Gleichungen 

(3) . /■((.) + « = 2r, fiQ) - « = 2s. 

In der That folgen, wenn nicht etwa in einer endlichen Strecke 
dr oder ds Null und folglich r oder s constant ist, aus (2) die 
Gleichungen 

(4) ^-{^^ + V<p'{9))t = ^, 

(5) x-(„-Y^))t = -^, 

durch deren Verbindung mit (3) man u und q in x und t ausgedrückt 
erhält. 

Wenn aber r anfangs in einer endlichen Strecke denselben Werth 
/ hat, so rückt diese Strecke allmählich zu grösseren Werthen von x 
fort. Innerhalb dieses Gebietes, wo r = r, kann man dann aus der 
Gleichung (2) den Werth von x — (?« + y^Xo)) t nicht ableiten, da 
dr = 0; und in der That lässt die Frage, wo und wann dieser Werth 
/ einem bestimmten Werthe von s begegnet, dann keine bestimmte 
Antwort zu. Die Gleichung (4) gilt dann nur an den Grenzen dieses 
Gebietes und giebt an, zwischen welchen Werthen von x zu einer 
bestimmten Zeit der constante AVerth r' von r stattfindet, oder auch, 
während welches Zeitraums r an einer bestimmten Stelle diesen Werth 
behält. Zwischen diesen Grenzen bestimmen sich u und q als Func- 
tionen von j:; und t aus den Gleichungen (3) und (5). Auf ähnlichem 
Wege findet man diese Functionen, wenn s den Werth s in einem 
endlichen Gebiete besitzt, während r veränderlich ist, sowie auch wenn 
r und s beide constant sind. In letzterem Falle nehmen sie zwischen 
gewissen durch (4) und (5) bestimmten Grenzen constante aus (3) 
fliessende Werthe an. 

4. 

Bevor wir die Integi-ation der Gleichung (1) des vor. Art. in An- 
griff nehmen, scheint es zweckmässig, einige Erörterungen vorauf- 
zuschicken, welche die Ausführung dieser Integration nicht voraus- 
setzen, lieber die Function (p{Q) ist dabei nur die Annahme nöthig, dass 
ihre Derivirte bei wachsendem q nicht abnimmt, was in der Wirklich- 
keit gewiss immer der Fall ist; und wir bemerken gleich hier, was 
im folgenden Art. mehrfach angewandt werden wird, dass dann 



152 VIII. lieber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

^?~ = jV(«P. + (1 - «) ?.) du,' 

wenn nur eine der Grössen q^ und q^ sich ändert, entweder constant 
bleibt oder mit dieser Grösse zugleich wächst und abnimmt, woraus 
zugleich folgt, dass der Werth dieses Ausdrucks stets zwischen (p\Qi) 
und 9' (92) liegt. 

Wir betrachten zunächst den Fall, wo die anfängliche Gleich- 
gewichtsstörung auf ein endliches durch die Ungleichheiten a < .r < & 
begrenztes Gebiet beschränkt ist, so dass ausserhalb desselben ti und 
Q und folglich auch r und s constant sind; die Werthe dieser Grössen 
für X <ia mögen durch Anhängung des Index 1, für a? > & durch den 
Index 2 bezeichnet werden. Das Gebiet, in welchem r veränderlich 
ist, bewegt sich nach Art. 1 allmählich vorwärts und zwar seine 
hintere Grenze mit der Geschwindigkeit 'Yfp {q-^ + u^, während die 
vordere Grenze des Gebiets, in welchem s veränderlich ist, mit der 
Geschwindigkeit y(p\Q^ — ^2 rückwärts geht. Nach Verlauf der Zeit 

h — a 



V^P' (Qi) + V<P' (92) + u, — u.^ 
fallen daher beide Gebiete auseinander, und zwischen ihnen bildet sich 
ein Raum, in welchem s = Sg und r = r^ ist und folglich die Gas- 
theilchen wieder im Gleichgewicht sind. Von der anfangs erschütterten 
Stelle gehen also zwei nach entgegengesetzten Richtungen fortschreitende 
Wellen aus. In der vorwärtsgehenden ist s = Sg? es ist daher mit 
einem bestimmten Werthe q der Dichtigkeit stets die Geschwindigkeit 
w = f(Q) — 2^2 verbunden, und beide Werthe rücken mit der con- 
stanten Geschwindigkeit 

vorwärts. In der rückwärtslaufenden ist dagegen mit der Dichtigkeit 
Q die Geschwindigkeit — f(Q) + ^^1 verbunden, und diese beiden 
Werthe bewegen sich mit der Geschwindigkeit Ycp'^Q) + /"((>) — 2r^ 
rückwärts. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist für grössere Dichtig- 
keiten eine grössere, da sowohl j/^X^^); ^1^ fio) ^^^ Q zugleich wächst. 
Denkt man sich q als Ordinate einer Curve für die Abscisse x, 
so bewegt sich jeder Punkt dieser Curve parallel der Abscissenaxe mit 
constanter Geschwindigkeit fort und zwar mit desto grösserer, je grösser 
seine Ordinate ist. Man bemerkt leicht, dass bei diesem Gesetze Punkte 
mit grösseren Ordinateu schliesslich voraufgehende Punkte mit kleineren 
Ordinaten überholen würden, so dass zu einem Werthe von x mehr 
als ein Werth von q gehören würde. Da nun dieses in Wirklichkeit 



von endlicher Schwingungsweite. 153 

nicht stattfinden kann, so muss ein Umstand eintreten, wodurch dieses 
Gesetz ungültig wird. In der That liegt nun der Herleitung der 
Differentialgleichungen die Voraussetzung zu Grunde, dass u und q 
stetige Functionen von x sind und endliche Derivirten haben; diese 
Voraussetzung hört aber auf erfüllt zu sein, sobald in irgend einem 
Punkte die Dichtigkeitscurve senkrecht zur Abscissenaxe wird, und von 
diesem Augenblicke an tritt in dieser Curve eine Discontinuität ein, 
so dass ein grösserer Werth von q einem kleineren unmittelbar nach- 
folgt; ein Fall, der im nächsten Art. erörtert werden wird. 

Die Verdichtungs wellen, d. h. die Theile der Welle, in welchen 
die Dichtigkeit in der Fortpflanzungsrichtung abnimmt, werden dem- 
nach bei ihrem Fortschreiten immer schmäler und gehen schliesslich 
in Verdichtungsstösse über; die Breite der Verdünnungswellen aber 
wächst beständig der Zeit proportional. 

Es lässt sich, wenigstens unter Voraussetzung des Poisson'schen 
(oder Boyle' sehen) Gesetzes, leicht zeigen, dass auch dann, wenn die 
anfängliche Gleichgewichtsstörung nicht auf ein endliches Gebiet be- 
schränkt ist, sich stets, von ganz besonderen Fällen abgesehen, im Laufe 
der Bewegung Verdichtungsstösse bilden müssen. Die Geschwindigkeit, 
mit welcher ein Werth von r vorwärts rückt, ist bei dieser Annahme 

grössere Werthe werden sich also durchschnittlich mit grösserer Ge- 
schwindigkeit bewegen, und ein grösserer W^erth r wird einen vorauf- 
gehenden kleineren Werth /' schliesslich einholen müssen, wenn nicht 
der mit /' zusammentreffende Werth von s durchschnittlich um 

kleiner ist, als der gleichzeitig mit / zusammentreffende. In diesem 
Falle würde s für ein positiv unendliches x negativ unendlich werden, 
und also für x = -\- <x> die Geschwindigkeit u = -\- oo (oder auch 
statt dessen beim Boyle'schen Gesetz die Dichtigkeit unendlich klein) 
werden. Von speciellen Fällen abgesehen wird also immer der Fall 
eintreten müssen, dass ein um eine endliche Grösse grösserer Werth 
von r einem kleineren unmittelbar nachfolgt; es werden folglich, durch 

ein Unendlichwerden von ^, die Differentialgleichungen ihre Gültig- 
keit verlieren und vorwärtslaufende Verdichtungsstösse entstehen müssen. 

ds 
Ebenso werden fast immer, indem ö— unendlich wird, rückwärtslaufende 

Verdichtungsstösse sich bilden. 



154 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luft wellen 

Zur Bestimmung der Zeiten und Orte, für welche |^ oder 1^ 

^ dx d X 

unendlich wird und plötzliche Verdichtungen ihren Anfang nehmen, 
erhält man aus den Gleichungen (1) und (2) des Art. 2., wenn man 
darin die Function tv einführt, 

dx \dr' ■+" \ dlogQ r ^jrj — i, 
dx\ ds^ \ dlogQ r 7 7 ~" ^• 



5. 

AVir müssen nun, da sich plötzliche Verdichtungen fast immer 
einstellen, auch wenn sich Dichtigkeit und Geschwindigkeit anfangs 
allenthalben stetig ändern, die Gesetze für das Fortschreiten von Ver- 
dichtungsstössen aufsuchen. 

Wir nehmen an, dass zur Zeit t für x = ^ eine sprungweise 
Aenderung von ti und q stattfinde, und bezeichnen die Werthe dieser 
und der von ihnen abhängigen Grössen für x = ^ — durch An- 
hängung des Index 1 und für x = ^ -\- durch den Index 2; die 
relativen Geschwindigkeiten, mit welchen das Gas sich gegen die Un- 

stetigkeitsstelle bewegt, u^^ — ^, ti^ ~, mögen durch v^ und ^g 

bezeichnet werden. Die Masse, welche durch ein Element co der Ebene, 
wo X = ^, im Zeitelement dt in positiver Richtung hindurchgeht, ist 
dsimi = i\Qj^(Ddt = V2Q2^^^ diö ihr eingedrückte Kraft (^(^J — cp{Q^)codt 
und der dadurch bewirkte Zuwachs an Geschwindigkeit v^ — v-^] man 
hat daher 

{^{Qi) — fp{Q2)) ^(^i = fe — ^i) ^\ Qi ^dt und v^ q^ = v^ Q2, 



woraus 


folgt t\ 


= 


+ 


Vi 


?1- 




also 


(1) 


dh, 

dt ~~ 


u, 


± 


Vt. 




-Q9 


= ih 



1 /_£i_ <3P(gi) — qp( 92) 
^^ 92 9i — 92 

Für einen Verdichtungsstoss muss q^ — Q\ dasselbe Zeichen, wie 
^1 und v^^ haben und zwar für einen vorwärtslaufenden das nega- 
tive, für einen rückwärtslaufenden das positive. Im erstem Falle 
gelten die oberen Zeichen und q^ ist grösser, als q^'-, ^^ ist daher, bei 
der zu Anfang des vorigen Artikels gemachten Annahme über die 
Function 9(9) 

(2) «, + 1/9'^ > II > «^ + y-^j^, 



von endlicher Schwingungsweite. 155 

und folglich rückt die Unstetigkeitsstelle langsamer fort als die nach- 
folgenden und schneller als die voraufgehenden Werthe von r; i\ und 
t\, sind also in jedem Augenblicke durch die zu beiden Seiten der Un- 
stetigkeitsstelle geltenden Differentialgleichungen bestimmt. Dasselbe 
gilt, da die Werthe von s sich mit der Geschwindigkeit yq)'(Q) — u 
rückwärts bewegen, auch für 6., und folglich für q,^ und Wg, aber nicht 

für s^. Die Werthe von s^ und -r- bestimmen sich aus f\, q.^ und u.^ 
eindeutig durch die Gleichungen (1). In der That genügt der Gleichung 



(3) 2 {.,-r,) = /-(p.) ^ /TP.) + y^^-^lSjM^m 

nur ein Werth von q^^-^ denn die rechte Seite nimmt, wenn q^^ von q.^ 
an in's Unendliche wächst, jeden positiven Werth nur einmal an, da 
sowohl fXQi) als auch die beiden Factoren 



l/^ _ l/^ und y^EM:^TM^ 



in welche sich das letzte Glied zerlegen lässt, beständig wachsen oder 
doch nur der letztere Factor constant bleibt. Wenn aber q^ bestimmt 
ist, erhält man durch die Gleichungen (1) offenbar völlig bestimmte 

Werthe für i(, und ,^ . 

'- dt 

Ganz Aehnliches gilt für einen rückwärtslaufenden Verdichtungs- 
stoss. 

6. 

Wir haben eben gefunden, dass in einem fortschreitenden Ver- 
dichtungsstosse zwischen den Werthen von u und q zu beiden Seiten 
desselben stets die Gleichung 

stattfindet. Es fragt sich nun, was eintritt, wenn zu einer gegebenen 
Zeit an einer gegebenen Stelle beliebig gegebene Unstetigkeiten vor- 
handen sind. Es können dann von dieser Stelle, je nach den Werthen 
von iq, Q^j 11.2, 92} entweder zwei nach entgegengesetzten Seiten laufende 
Verdichtungsstösse ausgehen, oder ein vorwärtslaufender, oder ein 
rückwärtslaufender, oder endlich kein Verdichtungsstoss, so dass die 
Bewegung nach den Differentialgleichungen erfolgt. 

Bezeichnet man die Werthe, welche ii und q hinter oder zwischen 
den Verdichtungsstössen im ersten Augenblicke ihres Fortschreitens 
annehmen, durch Hinzufügung eines Accents, so ist im ersten Falle 
9 > ()i und > Q^f und man hat 



156 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

(1) 






(2) 



+ yK 



Q2) (9(9') — yW) 



. 9>i 



Q2) (^(9') — 9(92)) 



9 92 

Es muss also, da beide Glieder der rechten Seite von (2) mit q' zu- 
gleich wachsen, ?f^ — u.^ positiv sein und 

^ ^ '^'^ 9i92 

und umgekehrt giebt es, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, stets 
ein und nur ein den Gleichungen (1) genügendes Werthenpaar von u 
und q\ 

Damit der letzte Fall eintritt und also die Bewegung sich den 
Differentialgleichungen gemäss bestimmen lässt, ist es nothwendig und 
hinreichend, dass 7\ < r^ und s^ > Sg sei, also u^ — ^% negativ und 
{u^ — ii^'^>__ (fiQi) — Z'fe)/- I^iö Werthe r^ und r^, Sj und s^ treten 
dann, da der voraufgehende Werth mit grösserer Geschwindigkeit 
fortrückt, im Fortschreiten auseinander, so dass die Unstetigkeit ver- 
schwindet. 

Wenn weder die ersteren, noch die letztern Bedingungen erfüllt 
sind, so genügt den Anfangswerthen Ein Verdichtungsstoss, und zwar 
ein vorwärts oder rückwärts laufender, je nachdem q^^ grösser oder 
kleiner als Q2 i^^- 

In der That ist dann, wenn Qi> Q2y 

2(n — r^) oder f(Q^) — /(^a) + ^h — ^h 
positiv, — weil (u^ — ihf < (f^Q^) — f(Q2)f — ; ^»^ zugleich 

< f(vi)—f(Q->) + iÄKEräMÄEEr^ 
y QiQ-2 

— weil 

/ , ., \2 ^ (9i — 92) (y(9i) — y(92 ))_ . 

V 1 27 =^ 9i92 

es läs&t sich also für die Dichtigkeit q hinter dem Verdichtungsstoss 
ein der Bedingung (3) des vor. Art. genügender Werth finden und 
dieser ist <^ q^. Folglich wird, 'da / = fig) — r^, s^ = f{Q^) — r^, 
auch s^s^, so dass die Bewegung hinter dem Verdichtungsstosse 
nach den Differentialgleichungen erfolgen kann. 

Der andere Fall, wenn Qi<Q2} ist offenbar von diesem nicht 
wesentlich verschieden. 



von endlicher Schwingungsweite. 157 



7. 



Um das Bisherige durch ein einfaches Beispiel zu erläutern, wo 
sich die Bewegung mit den bis jetzt gewonnenen Mitteln bestimmen 
lässt, wollen wir annehmen, dass Druck und Dichtigkeit von einander 
nach dem Boyle'schen Gesetz abhängen und anfangs Dichtigkeit und 
Geschwindigkeit sich bei x = sprungweise ändern, aber zu beiden 
Seiten dieser Stelle constant sind. 

Es sind dann nach dem Obigen vier Fälle zu unterscheiden. 

I. Wenn % — 1*9 > ^) ^^^o die beiden Gasmassen sich einander 

entffeffen bewegen und (— -) > ~ —, so bilden sich zwei ent- 

gegengesetzt laufende Verdichtungsstösse. Nach Art. 6. (1) ist, wenn 
4 
"[/- - durch a und durch 6 die positive Wurzel der Gleichung 

U, — IL, 1 



bezeichnet wird, die Dichtigkeit zwischen den Verdichtungsstössen 
q' = 09 Yq^q.^, und nach Art. 5. (1) hat man für den vorwärtslaufen- 
den Verdichtungsstoss 

- = u.^ + aae^u + -, 

für den rückwärtslaufenden 

d^ e r a 

dt ^ a 6 ' 

die Werthe der Geschwindigkeit und Dichtigkeit sind also nach Ver- 
lauf der Zeit t, wenn 

(0 \ 
n^ — a — ) ^ < u" < (iL, -\- aa 0) t, 

u und q\ für ein kleineres x n^ und q^ und für ein grösseres u^ und p^- 
IL Wenn ii^ — «^ < 0, folglich die Gasmassen sich aus einander 

bewegen, und zugleich 

2 



("^"^)' > C^g t)' 



so gehen von der Grenze nach entgegengesetzten Richtungen zwei all- 
mählich breiter werdende Verdünnungswellen aus. Nach Art. 4. ist 
zwischen ihnen r = }\, s = s.^, u = r^ — s^. In der vorwärtslaufenden 
ist 8 = 82 und X — {u -\- a) t eine Function von ?*, deren Werth, aus 
den Anfangs werthen t = 0,x = 0, sich = findet; für die rückwärts- 
laufende dagegen hat man r = ?\ und x — (ti — a) t = 0. Die eine 
Gleichung zur Bestimmung von it und q ist also, wenn 



158 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 



•T 



für kleinere Werthe von x r = }\ und für grössere r = r./, die andere 
Gleichung ist, wenn 

(t(^ -~a)t <x < (?\ — s.^ — a)t, n = a -{- --, 

für ein kleineres x s = s^ und für ein grösseres s = s^. 

III. Wenn keiner dieser beiden Fälle stattfindet und Qi> Q2) so 
entstellt eine rückwärtslaufende Verdünnungswelle und ein vorwärts- 
schreitender Verdichtungsstoss. Für letzteren findet sich aus Art. 6, (ß), 
wenn 9 die Wurzel der Gleichung 

bezeichnet, q' = 60 (>2 und aus Art. 5, (1) 

_ = w2 + «e =« + -g- 

Nach Verlauf der Zeit t ist demnach vor dem Verdichtungsstosse, also 
wenn x > (1(3 -\- ciQ) t, ti = u^, q = Q2, hinter dem Verdichtungsstosse 
aber hat man r = r-^ und ausserdem, wenn 

(«1 — d) t <ix <C i}^' — o) t, u == a + -7 ? 
für ein kleineres x ii = u-^^ und für ein grösseres u = u\ 

IV. Wenn endlich die beiden ersten Fälle nicht stattfinden und 
Qi ^92) so ist der Verlauf ganz wie in IIL, nur der Richtung nach 
entgegengesetzt. 

8. 

Um unsere Aufgabe allgemein zu lösen, muss nach Art. 3. die 
Function w so bestimmt werden, dass sie der Differentialgleichung 

,.s ♦ d^w (dw , dio\ f. 

und den Anfangsbedingungen genügt. 

Schliessen wir den Fall aus, dass Un Stetigkeiten eintreten, so sind 
offenbar nach Art. 1. Ort und Zeit oder die Werthe von x und t, für 
welche ein bestimmter Werth / von r mit einem bestimmten Werthe 
s von s zusammentrifft, völlig bestimmt, wenn die Anfangswerthe 
von r und s für die Strecke zwischen den beiden Werthen / von r 
und s von s gegeben sind und überall in dem Grössengebiet (S), 
welches für jeden Werth von t die zwischen den beiden Werthen, wo 
r = r und s == Sj liegenden Werthe von x umfasst, die Differential- 
gleichungen (3) des Art. 1. erfüllt sind. Es ist also auch der Werth 



vou endlicher Schwingungsweite. 159 

von tv für r = r, s == s völlig bestimmt, wenn iv überall in dem 
Grössengebiet {S) der Differentialgleichung (1) genügt und für die 

Anfangswerthe von r und s die Werthe von 0^ und ~ also, bis auf 

eine additive Constante, auch von iv gegeben sind und diese Constante 
beliebig gewählt worden ist. Denn diese Bedingungen sind mit den 

obigen gleichbedeutend. Auch folgt aus Art. 3. noch, dass -^ zwar 

zu beiden Seiten eines Werthes r" von r, wenn dieser Werth in einer 
endlichen Strecke stattfindet, verschiedene Werthe annimmt, sich aber 

allenthalben stetig mit s ändert; ebenso ändert sich >, - mit r, die 
Function tv selbst aber sowohl mit r, als mit s allenthalben stetig. 

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun an die Lösung un- 
serer Aufgabe gehen, an die Bestimmung des Wertlies von iv für zwei 
beliebige Werthe, / und s, von r und s. 

Zur Yeranschaulichung denke man sich x und t als Abscisse und 
Ordinate eines Punkts in einer Ebene und in dieser Ebene die (/urven 
gezogen, wo r und wo s constante Werthe hat. Von diesen Curven 
mögen die ersteren durch (r), die letzteren durch (s) bezeichnet und 
in ihnen die Richtung, in welcher t wächst, als die positive betrachtet 
werden. Das Grössengebiet {S) wird dann repräsentirt durch ein Stück 
der Ebene, welches begrenzt ist durch die Curve (/), die Curve {s) 
und das zwischen beiden liegende Stück der Abscissenaxe, und es 
handelt sich darum, den Werth von w in dem Durchschnittspunkte 
der beiden ersteren aus den in letzterer Linie gegebenen Werthen zu 
bestimmen. Wir wollen die Aufgabe noch etwas verallgemeinern und 
annehmen, dass das Grössengebiet iß), statt durch diese letztere Linie, 
durch eine beliebige Curve c begrenzt werde, welche keine der Curven 
{r) und {s) mehr als einmal schneidet, und dass für die dieser Curve 

angehörigen Werthenpaare von r und s die Werthe von ~ und ^ 

gegeben seien. Wie sich aus der Auflösung der Aufgabe ergeben wird, 

unterliegen auch dann diese Werthe von -^ und -^ nur der Bedingung, 

sich stetig mit dem Ort in der Curve zu ändern, können aber übrigens 
willkürlich angenommen werden, während diese Werthe nicht von 
einander unabhängig sein würden, wenn die Curve c eine der Curven 
(r) oder (5) mehr als einmal schnitte. 

Um Functionen zu bestimmen, welche linearen partiellen Differential- 
gleichungen und linearen Grenzbedingungen genügen sollen, kann man 
ein ganz ähnliches Verfahren anwenden, wie wenn man zur Auflösung 



160 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Lnftwellen 

eines Systems von linearen Gleichungen srimmtliclie Gleichungen, mit 
unbestimmten Factoren multiplicirt, addirt und diese Factoren dann so 
bestimmt, dass aus der Summe alle unbekannten Grössen bis auf eine 
herausfallen. 

Man denke sich das Stück (S) der Ebene durch die Curven (/•) 
und (s) in unendlich kleine Parallelogramme zerschnitten und bezeichne 
durch dr und ds die Aenderungen, welche die Grössen r und s erlei- 
den, wenn die Curvenelemente, welche die Seiten dieser Parallelogramme 
bilden, in positiver Richtung durchlaufen werden; man bezeichne ferner 
durch V eine beliebige Function von r und s, welche allenthalben stetig 
ist und stetige Derivirten hat. In Folge der Gleichung (1) hat man 
dami 

über das ganze Grössengebiet (S) ausgedehnt. Es muss nun die rechte 
Seite dieser Gleichmig nach den Unbekannten geordnet, d. h. hier, das 
Integral durch partielle Integration so umgeformt werden, dass es 
ausser bekamiten Grössen nur die gesuchte Function, nicht ihre Deri- 
virten enthält. Bei Ausführung dieser Operation geht das Integral 
zunächst über in das über (S) ausgedehnte Integral 

und ein einfaches Integral, welches sich, weil sich -y- mit s, y^ mit 

r und iv mit beiden Grössen stetig ändert, nur über die Begrenzung 
von (S) erstrecken wird. Bedeuten dr und ds die Aenderungen von 
r und s in einem Begrenzungselemente, wenn die Begrenzung in der 
Richtung durchlaufen wird, welche gegen die Richtung nach Innen 
ebenso liegt, wie die positive Richtung in den Curven (r) gegen die 
positive Richtung in den Curven (s), so ist dies Begrenzungsintegral 

= — j (v (^ — mtv\ ds + w (tt77 + mtn dr\. 

Das Integral durch die ganze Begrenzung von S ist gleich der 
Summe der Integrale durch die Curven c, (s), (/), welche diese Be- 
grenzung bilden, also, wenn ihre Durchschnittspunkte durch (c, /), 
(c, s), (/, s) bezeichnet werden. 



/ 



=/+/+/ 



Von diesen drei Bestandtheilen enthält der erste ausser der Function v 
nur bekaimte Grössen, der zweite enthält, da in ihm ds = ist, nur 



von endlicher Schwingungsweite. 161 

die unbekannte Function iv selbst, nicht ihre Derivirten; der dritte 
Bestandtheil aber kann durch partielle Integration in 

c, r 
a' , r 

verwandelt werden, so dass in ihm ebenfalls nur die gesuchte Function 
w selbst vorkommt. 

Nach diesen Umformungen liefert die Gleichung (2) offenbar den 
Werth der Function iv im Punkte (/, s'), durch bekannte Grössen aus- 
gedrückt, wenn man die Function v den folgenden Bedingungen ge- 
mäss bestimmt: 

1) allenthalben m b: ötö" H — ött H — ^ = 

3v 

2) für r = r : ^ 1- mv = 

(3) ^ gl 

3) für s = 5' : ^ 1- mv = 

4) für r = /, s == s': v = 1. 
Man hat dann 

c, s' 



9. 

Durch das eben angewandte Verfahren wird die Aufgabe, eine 
Function tv einer linearen Differentialgleichung und linearen Grenz- 
bedingungen gemäss zu bestimmen, auf die Lösung einer ähnHchen, 
aber viel einfacheren Aufgabe für eine andere Function v zurück- 
geführt; die Bestimmung dieser Function erreicht man meistens am 
Leichtesten durch Behandlung eines speciellen Falls jener Aufgabe 
nach der Fourie raschen Methode. Wir müssen uns hier begnügen, 
diese Rechnung nur anzudeuten und das Resultat auf anderem Wege 
zu beweisen. 

Führt man in der Gleichung (1) des vor. Art. für r und s als 
unabhängig veränderliche Grössen ö = r -\- s und u = r — s ein und 
wählt man für die Curve c eine Curve, in welcher 6 constant ist, so 
lässt sich die Aufgabe nach den Regeln Fourier's behandeln, und 
man erhält durch Vergleichung des Resultats mit der Gleichung (4) 
des vor. Art., wenn r -\- s = a, / — s = ti gesetzt wird, 

Riemann's gesammelte mathematische Werke. I. 11 



162 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen 

oo 

V = ^ ycos n (« — tl) ^ (^^ (ö') t, ((?) — t, (ö') ti (o) ) dil, 



worin i^^ ((?) und ifj^ ((>) zwei solche particulare Lösungen der Diffe- 
rentialgleichung ilf" — 2mi^' + ft^^ = bezeichnen, dass 

Bei Voraussetzung des Poisson'schen Gesetzes, nach welchem 

m = ( -^ 7. _ . ) — ; kann man ^^ und ip2 ^^^^i^cli bestimmte Integrale 

ausdrücken, so dass man für v ein dreifaches Integral erhält, durch 
dessen Reduction sich ergiebt 



1 1 



v= f- +' \ f(^ ^- ^ ^ 1 {r-r){s-s) \ 

Man kann nun die Richtigkeit dieses Ausdrucks leicht beweisen, 
indem man zeigt, dass er wirklich den Bedingungen (3) des vor. Art. 
genügt. 

a 

— fmdo > 

Setzt man v = e ^' y, so gehen diese für y über in 

d^y I /dm \ ^ 

und y = 1 sowohl für r = /, als für s = s. Bei der Poisson^schen 

Annahme kann man aber diesen Bedingungen genügen, wenn mau an- 

(^ 4« \ (ß ^^ g \ 

nimmt, dass y eine Function von == — } — , — r-^-^—, — >^ sei. Denn es 

wird dann, wenn man t — - durch A bezeichnet, m = — , also 

dm X-\-V j 

^ mm = 4— und 

da 6^ 

dsdr ff'-^ Y^Hog^''* \ ^/ d log z J' 

Es ist folglich V = ( — ) y und y eine Lösung der Differentialgleichung 

oder nach der in meiner Abhandlung über die Gauss^sche Reihe ein- 
geführten Bezeichnung eine Function 

■^ [oi -\-xo '") 
und zwar diejenige particulare Lösung, welche für 2 = gleich 1 wird. 
Nach den in jener Abhandlung entwickelten Transform ationsprin- 
cipien l'ässt sich y nicht bloss durch die Functionen P(0, 2A + 1; 0), 



von endlicher Schwingungsweite. 163 

sondern auch durch die Functionen P(^, 0, A + i)? ^(^; ^ + i» '^ + i) 
ausdrücken; mau erhält daher für y eine grosse Menge von Dar- 
stellungen durch hypergeometrische Reihen und bestimmte Integrale, 
von denen wir hier nur die folgenden 

y^F{i + 1,-1, 1,4= ^-1 - 4 J'i- h - h l, jfn) 
= (1. -5)-'-'- f{\ + l, 1 +X, \, j^) 

bemerken, mit denen man in allen Fällen ausreicht. 

Um aus diesen für das Poisson^sche Gesetz gefundenen Resultaten 
die für das Boyle'sche geltenden abzuleiten, muss man nach Art. 2. 

die Grössen r, s, r , s um y—{ vermindern und dann Ä; = 1 werden 
lassen, wodurch man erhält m == — — und 



2 a 



(,. — r' -\-s — s') 



jLj n! n! {2af" 
ü 



10. 

Wenn man den im vor. Art. gefundenen Ausdruck für v in die 
Gleichung (4) des Art. 8. einsetzt, erhält man den Werth von iv für 

r==r, s = s durch die Werthe von tv, >, und ö— in der Curve c aus- 

' ' or CS 

gedrückt: da aber bei unserm Problem in dieser Curve immer nur t^ 
und -^ unmittelbar gegeben sind und w erst durch eine Quadratur aus 

ihnen gefunden werden müsste, so ist es zweckmässig, den Ausdruck 
für Wr',s' so umzuformen, dass unter dem Integralzeichen nur die Deri- 
virten von w vorkommen. 

Man bezeichne die Integrale der Ausdrücke — mvds -(- (y^ + nivj dr 

und l~ + mv) ds — nivdr, welche in Folge der Gleichung 

d'^v j^ dmv f^ dmv ^ 

drds ' dr ' ^s 

vollständige Differentiale sind, durch P und 2 und das Integral von 
Fdr -\- Eds, welcher Ausdruck wegen ^^ = — 7nv = ^ ebenfalls ein 
vollständiges Differential ist, durch «. 

Bestimmt man nun die Integrationsconstanten in diesen Integralen 

so, dass (0, ~ und -^ für r = /, s = s verschwinden, so genügt a 

den Gleichungen S- + t" + 1 == v, ^-^ = — niv und sowohl für 
^ er ' CS ^ 'eres 



11 



164 VIII. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen etc. 

r = r\ als fUr s = s der Gleichung co = und ist, beiläufig bemerkt, 
durch diese Grenzbedingung und die Differentialgleichung 

sm + '" [IT- + 11+ 1) = 

völlig bestimmt. 

Führt man nun in dem Ausdrucke von Wr',s' für v die Function 
G) ein, so kann man ihn durch partielle Integration in 

c, s' 

w,., = iv.. , + j ^g^ + 1) ^ rf, _ _ _ dr^ 

c, r 

umwandeln. 

Um die Bewegung des Gases aus dem Anfangszustande zu be- 
stimmen, muss man für c die Curve, in welcher t = i) ist, nehmen; 

in dieser Curve hat man dann -;^- = rr, -t^- = — x, und man erhält 

Cr ^ OS ^ 

durch abermalige partielle Integration 

c, .S-' 

Wr'^s' -■= 1^c,r' -\- f(codx — X (Is) , 
c, r 

folglich nach Art. 3., (4) und (5) 

(2) 

[x + (l/9P'((>) — ^^)i)r\,' == X,' — J j^ dx. 

Xr' 

Diese Gleichungen (2) drücken aber die Bewegung nur aus, so lange 

T? + (^n^-+ 1) * ""d ^ + \-i^ + Ij < ^'i Null yer- 
schieden bleiben. Sobald eine dieser Grössen verschwmdet, entsteht 
ein Verdichtungsstoss, und die Gleichung (1) gilt dann nur innerhalb 
solcher Grössengebiete, welche ganz auf einer und derselben Seite dieses 
Verdichtungsstosses liegen. Die hier entwickelten Principien reichen 
dann, wenigstens im Allgemeinen, nicht aus, um aus dem Anfangszustande 
die Bewegung zu bestimmen; wohl aber kann man mit Hülfe der Gleichung 
(1) und der Gleichungen, welche nach Art. 5. für den Verdichtungsstoss 
gelten, die Bewegung bestimmen, wenn der Ort des Verdichtungsstosses 
zur Zeit ^, also J als Function von ^, gegeben ist. Wir wollen indess 
dies nicht weiter verfolgen und verzichten auch auf die Behandlung des 
Falles, wenn die Luft durch eine feste Wand begrenzt ist, da die 
Rechnung keine Schwierigkeiten hat und eine Vergleichung der Resultate 
mit der Erfahrung gegenwärtig noch nicht möglich ist. 



Xs' 

äx 
or 

Xr' 



IX. 

Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung. 

(Göttinger Nachrichten, 1859, Nr. 19.) 

Diese Untersuchung macht nicht darauf Anspruch, der experimen- 
tellen Forschung nützliche Ergebnisse zu liefern; der Verfasser wünscht 
sie nur als einen Beitrag zur Theorie der nicht linearen partiellen 
Differentialgleichungen betrachtet zu sehen. Wie für die Integration 
der linearen partiellen Differentialgleichungen die fruchtbarsten Me- 
thoden nicht durch Entwicklung des allgemeinen Begriffs dieser Auf- 
gabe gefunden worden, sondern vielmehr aus der Behandlung specieller 
physikalischer Probleme hervorgegangen sind, so scheint auch die 
Theorie der nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen durch eine 
eingehende, alle Nebenbedingungen berücksichtigende, Behandlung 
specieller physikalischer Probleme am meisten gefördert zu werden, und 
in der That hat die Lösung der ganz speciellen Aufgabe, welche den 
Gegenstand dieser Abhandlung bildet, neue Methoden und Auffassungen 
erfordert, und zu Ergebnissen geführt, welche wahrscheinlich auch bei 
allgemeineren Aufgaben eine Rolle spielen werden. 

Durch die vollständige Lösung dieser Aufgabe dürften die vor 
einiger Zeit zwischen den englischen Mathematikern Challis, Airy und 
Stokes lebhaft verhandelten Fragen*), soweit dies nicht schon durch 
Stokes**) geschehen ist, zu klarer Entscheidung gebracht worden sein, 
so wie auch der Streit, welcher über eine andre denselben Gegenstand 
betreffende Frage in der K, K. Ges. d. W. zu Wien zwischen den Herrn 
Petzval, Doppler und A. von Ettinghausen***) geführt wurde. 

Das einzige empirische Gesetz, welches ausser den allgemeinen 
Bewegungsgesetzen bei dieser Untersuchung vorausgesetzt werden 



*) Phil. mag. voll. 33. 34. und 35. 
**) Phil. mag. vol. 33. p. 349. 

***) Sitzungsberichte der K. K. Gos. d. W. vom 15. Jan., 21. Mai und 1. Juni 
1852. 



1 Qß IX. Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung. 

musste^ ist das Gesetz, nach welchem der Druck eines Gases sich mit 
der Dichtigkeit ändert, wenn es keine Wärme aufnimmt oder abgiebt. 
Die schon von Poisson gemachte, aber damals auf sehr unsicherer 
Grundlage ruhende Annahme, dass der Druck bei der Dichtigkeit q 
proportional ^^ sich ändere, wenn h das Verhältniss der specifischen 
Wärme bei constaiftem Druck zu der bei constantem Volumen be- 
deutet, kann jetzt durch die Versuche von Regnault über die speci- 
fischen Wärmen der Gase und ein Princip der mechanischen Wärme- 
theorie begründet werden, und es schien nöthig diese Begründung des 
Poisson'schen Gesetzes, da sie noch wenig bekannt zu sein scheint, 
in der Einleitung voranzuschicken. Der Werth von k findet sich dabei 

= 1,4101, während die Schallgeschwindigkeit bei 0^ C. und trockner 

332m 37 

Luft nach den Versuchen von Martins und A. Bravais*) = — -,7* — 

sich ergeben und für h den Werth 1,4095 liefern würde. 

Obwohl die Vergleichung der Resultate unserer Untersuchung mit 
der Erfahrung durch Versuche und Beobachtungen grosse Schwierig- 
keiten hat und gegenwärtig kaum ausführbar sein wird, so mögen 
diese doch, soweit es ohne Weitläufigkeit möglich ist, hier mitgetheilt 
werden. 

Die Abhandlung behandelt die Bewegung der Luft oder eines 
Gases nur für den Fall, wenn anfangs und also auch in der Folge 
die Bewegung allenthalben gleich gerichtet ist, und in jeder auf ihrer 
Richtung senkrechten Ebene Geschwindigkeit und Dichtigkeit constant 
sind. Für den Fall, wo die anfängliche Gleichgewichtsstörung auf 
eine endliche Strecke beschränkt ist, ergiebt sich bekanntlich bei der 
gewöhnlichen Voraussetzung, dass die Druckverschiedenheiten unendlich 
kleine Bruchtheile des ganzen Drucks sind, das Resultat, dass von der 
erschütterten Stelle zwei Wellen, in deren jeder die Geschwindigkeit 
eine bestimmte Function der Dichtigkeit ist, ausgehen und in entgegen- 
gesetzten Richtungen mit der bei dieser Voraussetzung constanten 
Geschwindigkeit Y cp' (q) fortschreiten, wenn (p(q) den Druck bei der 
Dichtigkeit q und (p'iß) die Derivirte dieser Function bezeichnet. Etwas 
ganz ähnliches gilt nun für diesen Fall auch, wenn die Druckver- 
schiedenheiten endlich sind. Die Stelle, wo das Gleichgewicht gestört 
ist, zerlegt sich ebenfalls nach Verlauf einer endlichen Zeit in zwei 
nach entgegengesetzten Richtungen fortschreitende Wellen. In diesen 
ist die Geschwindigkeit, in der Fortpflanzungsrichtung gemessen, eine 
bestimmte Function / ]/ 9?' (q) d log q der Dichtigkeit, wobei die 



*) Ann. de chim. et de phys. Ser. III, T. XIII, p, 5. 



IX. Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung. 167 

Integrationsconstante in beiden verschieden sein kann; in jeder ist also 
mit einem und demselben Werthe der Dichtigkeit stets derselbe Werth 
der (Geschwindigkeit verbunden, und zvv^ar mit einem grösseren Werthe 
ein algebraisch grösserer Werth der Geschwindigkeit. Beide Werthe 
rücken mit constanter (lesch windigkeit fort. Ihre Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit im Gase ist V (p {q)j im Räume aber um die in der 
Fortpflanzungsrichtung gemessene Geschwindigkeit des Gases grösser. 
Unter der in der Wirklichkeit zutrefl'enden Voraussetzung, dass qp' (9) 
bei wachsendem q nicht abnimmt, rücken daher grössere Dichtigkeiten 
mit grösserer Geschwindigkeit fort, und hieraus folgt, dass die Ver- 
dünnungswellen, d. h. die Theile der Welle, in denen die Dichtigkeit 
in der Fortpflanzungsrichtung wächst, der Zeit proportional an Breite 
zunehmen, die Verdichtungs wellen aber ebenso an Breite abnehmen, 
und schliesslich in Verdichtungsstösse übergehen müssen. Die Gesetze, 
welche vor der Scheidung beider Wellen oder bei einer über den ganzen 
Raum sich erstreckenden Gleichgewichtsstörung gelten, so wie die 
Gesetze für das Fortschreiten von Verdichtungsstössen, können hier, 
weil dazu grössere Formeln erforderlich wären, nicht angegeben werden. 
In akustischer Beziehung liefert demnach diese Untersuchung das 
Resultat, dass in den Fällen, wo die Druckverschiedenheiten nicht als 
unendlich klein betrachtet werden können, eine Aenderung der Form 
der Schallwellen, also des Klanges, während der Fortpflanzung eintritt. 
Eine Prüfung dieses Resultats durch Versuche scheint aber trotz der 
Fortschritte, welche in der Analyse des Klanges in neuester Zeit durch 
Helmholtz u. A. gemacht Avorden sind, sehr schwer zu sein; demi in 
geringeren Entfernungen ist eine Aenderung des Klanges nicht merk- 
lich, und bei grösseren Entfernungen wird es schwer sein, die maimig- 
fachen Ursachen, welche den Klang modificiren können, zu sondern. 
An eine Anwendung auf die Meteorologie ist wohl nicht zu denken, 
da die hier untersuchten Bewegungen der Luft solche Bewegungen sind, 
die sjch mit der Schallgeschwindigkeit fortpflanzen, die Strömungen in 
der Atmosphäre aber allem Anschein nach mit viel geringerer Ge- 
schwindigkeit fortschreiten. 



X. 

Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines 
flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 

(Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Göttingen. 1861.) 

Für die Untersuchungen über die Bewegung eines gleichartigen 
flüssigen Ellipsoides, dessen Elemente sich nach dem Gesetze der 
Schwere anziehen, hat Dirichlet durch seine letzte von Dedekind 
herausgegebene xirbeit auf überraschende Weise eine neue Bahn ge- 
brochen. Die Verfolgung dieser schönen Entdeckung hat für den 
Mathematiker ihren besondern Reiz, ganz abgesehen von der Frage 
nach den Gründen der Gestalt der Himmelskörper, durch welche diese 
Untersuchungen veranlasst worden sind. Dirichlet selbst hat die 
Lösung der von ihm behandelten Aufgabe nur in den einfachsten 
Fällen vollständig durchgeführt. Für die weitere Ausführung der Unter- 
suchung ist es zweckmässig, den Differentialgleichungen für die Be- 
wegung der flüssigen Masse eine von dem gewählten Anfangszeit- 
punkte unabhängige Form zu geben, was z. B. dadurch geschehen kann, 
dass man die Gesetze aufsucht, nach, welchen die Grösse der Haupt- 
axen des Ellipsoides und die relative Bewegung der flüssigen Masse 
gegen dieselben sich ändert. Indem wir hier die Aufgabe in dieser 
Weise behandeln, werden wir zwar die Dirichlet 'sehe Abhandlung 
voraussetzen, müssen aber dabei zur Vermeidung von Irrungen gleich 
bevorworten, dass es nicht möglich gewesen ist, die dort gebrauchten 
Zeichen unverändert beizubehalten. 

1. 

Wir bezeichnen durch a, h, c die Hauptaxen des Ellipsoides zur 
Zeit t, ferner durch x, y, z die Coordinaten eines Elements der flüssigen 
Masse zur Zeit t und die Anfangswerthe dieser Grössen durch An- 
hängung des Index und nehmen an, dass für die Anfangszeit die 
Hauptaxen des Ellipsoides mit den Coordinatenaxen zusammenfallen. 



X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung etc. 160 

Den Ausgangspunkt für die Untersuchung Dirichlet's bildet be- 
kanntlich die Bemerkung, dass man den Differentialgleichungen für. 
die Bewegung der Flüssigkeitstheile genügen kann, wenn man die 
Coordinaten x, y, z linearen Ausdrücken von ihren Anfangswerthen 
gleichsetzt, in denen die Coefficienten blosse Functionen der Zeit sind. 
Diese Ausdrücke setzen wir in 'die Form 



(1) 



X 


= 


l 


3 

«0 


+ 


7n 




+ n 


y 


= 


r 


«0 


+ 


m 


Vo 


+ n 


z 


= 


r 




+ 


m" 


Vo 


+ n 



Zn 



Bezeichnet man nun durch J, rj, t, die Coordinaten des Punktes (o;, y, z) 
in Bezug auf ein bewegliches Coordinatensystem, dessen Axen in jedem 
Augenblicke mit den Hauptaxen des Ellipsoides zusammenfallen, so 
sind bekanntlich |, r], J gleich linearen Ausdrücken von x, y, z 

i = ccx + ßy + yz 
(2) rj = ax + ß'y + yz 

% = ci'x + ß"y + y'z 

worin die Coefficienten die Cosinus der Winkel sind, welche die Axen 
des einen Systems mit den Axen des andern bilden, a = cos ^x, 
ß = cos ^y etc., und zwischen diesen Coefficienten finden sechs Be- 
dingungsgleichungen statt, welche sich daraus herleiten lassen, dass 
durch die Substitution dieser Ausdrücke 

r- + n' + ?' = x' + y' + 0' 
werden muss. 

Da die Oberfläche stets von denselben Flüssigkeitstheilchen ge- 



bilde 


: wird, so muss 




a' ~ ?>^ ' c' üo' ^ b,' ^ c, 


sein; 


setzt man also 




1 = «^^ +^l^ +j,^ 


(3) 


6 ' «„ ' '^' *o ' '^' Co 







d. h. bezeichnet man in den Ausdrücken von — , ^, — durch — , |^, — 
welche man durch Einsetzung der Werthe (1) in die Gleichungen (2) 



170 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

erhält, die Coefficienten durch a^, ß^, . . ., y'/^ so bilden diese Grössen 
^.j ß.: ' - -y ?'/ ebenfalls die Coefficienten einer orthogonalen Coordinaten- 
transformation : sie können betrachtet werden als die Cosinus der 
Winkel, welche die Axen eines beweglichen Coordinatensystems der 
?/7 V,7 5/ i^^it flen Axen des festen Coordinatensystems der oc, y, z 
bilden. Drückt man die Grössen x^ y, z mit Hülfe der Gleichungen 

(2) und (3) in ^, |^, ^- aus, so ergiebt sich 

«Q Oy C,J 

l = aaa -\- ha a' -\- ca" a" 
m =aaß^'\- haß^ + ca' ß^" 
n = aay^ -\- ha y' -f" ca' y'/ 

r = aßa^ + hß'a; + c^"«/' 

(4) m' = aßß^ + hß'ß; + cß"ß:' 

n = aßy, -\- h'ß'y^' + cß" v'/ 

l" = aya^ -{- hy a' -\- cy" a]' 
m" = avß, + hy'ß: + cy" ß'/ 
n = ciy/^ -j- hy y^ -f- cy y^ 

Wir können daher die Lage der Flüssigkeit'stheilchen oder die Werthe 
der Grössen l, m, . . ., n' zur Zeit t als abhängig betrachten von den 
Grössen a, h, c und der Lage zweier beweglichen Coordinatensysteme 
und können zugleich bemerken, dass durch Vertauschung dieser beiden 
Coordinatensysteme in dem Systeme der Grössen /, m, n die Horizontal- 
reihen mit den Vertikalreihen vertauscht werden, also l, m, n' un- 
geändert bleiben, während von den Grössen m und T, n und l'\ n 
und m" jede in die andere übergeht. Es wird nun unser nächstes 
Geschäft sein, die Differentialgleichmigen für die Veränderungen der 
Hauptaxen und die Bewegung dieser beiden Coordinatensysteme aus 
den in der Dirichl et 'sehen Abhandlung (§. 1, 1) angegebenen Grund- 
gleichungen für die Bewegung der Flüssigkeitstheilchen abzuleiten. 



2. 

Offenbar ist es erlaubt, in jenen Gleichungen, statt der Derivirten 
nach den Anfangswerthen ^er Grössen Xj y, z^ welche dort durch 
a, &, c bezeichnet sind, die Derivirten nach den Grössen ^, rj, t, zu 
setzen; denn die hiedurch gebildeten Gleichungen lassen sich als Aggre- 
gate von jenen darstellen- und umgekehrt. Wir erhalten dadurch, wemi 

wir für ^^ ,■—,..., ^r- ihre Werthe einsetzen 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen EUipsoides. 171 

(1) ^,2 a + ^ ß -f- -,,^> y = £ ^ -5— 

worin V das Potential, P den Druck im Punkte x, y, z zur Zeit i und 
£ die Constante bezeichnet, welche die Anziehung zwischen zwei Massen- 
einheiten in der Entfernungseinheit ausdrückt. 

Es handelt sich nun zunächst darum, die Grössen links vom Gleich- 
heitszeiclien in die Form linearer Functionen von den Grössen |, y\^ J 
zu setzen, wozu einige Vorbereitungen nöthig sind. 

Durch Differentiation der Gleichungen 2) erhält man, wenn man 
zur Abkürzung 

dx \ ^y o I ^'^ fc' 

dx „ , dy nn I cz „ w 



setzt, 



d^ da _i dß _\ (^7 \ t' 

dr} da , dß' , dy' , , 

dt — dt '^ ^ dt ^^ ^ dt ^ ^ ^ 



und wenn man hierin x, ?/, z wieder durch ^, rj, J ausdrückt 

r^ (da , dß r. ^ dy \ y , /f?« ^ , ^^ß ry , ^?y A 

crj /da , f/ö' ^ , dy' \ y , (d a , . d ß' 3, , dy A 

?v = (;7r « + ;7f /^ + ^TT >-) ^ + (<7r « + ,Tr /^ + rff 2^ ) -J 

, /da ,, , (Zß' ^„ , dy '\ c, \ > 

+ (d(-'' +dr^ +dr'' )?+•' 

Nun giebt aber die Diiferentiation der bekannteu Gleichungeu 

«' + /5' + 7' = 1 , ««' + /5^' + ?-/ = 0, etc. 



172 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

da . ^ dß , dy ^ , d a' ^, d ß' . , dy ^ 

„ da" . ri" dß" , ,, dy" ^ 



da 



r = 






'■5 + ll-i'? 


r = 


-q^+pn + U- 



a ,, . dß' r," , dy ,, (da' , , dß!' ^, , dy" ,\ 

/Q\ <?«" I dß" rt , ^^y" /t^o: // , ^^ ü" \ dy ,A 

(^) rfT « + ,Tr Z' + IT J' = - (-rfT « + TT ^ + ^ >' ) 

und es wird folglich, weiin man diese letzteren drei Grössen durch 
Py q, r bezeichnet, 



(4) 



Durch ein ganz ähnliches Verfahren ergiebt sich aus den Glei- 
chungen (2) 

(5) g«'+3/3'+|^/= '-r + t-K 

-gF« +1F'' +W^ =-'il +i"! +^, 

und aus den Gleichungen Art. 1. 3), wenn j)^^ q^, r^ die Grössen be- 
zeichnen, welche von den Functionen «^, /3^, . . ., y'' ebenso abhängen, 
wie die Grössen p^ q^ r von den Functionen a, ß, . . ., y" 

^- 

a^ y] t 

et ' & ^' c 



d '' 



(6) -^-P.^-rL 






Setzt man die Werthe ||, I7, |f aus (6) in (4) ein, so erhält man 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen EUipsoides. 173 

(7) r/ = (ar - hr) | + f | + (bp, - ep) |- 

r = (c,,-«2)i-+(6,>-c;,)| + ^|- 

Was die geometrische Bedeutung dieser Grössen betrifft, so sind, wie 
leicht ersichtlich ist, ^', ?/, ^' die Geschwindigkeitscomponenten des 

Punktes x, y, z der flüssigen Masse parallel den Axen J, r], J; -öy, ^y, 07 

die ebenso zerlegten relativen Geschwindigkeiten gegen das Coordi- 
natensystem der J, 7], J; ferner in den Gleichungen (1) die Grössen 
auf der linken Seite die Beschleunigungen und die auf der rechten 
die beschleunigenden Kräfte parallel diesen Axen; endlich sind p, q, r 
die augenblicklichen Rotationen des Coordinatensystems der J, rj, J um 
seine Axen und p^, q^y f\ haben dieselbe Bedeutung für das Coordinaten- 
system der ^^, r}^, 5^. 



3. 

Wenn man nun die Werthe der Grössen J', rj', J' aus (7) in die 
Gleichungen (5) substituirt und mit Hülfe der Gleichungen (6) die 

ä n t . 
Derivirten von — , -r , — wieder durch die Grössen ^, v, t ausdrückt, 

so nehmen die Grössen auf der linken Seite der Gleichungen (1) die 
Form linearer Ausdrücke von den Grössen |, t], J an. Auf der rechten 
Seite hat V die Form 

worin H^ Ä, B, C auf bekannte Weise von den Grössen a, h, c ab- 
hängen-, und man genügt ihnen daher, wenn an der Oberfläche der 
Druck den constanten Wertli Q hat, indem man 



^=^^ + ^(}-^-^-9) 



setzt und die zehn Functionen der Zeit «, h, c\ p, g, r; p^y q^, i\ und 
G SO bestimmt, dass die neun Coefficienten der Grössen 5, r;, t, auf 
beiden Seiten einander gleich werden und zugleich die aus der Incom- 
pressibilität folgende Bedingungsgleichung ahc = Oq^Cq befriedigt wird. 

Durch Gleichsetzung der Coefficienten von -, y, in der ersten und 
von — in der zweiten Gleichung ergiebt sich 



174 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

^ + 2ftrr + 2cqq, - a (r^ + r; + f + ?/) = 2 1 - 2f «^ 
<^r -, dr^ . ^ da n f^^ \ i 7 o r\ 



dt dt ' t?^ f^* 

dJ) 



«'^-''li + 2^^-2^r+ «j,,9, + hM - 2cp,q = 



Aus diesen Gleicliungen erhält man die sechs übrigen durch cyclische 
Versetzung der Axen, oder auch durch beliebige Vertauschungen, wenn 
man nur dabei beachtet, dass durch Vertauschung zweier Axen nicht 
bloss die ihnen entsprechenden Grössen vertauscht werden, sondern 
zugleich die sechs Grössen p, g_, - - -, r^ ihr Zeichen ändern. 

Man kann diesen Gleichungen eine für die weitere Untersuchung 
bequemere Form geben, wenn man statt der Grössen J>?, j?^; ^, q/-, r, r^ 
ihre halben Summen und Differenzen 

, p — p , q — q f r — r 

«=--'2--' «'=S- «'=-^ 

als unbekannte Functionen einführt. 

Dadurch wird das System von Gleichungen, welchen die zehn 
unbekannten Functionen der Zeit genügen müssen 



(«) 



{c — l)iC^-\-{c + l)iP + {c — a)v'^ + {c-\-a)v^ — ^^,==8cC "" 



dt' 

d^ 

dt' "^ c 

(5 + c)^ + 2^^^±^m' + (& — c + 2a)W + (Z>-c — 2a)v'^t;==0 
(c-^-a)^ + 2'^^'^"[''^^^ + (c — a + 26)W + (c— a— 26)^^^ii = 

ahc == a^h^CQ, 

Die Werthe von A, B, C ergeben sich aus dem bekannten Ausdrucke 
für V 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 175 



worin 



Nach ausgeführter Integration dieser Differentialgleichungen hat 
man noch, um die Functionen a,ß^...,y' zu bestimmen, die all- 
gemeine Lösung 0, 9', G" der Differentialgleichungen 

iß) 'Z^ = ,e'_2e", '»*;=-,-e + ,,e", ^ = s6-i.e' 

ZU suchen, — von welchen, wie aus Art. 2, (3) hervorgeht, a, a, a"; 
ßj ßj /3"5 Yy y'y y" die drei particularen Auflösungen sind, die für 
^ = die Werthe 1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1 annehmen, — und zur Be- 
stimmung der Functionen a^, /3^, . . ., y[' die allgemeine Lösung der 
simultanen Differentialgleichungen 



4. 

Es fragt sich nun, welche Hülfsmittel für die Litegration dieser 
Differentialgleichungen (a), (/3), {y) die allgemeinen hydrodynamischen 
Principien darbieten, aus denen Dirichlet sieben Litegrale erster Ord- 
nung der durch die Functionen ?, m, . . ., n zu erfüllenden Differential- 
gleichungen (§. 1. (a) ) schöpfte. Die aus ihnen fliessenden Gleichungen 
lassen sich mit Hülfe der oben für J', ?^', ^ gegebenen Ausdrücke leicht 
herleiten. 

Der Satz von der Erhaltung der Flächen giebt 

{l — cfu -[- (6 + cfu =g = a f + ß h' + y h^ 

(1) (c — a:)H + (c + afv =Ji== a (f -f /3' /^« + / y^ 

(a — lyiv + (a + Ifw = l- = a(f + ß"h^ + y'W 

worin die Constanten (J\ JiPj Jc^, die Anfangswerthe von (/, h, A', mit den 
Constanten ^, ^', ^'' in der Abhandlung von Dirichlet überein- 
kommen; er liefert also das aus den sechs letzten Differentialgleichungen 
(a) leicht zu bestätigende Resultat, dass. 6 = ^, 9' = h, 9" = Je eine 
Lösung der Differentialgleichmigen (ß) ist. 

Aus dem Helmholtz'schen Princip der Erhaltung der Rotation 
folgen die Gleichungen 



17G X- Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

(h - cfu - (h + cfAi =g, = a^ g^ + /3^ h^ + y^ l^ 

(2) {c —dfv - (c + dfv = li^ = «; ry; + /3; /^^<^ + y[ h^" 
(a - h)hv - (a + h)Hv = Ic^ = a'/g^ + ß'/h^ + y'/h^ 

in welchen die Constanten g^, h^, h^ den Grössen BC^, CA^, AB^ 
der genannten Abhandlung gleich sind. 

Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft endlich giebt 
ein Integral erster Ordnung der Differentialgleichungen («) 

0) ' +{h — cfu' + {c — a)h^ +{a — hfw' = 2 flT + const. 
+ (/, + cftP + (c + afv' + (a + hfw'' ) ' 

Aus den Gleichungen (1) und (2) folgen zunächst noch zwei In- 
tegrale der Gleichungen (a) 

(II) g' + h' + l' = const. = «2 

(III) g;' -K/^; + rf = const. = «/. 

Ferner lassen sich von den Gleichungen (ß) zwei Integrale 

(IV) e^ + 0'2 + e"2 = const. 

(V) e^ + Q'h + Q'lc = const. 

angeben, wodurch ihre Integration allgemein auf eine Quadratur zurück- 
geführt wird. Zur Aufstellung ihrer allgemeinen Lösung ist es jedoch, 
da sie linear und homogen sind, nur nöthig, noch zwei von der Lösung 
g, h, h verschiedene particulare Lösungen zu suchen, für welchen Zweck 
man die willkürlichen Constanten in diesen beiden Integralgleichungen 
so wählen kann, dass sich die Rechnung vereinfacht. Giebt man beiden 
den Werth Null, so hat man 

(3) e'^ -f e"/.- = - ge, 

und ferner erhält man, wenn man diese Gleichung quadrirt und dazu 
die Gleichung 

multiplicirt mit li^ -f- ]i^, addirt 

— (e'/j - Q'lif = w^e'^ 

folglich 

(4) 67^ — e'7i = öie 

Durch Auflösung dieser beiden linearen Gleichungen (3) und (4) 
findet sich 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen EUipsoides. 177 

(5) ö _----p-^-^— e 

und durch Einsetzung dieser Werthe in die erste der Gleichungen (j3) 

dg 

1 de "" ^ rfT , r^- -|- qh 

e ^ ~ h' + /:=^ ■" Tm^F'" "^ 

(7) log e = i log (7/^ + /r) + « .• Jl^J-^.f ^^^ + const. 

Aus dieser in (5), (G) und (7) enthaltenen Lösung der Differential- 
gleichungen iß) erhält man eine dritte, indem man für |/ — 1 überall 
— ]/— 1 setzt, und es ist dann leicht aus den gefundenen drei par- 
ticularen Lösungen die Ausdrücke für die Functionen a, ß^...^ y" 
zu bilden. 

Die geometrische Bedeutung jeder reellen Lösung der Differential- 
gleichungen (ß>) besteht darin, dass sie, mit einem geeigneten con- 
stanten Factor multiplicirt, die Cosinus der Winkel ausdrückt, welche 
die Axen der |, r]y J zur Zeit t mit einer festen Linie machen. Diese 
feste Linie wird für die erste der drei eben gefundenen Lösungen 
durch die Normale auf der unveränderlichen Ebene der ganzen be- 
wegten Masse gebildet, für den reellen und den imaginären Bestand- 
theil der beiden andern durch zwei in dieser Ebene enthaltene und 
auf einander senkrechte Linien. Die Cosinus der Winkel zwischen den 

Axen und iener Normalen sind demnach — , - , - : die Lage der 

•' CO ' OJ ' CO ' ° 

Axen gegen diese Normale ergiebt sich also nach Auflösung der 
Gleichungen («) ohne weitere Integration und zur vollständigen Be- 
stimmung ihrer Lage genügt eine einzige Quadratur, z. B. die Litegration 

. . T To- dt, welche die Drehuns: der durch die Normale und die 



t 
a 
ü 



J h'^-i-k' ^^"^ ö 



Axe der | gehenden Ebene um die Normale giebt. 

Ganz Aehnliches gilt von den Differentialgleichungen (y). Man 
kaim auf demselben Wege aus den beiden Integralen 

(VI) 6/ + e;- + e;'^ = const. 

(VII) e'/j^ -f e;/^^ + e/'A-^ = const. 

ihre allgemeine Lösung und folglich auch die Werthe der Grössen 
a, /3 , . . ., y" zur Zeit t ableiten, und es wird dabei nur eine Qua- 
dratur erforderlich sein. Es ergiebt sich dann schliesslich der Ort eines 

RfEMANN's gpsamraelte mathematische Werke. I. 12 



178 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

beliebigen Flüssigkeitstheilcbens zur Zeit t aus den oben (Art. 1, 1 
und 4) für die Grössen x^ y, z und die Functionen Ij m, . . ., n" ge- 
gebenen Ausdrücken. 

5. 

Wir wollen uns jetzt Rechenschaft darüber geben, was durch die 
Zurückftthrung der Difterentialgleichungen zwischen den Functionen 
/, m, ..., n" (der Differentialgleichungen (a) §. 1 bei Dirichlet) auf 
unsere DifPerentialgleichungen für das Geschäft der Integration ge- 
wonnen ist. Das System der Differentialgleichungen (a) ist von der 
sechszehnten Ordnung, und man kennt von denselben sieben Integrale 
erster Ordnung, wodurch es auf ein System der neunten Ordnung, 
zurückgeführt wird. Das System (a) ist nur von der zehnten Ord- 
nung, und man kennt von demselben noch drei Integrale erster 
Ordnung. Durch die hier bewirkte Umformung jener Differential- 
gleichungen ist also die Ordnung des noch zu integrirenden Systems 
von Differentialgleichungen um zwei Einheiten erniedrigt, und man 
hat statt dessen nur schliesslicli noch zwei Quadraturen auszuführen. 
Diese Umformung leistet also dasselbe, wie die Auffindung von zwei 
Integralen erster Ordnung. 

Wir bemerken indess ausdrücklich, dass hierdurch unsere Form 
der Differentialgleichungen nur für die Integration und die wirkliche 
Bestimmung der Bewegung einen Vorzug erhält. Für die allgemein- 
sten Untersuchungen über diese Bewegung ist dagegen diese Form der 
Differentialgleichungen weniger geeignet, nicht bloss, weil ihre Iler- 
leitung weniger einfach ist, sondern auch desshalb, weil der Fall der 
Gleichheit zweier Axen eine besondere Betrachtung erfordert. Bei 
Gleichheit zweier Axen tritt nämlich der besondere Umstand ein, dass 
die ihnen zu gebende Lage durch die Gestalt der flüssigen Masse nicht 
völlig bestimmt ist; sie hängt dann im Allgemeinen auch von der 
augenblicklichen Bewegung ab und bleibt nur dann willkürlich, wenn 
diese Bewegung so beschaffen ist, dass die Axen fortwährend einander 
gleich bleiben. Die Untersuchung dieses Falles ist zwar immer leicht 
und bedarf daher keiner weiteren Ausführung, kann aber in speciellen 
Fällen noch wieder besondere Formen annehmen, und die allgemeinen 
Untersuchungen, wie z. B. der allgemeine Nachweis der Möglichkeit 
der Bewegung (§. 2 bei Dirichlet), würden daher wegen der Menge 
von besonders zu behandelnden Fällen ziemhch weitläufig werden. 

Ehe wir zur Behandlung von speciellen Fällen schreiten, in wel- 
chen sich die Differentialgleichungen (a) integriren lassen, ist es zweck- 
mässig, zu bemerken, dass in einer Lösung dieser Differentialgleichun- 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 179 

gen, wie unmittelbar aus der Form dieser Gleichungen hervorgeht, 
jede Zeichenänderung der Functionen n, v,.,.jiv' zulässig ist, bei 
welcher nvii\ nviv, liviv, u'viv ungeändert bleiben. Es können also 
erstens die Zeichen der Functionen ii\ v , iv' gleichzeitig geändert wer- 
den, und dadurch werden die Grössen a, ß, . . . , y" mit den Grössen 
«y? ß,i '-•) y!\ ^^so in dem System der Grössen l, m, ..., w" die 
Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht. Zweitens können 
gleichzeitig zwei der Grössenpaare t(,ii'] v,V'^ iv,w' mit den entgegen- 
gesetzten Zeichen versehen werden, und diese Aenderung lässt sich 
auf eine Aenderung in dem Zeichen einer Coordinatenaxe zurückführen, 
wobei die Bewegung in eine ihr symmetrisch gleiche übergeht. In 
dieser Bemerkung ist der von Dedekind gefundene Reciprocitätssatz 
enthalten. 



6. 

Wir wollen nun den Fall untersuchen, in welchem eins der 
Grössenpaare n,u; v,V'^ iv,iv fortwährend gleich Null ist, also z. B. 
u = u = 0; die geometrische Bedeutung dieser Voraussetzung ist 
diese, dass die Hauptaxe a stets in der unveränderlichen Ebene der 
ganzen bewegten Masse liegt und die augenblickliche Kotationsaxe 
auf dieser Hauptaxe senkrecht steht. 

Aus den sechs letzten DifFerentiiilgleichungen (a) folgt sogleich, 
dass in diesem Falle die Grössen 

{^) (c — af V, (c + af Vj {a — hf iv, (a -{- hf iv 

constant sind und die Gleichungen 

.. (?> + c — 2a) viv + (?> + c + 2«) r' ?<;' = 

"^ {h '- c -\- 2a) viv -{- {b ~- c — 2a) v' tu = 

stattfinden müssen. 

Bei der weiteren Untersuchung ist zu unterscheiden, ob noch ein 
zweites der drei Grössenpaare Null ist oder nicht, und wir können im 
Allgemeinen nur noch bemerken, dass in Folge der Gleichungen (fi) 
die Grössen /*, Je, h^, h^ constant sind und folglich auch die Winkel 
zwischen den Hauptaxen und der unveränderlichen Ebene der ganzen 
bewegten Masse, und dass dann ferner aus den Differentialgleichungen 
{§>) und {y) die Verhältnissgleichungen 

9 '. h : Ix = p : q : r 

folgen, wodurch die Lösungen dieser Gleichungen sich vereinfachen. 

12* 



180 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

Erster Fall. Nur eins der drei Grössenpaare u,u'; v,v'] iv^w' ist gleich Null. 

Wenn weder zugleich v und v\ noch zugleich w und w' Null sind, 
folgt aus den Gleichungen (fi) und (v) 

v' 2 (2 a— b — c) {2a - \- h — c) /g — c\^ 

^ ' w~ (2a — & — c) (2« — l) -\- c) /a — h\^ 

«^ ■"" (2a + & + c) {^cT^h^^) ~ \a-\-h) ^^^^^*' 

woraus sich mit Hinzuziehung von 

ahc '-= const. 
ergiebt, dass a, h, c und folglich auch v,Vy iv,w constant sind. 
Setzen wir nun 

01 2 -ji 2 



s 



(2a + 6 4- c) (2a — fc + c) (2a — & — c) (2a + 6 — c) 

«^^^ ^ ^^' ' ^ /TT 

(2a + 6 + c) (2a + & — c) (2a — 5 — c) (2a — & + c) 

SO erhalten wir aus den drei ersten Differentialgleichungen (a) die drei 
Gleichungen 

(3) (4^2 _ 2>2 _ 3^2) ^ _|_ (^4^2 __ 352 _ ^2) 2^ _ ^^^ __ J_ 



(4) 






Um hieraus die Werthe von S, T und a abzuleiten, bilde man aus 
den Gleichungen (4) die Gleichungen 



h^T-{-c's='-^ r 



sds 



A (6^ + s) {€' + s) 
ö 



rp I n O £7r /* ds 





2b' c' 2 J A(6^ 4- s) {c' 4- s) 



und substituire diese Werthe in der Gleichung (3) 

^2 2 a'' y 



(4a^ _ ?>^ _ c^) (T + ^) - 2 (h'T + c'S) = '^ - ,^, 



wodurch man 



/p. Dg ^ ?7r /* r/s /2s + 4 a- — &^ — c^ , 1 \ 

^ -^ 2a'''52c''^ ~ ^ J A \ (6^~4-^)7?"4- s) ^ ■1 a^ + sj 



erhält, wenn zur Abkürzung 

(6) 4 a* — a'^ (//"^ + c^) + 7/c^ = D 

gesetzt wird. 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 181 

Durch Einsetzung des Werthes von a in die Gleichungen (4) 
findet sich dann 

. bjj-^c;' /) S' = i^ r ^^^ (^ay- cl + h^ __ i>^ \ 

^V ^'-^ -- a'^ 2J A(b''-\-s)\ c'^-s" a' + s) 

u 

CO 

{Q\ ^' ZZJ^' T)T—^^r *^^^- / •*«" — b- -\- c' ^\ 

\^) c2 — a' ^ ^ 2 J A (c^ + «) \ b' + 8 a' 4- sj * 



Es bleibt nun noch zu untersuchen, welchen Bedingungen a, h, c 
genügen müssen, damit sich aus den Gleichungen (7) und (8) und den 
Gleichungen (2) für v, Vy iv, w reelle Werthe ergeben. 

Damit ( — ) und | — j nicht negativ werden, ist es nothwfendig 
und hinreichend, dass die Grösse 

(4a2 -{h + cf) {Act' — Q) — cf) > 

sei. Es muss also a^ entweder > ( ^ | oder < / — ^^\ sein. 

Wenn a > ^ , müssen die Grössen S und T beide > sein, 

damit die Gleichungen (2) für v^v'j iv,tv' reelle Werthe liefern. Man 

b -\- c 
kann nun aber leicht zeigen, dass, wenn a ^ 7^ , B und die beiden 

Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (7) und (8) immer 
positiv sind. Man hat dazu nur nöthig, D in die Form zu setzen 

ä' (4fr^ — ih-\- cf) + hc (2a- + hc) 
und das in (7) enthaltene Integral in die Form 

QO 

17^»/ '^' ((^«' -c')s + «^ (4«^ + V- e) - Vc') 

u 

b -\- c . 
und dann zu bemerken, dass aus a > --f— die folgenden Ungleich- 

heiten fliessen, 4a^ — {h -\- cf > 0, 4a^ — c^ > 0, ferner 

4,a' ^l'^ — c' >(b + cf + h' - c' = 2h{h + c) 

und folglich 

a- (4^2 + W - c") > 2& (& + c) «2 > ^ 6(6 + cf > h^c\ 

Aus diesen Ungleichheiten folgt, dass sowohl D, als das betrachtete 
Integral nur positive Bestandtheile hat, und dasselbe gilt auch von 
dem Integral auf der rechten Seite der Gleichung (8), welches aus 
diesem durch Vertauschung von h und c erhalten wird. Lassen wir 



;[32 X- Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

nun a die Werthe von -^— bis oo durchlaufen, so wird, wenn h^c, 

T immer positiv bleiben, >S' aber nur so lange a <Ch. Die Bedingungen 

für diesen Fall sind also, wenn h die grössere der beiden Axen h und c 

bezeichnet, 

(I) ^<a<h. 

Für die Untersuchung des zweiten Falles, wenn a'^ < l — ^l? 
wollen wir annehmen, dass h die grössere der beiden Axen h und c 
sei, so dass a< — —. Es muss dann, damit v,v', tü,tv reell werden, 
jS' < und T > sein. Da aus den Un^fleichheiten 



I 



¥>(2a + cf>Aa'-\-c' 

hervorgeht, dass das Integral auf der rechten Seite der Gleichung (8) 
in unserm Falle stets negativ ist, so wird die letztere Bedingung T > 

nur erfüllt werden, wenn D (er — ci^) > 0, also c^ entweder < —\ ., ~" .^ , 

oder >- ar ist. Dieser Fall spaltet sich also wieder in zwei Fälle, und 

diese sind, da —\^ ^ < a^ durch einen endlichen Zwischenraum 

getrennt, so dass von einem zum andern kein stetiger Uebergang 
stattfindet. Da das Integral in der Gleichung (7), so lange c'^ <i a^ 
ist, wegen der beiden Ungleichheiten c^ -\- s <i a^ -\- s^ Acr — c^-\-lß'^h^ 
nur positiv sein kann, so reduciren sich die zu erfüllenden Bedingungen 

im ersten dieser Fälle auf a < — - — oder 

(II) c£'b-2a und c' < '''%Zlf^ 
und im zweiten auf 

(III) a < '-^ und f^'ß^-. fl^T-l~±^' - J^ < 0. 

ü 
Es ist leicht zu sehen, dass das Integral auf der linken Seite der 
letzten Ungleichheit, wenn a die Werthe von bis c durchläuft, 

negativ bleibt, so lange a <. - ist, während es für a = c einen posi- 
tiven Werth annimmt; die genaue Bestimmung der Grenzen aber, 
innerhalb deren diese Ungleichheit erfüllt ist, hängt, wie man sieht, 
von der Auflösung einer transcendenten Gleichung ab. 

In Bezug auf das Zeichen von (7, welches bekanntlich entscheidet, ob 
die Bewegung ohne äussern Druck möglich ist, können wir bemerken, 
dass sich der oben gefundene Werth dieser Grösse in die Form • 



über die Bewegung eines flüäbigen gleichartigen Ellipsoides. 183 






* 'is' -f Ga-s 4- I) -. 
^"Ä-5 — ' — ds 



setzen Hisst, und also in den Fällen I und III, wo Z> > 0, jedenfalls 
positiv ist, für einen negativen Werth von D aber, wenigstens so 
lange dieser Werth absolut genommen unter einer gewissen Grenze 
liegt, negativ wird. 

7. 
Ziveiter FdU. Zivei der Grössenpaare u,u; v,v'; w,w' sind (jlcich NuU. 

Wir haben nun noch den Fall zu behandeln, wenn zwei der 
Grössenpaare w, u\ v, v \ tv, iv fortwährend Null sind, und also nur um 
eifte Hauptaxe eine Rotation stattfindet. 

Wenn ausser u und u' auch v und v' fortwährend Null sind, so 
reduciren sich die Gleichungen (ft) und (y) auf 

{a — hy^iv = const. = r (<^ + ^fw = const. = r' 

und die ersten drei Differentialgleichungen («) liefern daher die Glei- 
chuniTcn 



o 



(1) 






{b - ay ' [b + a)3 ^ dt' 

d^c 
dt' ^^^ c 






welche verbunden mit 



abc = cIq})qC^) 



die Grössen a, &, c und (5 als Functionen der Zeit bestimmen. Das 
Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft giebt für diese Differential- 
gleichungen das Integral- erster Ordnung 

(2) i (©^ + i$i + &) + '.-w + (irw = 2^^ + --*• 

woraus unmittelbar hervorgeht, dass wenn x nicht Null ist, die Haupt- 
axen a und h nie einander gleich werden können. 

Ausser den schon von Mac-L aurin und Dirichlet untersuchten 
Fällen, wenn a = h, lässt noch der Fall, wenn die Grössen a, h, c 
constant sind, eine Bestimmung der Bewegung in geschlossenen Aus- 
drücken zu. In diesem Falle erhält man aus (1) durch Elimination 
von c die beiden Gleichungen 



184 ^- Eiii Beitrag zu den Untersuchungen 



(3) 



{b-i-ay ' 


(& - ar 


b J A {b-' -\-s) {&' + s) 
ü 


r'2 


r« 


00 

f7c /* ds {a^ — c2)s 


(5 + a)3 


(& - ar 


~ « / A («^ + s) (c2 + s) 



{b''-c')s _^ 



= Z 



worin die Integrale auf der rechten Seite durch K und L bezeichnet 
werden mögen; sie lassen sich auch in die Form setzen 

KV «^' " — jyj^aY — 2 J A \(a''+ s) {b' + 1>) ab (c^'sj) 

ü 

/p.N 2 ■'^^ £7t /* ds / s — ab _L ^^ \ 

[p) IV- ^ - _ ^^^ "" ~2" J AT (^(a'^ -f "sH^'~+~s) ' aö(c2 4-5)"/ ' 



ü 



Nehmen wir an^ dass h, wie in den früher betrachteten Fällen, 
die grössere der beiden Axen a und 6 bezeichne, so liefern diese bei- 
den Gleichungen dann und auch nur dann für t^ und r'^ positive Werthe, 
wenn K positiv und abgesehen vom Zeichen grösser als L ist; und 
es ist klar, dass die erste Bedingung erfüllt ist, solange c <,h. Der 
zweiten Bedingung wird genügt, wenn c = a also L = ist, und 
folglich auch, da ^ und L sich mit c stetig ändern, innerhalb eines 
endlichen Gebiets zu beiden Seiten dieses Werthes. Dieses erstreckt 
sich aber nicht bis zu den Werthen h und 0; denn für c = h würde 
r'^ negativ werden, für ein unendlich kleines c aber t^, da dann 

CO oo 

K _ /• ds L /* ds 

und folglich Ly- K wird. Wächst &, während a und c endlich blei- 
ben, in's Unendliche, so kann L nur dann kleiner als K bleiben, 
wenn zugleich a^ — c^ in's Unendliche abnimmt; beide Grenzen für c 
sind also dann nur unendlich wenig von a verschieden. Wenn da- 
gegen h seiner unteren Grenze a unendlich nahe kommt, so conver- 
girt die obere Grenze für c, wo t'^ = wird, gegen a, die untere 
Grenze aber gegen einen Werth, für welchen das Integral auf der 
rechten Seite von (5) verschwindet. Zur Bestimmung dieses Werthes 

erhält man, wenn man — = sin i^ setzt, die Gleichung 

(~5-t-2cos2i/; + cos4T/;) {% — 2ip) + 10 sin2^ + 2 sin4i^ = 0, 
und diese hat zwischen ^ = und jp = — nur eine Wurzel, welche 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 185 

-£- = 0.303327 . . 

a ^ 

giebt. Für h = a kann freilich c jeden Werth zwischen und h an- 
nehmen, da dann t^ wegen des Factors 6 — a immer Null wird. Man 
erhält dann den von Mac-Lau rin untersuchten Fall, während sich 
für iv^ == tv'^ die beiden von Jacobi und Dedekind gefundenen 
Fälle ergeben. 

Der eben behandelte Fall fällt für h == a mit dem Falle (I) des 
vorigen Artikels zusammen und, wenn 



{h -\- c -i- 2a) [h — c -\- 2a) (& -f c — 2a) (b — c — 2a) ' 
mit dem Falle (III). Von den bisher gefundenen vier Fällen, in denen 
das flüssige EUipsoid während der Bewegung seine Form nicht ändert, 
hängen also diese drei Fälle stetig unter einander zusammen, während 
der Fall (II) isolirt bleibt. 

8. 

Die Untersuchung, ob ausser diesen vier Fällen noch andere vor- 
handen sind, in denen die Hauptaxen während der Bewegung constant 
bleiben, führt auf eine ziemlich weitläufige Rechnung, welche wir nur 
kurz andeuten wollen, da sie nur ein negatives Resultat liefert. 

Aus der Voraussetzung, dass a, h, c constant sind, kann mau zu- 
nächst leicht folgern, dass ö constant ist, indem man die drei ersten 
Differentialgleichungen («), multiplicirt mit a, h, c, zu einander addirt 
und dann die Integralgleichung I, also den Satz von der Erhaltung 
der lebendigen Kraft, benutzt. 

Durch Differentiation dieser drei Gleichungen erhält man dann 

lerner, wenn man die VVerthe von -7- , ^-r .... -j-r aus den sechs 

' dt ^ dt ^ ' dt 

letzten Differentialgleichungen («) einsetzt, die drei Gleichungen 
{b — c) u (vw — v' iv) + (Z> + c) u' {v' IV — vw') = 

(1) (c — a) V {wii — tv u) -^ {c -\- a) v' (iv' u — ivu) = 

{a — 1)10 (uv — u v') -\- (a -{- h) tv (u' v — uv') = 0, 

von denen eine eine Folge der übrigen ist. 

I. Wenn nun keine von den sechs Grössen Uju',...jiv' Null 

ist, folgt aus diesen Gleichungen die Gleichheit der folgenden drei 

Grössenpaare, deren Werthe wir durch 2a , 21)', 2c' bezeichnen wollen 

(a-c)4 + (a+c)^ = (a-6)4- + („ + t) i;' = 2a' 
(6- a)^+ (6 + «) J= (6-c) ^^ + (6 + c) ^ = 26' 
(c - ft) |- + (c + i) :J = (c - «) f + (c + a) '- = 2c 



lg(3 X. Ein Beitrag zu deu Untersuchungen 

Es ergiebt sich dann d^ — h'^ = a^ — h'~, h'" — c'^ = h^^ — c^, so dass wir 

aa — d d = hh — h'h'==cc — c c = Q 
setzen können, und aus den drei ersten Differentialgleichungen («) 

27i:a' = const. , 2;^?^' = const. , 2(>c' = const. 
wenn wir vv -\- tviv j tviv -\- uii , uu -\- vv' zur Abkürzung durch 
n, %, Q bezeichnen. Aus diesen Gleichungen und der aus den Integral- 
gleichungen II und III leicht herzuleitenden Gleichung 

(«2 _ yi^ ^^1 _ ^2) ^ _(_ (^1 _ ^,2^ (^2 _ ^,2) y^J^if- d') (c^ - V') Q 

= \ (C9- — w/) 

folgt; wenn nicht a = h = c, dass und folglich u^ u' , . . . , iv con- 
stant sein müssen. Es ergiebt sich aber leicht, dass dann die sechs 
letzten Differentialgleichungen (a) nicht erfüllt werden können; und 
hierdurch ist, Avenn nicht alle drei Axen einander gleich sind, die Un- 
zulässigkeit der . Annahme, dass u, ii, . . . , tv sämmtlich von Null ver- 
schieden sind, erwiesen. 

Die Amiahme a == h = c würde auf den Fall einer ruhenden 
Kugel führen; u , v' , tv' ergeben sich = 0, ii, v, iv aber bleiben ganz 
willkürlich, was davon herrührt, dass die Lage der Axen in jedem 
Augenblicke willkürlich geändert werden kann. 

II. Es bleibt also nur die Annahme übrig, dass eine der Grössen 
u, V, . . . , tv Null ist, und diese zieht; wie wir gleich sehen werden, 
immer die früher untersuchte Voraussetzung nach sich, dass eins der 
drei Grössenpaare u,u' -^ y^i;'; iv^iv' verschwinde. 

1. Wemi eine der Grössen u' , y', tv' , z. B. u = ist, folgen aus 
(1) die Gleichungen 

{h — c)uviü = , (h — c) uv' iv' = 
und diese lassen nur eine von den folgenden Annahmen zu: erstens 
die früher untersuchte Voraussetzung, zweitens h = c, drittens v = 
und tv = oder v' = und tv = 0, was nicht wesentlich verschie- 
den ist. 

Wemi h= c, bleibt tt ganz willkürlich und kann also auch = 
gesetzt werden, wodurch der früher untersuchte Fall eintritt. 

Wenn v = und tv' = 0, erhält man aus den Differentialglei- 
chungen («) 

(b — c — 2d)uv't4; = 0y (c-\-a — 2h)uv'tv = , {a — })-{-2c)HjV iv=^ ^ 
und, wenn man die erste dieser Gleichungen zur zweiten addirt, 

— {ci + ?>) tiv' w = ^\ 
es muss also ausser den Grössen tt', y, lo noch eine der Grössen i«, y', tv 
Null sein, wodurch wieder der früher untersuchte Fall eintritt. 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 187 

2. Wenn endlich eine der (irossen w, v^ w, z. B. u = ist, folgt 
aus den Gleichungen (l) 

u v' tv = , u vw' = 
und diese Gleichungen führen entweder zu unserer früheren Voraus- 
setzung, oder zu der Annahme^ u = v' = iv' = 0, welche von der eben 
untersuchten «' = v = iv' = nicht wesentlich verschieden ist, oder 
endlich zu der Annahme u = v =^ iv = 0. Unter dieser Voraussetzung 
aber geben die Differentialgleichungen (a) v' iv' = iv u = xd v = 0, 
und es müssen also noch zwei von den Grössen u\ v\ iv' Null sein, 
was wieder den früher behandelten Fall liefert. 

Es hat sich also ergeben, dass mit der Beständigkeit der Gestalt 
nothwendig eine Beständigkeit des Bewegungszustandes verbunden ist, 
d. h., dass allemal, wenn die flüssige Masse fortwährend denselben 
Körper bildet, auch die relative Bewegung aller Theile dieses Körpers 
immerfort dieselbe bleibt. Die absolute Bewegung im Räume kann 
man sich in diesem Falle aus zwei einfacheren zusamjnengesetzt denken, 
indem man sich zuerst der flüssigen Masse eine innere Bewegung er- 
theilt denkt, bei welcher sich die Flüssigkeitstheilchen in ähnlichen, 
parallelen und auf einem Hauptschnitte senkrechten Ellipsen bewegen, 
und dann dem ganzen System eine gleichförmige Rotation um eine in 
diesem Hauptschnitte liegende Axe. Wenn dieser Hauptschnitt, wie 
oben angenommen, senkrecht zur Hauptaxe a ist, so sind die Cosinus 

der Winkel zwischen der Umdrehungsaxe und den Hauptaxen 0, — , — 
und die Umdrehungszeit , . Ferner sind 0, 6 — , c ' die auf 

die Hauptaxen bezogenen Coordinaten des Endpunkts der augenblick- 
lichen Rotationsaxe, und bei der innern Bewegung sind die elliptischen 
Bahnen der Flüssigkeitstheilchen der in diesem Punkte an das Ellipsoid 
gelegten Tangentialebene parallel, so dass ihre Mittelpunkte in dieser 
Rotationsaxe liegen. Die Theilchen bewegen sich in diesen Bahnen 
so, dass die nach den Mittelpunkten gezogenen Radienvectoren in 
gleichen Zeiten gleiche Flächen durchstreichen, und durchlaufen sie in 

der Zeit 



ys/H-^ 



Wir kehren jetzt zurück zur Betrachtung der Bewegung der 
flüssigen Masse in dem Falle, wenn Ujii] Vyv' fortwährend Null sind 
und also nur um eine Hauptaxe eine Rotation stattfindet, und bemer- 
ken zunächst, dass sich den Gleichungen (l) Art. 7., nach welchen 



188 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

sich die Hauptaxen in diesem Falle ändern, noch eine andere anschau- 
lichere mechanische Bedeutung geben lässt. Man kaim sie nämlich 
betrachten als die Gleichungen für die Bewegung eines materiellen 
Punktes {a, h, c) von der Masse 1, der gezwungen ist auf einer durch 
die Gleichung ahc = const. bestimmten Fläche zu bleiben und von 
Kräften getrieben wird, deren Potentialfunction der Grösse 

-^ t' - 



{a — hy ' (« + hy 

dem Werthe nach gleich und dem Zeichen nach entgegengesetzt ist. 

Bezeichnen wir diese Grösse mit G, so lassen sich die Gleichun- 
gen für beide Bewegungen in die Form setzen: 

(1) M^^ + '^^^ + ^'<' + ^(^-^^ 

für alle unendlich kleinen Werthe von da, 8h, 8c, welche der Bedin- 
gung ahc = const. genügen; und der Satz von der Erhaltung der 
mechanischen Kraft giebt 

wonach der von der Formänderung der flüssigen Masse unabhängige 
Theil der mechanischen Kraft = G ist. 

Damit a, h, c und folglich Form und Bewegungszustand des flüssigen 

Ellipsoids constant bleiben, wenn -j- , -- , y- Null sind, ist es ofi'en- 

bar nothwendig und hinreichend, dass die Variation erster Ordnung 
der Function G von den veränderlichen Grössen a, h, c, zwischen wel- 
chen die Bedingung ahc = const. stattfindet, verschwinde, was auf die 
Gleichungen (3.) oder (4.) und (5.) des Art. 7. führt. Diese Bestän- 
digkeit des Bewegungszustandes wird aber nur eine labile sein, wenn 
der Werth der Function kein Minimumwerth ist; es lassen sich dann 
immer beliebig kleine Aenderungen des Zustandes der flüssigen Masse 
angeben, welche eine völlige Aenderung desselben zur Folge haben. 

Die directe Untersuchung der Variation zweiter Ordnung für den 
Fall, wenn die Variation erster Ordnung der Function G verschwindet, 
würde sehr verwickelt werden; es lässt sich jedoch die Frage, ob die 
Function für diesen Fall einen Minimumwerth habe, auf folgendem 
Wege entscheiden. 

Zunächst lässt sich leicht zeigen, dass die Function immer, welche 
Werthe auch r^, t'^ und ahc haben mögen, für ein System von 
Werthen der unabhängig veränderlichen Grössen ein Minimum haben 
müsse; es folgt dies offenbar aus den drei Umständen, dass erstens 
die Function G für den Grenzfall, wenn die Axen unendlich klein oder 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen EUipsoides. 189 

unendlicli gross werden, sieh einem Grenzwerth nähert, der nicht 
negativ ist, dass zweitens sich immer Werthe von a, h, c angeben 
lassen, für welche G negativ wird und dass drittens G nie negativ un- 
endlich werden kami. Diese drei Eigenschaften der Function G er- 
geben sich aber aus bekamiten Eigenschaften der Function H. Die 
Function H erhält ihren grössten Werth in dem Fall, wemi die flüssige 
Masse die Gestalt einer Kugel amiimmt, nämlich den Werth 27CQ^y 

wenn q den Radius dieser Kugel also yabc bezeichnet; ferner wird H 
unendlich klein, wenn eine der Axen unendlich gross und folglich 
wenigstens Eine andere unendlich klein wird, jedoch so, dass, wenn h 
in's Unendliche wächst, Hh nicht unendlich klein wird, und folglich 
in der Function G, wemi nicht zugleich a in^s Unendliche wächst, der 
negative Bestandtheil schliesslich immer den positiven überwiegt. 

Wenn r^ nicht Null ist, muss schon unter den Werthen von 
a, hy Cy welche der Bedingung h > a genügen, ein Werth ensystem ent- 
halten sein, für welches die Function ein Minimum wird; denn dann 
sind die obigen drei Bedingungen, aus welchen die Existenz eines 
Minimums folgt, schon für dieses Grössengebiet erfüllt, da G auch für 
den Grenzfall a == b nicht negativ wird. 

Man kaim nun ferner untersuchen, wie viele Lösungen die Glei- 
chungen (3.) Art. 7 zulassen, welche das Verschwinden der Variation 
erster Ordnung bedingen. Diese Untersuchung lässt sich leicht führen, 
wenn man die Werthe der aus ihnen sich ergebenden Ausdrücke für 
T^ und t'^ auch für complexe Werthe der Grössen a, &, c in Betracht 
zieht. Wir können jedoch diese Untersuchung in die gegenwärtige 
Abhandlung nicht aufnehmen und müssen uns begnügen das Resultat 
derselben anzugeben, dessen wir in der Folge bedürfen. 

Wenn x^ nicht Null ist, lassen die Gleichungen (3.) auf jeder 
Seite von h = a nur Eine Lösung zu; die Variation erster Ordnung 
verschwindet also auf jeder Seite dieser Gleichung nur für ein Werthen- 
system, und die Function G muss für dieses ihr Minimum haben, 
welches wir durch (r* bezeichnen wollen. 

Wenn r^ Null ist, verschwindet die Variation erster Ordnung 
immer für h = a und einen Werth von c, der für t'^ = gleich a 
ist und mit wachsendem t'^ beständig abnimmt. Die Variation zweiter 
Ordnung lässt sich für dieses Werthensystem leicht in die Form eines 
Aggregats von {da -{- öhf und {da — dhy setzen, und hierin ist der 
Coefficient von {da + dh}^ immer positiv, da die Function, wie aus 
den früheren Untersuchungen bekannt ist, unter allen Werthen, die sie 
für 1) =^ a annehmen kann, hier ihren kleinsten Werth hat. 



190 X. P-^in Beitrag zu den Untersuchungen 

• Der Coefficient von (da- — dhy aber ist 

c^ 



FTT /'rfs / s — ah _, 



also nur positiv, wenn ^> 0,303327 ...und folglich t'- <£;r()^ 8,64004 ...., 

aber negativ, wenn — diesen Werth überschreitet. 

Die Function G hat also für dieses Werthensystem nur im ersten 
Falle ein Minimum (G"^'), und die Untersuchung der Gleichungen (3) 
zeigt, dass die Variation erster Ordnung dann nur für dieses Werthen- 
system verschwindet; im letztern Falle aber hat sie einen Sattel werth; 
sie niuss dann nothwendig noch für zwei Werthensysteme ein Mini- 
mum (6r*) haben, und aus der Un?tersuchung der Gleichungen (3) 
folgt, dass die Variation erster Ordnung nur noch für zwei Werthen- 
systeme verschwindet, welche durch Vertauschung von h und a aus 
einander erhalten werden. 

Aus dieser Untersuchung ergiebt sich also, dass in dem schon 
seit Mac- L aurin bekannten Falle der Rotation eines abgeplatteten 
Umdrehungsellipsoids um seine kleinere Axe die Beständigkeit des Be- 
wegungszustandes nur labil ist, sobald das Verhältniss der kleinern 
Axe zu den andern kleiner ist als 0,303327 ...; bei der geringsten 
Verschiedenheit der beiden andern würde in diesem Falle die flüssige 
Masse Form und Bewegungszustand völlig ändern und ein fortwähren- 
des Schwanken um den Zustand eintreten, welcher dem Minimum der 
Function G entspricht. Dieser besteht in einer gleichförmigen Um- 
drehung eines ungleichaxigen Ellipsoids um seine kleinste Axe ver- 
bunden mit einer gleichgerichteten innern Bewegung, bei welcher die 
Theilchen sich in einander ähnlichen zur Umdrehungsaxe senkrechten 
Ellipsen bewegen. Die Umlaufszeit ist dabei der Umdrehungszeit gleich, 
so dass jedes Theilchen schon nach einer halben Umdrehung des 
Ellipsoids in seine Anfangslage zurückkehrt. 



10. 
Wenn die mechanische Kraft des Systems, 

welche offenbar nicht kleiner als (x* sein kann, negativ ist, so kann 
die Form des Ellipsoids nur innerhalb eines endlichen durch die Un- 
gleichheit G K Sl begrenzten Gebiets fortwährend schwanken. 



igei 


1 Artikels 






d'a c d'c .cG ^ 
dt' a dt' ' aa ^ ' 


dn 

df" 



über die Bewegung eines flüssigen gleicbartigen EUipsoides. 191 

Für den Fall , dass Sl — G^* als unendlich klein betrachtet werden 
kann, können wir diese Schwankungen leicht untersuchen. 

Denken wir uns in der Function G für c seinen Werth aus der 
Gleichung ahc == «o^oCo substituirt, so giebt die Gleichung (1) des 

c d'^c ■ dG _ ^ 
h dt^ ' dh~~ ^ ' 

Die Werthe von a^h, c können nun stets nur unendlich wenig von den 
Werthen, die dem Minimum von G entsprechen, abweichen, und wenn 
wir die Abweiclmngen zur Zeit t mit da, d6, de bezeichnen und die 
Glieder höherer Ordnung vernachlässigen, so erhalten wir zwischen 
diesen die Gleichungen 

^ , ^ , de _ ^ 
a ~^ b ' c 
,.. d'da c d'Sc , c'-G ^ , d^G ., ^ 

^ ^ dt' a dt' ^ Ca' ' cadh 

d'dh c d'-dc , c'G ,, , c'G , ^ 



dt' h df ' oh'' ' fach 

d 

m nn - 

dt' 



welchen man bekanntlich genügen kann, wenn man ~j7r=' — ^ ^^da, 

—jjr = — ^^idh, also auch -jjr "= — ^^öc setzt und dann die Con- 

stante ^^ so bestimmt, dass Eine eine Folge der übrigen wird. Die 
letztere Bedingung für ^^ kommt mit der Bedingung überein, den 
Ausdruck zv/eiten Grades von den Grössen da, ob 
2d^G — ^^ (öa^ + db^ + öc^) 
zu einem Quadrat eines linearen Ausdrucks von diesen Grössen zu 
machen; und dieser genügen, da d^G und öa^ -\- öb^ -{- dc^ wesentlich 
positiv sind, immer zwei positive Werthe von ^^, welche einander 
gleich werden, wenn Ö^G und da^ + d?>'^ + öc^ sich nur durch einen 
Constanten Praetor unterscheiden. Diese beiden Werthe von ^ft geben 
zwei Lösungen der Differentialgleichungen (1), bei denen sich da, db, de 
einer periodischen Function der Zeit von der Form sin (ft ^ + const.) 
proportional ändern, und aus denen sich ihre allgemeine Lösung zu- 
sammensetzen lässt. 

Jede einzeln genommen liefert periodische unendlich kleine Oscil- 
lationen der Gestalt und des Beweguugszustandes. Hieraus würde 
freilich nur folgen, dass es zwei Arten von Oscillationen giebt, welche 
sich desto mehr periodischen nähern, je kleiner sie sind; es ergiebt 
sich jedoch die Existenz von endlichen periodischen Schwingungen aus 
folgender Betrachtung. 

Wenn Sl negativ ist, muss offenbar a einen und denselben Werth 



192 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

mehr als einmal amielimen, und betrachten wir die Bewegung von 
dem Augenblicke an, wo a einen solchen Werth zum erstenmal an- 
nimmt, so wird die Bewegung durch die Anfangswerthe -,- -,, und h 

völlig bestimmt sein; es sind also auch die Werthe, welche diese 
Grössen erhalten, wenn a später wieder diesen Werth amiimmt, 
Functionen von ihren Anfangswerthen. Diese Functionen wollen wir 
zusammengenommen durch % bezeichnen. Die Bewegung wird periodisch 
sein, wenn ihre Werthe den Anfangswerthen gleich sind. In Folge 
der Gleichung dbc = const. und des Satzes von der lebendigen Kraft 

müssen aber, wenn h und -tt ihre Anfangswerthe wieder annehmen, 
auch c, -^ und -jr wieder ihren Anfangswerthen gleich werden. Es 

sind also hierzu nur zwei Bedingungen zu erfüllen; und man kami, indem 
man die Derivirten der Functionen % für den Fall unendlich kleiner 
Schwingungen bildet, zeigen, dass diese Bedingungsgleichungen sich 
nicht widersprechen und innerhalb eines endlichen Gebiets reelle Wur- 
zeln haben. 

Die Grössen a, h, c lassen sich für diesen Fall periodischer 
Schwingungen als Function der Zeit durch Fourier'sche Reihen aus- 
drücken, in welchen freilich sämmtliche Constanten, den vonDirichlet 
behandelten Fall ausgenommen, nur näherungs weise bestimmt werden 
kömien. Dieses kann z. B. dadurch geschehen, dass man die oben für 
den Fall unendlich kleiner Schwingungen gemachte Entwicklung auf 
Glieder höherer Ordnung ausdehnt. 

Es schien uns der Mühe werth, diese Bewegungen, welche den 
Bewegungen, bei denen Gestalt und Bewegungszustand constant sind, 
an Einfachheit zunächst stehen, wenigstens einer oberflächlichen Be- 
trachtung zu unterwerfen. Wir wollen nun die Untersuchung, welche 
wir im vorigen Artikel für den Fall, wenn nur um eine Hauptaxe 
eine Rotation stattfindet, ausgeführt haben, auf alle der Dir ichle tischen 
Voraussetzung genügenden Bewegungen ausdehnen. 

11. 
Um für diesen Zweck die Differentialgleichungen («) in eine über- 
sichtlichere Form zu bringen, wollen wir statt der Grössen «f, v, ...,tv 
die Grössen ^, h, . . ., Jc^ einführen und die Bedeutung von G dahin 
verallgemeinern, dass wir dadurch den Ausdruck 

h — h V , dizzKY 




2£ 



00 



+ s){b' + s){c'-\-s) 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 193 

also auch jetzt den von der Formiinderuno* iinaldilln<j^it(fMi 'IMhmI der 

mechanischen Kraft bezeichnen. 

Es wird dann 

_dG _da , _dG 

^ ^ dg ' '^ ?h^'^' ~ dk 

_dG _c(r _dG 

^'~~ dg/ ^'~~ ch/ ^~a/^^ 

und die letzten sechs Differentialgleichungen («) lassen sich daher in 
die Form setzen 







dt 


, dG 
-^^dk- 


-. dG 

'"dh^ 


dg, 

dt 


K 


dG 

dk^ ' 


-l^ 


dG 
dh^ 








(1-) 




dh 
dt 


-''Tg- 


dG 


dh^ 
dt ~ 


= Z; 


cG 
^9. 


-V. 


cG 

dh. 












dl- 
'dt 


cG 


7 cG 
dg ' 


dh^ 
dt ~ 


■ (K 


(G 


-^ 


cG 

^9, 








während die drei 


ersten in 




















(2.) 


d'-a f^ 


dG 

da 


2^ = 0, 

a ^ 


d'-h ( 
Tf'~^ d 


'i-^ 


6 
b'' 


= 0, 


d'c 
' dt^ 


+ 


rG 

de 


-2^ = 

C 


= 


Über 


gehen. 


Wir bemerken 


zugleich 


[, dass 


aus der Int^gralgh 


Eichung 


n, 



wenn co == 0, drei Integralgleichungen^ // = ^^ h = 0, h = 0, folgen, 
d. h., dass diese Grössen immer Null bleiben, wenn sie anfangs Null 
sind. Dasselbe gilt natürlich auch von den Grössen (/, Ji,, ]:. 

Aus den Differentialgleichungen (1.) und (2.) ist nun leicht er- 
sichtlich, dass das Verschwinden der Variation erster Ordnung der 
Function G von den neun veränderlichen Grössen «, h, ..., l\, zwischen 
welchen die drei Bedingungen 

ahc = const., g^ -\- h^ + Ic^ = co\ gj + ^^ + ^-V" = ^/" 
stattfinden, nothwendig und hinreichend ist, damit 

d^a d^h d^c dg dk, 

~cW' d¥^ W' 'dt^ '"^ ~(lt 

Null werden und also Gestalt und Bewegungszustand des Ellipsoids 

constant bleiben, wenn , , -rr, ,, Null sind. Die Fälle, in denen 

dieses stattfindet, haben wir früher vollständig erörtert. Es ergiebt 
sich nun aber auch hier wieder leicht, dass die Function G wenigstens 
für Ein System von Werthen der unabhängig veränderlichen Grössen 
ein Minimum haben müsse, da sie für den alleinigen Grenzfall, wenn 
die Axen unendlich gross oder unendlich klein werden, gegen einen 
Grenzwerth convergirt, der nicht negativ ist, und, wie wir schon ge- 
sehen haben, immer für gewisse Werthe der unabhängig veränderlichen 
Grössen negativ wird, ohne je negativ unendlich zu werden. Für den 
einem solchen Minimum entsprechenden constanten Bewegungszustand 

Riemann's gesammelte mathematische Werke. I. 13 



194 X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 

folgt aus dem Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft, dass jede 
der Dirichl et 'sehen Voraussetzung genügende unendlich kleine Ab- 
weichung von demselben nur unendlich kleine Schvi^ankungen zur 
Folge hat, während in jedem andern Falle die Beständigkeit der Ge- 
stalt und des Bewegungszustandes nur labil ist. Die Aufsuchung der 
einem Minimum von G entsprechenden Bewegungszustände ist nicht 
bloss für die Bestimmung der möglichen stabilen Formen einer be- 
wegten flüssigen und schweren Masse wichtig, sondern würde auch für 
die Integration unserer Differentialgleichungen durch unendliche Reihen 
die Grundlage bilden müssen; wir wollen daher jetzt untersuchen, in 
welchen von den Fällen, wo ihre Variation erster Ordnung verschwindet, 
die Function G ein Minimum hat. Aus jedem von den früher ge- 
fundenen Fällen, in denen das Ellipsoid seine Form behält, erhält man 
zwar durch Vertauschung der Axen und Aenderungen in den Zeichen 
der Grössen g, h, ..., h^ mehrere Systeme von Werthen der Grössen 
«,&,..., /c^, welche das Verschwinden der Variation erster Ordnung 
der Function G bewirken*, wir können aber diese hier zusammenfassen, 
da die Function G für alle denselben Werth hat und in Bezug auf 
unsere Frage von allen dasselbe gilt. 

Ehe wir die einzelnen Fälle betrachten, müssen wir ferner noch 
bemerken, dass die Untersuchung, wenn a oder «^ Null ist, eine be- 
sondere einfachere Gestalt annimmt, indem dann g, h, h oder r/^, h^, ]c^ 
aus der Function G ganz herausfallen. Die frühere Untersuchung der 
Constanten Bewegungszustände giebt nur zwei wesentlich verschiedene 
Fälle, in denen eine dieser beiden Grössen Null wird. In dem im 
Art. 6. behandelten Falle kann dies nur eintreten, wenn 

w'^ (2a — b — c) {2a — h -\- c) /a — hy 

w^ {2a -H>~4- c) {2a -\-b — c) \a -{- b) 

also der Ausdruck 

(3.) h^c' + a'h' + a'c' — 3a^ 

den wir durch E bezeichnen wollen. Null ist; und dann ergiebt sich 

in der That o oder «^ gleich Null. Die Gleichung E == liefert aber 

b -\- c 
nach a aufgelöst nur eine positive Wurzel, die zwischen — — und h 

liegt, und kann also nur im Falle (I.) erfüllt werden. Ausser diesem 
Falle giebt noch der im Art. 7. untersuchte Fall a oder co^ gleich Null, 
wenn t^ = t^. 

Es lässt sich nun zunächst zeigen, dass in den Fällen (L), (II.) 
und (III.) die Function G keinen Minimumwerth haben kann, weil 
sich immer, während a, h, c constant bleiben, die Grössen //, h,...jJc^ 
so ändern lassen, dass der Werth* der Function noch abnimmt. Da 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides. 19;") 

y und (j ^ Null und h^h^, ^'J'^,, den Fall E == ausgenommen, nicht 
Null sind, so finden zwischen den Variationen dieser Grössen die Be- 
dingungen statt 

dg' + 2hdh + 2kdJc = 0, d(/; + 2h^dh^ + 2/.-^dZ; = 
und die Variation von G wird* 

oder da 

dG dG 7.7. dG dG ^ , 

(4.) 66r = I (^ ( /r-TT -j + ( /> 4- c ) j - ^ W ^•'^ - 27r TTT ^.'^^ • 

Bildet man die Determinante dieses Ausdrucks zweiten Grades 
von ög und Ög^ und substituirt darin die aus Art. 6. (1.) sich ergeben- 
den Werthe 

(5 ) ^ 



und folf^lich — ^ = ^, so findet sich diese 

__ 3 («2 — ^,2) (a2 — _c2). 

Sie ist also positiv im Falle (L), wenn E < 0, und im Falle (ITL), aber 
negativ im Falle (L), wenn E > 0, und im Falle (IL). In den beiden 
ersteren Fällen kann daher der Ausdruck (4.) sowohl positive, als 
negative Werthe annehmen, in den beiden andern aber entweder nur 
positive, oder nur negative. Er erhält aber für dg= — Ög den 
Werth 



^0' ((FW - 



welcher unter den in diesen Fällen geltenden Voraussetzungen immer 
negativ ist, wie man leicht sieht, wenn man ihn in die Form setzt 

_ ih^' -f C-' — 2a-) {b- + 4 ?>c + c- 4- 2a'0 4- {4.a' — {h -\ - cf) (4«* — {h — cY-) , 

4.{h-\-cYE ■' 

und bemerkt, dass h^ + c^ — 2a^ stets positiv ist, wenn jt' > 0. 

Wenn eine der beiden Grössen a oder w , z. B. ü9= ist, wird 
die Bedingungsgleichung zwischen dg^, 8h ^^ dl\ 

8g ^ + 8 h} + 8 k;' = 0; 

der Ausdruck der Variation von G reducirt sich folglicli auf 



19G X. Ein Beitrag zu den Untersuchungen 



ÖG 






2 h 
und aus (5.) erhält man, da — ' = 0, 

Durch Einsetzung dieses Werthes ergiebt sich 

Ar _ __ ^^' + ^') (^^' - (^ + C)^) + (?> - C)'^ Jh' + 4?>C H- C'^) . , 

also negativ, da 5'^ + c^ — 2a^ und 4a- — (?> + cY in diesem Falle 
positiv sind. 

In allen diesen Fällen hat also die Function G keinen Minimum- 
werth, und wir haben nun nur noch den Fall des Art. 7. zu betrachten, 
wobei wir den siugulären Fall, wo b = a und t'^ > fjt^'^. 8,64004. . ., 
ganz ausschliessen können. Wenn eine der beiden Grössen o" oder C9/^ 
Null ist, liefert dieser Fall für jeden gegebenen Werth der andern 
Grösse nur Einen constanten Bewegungszustand, für welchen r- = t'-, 
und die Function G muss dann für diesen ihr Minimum haben. Für 
je zwei gegebene von Null verschiedene Werthe von C9^ und cof aber 
liefert dieser Fall zwei constante Bewegungszustände der flüssigen 
Masse, die durch Yertauschung von r" und z^ in einander übergehen; 
denn man kann, um t"' und t'" aus «- und af zu bestimmen, 



2 ^ 2 

setzen und dabei die Zeichen von co und cj^ beliebig wählen. 

Man kann aber leicht zeigen, dass in dem einen Falle, wenn a 
und co^ gleiche Zeichen haben und also t- den grösseren Werth hat, 
kein Minimum von G stattfindet. Die Bedingungen aus den Variationen 
der Grössen^, h, ..., h^ sind jetzt 

^^2 _|_ ^/^2 _^ 21cöJ> = 0, 8(j; + dh; + 21 8h^ = 0, 
und die Variation von G wird daher 



Diese erhält aber einen negativen Werth, wenn co und «^ gleiche 
Zeichen haben und 8h = dJf^ = 0, ög^ = — dg angenommen wird; 
denn es ergiebt sich 

.r — f __i 1 __ a_ / L__ _ 1 \ (" + o^f ] ^^.2 

~ \{h + cY {h H- ay "^ \{b 4- af {h - «)7 4«w J '^ 



über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen EUipsoides. 197 

und liierin ist j, — . — r^ < 71 tö und auch j-, — ; — r:r < t, — i — ^ y da für 

{h -f ay (b — ay (b + c)- {h -\- ay^ 

c <C a nach Art. 7. (3.) /i-T.-'ys > jp^ — ^, folglich r'^ > r- ist und also 

T- nur grösser als r'" sein kann, wenn c > a. 

Die Function hat also auch in diesem Falle Kein Minimum und 
inuss folglich in dem allein noch übrig bleibenden Falle ihr Minimum 
liaben. 

Dieses findet demnach statt für die im Art. 7. betrachtete Be- 
wegung, wemi T^ < r' ^' (den oben angegebenen singulären Fall aus- 
genommen); und in diesem Falle würde daher, während in allen an- 
dern Fällen die Beständigkeit der Gestalt und des Bewegungszustandes 
nur labil ist, jede der Dirichlet'schen Voraussetzung genügende unend- 
lich kleine Aenderung in der Gestalt und dem Bewegungszustande der 
flüssigen Masse nur unendlich kleine Schwankungen zur Folge haben. 
Hieraus folgt freilich nicht, dass der Zustand der flüssigen Masse in 
diesem Falle stabil ist. Die Untersuchung, unter welchen Bedingungen 
dieses stattfindet, würde sich wohl, da sie auf lineare Differential- 
gleichungen führt, mit bekannten Mitteln ausführen lassen. Wir müssen 
jedoch auf die Behandlung dieser Frage in dieser Abhandlung ver- 
zichten, die nur der weiteren Entwicklung des schönen Gedankens ge- 
widmet ist, mit welchem Dirichlet seine wissenschaftliche Thätigkeit 
gekrönt hat. 



XL 

Lieber das Verscliwindeii der Tlieta-Fuiietioiien. 

(Aus Borchardt's Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 18G5.) 

Die zweite Abtheilung meiner im 54. Bande des matlieniatisclien 
Journals erschienenen Theorie der AbeTschen Functionen enthält den 
Beweis eines Satzes über das Verschwinden der O'-Functionen^ welchen 
ich sogleich wieder anführen werde^ indem ich dabei die in jener Ab- 
handlung angewandten Bezeichnungen als dem Leser bekannt voraus- 
setze. Alles in der Abhandlung noch Folgende enthält kurze Andeu- 
tungen über die Anwendung dieses Satzes^ welcher bei unserer Methode, 
die sich auf die Bestimmung der Functionen durch ihre Unstetigkeiten 
und ihr Unendlichwerden stützt, wie man leicht sieht, die Grundlage 
der Theorie der AbeFschen Functionen bilden muss. Bei dem Satze 
selbst und dessen Beweis ist jedoch der Umstand nicht gehörig be- 
rücksichtigt worden, dass die '9' -Function durch die Substitution der 
Integrale algebraischer Functionen Einer Veränderlichen identisch, 
d. h. für jeden Werth dieser Veränderlichen, verschwinden kann. 
Diesem Mangel abzuhelfen ist die folgende kleine Abhandlung bestimmt. 

Bei der Darstellung der Untersuchungen über '^- Functionen mit 
einer unbestimmten Anzahl von Variablen macht sich das Bedürfniss 
einer abkürzenden Bezeichnung einer Reihe, wie 

geltend, so bald der Ausdruck von Vr durch v complicirt ist. Man 
könnte dieses Zeichen ganz analog den Summen- und Productenzeichen 
bilden; eine solche Bezeichung würde aber zu viel Raum wegnehmen 
und innerhalb der Functionszeichen unbequem für den Druck sein-, ich 
ziehe es daher vor 





fm 


ü^, v^, . . ., v,a durch 


\1 


zu bezeichnen, also 




-^(t^, v.^, . . ., Vj,) durch -0- 


(^^ C^.) 



X[. lieber das Verschwinden der Theta-Functionen. 199 

1. 

Wenn man in der Function d-i^v^j v.^, . . ., Vj,) für die p Veränder- 
lichen die p Integrale n^ — Cj, iL, — c.^, . . ., Uj, — Cj, algebraischer 
wie die Fläche T verzweigter Functionen von z substituirt, so erhält 
man eine Function von z^ welche in der ganzen Fläche- T ausser den 
Linien h sich stetig ändert, beim Uebertritt von der negativen auf die 

positive Seite der Linie 6,, aber den Factor e" "' ~^* -f 2 er erlangt. 
Wie im §. 22 bewiesen worden ist, wird diese Function, weim sie 
nicht für alle Werthe von z verschwindet, nur für x) Punkte der Fläche 
T unendlich klein von der ersten Ordnung. Diese Punkte wurden 
durch Yi^j ^^, . . ., rip bezeichnet, und der Werth der Function Uy im 
Punkte i^„ durch «v^"^. Es ergab sich dann nach den 2p Modul- 
systemen der -ö"- Function die Congruenz 



(1.) (q, 6',,...,^;,) 



I> 7> P 

(^«w + K„ ^<) + K„ . . ., 2'«r + K,) , 
\ 1 1 1 / 

worin die Grössen K von den bis dahin noch willkürlichen additiven 

Constanten in den Functionen ii abhingen, aber von den Grössen e 

und den Punkten rj unabhängig waren. 

Führt man die dort angegebene Rechnung aus, so findet sich 

(2.) 2 Kr = ^^ I (Wv+ + U~) Chly' — SyTti — ^ f],Cl^,,r. 

In diesem Ausdrucke ist das Integral f (u^:^ + 'fti~)dUv' positiv durch 
hy- auszudehnen, und in der Summe sind für v alle Zahlen von 1 bis 
]) ausser v zu setzen; £, = + 1, je nachdem das Ende von ly auf der 
positiven oder negativen Seite von a, liegt, und f',. = + 1, je nach- 
dem dasselbe auf der positiven oder negativen Seite von hy liegt. Die 
Bestimmung der Vorzeichen ist übrigens nur nöthig, wemi die Grössen 
e nach den in §. 22 gegebenen Gleichungen aus den Unstetigkeiten 
von log '0' völlig bestimmt werden sollen; die obige Congruenz (1.) 
bleibt richtig, welche Vorzeichen man wählen mag. 

Wir behalten zunächst die dort gemachte vereinfachende Voraus- 
setzung bei, dass die additiven Constanten in den Functionen ti so 
bestimmt werden, dass die Grössen K sämmtlich gleich Null sind. Um 
die so gewonnenen Resultate schliesslich von dieser beschränkenden 
Voraussetzung zu befreien, hat man offenbar nur nöthig, überall in den 
'9'-Functionen zu den Argumenten — 7^4, — K.,, ..., — Kp hinzuzufügen. 

Wenn also die Function ^{u^ — e^, u.> — e.,, . . ., Hp — Cp) für die 
p Punkte ??i, Yi.,j . . ., rip verschwindet und nicht identisch für jeden WertJi 
von z verschtvindety so ist 



200 XI. Ueber das Verschwinden der Thcta-Functionen. 

p p p 

(e,, c,, . . ., c,) HE (^^ <), 2 «(/'), ..., ^ «(/') ^ . 

Dieser Satz gilt für ganz beliebige Wertlie der Grössen c, und 
wir haben hieraus^ indem wir den Punkt (5, z) mit dem Punkte rj^ 
zusammenfallen Hessen, geschlossen, dass 

P—i p—i p—i 

»(-2 <'' - 2 <"' ■■■,-2 «;;" ) = ^^> 

^1 1 1 / 

oder da die -0^- Function gerade ist, 

p — 1 j^— 1 p — 1 

» {2 <' 2 "'''> ■■■'2 «i"* ) = **' 

welches auch die Punkte rj^, rj.^, • . ., '^Jp—i seien. 



Der Beweis dieses Satzes bedarf jedoch einer Vervollständigung 
wegen des Umstandes, dass die Function 

d'(uj^ — e^, tk, — (?2? • • ', Up — Cj) 
identisch verschwinden kann (was in der That bei jedem System von 
gleich verzweigten algebraischen Functionen für gewisse Werthe der 
Grössen e eintritt). 

Wegen dieses Umstandes muss man sich begnügen, zunächst zu 
zeigen, dass der Satz richtig bleibt, während die Punkte y] unabhängig 
von einander innerhalb endlicher Grenzen ihre Lage ändern. Hieraus 
folgt dann die allgemeine Richtigkeit des Satzes nach dem Principe, 
dass eine Function einer complexen Grösse nicht innerhalb eines end- 
lichen Gebiets gleich Null sein kann, ohne überall gleich Null zu sein. 

Wenn z gegeben ist, so können die Grössen e^, e.^, . . ., e^ immer 
so gewählt werden, dass 

^ (wi — q, %L^ — e.^j ...jUp — ßp) 
nicht verschwindet; deim sonst müsste die Function ^(v^^ t\,, . . ., Vp) 
für jedwede Werthe der Grössen v verschwinden, und folglich müssten 

in ihrer Entwicklung nach ganzen Potenzen von e" ^, e '^, . . ., c ^' 
sämmtliche Coefficienten gleich Null sein, was nicht der Fall ist. Die 
Grössen e können sich dami von einander unabhängig innerhalb end- 
licher Grössengebiete ändern, ohne dass die Function 

d^ (u^ — 6'i, w^ — e^? • • •? '^P — ^p) 
für diesen Werth von verschwindet. Oder mit anderen Worten: 
man kann immer ein Grössengebiet E von 2j>> Dimensionen angeben. 



XI. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen. 201 

innerhalb dessen sich das System der Grössen c bewegen kann, ohne 
dass die Function 

%'{u^ — Ci, *^> — <'., • • •, ^h ~ Cj,) 
für diesen Werth von z verschwindet. Sie wird also nur für p Lagen 
von (sj z) unendlich klein von tler ersten Ordnung, und bezeichnet man 
diese Punkte durch rj^, rj.^, . . .y rjjj, so ist 

(1.) {e„ e„ ...,«„) = (2 <'"' 2 <'' • • • . 5' «f ) • 

Jeder Bestimungsweise des Systems der Grössen e innerhalb U oder 
jedem Punkte von E entspricht daim eine Bestimmungsweise der 
Punkte rj, deren Gesammtheit ein dem (jrrössengebiete E entsprechen-- 
des Grössengebie^ H bildet. In Folge der Gleichung (1.) entspricht 
jedem Punkte von H aber auch nur ein Punkt von E-^ hätte also // 
nur 2jj — 1, oder weniger Dimensionen, so würde E nicht 2jv Dimen- 
sionen haben können. Es hat folglich H 2x) Dimensionen. Die Schlüsse, 
auf welche sich unser Satz stützt, bleiben daher anwendbar für be- 
liebige Lagen der Punkte r] innerhalb endlicher Gebiete, und die 

Gleichung 

j) — 1 ji — 1 p — \ 

»(—2 «v", - 2 «-i"' ■■■, - 2 «y."* ) = " 

\ 1 1 1 / 

gilt für beliebige Lagen der Punkte y]i, y]-,) - - •) Vp—i ijuierhalb end- 
licher Gebiete und folglich allgemein. 

3. 

Hieraus folgt, dass sich das Grössensystem (^i, c^, . . ., e^) immer 
und nur auf eine Weise congruent einem iVusdrucke von der Form 

V l ^ a^,'^ j j setzen lässt, wenn d- 1 v (uy — c,) j nicht für jeden 

AVerth von z verschwhidet; denn Hessen sich die Punkte tju *],>,"-, ^p 
auf mehr als eine Weise so bestimmen, dass der Congruenz 



_^(-))-('^(^«r)) 



genügt wäre, so würde nach dem eben bewiesenen Satze die Function 
«O-l V {ur — Cr) I für mehr als j> Punkte verschwinden, ohne identisch 
gleich Null zu sein, was unmöglich ist. 



202 



Xr. lieber das Verschwinden der Thcta-Functionen. 



Wenn '9' ( v (^Uy — 6, ) ) identisch verschwindet, muss man, um 



V (c, ) I in die obige Form zu setzen, 



P 



M) 



^UO/v+«l -^^v -6V) 



betrachten, und wenn diese Function identisch für jeden Werlh z, J,, ^j 
verschwindet, die Function 



d' 



1 1 1 / 



-/o 



Wir nehmen an, dass 

A) ,n m — \ 

Vi 1 1 

(1.) . identisch verschwindet, 

V (V «</ + 2-/') — y^ uiP-M) — Cr ) 1 
1 1 1 / 

aber nicht identisch verschwindet. 

Diese letztere Function verschwindet dann, als Function von ^p+i be- 
trachtet, für £p—i, £p—2, • . .? £p-~my ausserdem also noch für p — m 
Punkte, und bezeichnet man diese mit rj^y %, - • -p '%)—m, so ist 

1 p — m-}-l /Ml / 

und diese Punkte 7]^, rj^, . . ., r}p—vi können nur auf eine Weise so 
bestimmt werden, dass diese Congruenz erfüllt _wird, weil sonst die 
Function für mehr als 2^ Punkte verschwinden würde. Dieselbe Function 
verschwindet, als Function von 2p— i betrachtet, ausser für 

Vp-h^} Vpy • • •; Vp—»i+i 

noch für 2^ — ^^^ — 1? Punkte und bezeichnet man diese durch 

^1 ; ^2? • • ') ^P — )n—ly 



SO ist 



P 



Przl 



^(-2;<"'.r^")j-'(l(2'"!"')j' . 

und die Punkte f^, c^? • • •? ^p-m-i sind durch diese Congruenz völlig 
bestimmt. 






XI. Ueber das Verschwinden der Thefca-Functionen. 203 

Unter der gemachten Voraussetzung (1.) können also, um den 
Congruenzen 

und 

(3.) 

ZU genügen, m von den Punkten rj und m — 1 von den J'unkten f 
beliebig gewählt werden, dadurch aber sind die übrigen bestimmt. 
Offenbar gelten diese Sätze auch umgekehrt, d. h. die Function ver- 
schwindet, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist. Wenn also die 
Congruenz (2.) auf mehr als eine Weise lösbar ist, so ist auch die 
Congruenz (3.) lösbar, und wenn von den Punkten rj niy aber nicht 
mehr, beliebig gCAvählt werden können, so können von den Punkten e 
m ~ 1 beliebig gewählt werden und dadurch sind die übrigen bestimmt, 
und umgekehrt. 

Auf ganz ähnlichem Wege ergiebt sich, dass, wenn 






ist, die Congruenzen 

(4.) , (j ('•■■)) = (^(S«'," 

(5.) (^■*^(_,„)J_^'J(^2?«i" 

immer lösbar sind; und zwar können sowohl von den Punkten y] als 
von den Punkten e m beliebig gewählt werden, und es sind dadurch 
die übrigen ^> — 1 — m bestimmt, wenn 



y (2' «?" -.2' <' + '•' ) ) 

1 1 1 / 



identisch gleich Null ist. 



l 1 1 



aber nicht identisch gleich Null ist, wobei der Fall m = nicht aus- 
geschlossen ist. Dieser Satz lässt sich auch umkehren. Wenn also 
von den Punkten ri tti und nicht mehr beliebig gewählt werden können. 



204 XI. Uebcr das Verschwinden der Theta-Funetionen. 

so ist die Voraussetzung desselben erfüllt; und es können folglich auch 
von den Punkten e m und nicht mehr beliebig gewählt werden. 

4, 
Bezeichnen wir die Derivirte von 

nach Vy mit 0-',, die zweite Derivirte nach Vv und Vfi mit 



0-) 

80 sind, wenn 



l -O-v,^, u. s. f., 



identisch für jeden AVerth von s\ und J^ verschwindet, sämmtHche 
Functionen d^' [ v {>-,) \ gleich Null. In der That geht die Gleichung 



(p 



^\v{ti^^ — a\'^ + Tr) I =0, 

wenn s^ und z^ unendlich wenig von (5^ und ^^ verschieden sind, über 
in die Gleichung 



^^;. (i^ (n) j rf«« = 0. 



Nehmen wir an, dass 

sei, so verwandelt sich diese Gleichung nach Weglassung des Factors 



m 



^»,. (i^(n)j<)p,.(<r„50 = 0; 



und da zwischen den Functionen g) keine lineare Gleichung mit con- 
stanten Coefficienten stattfindet, so folgt hieraus, dass sämmtliche 

erste Derivirten von d-(v^y V2, . » ., Vp) für v Ooy = r,) verschwinden 

1 
müssen. 

Um den umgekehrten Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass 

V {ov = Tr) und v{vr=tv) zwci Werthsystcmc seien, für welche die 
1 1 



XI. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionea. 



205 



Function d^ verschwindet, ohne für v (?;, == k^^^ — «^'^ + r,) und 

1 

V (vr = H^^^ — «^^^ + fv) identisch zu verschwinden, und bihlen den 

1 ' ' 

Ausdruck 



(2.) 






<^ + /. 



p 



/(i) 



+ ^.0 



Betrachten wir diesen Ausdruck als Function von z^j so erj^iebf 
sich, dass er eine algebraische Function von z^ und zwar eine rationale 
Function von s^ und z^ ist, da Nenner und Zähler in T" stetig sind 
und an den Querschnitten dieselben Factoren erlangen. Für z^ = ^^ 
und 5^ = (>i werden Nenner und Zähler unendlich klein von der zweiten 
Ordnung, so dass die Function endlich bleibt; die übrigen Werthe aber, 
für welche Nenner oder Zähler verschwinden, sind, wie oben bewiesen, 
durch die Werthe der Grössen r und der Grössen t völlig bestimmt, 
also von J^ ganz unabhängig. Da nun eine algebraische Function 
durch die Werthe, für welche sie Null und unendlich wird, bis auf 
einen constanten Factor bestimmt ist, so ist der Ausdruck gleich einer 
rationalen von f^ unabhängigen Function von s^ und z^, xis^, z^j 
multiplicirt in eine Consta nte, d. h. eine von ^^ unabhängige Grösse. 
Da der Ausdruck symmetrisch in Bezug auf die Grössensysteme (s^, z^) 
und (<?j, Jj) ist, so ist diese Constante gleich xio^j SJ, multiplicirt in 
eine auch von t,^ unabhängige Grösse A. Setzt man nun 

YAx{s,z)==q{s, z), 

so erhält man für unsern Ausdruck (2.) den Werth 

wo ^{Sj z) eine rationale Function von s und -s ist. 

Um diese zu bestimmen, hat man nur nJHhig ^, = ^j und a^^ = .Sj 
werden zu lassen; es ergiebt sich dann 



((>(-^u ^i))'== 




y^K {^V(tr))(lu 



i>06 



XI. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen. 



oder nach Ausziehung der Quadratwurzel und Wegliebung des Factors 



ds, 



(4-) 



9(ßi, ^i) 



^K (^(^V)) 9^riSn^i) 



^^, rv(tr)U,(s,,.z,) 



Man hat daher aus (8.) und (4.) die Gleichung 






(5-) { 






Aus dieser Gleichung folgt, dass 



P 



,(1) „(1) 



für jeden Werth von .z^ und J^ gleich Null sein muss, wenn die ersten 

Derivirten der Function ^{t\,V2^...j Vp) für v(vr = r,.) sämmtUch ver- 
schwinden. 



5. 



Wenn 



(1-) 






m m 

identisch, d. h. für jedwede Werthe von ^ (öu, t/a) und ^ (5^,, Su), ver- 

1 ' 1 

schwindet, so findet man auf dem oben angegebenen Wege zunächst, 
indem man g„, == .z„c, G,„ = s,a werden lässt, dass die ersten Derivirten 
der Function 

P / ?/ ^— 1 m — 1 V 

-^ {v^, %\, . . ., v^;) für V iv, = V«!:"^ — V<" + rA 

i 1 1 



XT. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen. 207 

sämmtlich verschwinden, dami, indem man ^,„_i — .?„,— i, (>,„_i — «S»— i 
unendlich klein werden liisst, dass für 

p 711 — 2 m — 2 

1 1 ^ 1 

auch die zweiten Derivirten sämmtlich verschwinden; und offenbar er- 
giebt sich allgemein, dass die Derivirten nter Ordnung sämmtlich ver- 
schwinden für 

welche Werthe auch die Grossen z und die Grössen J haben mögen. 
Es folgt hieraus, dass unter der gegenwärtigen Voraussetzung (1.) 

für V {vy = ?v) die ersten bis mten Derivirten der Function 

1 

^(x\, i\,, ..., Vp) 
sämmtlich gleich Null sind. 

Um zu zeigen, dass dieser Satz auch umgekehrt gilt, beweisen 
wir zunächst, dass wenn 



Null sind, auch 



I V (»•,/) I säl 



d' 



identisch verschwindet und die Grössen '9'^"'M v(rr) 1 sämmthch gleich 



identisch verschwinden muss und verallgemeinern zu diesem Zwecke 
die Gleichung §. 4, (5.). 
Wir nehmen an, dass 

(2) ,m—l m — l .\ 



identisch verschwinde. 



/ P . VI in . \ 

aber nicht identisch verscliwinde, behalten in Bezug auf die Grössen t 
die frühere Voraussetzuncr bei und betrachten den Ausdruck 



2>08 XL lieber das Verschwinden der Theta-Functionen 

P 



(^•) 



?^ 



1 1 1 /Ml 1 / 



n 



^ [ l {uf - c/p + f . ) ) ^ [^ («f - ^?'^ + fv) 



In diesem Ausdrucke sind unter den Productzeichen sowohl für q, als 
für q' sämmtliche Werthe von 1 bis m zu setzen, im Zähler aber die 
Fälle, wo Q = q' würde, wegzulassen. 

Betrachten wir diesen Ausdruck als Function von ji\, so ergiebt 
sich, dass er an den Querschnitten den Factor 1 erlangt und folglich 
eine algebraische Function von .e^ ist. Für 0^ = ^(, und s^ = ö^j wer- 
den Nenner und Zähler unendlich klein von der zweiten Ordnung, der 
Bruch bleibt also endlich*, die übrigen Werthe aber, für welche Zähler 

m 
und Nenner verschwinden, sind durch die Grössen |t (5,, , ^„), die Grössen 

2 ' ' 

r und die Grössen f, wie oben (§. 3.) bewiesen, völlig bestimmt, und 
folglich von den Grössen t, ganz unabhängig. Da der Ausdruck nun 
eine symmetrische Function von den Grössen z ist, so gilt dasselbe 
für jedes beliebige Zu' er ist eine algebraische Function von 0^^, und 
die Werthe dieser Grösse, für welche er unendlich gross oder unend- 
lich klein wird, sind von den Grössen g unabhängig. Er ist daher 
gleich einer von den Grössen ^ unabhängigen algebraischen Function 
der Grössen ^, x C^i? -i'o, . . ., .^m), multiplicirt in einen von den Grössen 
unabhängigen Factor. Da er aber ungeändert bleibt, wenn man die 
Grössen 5^ mit den Grössen ^ vertauscht, so ist dieser Factor gleich 
Z (Su S27 ' ' ' y im)y multiplicirt mit einer von den Grössen ^ und den 
Grössen ^ unabhängigen Constanten Ä', und wir kömien daher, wenn 

wir Yä % (^1, ^2) . . ., 0m) = ^ ('^17 ^2 7 ' ' ') ^nt) sctzcu, unsemi Aus- 
drucke (2.) die Form 

geben, wo z/^ (.e'j, ^fg, . . ., P^m) eine algebraische von den Grössen f unab- 
hängige Function der Grössen z ist, welche in Folge ihrer Verzwei- 

m 
gungsart sich rational in [i (s^, ^^t) ausdrücken lassen muss. Lässt 

1 
man nun die Punkte r] mit den Punkten s zusammenfallen, so dass 
die Grössen t^ — Zu und die Grössen 6u — ^> sämmtlich unend- 



XL Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen. 209 

lieh klein werden, so ergiebt sich, wenn man die Derivirten von 
-O" (^1, v.,^ . . ., Vp) wie oben (§. 4, (1.)) bezeichnet, 



(±)'"<::.,...,.„(f^^'^)"«--"« 



{A.)t{z„z,,...,s,„)^+ ,_„ ,_^ ,p . 

r/2'*'. «•('>) ''«'" 

WO die Summationen im Zähler sich auf v^^ v^, . . ., v,,, beziehen. Es 
ist kaum nöthig zu bemerken, dass die Wahl des Vorzeichens gleich- 
gültig ist, da 'sie auf den Werth von ip (z^, z^j . . . , Zm) t (g^, ?.,...,&«) 
keinen Einfluss hat, und dass statt der Grössen chi^i"\ (h&\ ..., du^^ 
auch, im Zähler und Nenner gleichzeitig, die ihnen proportionalen 
Grössen cpiisin, z^i)^ 9^2(^/0'^/"); •••? ^p{^h^ ^/O eingeführt werden 
können. 

Aus der in (2.), (3.) und (4.) enthaltenen Gleichung, welche für 
den Fall bewiesen ist, dass 



gleich Null und 



/p /W— 1 m— 1 V 

\1 1 1 

-(2'«*'" -2'<'" + '•■)) 



von Null verschieden ist, folgt, dass 



(P / '" '" \ \ 



/p 

nicht von Null verschieden sein kann, wenn die Functionen '^^'"^l v(n) 
sämmtlich gleich Null sind. 

Wenn also die Functionen '8'('" + ')( v (vr) ] sämmtlich gleich Null 



(v{^nr~ 2'<' +''))='^ 



sind, so folgt aus der Gültigkeit der Gleichung 

für n = m ihre Gültigkeit für n = ni -{- 1. Gilt daher die Gleichung 
iür n = 0, oder ist ^ I 1/ (/•, ) I = 0, und verschwinden die ersten bis 

Bikuakn'8 gesammelte matbematiache Werke. I. "14 



210 XI. Ueber das Verschwinden der Theta-Fiinctionen. 

fp \ p 

mten Derivirten der Function %• I v{vy) ) für v{vy=r^) sämmtlich, die 

Vi / 1 

{m -\- l)ten aber nicht sämmtlich, so gilt die Gleichung auch für alle 
grösseren Werthe von n bis n = m, aber nicht für n = m -\- 1 ; denn 

fp /"^ti vi^l V \ 

aus -O" ( V ( > u[f:'^ — > «(-") + n ) I = würde, wie wir vorher 



v(y]u^l^ — V«J;'> + nj I = würde, 
1 1 1 / 



P 
schon gefunden hatten, folgen, dass die Grössen '^("*+i) I v (r,,) ) sämmt- 
lich verschwinden müssten. 

6. 

Fassen wir das eben Bewiesene mit dem Früheren zusammen, so 
erhalten wir folgendes Resultat: 

Ist '^ (r^, ^2, . . ., Tp) = 0, so lassen sich (j) — 1) Punkte i]^^ i].^, . . ., i]p_i 
so bestimmen, dass 

(»•■ ,r,,..., »g - (^«(,."> , §«^">, . . . , 5«5r> ) ; 
11 1 

und umgekehrt. 

Wenn ausser der Function ^ (i\, v.^, . . ., Vp) auch ihre ersten bis 
wten Derivirten für v^ = r^, v^ = r^, . . , , Vp = rp sämmtlich gleich 
Null, die {m +1) ten aber nicht sämmtlich gleich Null sind, so können 
m von diesen Punkten i], ohne dass die Grössen r sich ändern, beliebig 
gewählt werden und dadurch sind die übrigen p — 1 — m völlig 
bestimmt. 

Und umgekehrt: 

Wenn m und nicht mehr von den Punkten 7}^ ohne dass sich die 
Grössen r ändern, beliebig gewählt werden können, so sind ausser der 
Function ^ (v^, v.^, . . . , Vp) auch ihre ersten bis mten Derivirten für 
t'i = r^, v^ = r^j , , , ^ Vp = Tp sämmtlich gleich Null, die (m -f- l)ten 
aber nicht sämmtlich gleich Null. 

Die vollständige Untersuchung aller besonderen Fälle, welche bei 
dem Verschwinden einer O"- Function eintreten können, war weniger 
nöthig wegen der besondern Systeme von gleichverzweigten algebraischen 
Functionen, für welche diese Fälle eintreten, als vielmehr desshalb, 
weil ohne diese Untersuchung Lücken in dem Beweise der Sätze ent- 
stehen würden, welche auf unsern Satz über das Verschwinden einer 
'S" -Function gegründet werden. 



Z^veite Abtlieihmg 



14» 



XII. 

lieber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigono- 
metrische Reihe. 

(Aus dem dreizehnten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Göttingen.)*) 

Der folgende Aufsatz über die trigonometrischen Reihen besteht 
aus zwei wesentlich verschiedenen Theilen. Der erste Theil enthält 
eine Geschichte der Untersuchungen und Ansichten über die willkür- 
lichen (graphisch gegebenen) Functionen und ihre Darstellbarkeit durch 
trigonometrische Reihen. Bei ihrer Zusammenstellung war es mir ver- 
gönnt, einige Winke des berühmten Mathematikers zu benutzen, wel- 
chem man die erste gründliche Arbeit über diesen Gegenstand ver- 
dankt. Im zweiten Theile liefere ich über die Darstellbarkeit einer 
Function durch eine trigonometrische Reihe eine Untersuchung, welche 
auch die bis jetzt noch unerledigten Fälle umfasst. Es war nöthig, 
ihr einen kurzen Aufsatz über den Begriff eines bestimmten Integrales 
und den Umfang seiner Gültigkeit voraufzuschicken. 

Geschiclite der Frage über die Darstellbarkeit einer wiUkürlich 
gegebenen Function durch eine trigonometrische Reihe. 

1. 
Die vonFourier so genannten trigonometrischen Reihen, d. h. die 
Reihen von der Form 

«1 smx + «2 sii^ -'^" + ^3 sin 3^; -j- • • • 
4" ^0 4" ^1 cos.t + &2 cos 2x -\- h^ cos 3^- -j- • • • 



*) Diese Abhandlung ist im Jahre 1854 von dem Verfasser behuf seiner 
Habilitation an der Universität zu Göttingen der philosophischen Facultät ein- 
gereicht. Wiewohl der Verfasser ihre Veröffentlichung, wie es scheint, nicht be- 
absichtigt hat, so wird doch die hiermit erfolgende Herausgabe derselben in gänz- 
lich ungeänderter Form sowohl durch das hohe Interesse des Gegenstandes an 
sich als durch die in ihr niedergelegte Behandlungsweise der wichtigsten Principien 
der Infinitesimal- Analysis wohl hinlänglich gerechtfertigt erscheinen. 

Braunschweig, im Juli 1867. . R. Dedekind. 



214 ^1^- Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

spielen in demjenigen Theile der Mathematik, wo ganz willkürliche 
Functionen vorkommen, eine bedeutende Rolle; ja, es lässt sich mit 
Grund behaupten, dass die wesentlichsten Fortschritte in diesem für die 
Physik so wichtigen Theile der Mathematik von der klareren Einsicht 
in die Natur dieser Reihen abhängig gewesen sind. Schon gleich bei 
den ersten mathematischen Untersuchungen, die auf die Betrachtung 
willkürlicher Functionen führten, kam die Frage zur Sprache, ob sich 
eine solche ganz Avillkürliche Function durch eine Reihe von obiger 
Form ausdrücken lasse. 

Es geschah dies in der Mitte des vorigen Jahrhunderts bei Ge- 
legenheit der Untersuchungen über die schwingenden Saiten, mit 
welchen sich damals die berühmtesten Mathematiker beschäftigten. 
Ihre Ansichten über unsern Gegenstand lassen sich nicht wohl dar- 
stellen, ohne auf dieses Problem einzugehen. 

Unter gewissen Voraussetzungen, die in der Wirklichkeit näherungs- 
weise zutreffen, wird bekanntlich die Form einer gespannten in einer 
Ebene schwingenden Saite , wenn x die Entfernung eines unbestimmten 
ihrer Punkte von ihrem Anfangspunkte, y seine Entfernung aus der 
Ruhelage zur Zeit t bedeutet, durch die partielle Differentialgleichung 

bestimmt, wo a von t und bei einer überall gleich dicken Saite von x 
unabhängig ist. 

Der erste, welcher eine allgemeine Lösung dieser Differential- 
gleichung gab, war d'Alembert. 

Er zeigte*), dass jede Function von x und t, welche für ^j ge- 
setzt, die Gleichung zu einer identischen macht, in der Form 

f{x -A- at) -\- (p {x — at) 
enthalten sein müsse, wie sich dies durch Einführung der unabhängig 
veränderlichen Grössen ■^" -\- at, x — at anstatt x, t ergiebt, wodurch 

d ^JL 

d'jj _ 1 d^ .^ 4 _i(^±_^o 

dx'^ cccc dt'^ d{x — at) 

Übergeht. 

Ausser dieser partiellen Differentialgleichung, welche sich aus den 
allgemeinen Bewegungsgesetzen ergiebt, muss nun y noch die Bedin- 
gung erfüllen, in den Befestigungspunkten der Saite stets = zu sein; 
man hat also, wenn in dem einen dieser Punkte ^ = 0, in dem an- 
dern X = 1 ist. 



*) Memoires de Facademie de Berlin. 1747. pag. 214. 



durch eine trigonometrische Reihe. 215 

/•(«O = -<p{- at), f{l + «0 = -?'(«- «<) 
und folglich 

tXz) ^-cp(-z) = - q>(l - (l + z))=f{2l + £), 
y = f{at + x) — f{at — x) , 
Nachdem d'Alembert die§ für die allgemeine Lösung des Problems 
geleistet hatte, beschäftigt er sich in einer Fortsetzung*) seiner Ab- 
handlung mit der Gleichung f{z)=f{2l-\-z)'^ d. h. er sucht ana- 
lytische Ausdrücke, welche unverändert bleiben, wenn z um 21 wächst. 
Es war ein wesentliches Verdienst Euler 's, der im folgenden Jahr- 
gange der Berliner Abhandlungen**) eine neue Darstellung dieser 
d'Alembert'schen Arbeiten gab, dass er das Wesen der Bedingungen, 
welchen die Function f{z) genügen muss, richtiger erkannte. Er be- 
merkte, dass der Natur des Problems nach die Bewegung der Saite 
vollständig bestimmt sei, wenn für irgend einen Zeitpunkt die Form 

der Saite und die Geschwindigkeit jedes Punktes (also y und ^) ge- 
geben seien, und zeigte, dass sich, wenn man diese beiden Functionen 
sich durch willkürlich gezogene Curven bestimmt denkt, daraus stets 
durch eine einfache geometrische Construction die d'Alembert'sche 
Function f{z) finden lässt. In der Tliat, nimmt man an, dass für 

t = 0, y = (j{x) und || = h{x) 
sei, so erhält man für die Werthe von x zwischen und l 

fix) -f{-£)=!)(x), fix) + /■(- x) = ^J 'h (x) dx 

und folglich die Function f{z) zwischen — l und ?; hieraus aber er- 
giebt sich ihr Werth für jeden andern Werth von z vermittelst der 
Gleichung 

f{0) = f{2l + ,). 
Dies ist in abstracten, aber jetzt allgemein geläufigen Begriffen dargestellt, 
die Euler'sche Bestimmung der Function f(z). 

Gegen diese Ausdehnung seiner Methode durch Euler verwahrte 
sich indess d'Alembert sofort***), weil seine Methode nothwendig 
voraussetze, dass y sich in t und x analytisch ausdrücken lasse. 



*) Ibid. pag. 220. 

**) M^moires de Tacademie de Berlin. 1748. pag. 69. 

***) Memoires de l'academie de Berlin. 1750. pag. 358. En effet on ne peut 
ce me serable exprimer // analytiquement d'une maniere plus generale, qu'en la 
supposant une fonction de t et de x. Mais dans cette supposition on ne trouve 
la Solution du probleme que pour les cas oü les diff^rentes figures de la corde 
vibrante peuvent etre renfermees dans une seule et nieme equation. 



216 XI] . Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

Ehe eine Antwort Euler 's hierauf erfolgte, erschien eine dritte 
von diesen beiden ganz verschiedene Behandlung dieses Gegenstandes 
von Daniel Bernoulli*). Schon vor d'Alembert hatte Taylor**) 

gesehen, dass 7^ == aa ^-^ und zugleich y für x = und für x = l 
stets gleich sei, wenn man y = sin — j— cos — x — und hierin für yi 

eine ganze Zahl setze. Er erklärte hieraus die physikalische That- 
sache, dass eine Saite ausser ihrem Grundtone auch den Grundton 
einer ^, -J, \, - • - so langen (übrigens ebenso beschaffenen) Saite geben 
könne, und hielt seine particuUire Lösung für allgemein, d. h. er 
glaubte, die Schwingung der Saite würde stets, wenn die ganze Zahl n 
der Höhe des Tons gemäss bestimmt würde, wenigstens sehr nahe 
durch die Gleichung ausgedrückt. Die Beobachtung, dass eine Saite 
ihre verschiedenen Töne gleichzeitig geben könne, führte nun Bernoulli 
zu der Bemerkung, dass die Saite (der Theorie nach) auch der Gleichung 

y = Ea^ sm— y- cos— ,— (r — p«) 

gemäss schwingen könne, und weil sich aus dieser Gleichung alle be- 
obachteten Modificationen der Erscheinung erklären Hessen, so hielt er 
siö für die allgemeinste***). Um diese Ansicht zu stützen, untersuchte 
er die Schwingungen eines masselosen gespannten Fadens, der in 
einzelnen Punkten mit endlichen Massen beschwert ist, und zeigte, 
dass die Schwingungen desselben stets in eine der Zahl der Punkte 
gleiche Anzahl von solchen Schwingungen zerlegt werden kann, deren 
jede für alle Massen gleich lange dauert. 

Diese Arbeiten Bernoulli's veranlassten einen neuen Aufsatz 
Euler' s, welcher unmittelbar nach ihnen unter den Abhandlungen der 
Berliner Akademie abgedruckt istf). Er hält darin d'Alembert gegen- 
über fest ff), dass die Function f{s) eine zwischen den Grenzen — l 
und l ganz willkürliche sein könne, und bemerktftf), dass Bernoulli's 
Lösung (welche er schon früher als eine besondere aufgestellt hatte) 
dann allgemein sei und zwar nur dann allgemein sei, wenn die Reihe 

. XTC . . 2X7t , 

a^ sin —. — |- «2 sm -y — r * * * 

I ?>0 + ^1 cos ''^'^' + h^ cos -y- -\ 



*) Memoires de Tacademie de Berlin. 1753. p. 147. 
**) Taylor de methodo incrementorum. 
***) 1. c. p. 157. art. XIII. 

t) Memoires de Facademie de Berlin. 1753. pag. 196. 
tt) 1. c. pag. 214. 
ttt) 1. c. art. 111— X. 



durch eine trigonometrische Reihe. 217 

für die Abscisse x die Ordinate einer zwischen den Abscissen und l 
ganz willkürlichen Curve darstellen könne. Nun wurde es damals von 
Niemand bezweifelt, dass alle Umformungen, welche man mit einem 
analytischen Ausdrucke — er sei endlich oder unendlich — vornehmen 
kömie, für jedwede Werthe der unbestimmten Grössen gültig seien oder 
doch nur in ganz speciellen Fällen unanwendbar würden. Es schien 
daher unmöglich, eine algebraische Curve oder überhaupt eine ana- 
lytisch gegebene nicht periodische Curve durch obigen Ausdruck dar- 
zustellen, und Euler glaubte daher, die Frage gegen Bernoulli ent- 
scheiden zu müssen. 

Der Streit zwischen Euler und d'Alembert war indess noch 
immer unerledigt. Dies veranlasste einen jungen, damals noch wenig 
bekannten Mathematiker, Lagrange, die Lösung der Aufgabe auf 
'^inem ganz neuen Wege zu versuchen, auf welchem er zu Euler's 
Resultaten gelangte. Er unternahm es*), die Schwingungen eines 
masselosen Fadens zu bestimmen, welcher mit einer endlichen unbe- 
stimmten Anzahl gleich grosser Massen in gleich grossen Abständen 
beschwert ist, und untersuchte dann, wie sich diese Schwingungen 
ändern, wenn die Anzahl der Massen in's Unendliche wächst. Mit 
welcher Gewandtheit, mit welchem Aufwände analytischer Kunstgriffe 
er aber auch den ersten Theil dieser Untersuchung durchführte, so 
Hess der Uebergang vom Endlichen zum L^nendlichen doch viel zu 
wünschen übrig, so dass d'Alembert in einer Schrift, welche er an 
die Spitze seiner opuscules mathematiques stellte, fortfahren konnte, 
seiner Lösung den Ruhm der grössten Allgemeinheit zu vindiciren. 
Die Ansichten der damaligen berühmten Mathematiker waren und 
blieben daher in dieser Sache getheilt*, denn auch in spätem Arbeiten 
behielt jeder im Wesentlichen seinen Standpunkt bei. 

Um also schliesslich ihre bei Gelegenheit dieses Problems ent- 
wickelten Ansichten über die willkürlichen Functionen und über die 
Darstellbarkeit derselben durch eine trigonometrische Reihe zusammen- 
zustellen, so hatte Euler zuerst diese Functionen in die Analysis ein- 
geführt und, auf geometrische Anschauung gestützt, die Litinitesimal- 
rechnung auf sie angewandt. Lagrange**) hielt Euler's Resultate 
(seine geometrische Construction des Schwingungs Verlaufs) für richtig; 
aber ihm genügte die Euler sehe geometrische Behandlung dieser 



*) Miscellanea Taurinensia. Tom. I. Recherches sur la natiire et la pro- 
pagatiou du son. 

**) Miscellanea Taurinensia. Tom. 11. Pars math. pag. 18, 



218 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

Functionen nicht. D'Alembert*) dagegen ging auf die Euler 'sehe 
Auffassungsweise der Differentialrechnung ein und beschränkte- sich, 
die Richtigkeit seiner Resultate anzufechten, weil man bei ganz will- 
kürlichen Functionen nicht wissen könne, ob ihre Differential quotienten 
stetig seien. Was die Bernoulli^sche Lösung betraf, so kamen alle 
drei darin überein, sie nicht für allgemein zu halten; aber während 
d'Alembert**), um Bernoulli's Lösung für minder allgemein, als 
die seinige, erklären zu können, behaupten musste, dass auch eine 
analytisch gegebene periodische Function sich nicht immer durch eine 
trigonometrische Reihe darstellen lasse, glaubte Lagrange***) diese 
Möglichkeit beweisen zu können. 



Fast fünfzig Jahre vergingen, ohne dass in der Frage über die 
analytische Darstellbarkeit willkürlicher Functionen ein wesentlicher 
Fortschritt gemacht wurde. Da warf eine Bemerkung Fourier's ein 
neues Licht auf diesen Gegenstand; eine neue Epoche in der Entwicklung 
dieses Theils der Mathematik begann , die sich bald auch äusserlich in 
grossartigen Erweiterungen der mathematischen Physik kund that. 
Fourier bemerkte, dass in der trigonometrischen Reihe 

. . ( c\ ^inx + «2 si^ ^^ +. • • • 

1 i ^0 ~l" ^1 ^^^ ^ + ^2 cos 2x -\- ' ' ' 
die Coefficienten sich durch die Formeln 

7t 7t 

an = — I fix) ^mnxdXj hn = — f fix) cos nxdx 

—^7t 7t 

bestimmen lassen. Er sah, dass diese Bestimmungsweise auch an- 
wendbar bleibe, wenn die Function f{x) ganz willkürlich gegeben sei; 
er setzte für fix) eine so genannte discontinuirliche Function (die 
Ordinate einer gebrochenen Linie für die Abscisse x) und erhielt so 
eine Reihe, welche in der That stets den Werth der Function gab. 

Als Fourier in einer seiner ersten Arbeiten über die Wärme, 
welche er der französischen Akademie vorlegtet), (21. Dec. 1807) zu- 
erst den Satz aussprach, dass eine ganz willkürlich (graphisch) ge- 
gebene Function sich durch eine trigonometrische Reihe ausdrücken lasse, 



*) Opuscules mathdmatiques p. d'Alembert. Tome premier. 1761. pag. 16. 
art. VII -XX. 

**) Opuscules mathematiques. Tome I. pag. 42. art. XXIV. 
***) Mise. Taur. Tom. III. Pars math. pag. 221. art. XXV. 
t) Bulletin des sciences p. la siDc. philomatique Tome I. p. 112. 



durch eine trigonometrische Reihe. 219 

war diese Behauptung dem greisen Lagrange so unerwartet, dass 
er ihr auf das Entschiedenste entgegentrat. Es soll*) sich hierüber 
noch ein Schriftstück im Archiv der Pariser Akademie befinden. 
Dessenungeachtet verweist**) Poisson überall, wo er sich der trigono- 
metrischen Reihen zur Darstellung willkürlicher Functionen bedient, 
auf eine Stelle in Lagrange^s Arbeiten über die schwingenden Saiten, 
wo sich diese Darstellungsweise finden soll. Um diese Behauptung, 
die sich nur aus der bekannten Rivalität zwischen Fourier und 
Poisson erklären lässt***), zu widerlegen, sehen wir uns genöthigt, 
noch einmal auf die Abhandlung Lagrange 's zurückzukommen; denn 
•über jenen Vorgang in der Akademie findet sich nichts veröff'entlicht. 

Man findet in der That an der von Poisson citirten Stellet) die 
Formel : 

j, 7/ = 2/y sin Xit dX X sin X7t + 2jY sin 2X7i dX X sin 2x7t 
+ 2fY sinSXjTfZXx sinSj^jr + <?tc. + 2jY ^mnXndX ^innxTC^ 
de Sorte que, lorsque x = X, on aura y = Y, Y etant Fordonnee qui 
repond a l'abscisse X" 

Diese Formel sieht nun allerdings ganz so aus wie die Fourier 'sehe 
Reihe, so dass bei flüchtiger Ansicht eine Verwechselung leicht mög- 
lich ist; aber dieser Schein rührt bloss daher, weil Lagrange das 
Zeichen fdX anwandte, wo er heute das Zeichen Z'AX angewandt 
haben würde. Sie giebt die Lösung der Aufgabe, die endliche Sinus- 
reihe 

«1 sin xit + (^h sin 2x'7r -f- • • • + tin sin nx7t 

so zu bestimmen, dass sie für die Werthe 

1 2 n 

n"-f~i ^ '«~+~l ? • • • ^ ^r+ 1 

von X, welche Lagrange unbestimmt durch X bezeichnet, gegebene 
Werthe erhält. Hätte Lagrange in dieser Formel n unendlich gross 
werden lassen, so wäre er allerdings zu dem Fourier 'sehen Resultat 
gelangt. Wenn man aber seine Abhandlung durchliest, so sieht man, 
dass er weit davon entfernt ist zu glauben, eine ganz willkürliche 
Function lasse sich wirklich durch eine unendliche Sinusreihe dar- 
stellen. Er hatte vielmehr die ganze Arbeit gerade unternommen, weil 
er glaubte, diese Avillkürlichen Functionen Hessen sich nicht durch oiue 



*) Nach einer mündlichen Mittheilung des Herrn Professor Dirichlet. 
**) Unter Andern in dem verbreiteten Traite de mecanique Nro. 323. p. 638. 
***) Der Bericht im bulletin des sciences über die von Fourier der Akademie 
vorgelegte Abhandlung ist von Poisson. 

f) Mise Taur. Tom. III. Pars math. pag. 261. 



220 XII. üeber die Darstellbarkeit einer Function 

Formel ausdrücken, und von der trigonometrisclien Reihe glaubte er, 
dass sie jede analytisch gegebene periodische Function darstellen könne. 
Freilich erscheint es uns jetzt kaum denkbar, dass Lag ränge von 
seiner Summenformel nicht zur Fouri er 'sehen Reihe gelangt sein sollte; 
aber dies erklärt sich daraus, dass durch den Streit zwischen Euler 
und d'Alembert sich bei ihm im Voraus eine bestimmte Ansicht über 
den einzuschlagenden Weg gebildet hatte. Er glaubte das Schwingungs- 
problem für eine unbestimmte endliche Anzahl von Massen erst voll- 
ständig absolviren zu müssen, bevor er seine Grenzbetrachtungen an- 
wandte. Diese erfordern eine ziemlich ausgedehnte Untersuchung*), 
welche unnöthig war, wenn er die Fourier'sche Reihe kannte. 

Durch Fouri er war nun zwar die Natur der trigonometrischen 
Reihen vollkommen richtig erkannt**); sie wurden seitdem in der 
mathematischen Physik zur Darstellung willkürlicher Functionen viel- 
fach angewandt, und in jedem einzelnen Falle überzeugte man sich 
leicht, dass die Fourier'sche Reihe vrirklich gegen den Werth der 
Function convergire; aber es dauerte lange, ehe dieser wichtige Satz 
allgemein bewiesen wurde. 

Der Beweis, welchen Cauchy in einer der Pariser Akademie am 
27. Febr. 1826 vorgelesenen Abhandlung gab***), ist unzureichend, wie 
Dirichlet gezeigt hatf). Cauchy setzt voraus, dass, wenn man in 
der willkürlich gegebenen periodischen Function f{x) für x ein com- 
plexes Argument x -{- yi setzt, diese Function für jeden Werth von y 
endlich sei. Dies findet aber nur Statt, wenn die Function gleich 
einer constanten Grösse ist. Man sieht indess leicht, dass diese Voraus- 
setzung für die ferneren Schlüsse nicht nothwendig ist. Es reicht hin, 
wenn eine Function (p{x -\- yi) vorhanden ist, welche für alle positiven 
Werthe von y endlich ist und deren reeller Theil für y = der ge- 
gebenen periodischen Function f(x) gleich wird. Will man diesen 
Satz, der in der That richtig ist ff), voraussetzen, so führt allerdings 
der von Cauchy eingeschlagene Weg zum Ziele, wie umgekehrt dieser 
Satz sich aus der Fouri er'sehen Reihe ableiten lässt. 



*) Mise. Taur. Tom. III. Pars math. p. 251. 

**) Bulletin d. sc Tom. I. p. 115. Les coefficients a, d , a" , . . . etant ains-i 
determinös etc. 

***) Me'moires de l'ac. d. sc. de Paris. Tom. VI. p. 603. 

t) Grelle Journal für die Mathematik. Bd. lY. p. 157 & 158. 
tt) Der Beweis findet sich in der Inauguraldissertation des Verfassers. 



durch eine trigonometrische Reihe. 221 



3. 



Erst im Januar 1829 erschien im Journal von Grelle*) eine Ab- 
handlung von Dirichlet, worin für Functionen, die durchgehends eine 
Integration zulassen und nicht unendlich viele Maxima und Minima 
haben, die Frage ihrer Darstellbarkeit durch trigonometrische Reihen 
in aller Strenge entschieden wurde. 

Die Erkenntniss des zur Lösung dieser Aufgabe einzuschlagenden 
Weges ergab sich ihm aus der Einsicht, dass die unendlichen Reihen 
in zwei wesentlich verschiedene Klassen zerfallen , je nachdem sie, 
wenn man sämmtliche Glieder positiv macht, convergent bleiben oder 
nicht. In den ersteren können die Glieder beliebig versetzt werden, 
der Werth der letzteren dagegen ist von der Ordnung der Glieder ab- 
hängig. In der That, bezeichnet man in einer Reihe zweiter Klasse 
die positiven Glieder der Reihe nach durch 

die negativen durch 

— 6i, —6,, — \y . . ., 
so ist klar, dass sowohl Ea, als Eh unendlich sein müssen; denn 
wären beide endlich, so würde die Reihe auch nach Gleichmachung 
der Zeichen convergiren; wäre aber eine unendlich, so würde die Reihe 
divergiren. Offenbar kann nun die Reihe durch geeignete Anordnung 
der Glieder einen beliebig gegebenen Werth C erhalten. Denn nimmt 
man abwechselnd so lange positive Glieder der Reihe, bis ihr Werth 
grösser als C wird, und so lange negative, bis ihr Werth kleiner als 
C wird, so wird die Abweichung von C nie mehr betragen, als der 
Werth des dem letzten Zeichenwechsel voraufgehenden Gliedes. Da 
nun sowohl die Grössen a, als die Grössen 1) mit wachsendem Index 
zuletzt unendlich klein werden, so werden auch die Abweichungen 
von C, wenn man in der Reihe nur hinreichend weit fortgeht, be- 
liebig klein werden, d. h. die Reihe wird gegen C convergiren. 

Nur auf die Reihen erster Klasse sind die Gesetze endlicher Sum- 
men anwendbar; nur sie können wirklich als Inbegriff ihrer Glieder 
betrachtet werden, die Reihen der zweiten Klasse nicht; ein Umstand, 
welcher von den Mathematikern des vorigen Jahrhunderts übersehen 
wurde, hauptsächlich wohl aus dem Grunde, weil die Reihen, welche 
nach steigenden Potenzen einer veränderlichen Grösse fortschreiten, all- 
gemein zu reden (d. h. einzelne Werthe dieser Grösse ausgenommen), 
zur ersten Klasse gehören. 



*) Bd. IV. pag. 157. 



222 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

Die Foiirier'sche Reihe gehört nun offenbar nicht nothwendig 
zur ersten Klasse; ihre Convergenz konnte also gar nicht, wie Cauchy 
vergeblich*) versucht hatte, aus dem Gesetze, nach welchem die Glie- 
der abnehmen, abgeleitet werden. Es musste vielmehr gezeigt werden, 
dass die endliche Reihe 

n n 

— / f{a) sin«r/« sin.T -j / f{a) sin2«r7a sin2:r -{-••• 

— TT —TT 

n 

-\ I f{a) ^voinaäa sinw;^ 

7t 

71 n 7t 

~ I /*W (^^ ~^ n I f^^^ ^^^ ^^^^ cos:r -) / f(a) cos 2ada cos 2:r -| 



2 

71 



H / f(s^) cosoiada cosw.^ 



oder, was dasselbe ist, das Integral 



.'./Vw 



' . {x — a) 



. X — a 
sin 



da 



-7t 2 

sich, wenn n in's Unendliche wächst, dem Werthe f(x) unendlich an- 
nähert. 

Dirichlet stützt diesen Beweis auf die beiden Sätze: 

c 

1) Wenn < c < y , nähert sich C (p (/3) ^^^"^y^^^ dß mit wach- 
sendem n zuletzt unendlich dem Werth -^- 9^(0); 

c 

2) wenn <h <c^~, nähert sich j'cpiß) ^^^^^~^^- dß mit 

/> 
wachsendem n zuletzt unendlich dem Werth 0; 
vorausgesetzt, dass die Function g) (ß) zwischen den Grenzen dieser 
Integrale entweder immer abnimmt, ocjer immer zunimmt. 

Mit Hülfe dieser ^beiden Sätze lässt sich, wenn die Function f 
nicht unendlich oft vom Zunehmen zum Abnehmen oder vom Ab- 
nehmen zum Zunehmen übergeht, das Integral 



*) Dirichlet in Crelle's Journal. Bd. IV. pag. 158. Quoi qu'il en soit de 
cette premiere Observation, . . . ä mesure que n croit. 



durch eine trigonometrische Reihe. 223 



hj'fi'^) 



. 2n4- 1 . 
sm -' {x ~ a) 



. X — a. 

81 n — -^ 



offenbar in eine endliche Anzahl von Gliedern zerlegen, von denen 
eins*) gegen ^f{x + 0), ein »anderes gegen ^f(x — 0), die übrigen 
aber gegen convergiren, wenn n ins Unendliche wächst. 

Hieraus folgt, dass durch eine trigonometrische Reihe jede sich 
nach dem Intervall 2% periodisch wiederholende Function darstellbar 
ist, welche 

1) durchgehends eine Integration zulässt, 

2) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat und 

3) wo ihr Werth sich sprungweise ändert, den Mittel wertli zwi- 
schen den beiderseitigen Grenzwerthen annimmt. 

Eine Function, welche die ersten beiden Eigenschaften hat, die 
dritte aber nicht, kann durch eine trigonometrische Reihe offenbar 
nicht dargestellt werden; denn die trigonometrische Reihe, die sie 
ausser den ün Stetigkeiten darstellt, würde in den Unstetigkeitspunkten 
selbst von ihr abweichen. Ob und wann aber eine Function, welche 
die ersten beiden Bedingungen nicht erfüllt, durch eine trigonometrische 
Reihe darstellbar sei, bleibt durch diese Untersuchung unentschieden. 

Durch diese Arbeit Dirichlet's ward einer grossen Menge wich- 
tiger analytischer Untersuchungen eine feste Grundlage gegeben. Es 
war ihm gelungen, indem er den Punkt, wo Euler irrte, in volles 
Licht brachte, eine Frage zu erledigen, die so viele ausgezeichnete 
Mathematiker seit mehr als siebzig Jahren (seit dem Jahre 1753) be- 
schäftigt hatte. In der That für alle Fälle der Natur, um welche es 
sich allein handelte, war sie vollkommen erledigt; denn so gross auch 
unsere Unwissenheit darüber ist, wie sich die Kräfte und Zustände der 
Materie nach Ort und Zeit im Unendlichkleinen ändern, so können 
wir doch sicher annehmen, dass die Functionen, auf welche sich die 
Dirichlet'sche Untersuchung nicht erstreckt, in der Natur nicht vor- 
kommen. 

Dessenungeachtet scheinen diese vonDirichlet unerledigten Fälle 
aus einem zweifachen Grunde Beachtung zu verdienen. 



*) Es ist nicht schwer zu beweisen, dass der Werth einer Function /", welche 
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, stets, sowohl wenn der Argument- 
werth abnehmend, als wenn er zunehmend gleich .r wird, entweder festen Grenz- 
werthen f{x -}- 0) und f{x — 0) (nach Dirichlet's Bezeichnung in Dove's Reper- 
torium der Physik. Bd. 1. pag. 170) sich nähern, oder unendlich gross werden 
müsse. 



224 XII. Ueber die Daratellbarkeit einer Futiction 

Erstlich steht ^ wie Dirichlet selbst am Schlüsse seiner Abhand- 
lung bemerkt, dieser Gegenstand mit den Principien der Infinitesimal- 
rechnung in der engsten Verbindung und kann dazu dienen, diese 
Principien zu grösserer Klarheit und Bestimmtheit zu bringen. In 
dieser Beziehung hat die Behandlung desselben ein unmittelbares 
Interesse. 

Zweitens aber ist die Anwendbarkeit der Fourier 'sehen Reihen 
nicht auf physikalische Untersuchungen beschränkt; sie ist jetzt auch 
in einem Gebiete der reinen Mathematik, der Zahlentheorie, mit Er- 
folg angewandt, und hier scheinen gerade diejenigen Functionen, 
deren Darstellbarkeit durch eine trigonometrische Reihe Dirichlet 
nicht untersucht hat, von Wichtigkeit zu sein. 

Am Schlüsse seiner Abhandlung verspricht freihch Dirichlet, 
später auf diese Fälle zurückzukommen, aber dieses Versprechen ist 
bis jetzt unerfüllt geblieben. Auch die Arbeiten von Dirksen und 
Bessel über die Cosinus- und Sinusreihen leisten diese Ergänzung 
nicht; sie stehen vielmehr der Dirichlet'schen an Strenge und All- 
gemeinheit nach. Der mit ihr fast ganz gleichzeitige Aufsatz Dirks en's*) 
welcher offenbar ohne Kenntniss derselben geschrieben ist, schlägt 
zwar im Allgemeinen einen richtigen Weg ein, enthält aber im Ein- 
zelnen einige Ungenauigkeiten. Denn abgesehen davon, dass er in 
einem speciellen Falle**) für die Summe der Reihe ein falsches Re- 
sultat findet, stützt er sich in einer Nebenbetrachtung auf eine nur in 
besoiideren Fällen mögliche Reihenentwicklung***), so dass sein Be- 
weis nur für Functionen mit überall endlichen ersten Differential- 
quotienten vollständig ist. Besself) sucht den Dirichlet'schen Be- 
weis zu vereinfachen. Aber die Aenderungen in diesem Beweise ge- 
währen keine wesentliche Vereinfachung in den Schlüssen, sondern 
dienen höchstens dazu , ihn in geläufigere Begriffe zu kleiden , während 
seine Strenge und Allgemeinheit beträchtlich darunter leidet. 

Die Frage über die Darstellbarkeit einer Function durch eine tri- 
gonometrische Reihe ist also bis jetzt nur unter den beiden Voraus- 
setzungen entschieden, dass die Function durchgehends eine Integration 
zulässt und nicht unendlich viele Maxima und Minima hat. Wenn die 
letztere Voraussetzung nicht gemacht wird, so sind die beiden Integral- 
theoreme Dirichlet's zur Entscheidung der Frage unzulänglich; wenn 
aber die erstere wegfallt, so ist schon die Fourier'sche Coefficienten- 

*) Crelle's Journal. Bd. IV. p. 170. 
**) 1. c. Formel 22. 
***) 1. c. Art. 3. 

t) Schumacher. Astronomische Nachrichten. Nro. 374 (Bd. 16. p. 229). 



durch eine trigonometrische Reihe. 225 

bestimmung nicht anwendbar. Der im Folgenden, wo diese Frage 
ohne besondere Voraussetzungen über die Natur der Function unter- 
sucht werden soll, eingeschlagene Weg ist hierdurch, wie man sehen 
wird, bedingt; ein so directer Weg, wie der Dirichlet's, ist der Natur 
der Sache nach nicht mJiglich. , 



Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang 

seiner Gültigkeit. 

4. 

Die Unbestimmtheit, welche noch in einigen Fundamentalpunkten 
der Lehre von den bestimmten Integralen herrscht, nöthigt uns. 
Einiges voraufzuschicken über den Begriff eines bestimmten Integrals 
und den Umfang seiner (nlltigkeit. 

Also zuerst: Was hat man unter / f(.r^ de zu verstehen? 



Jm 



Um dieses festzusetzen, nehmen wir zwischen a und h der Grösse 
nach auf einander folgend, eine Reihe von W^erthen a^^, x.^, ..., Xn—i 
an und bezeichnen der Kürze wegen x^ — a durch d^ , x.^ -^ x^ durch 
d\j, . . ., 7> — x,i~i durch 8,^ und durch £ einen positiven ächten Bruch. 
Es wird alsdann der Werth der Summe 

S = ö, f(a + e, Ö,) + d, t\x, + 8, ^,) + 8, t\x, + e, ö,) + • • • 

+ Ö,i f {Xn-l + £« (5«) 

von der Wahl der Intervalle 8 und der Grössen £ abhängen. Hat sie 
nun die Eigenschaft, wie auch 8 und e gewählt werden mögen, sich 
einer festen Grenze A unendlich zu nähern, sobald sämmtliche 8 un- 



endlich klein werden, so lieisst dieser Werth 



j '/••.'■) <i'- 



Hat sie diese Eigenschaft nicht, so hat / /(./•) dx keine l^eden- 

a 

tung. Man hat jedoch in mehreren Fällen versucht, dieseui Zeichen 
auch dann eine Bedeutung beizulegen, und unter diesen Erweiterungen 
des Begriffs eines bestimmten Integrals ist eine von allen Mathema- 
tikern angenommen. Wenn nämlich die Function f {x) bei Annäherung 
des Arguments an einen einzelnen Werth c in dem Intervalle («, li) 
unendlich gross wird, so kann olfenbar die Summe 6', welchen Grad 
von Kleinheit man auch den 8 vorschreiben möge, jeden beliebigen 

Bt£MANN's geKuniiiioIte inatheiiiatisclit' Werke. I. 15 



226 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

Werth erhalten; sie hat also keinen Grenz wertli^ und j f(x)dx würde 

a 

nach dem Obigen keine Bedeutung haben. Wenn aber alsdann 
j'fQ,^dx+J'f{x)dx 

a c -f- a.2 

sich, wenn «j und cc.^ unendlich klein werden, einer festen Grenze 
nähert, so versteht man unter / f(x) clx diesen GreuzAverth. 



J fi^) 



Andere Festsetzungen von Cauchy über den Begriff des bestimm- 
ten Integrales in den Fällen, wo es dem Grundbegriffe nach ein sol- 
ches nicht giebt, mögen für einzelne Klassen von Untersuchungen 
zweckmässig sein; sie sind indess nicht allgemein eingeführt und dazu, 
schon wegen ihrer grossen Willkürlichkeit, wohl kaum geeignet. 



Untersuchen wir jetzt zweitens den Umfang der Gültigkeit dieses 
Begriffs oder die Frage: in welchen Fällen lässt eine Function eine 
Integration zu und in welchen nicht? 

Wir betrachten zunächst den Integralbegriff* im engern Sinne, 
d. h. wir setzen voraus, dass die Summe /S, wenn sämmtliche d un- 
endlich klein werden, convergirt. Bezeichnen wir also die grösste 
Schwankung der Function zwischen a und x^^ d. h. den Unterschied 
ihres grössten und kleinsten Werthes in diesem Intervalle, durch Dj, 
zwischen Xj^ und X2 durch D2 . . . . , zwischen Xn~i und h durch D„, 
so muss 

mit den Grössen ö unendlich klein werden. Wir nehmen ferner an, 
dass, so lange sämmtliche d kleiner als d bleiben, der grösste Werth, 
den diese Summe erhalten kann, A sei; A wird alsdann eine Function 
von d sein, welche mit d immer abnimmt und mit dieser Grösse un- 
endlich klein wird. Ist nun die Gesammtgrösse der Intervalle, in 
welchen die Schwankungen grösser als 6 sind, == s, so wird der Bei- 
trag dieser Intervalle zur Summe ö^D^ -\- ö^J).^ -\- ' ' ' ~{- ^nJhi offen- 
bar > (75. Man hat daher 

^s < djA + 62A H \- 8„T)n 5 A, folglich 5 ^ -^- . 

kami nun, wenn 6 gegeben ist, immer durch geeignete Wahl von 



durch eine trigonometrische Reihe. 227 

d beliebig klein gemacht werden; dasselbe gilt daher von 8, und es 
ergiebt sich also: 

Damit die Summe /S', wenn sämmtliche ö unendlich klein werden, 
convergirt, ist ausser der Endlichkeit der Function f{:r) noch erfor- 
derlich, dass die Gesammtgrösse der Intervalle, in welchen die 
Schwankungen > ö sind, was auch (5 sei, durch geeignete Wahl von 
d beliebig klein gemacht werden kann. 

Dieser Satz lässt sich auch umkehren: 

Wenn die Function f{x) immer endlich ist, und bei unendlichem 
Abnehmen sämmtlicher Grössen 8 die Gesammtgrösse s der Intervalle, 
in welchen die Schwankungen der Function fix) grösser, als eine ge- 
gebene Grösse (?, sind, stets zuletzt unendlich klein wird, so conver- 
ffirt die Summe S, wenn sämmtliche Ö unendlich klein werden. 

Denn diejenigen Intervalle, in welchen die Schwankungen > a 
sind, liefern zur Summe ö^]\ + d\,/>2 + • • • + ^nThi einen Beitrag, 
kleiner als 5, multiplicirt in die grösste Schwankung der Function 
zwischen a und h, welche (n. V.) endlich ist; die übrigen Intervalle 
einen Beitrag < (7 (Z> — a). Offenbar kann man nun erst 6 beliebig 
klein annehmen und dann immer noch die Grösse der Intervalle (n. V.) 
80 bestimmen, dass auch s beliebig klein wird, wodurch der Summe 
(3,7), + • • • + 8nT>n jede beliebige Kleinheit gegeben, und folglich der 
AVorth der Summe S in beliebig enge Grenzen eingeschlossen wer- 
den kann. 

Wir haben also Bedingungen gefunden, welche nothwendig und 
hinreichend sind, damit die Summe S bei unendlichem Abnehmen der 
Grössen ö convergire und also im engern Sinne von einem Integrale 
der Function f{x) zwischen a und h die Rede sein könne. 

Wird nun der Integralbegriff wie oben erweitert, so ist oftenbar, 
damit die Integration durchgehends möglich sei, die letzte der beiden 
gefundenen Bedingungen auch dann noch nothwendig; an die Stelle 
der Bedingung, dass die Function immer endlich sei, aber tritt die 
Bedingung, dass die Function nur bei Annäherung des Arguments an 
einzelne Werthe unendlich werde, und dass sich ein bestimmter 
Grenzwerth ergebe, wenn die Grenzen der Integration diesen Werthen 
unendlich genähert werden. 

0. 

Nachdem wir die Bedingungen für die Möglichkeit eines bestimm- 
ten Integrals im Allgemeinen, d. h. ohne besondere Voraussetzungen 
über die Natur der zu integrirenden Function, untersucht haben, soll 
nun diese Untersuchung in besonderen Fällen theils angewandt, theils 

16* 



228 ^TI- Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

weiter ausgeführt werden, und zwar zunächst für die Functionen, 
welche zwischen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft un- 
stetig sind. 

Da diese Functionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut 
sein, von einem bestimmten Beispiele auszugehen. Man bezeichne der 
Kürze wiegen durch (x) den Ueberschuss von r?^ über die nächste ganze 
Zahl, oder, wenn ./■ zwischen zweien in der Mitte liegt und diese Be- 
stimmung zweideutig wird, den Mittelwerth aus den beiden Werth(Mi 
-J und — -^, also die Null, ferner durch n eine ganze, durch j) eine 
ungerade Zahl und bilde alsdann die Reihe 

l,CO 

so convergirt, wie leicht zu sehen, diese Reihe für jeden Werth von X] 
ihr Werth nähert sich, sowohl, wenn der Argumentwerth stetig al)- 
nehmend, als wenn er stetig zunehmend gleich x wird, stets einem 

festen Grenzwerth, und zwar ist, wenn x = ~- (wo Py n relative Prim- 
zahlen) 

f(. + 0) = fU) _ -L (1 + 1 + ^, + . . .) = m - '^^ 

/■(x - 0) = a.) + ^^ (1 + -t + ,v. + •■•)= /■(•'■) + ^, 

sonst aber überall f(x + 0) = f(x), f(x — 0) = f{x). 

Diese Function ist also für jeden rationalen Werth von x, der in 
den kleinsten Zahlen ausgedrückt ein Bruch mit geradem Nenner ist, 
unstetig, also zwischen je zwei noch so engen Grenzen unendlich oft, 
so jedoch, dass die Zahl der Sprünge, welche grösser als eine ge- 
gebene Grösse sind, immer endlich ist. Sie lässt durchgehends eine 
Integration zu. In der That genügen hierzu neben ihrer Endlichkeit 
die beiden Eigenschaften, dass sie für jeden Werth von x beiderseits 
einen Grenzwerth f(x -\- 0) und f(x — 0) hat, und dass die Zahl der 
Sprünge, welche grösser oder gleich einer gegebenen Grösse a sind, 
stets endlich ist. Denn wenden wir unsere obige Untersuchung an, 
so lässt sich offenbar in Folge dieser beiden Umstände d stets so klein 
annehmen, dass in sä'mmtlichen Intervallen, welche diese Sprünge nicht 
enthalten, die Schwankungen kleiner als ö sind, und dass* die Ge- 
sammtgrösse der Intervalle, welche diese Sprünge enthalten, beliebig 
klein wird. 

Es verdient bemerkt zu werden, dass die Functionen, welche nicht 
unendlich viele Maxima und Minima haben (zu welchen übrigens die 
eben betrachtete nicht gehört), wo sie nicht unendlich werden, stets 



durch eine trigonometrische Reihe. 229 

diese beiden Eigenschaften besitzen und daher allenthalben, wo sie 
nicht unendlich werden, eine Integration zulassen, wie sich auch leicht 
direct zeigen lässt. 

Um jetzt den Fall, wo die zu integrirende Function f(x) für einen 
einzelnen Werth unendlich gross wird, näher in Betracht zu ziehen, 
nehmen wir an, dass dies für x = stattfinde, so dass bei abnehmen- 
dem positiven x ihr Werth zuletzt über jede gegebene Grenze wächst. 

Es lässt sich dann leicht zeigen, dass xf{x) bei abnehmendem x 
von einer endlichen Grenze a an, nicht fortwährend grösser als eine 
endliche Grösse c bleiben könne. Denn dann wäre 

a a 

(IX 



I fix) (Ix > c I ~ 



X 



also grösser als c (log — — log —\ , welche Grösse mit abnehmendem 

X zuletzt in's Unendliche wächst. Es muss also xf{x)y wenn diese 
Function nicht in der Nähe von x = unendlich viele Maxima und 
^Minima hat, nothwendig mit x unendlich klein werden, damit f(x) 
einer Integration fähioj sein könne. Wenn andererseits 

f(^\ ^a _ f(^)dx{l-Ci) 

jyx)x — a{xi-") 

bei einem Werth von « < 1 mit x unendlich klein wird, so ist klar, 

dass das Integral bei unendlichem Abnehmen der unteren Grenze con- 

vergirt. 

Ebenso findet man, dass im Falle der Convergenz des Integrals 

die Functionen 

../ N 1 1 f{x)dx /./ \ 1 1 1 1 1 f(x)dx 

fU)x\og- = —^^ ~, f{x)x\og- log log -^ = - -— - . . ., 

— 6^ log log- — dl0gl0gl0g- 
/./ \ 1 1 1 1 l 1 „ 1 1 1 « 1 f'{x)dx 
/ (x) X log ^ log log - • • • log«-^ - log" - = - 

-.nog^+^i 

nicht bei abnehmendem x von einer endlichen Grenze an fortwährend 
grösser als eine endliche Grösse bleiben können, und also, wenn sie 
nicht unendlich viele Maxima und Minima haben, mit x unendlich 
klein werden müssen; dass dagegen das Integral ff(x) dx bei un- 
endlichem Abnehmen der unteren Grenze convergire, sobald 

A«)...«i.-..r-.i(..ri)--^aijii^t 

für « > 1 mit X unendlich klein wird. 



230 ^^I- Uebcr die Darstellbarkeit einer Function 

Hat aber die Function f{x) unendlich viele Maxima und Minima, 
so lässt sich über die Ordnung ihres Unendlichwerdens nichts bestim- 
men. In der That, nehmen wir an, die Function sei ihrem absoluten 
AVerthe nach, wovon die Ordnung des Unendlichwerdens allein ab- 
hängt, gegeben, so wird man immer durch geeignete Bestimmung des 
Zeichens bewirken können, dass das Integral ff\x) dx bei unendlichem 
Abnehmen der unteren Grenze convergire. Als Beispiel einer solchen 
Function, welche unendlich wird und zwar so, dass ihre Ordnung (die 

Ordnung von ^ als Einheit genommen) unendlich gross ist, mag die 



Function 



ixQ,o^e^\ 



1 

= COS G -\ e sm e 

I /VI 



dx ^ X 

dienen. 

Das möge über diesen im Grunde in ein anderes Gebiet gehörigen 
Gegenstand genügen; wir gehen jetzt an unsere eigentliche Aufgabe, 
eine allgemeine Untersuchung über die Darstellbarkeit einer Function 
durch eine trio^onometrische Reihe. 



Untersuchung der Darstellbarkeit einer Function durch eine trigo- 
nometrische Reihe ohne besondere Voraussetzungen über die Natur 

der Function. 

7. 

Die bisherigen Arbeiten über diesen Gegenstand hatten den Zweck, 
die Fourier'sche Reihe für die in der Natur vorkommenden Fälle zu 
beweisen; es konnte daher der Beweis für eine ganz willkürlich ange- 
nommene Function begonnen, und später der Gang der Function behuf 
des Beweises willkürlichen Beschränkungen unterworfen werden, wenn 
sie nur jenen Zweck nicht beeinträchtigten. Für unsern Zweck darf 
derselbe nur den zur Darstellbarkeit der Function nothwendigen Be- 
dingungen unterworfen werden; es müssen daher zunächst zur Dar- 
stellbarkeit nothwendige Bedingungen aufgesucht und aus diesen dann 
zur Darstellbarkeit hinreichende ausgewählt werden. Während also 
die bisherigen Arbeiten zeigten: wenn eine Function diese und jene 
Eigenschaften hat, so ist sie durch die Fourier^sche Reihe darstell- 
bar; müssen wir von der umgekehrten Frage ausgehen: Wenn eine 
Function durch eine trigonometrische Reihe darstellbar ist, was folgt 
daraus über ihren Gang, über die Aenderung ihres Werthes bei stetiger 
Aenderung des Arguments? 



durch eine trigonometrische Reihe. 231 

Demnach betrachten wir die Reihe 

a^ sin X + a.^ sin 2^ + * * * 
ih^ -\- hl cos X -^ 1)2 cos 2x + • • • 
oder, wenn wir der Kürze wegen 
^ ?>^ = Aqj a^ sin^; + hi cos x =f= A^^ a.^ sin 2x + h^ cos 2x == Ä^, . . . 

setzen, die Reihe 

A, + A, + A, + --- 

als gegeben. Wir bezeichnen diesen Ausdruck durch il und seinen 
Werth durch fix)^ so dass diese Function nur für diejenigen Werthe 
von x vorhanden ist, wo die Reihe convergirt. 

Zur Convergenz einer Reihe ist nothwendig, dass ihre Glieder zu- 
letzt unendlich klein werden. Wenn die Coefficienten a«, &„ mit 
wachsendem n in's Unendliche abnehmen, so werden die Glieder der 
Reihe 5i für jeden Werth von x zuletzt unendlich klein; andernfalls 
kann dies nur für besondere Werthe von x stattfinden. Es ist nöthig, 
beide Fälle getrennt zu behandeln. 

8. 

Wir setzen also zunächst voraus, dass die Glieder der Reihe ^ 
für jeden Werth von x zuletzt unendlich klein werden. 
Unter dieser Voraussetzung convergirt die Reihe 

C + 6" X + A, f - ^, - 4^- - -^i . . . = F {x) , 

welche man aus ^ durch zweimalige Integration jedes (TÜedes nach x 
erhält, für jeden Werth von x. Ihr Werth F{x) ändert sich mit x 
stetig, und diese Function F von x lässt folglich allenthalben eine 
Integration zu. 

Um Beides — die Convergenz der Reihe und die Stetigkeit der 
Fimction Fix) — einzusehen, bezeichne man die Summe der Glieder 

bis — ^-^ einschliesslich durch N, den Rest der Reihe, d. h. die Reihe 

__ An-\-l Än-{-2 

diircii 11 und den grössten Werth von Ä,a für m > n durch e. Als- 
dann bleibt der Werth von 1\, wie weit man diese Reihe fortsetzen 
möge, offenbar abgesehen vom Zeichen 

< ^ \{n -f 1)^ + (n + 2)*-^ "^ ) ^ "^ 

und kann also in beliebig kleine Grenzen eingeschlossen werden, wenn 
man ri nur hinreichend gross annimmt; folglich convergirt die Reihe. 



232 ^11. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

Ferner ist die Function F{x) stetig; d. h. ihrer Aenderung kann jede 
Kleinheit gegeben werden^ wenn man der entsprechenden Aenderung 
von X eine hinreichende Kleinheit vorschreibt. Denn die Aenderung 
von F{x) setzt sich zusammen aus der Aenderung von 11 und von iV; 
offenbar kann man nun erst n so gross annehmen, dass l{j was auch 
X sei, und folglich auch die Aenderung von U für jede Aenderung 
von X beliebig klein wird, und dann die Aenderung von x so klein 
annehmen, dass auch die Aenderung von N beliebig klein wird. 

Es wird gut sein, einige Sätze über diese Function F{oi^y deren 
Beweise den Faden der Untersuchung unterbrechen würden, vorauf- 
zuschicken. 

Lehrsatz 1. Falls die Reihe Sl convergirt, convergirt 
F{x 4- « -f (3) — F{x -\. a — ß)~ F(x - « -f- ß) -f- F(x - g - ß) 

4.aß 

wenn a und ß so unendlich klein werden, dass ihr Verhältniss endlich 
bleibt, gegen denselben Werth, wie die Reihe. 
In der That wird 

F{x ^ a-\- ß) - F(x -{- K — ß) — F{x — a -\- ß) + F {x — a — ß) 











4«ß 












■Ä, 


, ^ sin n; sin ß 


+ Ä, 


sin 2 
2« 


a 1 


äin2|3 
2(3 


+ ^l3- 


in3( 


X sin3^ . 




3« 


3ß ' 


oder. 


um 


den einfacheren 


Fall, 


WO 


ß 


= «, 


zuerst 


ZU 


erledigen, 


Fix-i- 


•2«) 


-2F{x)-\-Fix- 


-2 a) _ 


= A. 


4 


- A. 1 


^sin a\ 2 


4- . 


A, {^^ + 



4o:o: " ' ^ \^ « y ' ^ \ 2k J ' 

Ist die unendliche Reihe 

A, + A, + A, + -.-=fix), 
die Reihe 

A + A-\ h -^^«-1 = /'W + ^ri, 

so muss sich für eine beliebig gegebene Grösse ö ein Werth m von n 
angeben lassen, so dass, wenn n^ m, f „ < d wird. Nehmen wir nun 
« so klein an, dass ma <.%, setzen wir ferner mittelst der Substitution 

1, OO 

und theilen wir diese letztere unendliche Reihe in drei Theile, indem wir 

1) die Glieder vom Index 1 bis m einschliesslich, 

2) vom Index m -\- 1 bis zur grössten unter — liegenden ganzen 
Zahl, welche s sei, 

3) von s + 1 ^is unendlich; 



durch eine trigonometrische Reihe. ^33 

zusammenfassen, so besteht der erste Theil aus einer endlichen Anzahl 
stetisx sich ändernder (llieder und kann daher seinem Grenzwerth 
beliebig genilhe\t werden, wenn man « hinreichend klein werden lässt; 
der zweite Theil ist, da der Factor von £n beständig ])Ositiv ist, oö'en- 
bar abgesehen vom Zeichen 

^ ( /siri''"^\'^ /sin.Sfv\-' 

|\ma/ \ sa ) 

um endlich den dritten Theil in Grenzen einzuschliessen, zerlege man 
das allijfemeine Glied in 



und 



( /sin (n — 1) a-y^ /«in (n — 1) a\^| 
'^ \ [-(n^-ija ) ~ \ na ) j 



{ /vsin(H — l)of\2 /sin«fv\2l 



sin (2n — 1)« «in cc 



{na) 
SO leuchtet ein, dass es 



|(>i — ly^ aa nnaai ' nna 

und folglich die Summe von n = s -{- 1 bis n = oo 

welcher Werth für ein unendlich kleines a in 
ö \- 1 \ über<i:eht. 

1 7l7t 7^ j 

Die Reihe 



^ f/sin(n — l)ff\2 /sinway 

^ ^" \\{n- l)a ) "" \na~) 



nähert sich daher mit abnehmendem a einem Grenzwerth, der nicht 
grösser als 

I TT 717t 

sein kann, also Null sein muss, und folglich convergirt 
F{x-\-2a)-- 2F{x)-\-Fix—2a) 

welches 

^v N I STT f /sin(w — 1)«\''^ /sinna\2^ 

mit in's Unendliche abnehmendem « gegen f(j:), wodurch unser Satz 

für den Fall ß = a bewiesen ist. 

Um ihn allgemein zu beweisen, sei 
F(,v + « + ^) - 21'\x) + F(x-ct-ß) = (« + ßy (fix) + <J,) 
F{x + a-ji)- 2F{.t^ + F(x -« + /?) = (« - ßY (fix) + d,), 

woraus 



234 XII. lieber die Darstellbai'keit einer Function 

F{x + « + /3) — Fix + a — ß)~ F{x — « + /3) + F{x — a — ß) 
= 4.aß fOv) + (« + ßy ö, - (a - ßY d,. 

In Folge des eben Bewiesenen werden nun d^ und d., unendlich klein, 
sobald ß und ß unendlich klein werden; es wird also auch 

unendlich klein, weim dabei die Coeflicienten von d\ und S^ nicht un- 
endlich gross werden, was nicht stattfindet, wenn zugleich endlich 
bleibt; und folglich convergirt alsdann 

F{x-^ ci -j-J) - F{x -\- ci- ß ) - F{ x — (^ -f |3) -f F{x — g - ß) 

~4aß~ 
gegen f(x), w. z. b. w. 

Lehrsatz 2. 

Fjx-i- 2<^) + F{x — 2a) — 2F(x) 
2ci ' ~ 

wird stets mit a unendlich klein. 

Um dieses zu beweisen, theile man die Reihe 

2T 4 /sin na\^ 

in drei Gruppen, von Avelchen die erste alle Glieder bis zu einem festen 
Index m enthält, von dem an An immer kleiner als £ bleibt, die zweite 
alle folgenden Glieder, für welche n«< als eine feste Grösse c ist, die 
* dritte den Rest der Reihe umfasst. Es ist dann leicht zu sehen, dass, 
wenn cc in's Unendliche abnimmt, die Summe der ersten endlichen Gruppe 

endlich bleibt, d. h. < eine feste Grösse Ö: die der zweiten < £ — , die 

der dritten 



Folglich bleibt 



y I nnaa ccc 

c< na , 



^:(iHi_!^_Z|L=-Jj»I^J'Z_W , welches = 2« ^A 



< 2 (e« + 6(0 + 1)), 



(sin no;\2 
na J ' 



woraus der z. b. Satz folgt. 

Lehrsatz 3. Bezeichnet man durch h und c zwei beliebige Con- 
stanten, die grössere durch c, und durch A (x) eine Function, welche 
nebst ihrem ersten Dilferentialquotienten zwischen h und c immer 
stetig ist und an den Grenzen gleich Null wird, und von Avelcher der 
zweite Differentialquotient nicht unendlich viele Maxima und Minima 
hat, so wird das Integral 



durch eine trigonometriache Reihe. 235 



c 

ft ^it / F{x) cos ft {x — a) A (x) dx , 



wenn ft in's Unendliche wächst, zuletzt kleiner als jede gegebene Grösse. 
Setzt man für FU^ seinen Ausdruck durch die Reihe, so erhält 
man für 

c 

^^ I F{x) cos ft {x — a) l (x) dx 

h 

die Reihe (0) 

»"f^ / ( ^^ + ^' '^ + ^"^ü "t) cos/i (j; — a) A {x) dx 

Nun lässt sich Ä,i cos ft (^ — d) offenbar als ein Aggregat von 
cos (^a + n) (x — d), sin {^ + n) (x — a), cos (ß — it) (x — a), sin (ß — n) (x — d) 
ausdrücken, und bezeichnet man in demselben die Summe der beiden 
ersten Glieder durch Bft^n, die Summe der beiden letzten Glieder durch 

Bft—n, SO hat man cos u (x — a) An = ^5,«+« + J^n-nj 

'^!P = -(^ + nf n:..+.., ^1^ = - (<^ - nf B,_^ , 

und es werden l/«-|-n und i>\,_„ mit wachsendem n, Avas auch x sei, 
zuletzt unendlich klein. 

Das allgemeine Glied der Reihe ^ 

c 

— — 1 Ä,i cos /LI ix — rt) A(,r) dx 
nnj 

b 

wird daher 

= ?i!__ r ^13^ Ur) dx 4- ^' /* ^^!^^-^ Ar:r^ rf.r 

n'^ (^ _]_ ,,)2 J a^2 ^i.^) ii'^ -f- ,,. (^ _ ^y J ^^. ^W rto; 

f> b 

oder durch zweimalige partielle Integration, indem man zuerst A(^'), 

dann A'(x) als constant betrachtet, 

b b 

da A(:r) und X\x) und daher auch die aus dem Integralzeichen 
tretenden Glieder an den Grenzen = werden. 

c 

Man überzeugt sich nun leicht, dass / Bf,±„ k'\x) dx, wenn ^ 



236 ^^^- Ueber die Daistellbarkeit einer Function 

in's Unendliche wächst, was auch n sei, unendlich klein wird; denn 
dieser Ausdruck ist gleich einem Aggregat der Integrale 

I cos (ft + ■'OC'^ ~ ^) ^"(^^ ^^*^'? / ^"1 (^ i 'OC-^' ~" ^0 ^"(^) (^-^ 

b b 

und wenn ft + n unendlich gross wird, so werden diese Integrale, 
wenn aber nicht, w^eil dann n unendlich gross wird, ihre Coefficienten 
in diesem Ausdrucke unendlich klein. 

Zum Beweise unseres Satzes genügt es daher offenbar, wenn von 
der Summe 

V 



X ) (ju, — n)"^ n- 

über alle ganzen Werthe von n ausgedehnt, welche den Bedingungen 
n < — c, c' <n < ^ — c'\ ^ -{- c^^' <n genügen, für irgend welche 
positive Werthe der Grössen c gezeigt wird, dass sie, wemi ^ unend- 
lich gross wird, endlich bleibt. Denn abgesehen von den Gliedern, für 
welche — c <Cn <i c" ^ ^ — c'" < n < ft + <^^^, welche offenbar un- 
endlich klein werden und .von endlicher Anzahl sind, bleibt die Reihe 
offenbar kleiner als diese Summe, multiplicirt mit dem grössten Werthe 



von 

ö 



f B^i±ri^" {^) d'JCj welcher unendlich klein wird. 

Nun ist aber, wenn die Grössen c > 1 sind, die Summe 



in den obigen Grenzen, kleiner als 

1 r dx 

^ J ("i — x)Kx'^ ' 

ausgedehnt von 

— oo bis — — - , bis 1 , 1 H bis c»; 

denn zerlegt man das ganze Intervall von — oo bis -(" ^^ von Null 

anfangend in Intervalle von der Grösse — , und ersetzt man überall die 

Function unter dem Integralzeichen durch den kleinsten Werth in jedem 
Intervall, so erhält man, da diese Function zwischen den Integrations- 
grenzen nirgends ein Maximum hat, sämmtliche Glieder der Reihe. 
Führt man die Integration aus, so erhält man 

i/W^' = J (- i^ + r^l^ + 21og . - 21og (1 - . . ) + const. 



durch eine trigonometrische Reihe. 237 

und folglich zwischen den obigen Grenzen einen W<'ri]i. «h'r mit ^i 
nicht unendlich gross wird. 

9. 

Mit Ilülf«^ dieser Sätze lässt sich über die DarstellbarTvcit einer 
Function durch eine trigononretrische Keihe, deren Glieder für jeden 
Argumentwerth zuletzt unendlich klein werden, Folgendes feststellen: 

I. Wenn eine nach dem Tntervall 27t periodisch sich wieder- 
holende Function f(x) durch eine trigonometrische lleihe, deren Glieder 
für jeden Werth von x zuletzt unendlich klein werden, darstellbar sein 
soll, so niuss es eine stetige Function F{;r) geben, von welcher f(x) 
so abhängt, dass 

?L(^_f _± ß) - F(x -\- a - ß ) — F{x - « -{- p) -{- F{x - a - ß) 

~\iaß r f 

wenn a und ß unendlich klein werden und diibef ihr VerhältnisH end- 
lich bleibt, gegen f(x) convergirt. 
Es muss ferner 

c 

fA ^ / F(x) cos ^ (x — a) X (.1") dXy 

b 

wenn X (x) und A' (x) an den Grenzen des Integrals = und zwischen 
denselben immer stetig sind, und A" (r) nicht unendlich viele Maxinia 
und Minima hat, mit wachsendem ^ zuletzt unendlich klein- werden. 

IL Wenn umgekehrt diese beiden Bedingungen erfüllt sind, so 
giebt es eine trigonometrische Reihe, in welcher die Coefficienten zu- 
letzt unendlich klein werden, und welche überall, wo sie convergirt, 
die Function darstellt. 

Denn bestimmt man die Grössen C, Ä^ so, dass 

eine nach dem Intervall 27t periodisch wiederkehrende Function ist 
und entwickelt diese nach Fourier's Methode in die trigonometrische 
Reihe 



p A A Ai 



indem man 



S-J'(F(t)-C't-A„'iyu = C 

— TT 



An 



238 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

setzt, so muss (n. Y.) 

n 

A, = - ""j- /Y^(0 - ^'^ — A y) cos^^ {x - t)dt 

Tt 

mit wachsendem n zuletzt uiiendlich klein werden-, woraus nach Satz 1 
des vorigen Art. folgt, dass die Reihe 

A + -1. + ^2 + • • • 

überall, wo sie convergirt, gegen f(x) convergirt.(^) 

III. Es sei h<x<iCj und git) eine solche Function, dass q(J) 
und Q{f) für t = h und i = c den Werth haben und zwischen diesen 
AV^erthen stetig sich ändern, ^"(0 nicht unendlich viele Maxima und 
Minima hat, und dass ferner für t = x Q(t) = 1, Q\t) = 0, Q\t) = 0, 
Q"'(t) und Q^^\t) aber endlich und stetig sind; so wird der Unterschied 
zwischen der Reihe 

A, + A, + --- + A„ 
und dem Integral 

sin -^-^— (•'» — t) 
ää 

c . {X — t) 

Sin 



hj^^^) in-^ P»''^ 



2 
h 



mit wachsendem n zuletzt unendlich klein. Die Reihe 

A,^A, + A,-^--- 
wird daher convergiren oder nicht convergiren je nachdem 



sm -^ {x — t) 



dd 



X — t 
sm 



1 r ^^^ "2~ ~ 



2 



sich mit wachsendem n zuletzt einer festen Grenze nähert oder dies 
nicht stattfindet. 

In der That wird 

n 

A, + Ä, + '^'A,,= l f {F(t)- C't -- A,*-Pj ^ -nn cosn{x-t)df, 

oder, da 

sm — — ^ — (x - t) 
dd ^ 



2 X/ — nnc.o^n{x — t) = 2 x, 



. X — t 

sin — 
d^ cos 71 {x — t) 2 



dt' dP 

l,n \,n 

ist. 



durch eine trigonometrische Reihe. 239 



• 2n -f 1 
sin i^.c — t ) 



dd 



X — t 
Bin 



\-„j{i^(i-) - Vi - ^„ ;0 ^-^ äu 



Nun wird aber nach Satz W dös vorij^en Art. 



• 2n + 1 , 
sin -! — ix — t) 



dd 



X 

sin 



_1. j'(j.(0 _ C't - Ä„ '{) -^.-^ A(0 ,U 

— n 

bei unendlichem Zunehmen von n unendlich klein, wenn l(f) nebst 
ihrem ersten Differentialquotienten stetig ist^ ^"(0 nicht unendlich viele 
Maxima und Minima hat, und für t = x X(t) = ^^ k\t) = 0, k"[t) == 0, 
k"\t) und k""{t) aber endlich und stetig sind.(-) 

Setzt man hierin A{f) ausserhalb der Grenzen ?>, c gleich 1 und 
zwischen diesen Grenzen == 1 — (>(0; ^^^ offenbar verstattet ist, so 
folgt, dass die Differenz zwischen der Reihe A^ -\- • • - -\- An und dem 
Integral 

sm -^ {x — t) 



dd 



X — t 
sin 



1 /* / i t\ — — ~~ 



2 

Iß 



mit wachsendem w zuletzt unendh'ch klein wir<l. Mail il])erzeugt sich 
aber leicht durch partielle Integration, dass 



sin -^ {X — t) 



dd 



X — t 
sin 



\j {'''* + A ^)- at-^ 9(t)dt. 



2 

h 

wenn n unendlich gross wird, gegen Aq convergirt, wodurch man 
obigen Satz erhält. 

10. 

Aus dieser Untersuchung hat sich also ergeben, dass, wenn die 
Coefficienten der Reihe ii zuletzt unendlich klein werden, dann die 
Oonvergenz der Reihe für einen bestimmten Werth von x nur abhängt 
von dem Verhalten der Function /'(a) in unmittelbarer Nähe dieses 
Wertlies. 

Ob nun die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, 



240 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

wird in vielen Fällen nicht aus ihrem Ausdrucke durch bestimmte 
Integrale, sondern auf anderm Wege entschieden werden müssen. Es 
verdient indess ein Fall hervorgehohen zu werden, wo sich dies un- 
mittelbar aus der Natur der Function entscheiden lässt, wenn nämlicli 
die Function /'(.r) durchgehends endlich bleibt uml eine Integration 
zu lässt. 

In diesem FaUe muss, wenn man das ganze Tntervall von — n 
bis Tt der Reihe nach in Stücke von der (Irösse 

dl, (3,, ().j, .. . 
zerlegt, und durch D^ die grösste Schwaidvung der Function im ersien, 
durch 71, im zweiten, u. s. \\, bezeichnet, 

^lA + ^i^t + ^J\ ^ — 
unendlich klein Averden, so bald sämmtliche () unendlich klein werden. 

Tl 

Zerlegt man aher das Integral //"(./) sin y? (.r — rr) (/./', in welcher 

— n 

Form von dem Factor — ab^^esehen die Coefficienten der Reihe ent- 

rt + 2 TT 

halten sind, oder w^as dasselbe ist^ / fU) sinn (x — d) dx von x == a 

a 

anfangend in Integrale vom Umfange — , so liefert jedes derselben zur 

2 
Summe einen Beitrag kleiner als — , multiplicirt mit der grössten 

Schwankung in seinem Intervall, und ihre Summe ist also kleiner als 

2 7C 

eine Griisse, welche n. V. mit — unendlich klein wan'den muss. 
In dtjr That: diese Integrale haben die Form 



j 



n 

fix) sin n{x — a) dx. 



a-\ 'in 



Der Sinus wird in der ersten Hälfte positiv, in der zweiten negativ. 
Bezeichnet man also den grössten Werth von fix) in dem Intervall 
des Integrals durch M, den kleinsten durch 7n, so ist einleuchtend, 
dass man das Integral vergrössert, wenn man in der ersten Hälfte 
f{x) durch M, in der zweiten durch m ersetzt, dass man aber das 
Integral verkleinert, wenn man in der ersten Hälfte /*(,/) durch m und 
in der zweiten durch M ersetzt. Im ersteren Falle aber erhält man 

2 ,,^ ..X . . , , , 2 

n 



den Werth ;^ (71/ — m), im letzteren ^- {m — M). Es ist daher dies 



durch eine trigonometrische Reihe. 241 

Iiitef^ral abjü^esehen vom Zeichen kleiner als " { M — t)i) und das 
Integral 



a-\-2n 



j fix) sin n (x — a) dx 



kleiner als 



wenn man durch M, den grössten^ durch m^ den kleinsten Werth von 
fix) im 5ten Intervall bezeichnet; diese Summe aber muss, wenn f(x) 
einer Integration fähig ist, unendlich klein werden, sobald n unendlich 

2 Ä 

gross und also der Umfang der Intervalle — unendlich klein wird. 

In dem vorausgesetzten Falle werden daher die Coefficienten der 
Reihe unendlich klein. 



11. 

Es bleibt nun noch der Fall zu untersuchen, wo die Glieder der 
Reihe ü für den Argumentwerth x zuletzt unendlich klein werden, 
ohne dass dies für jeden Argumentwerth stattfindet. Dieser Fall lässt 
sich auf den vorigen zurückführen. 

Wenn man nämlich in den Reihen für den Argumentwerth ^- -j~ ^ 
und ./' — t die Glieder gleichen Ranges addirt, so erhält man die Reilie 

2A^ + 2A, cos f + 2 A, cos 2t -\ , 

in welcher die Glieder für jeden Werth von t zuletzt unendlich klein 
werden und auf welche also die vorige Untersuchung angewandt wer- 
den kann. 

Bezeichnet man zu diesem Ende den Werth der unendlichen Reihe 

C + C X + A, .,- + A, ^^ -A-^ A — ^-^ 



4 



K\ 



durch G(t), so dass - ' ^■' t A±__LA^';^ überall, wo die Reihen für 

F(x + t) und F(x — t) convergiren, = Git) ist, so ergiebt sich 
Folgendes: 

I. Wenn die Glieder der Reihe Sl für den Argumentwerth x zu- 
letzt unendlich klein werden, so muss 



c 

^^ fGit) co8^{t — a)k(t)dt, 
wenn A eine Function wie oben — Art. 9 — bezeichnet, mit wachsen- 

Biehann's gesammelte m-ithematische Werke. I. 16 



242 XTT. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

dem ^ zuletzt unendlich klein werden. Der Werth dieses Integrals 
setzt sieh zusammen aus den beiden Bestandtheilen 

c c 

^^ 1 ' ^'^^ cos ft (t— a) X{t) dt und ^^ l — ^— — cos /i(^ — a)l{t)cU, 

wofern diese Ausdrücke einen Werth haben. Das Unendlichkleinwerden 
desselben wird daher bewirkt durch das Verhalten der Function F an 
zwei S3anmetrisch zu beiden Seiten von x gelegenen Stellen. Es ist 
aber zu bemerken, dass hier Stellen vorkommen müssen, wo jeder Be- 
standtheil für sich nicht unendlich klein wird; denn sonst würden die 
Glieder der Reihe für jeden Argumentwerth zuletzt unendlich klein 
werden. Es müssen also dann die Beitrage der symmetrisch zu beiden 
Seiten von x gelegenen Stellen einander aufheben, so dass ihre Summe 
für ein unendliches ft unendlich klein wird. Hieraus folgt, dass die 
Reihe Sl nur für solche Werthe der Grösse x convergiren kann, zu 
welchen die Stellen, wo nicht 

c 

^^ I F(x) cos ft {x — a) li^x?) dx 
h 
für ein unendliches a unendlich klein wird, symmetrisch liegen. Offenbar 
kann daher nur dann, wenn die Anzahl dieser Stellen unendlich gross 
ist, die trigonometrische Reihe mit nicht in's Unendliche abnehmenden 
Coefficienten für eine unendliche Anzahl von Argumentwerthen con- 
vergiren. 

Umgekehrt ist 

n 

An = — nn — I (G(t) — A^ —\ cos nt dt 

u 
und wird also mit wachsendem n zuletzt unendlich klein, wenn 

c 

^^ I G (t) cos ^{t — a) A (t) dt 

für ein unendliches /it immer unendlich klein wird. 

IL Wenn die Glieder der Reihe ^ für den Argumentwerth x 
zuletzt unendlich klein werden, so hängt es nur von dem Gange der 
Function Git) für ein unendlich kleines t ab, ob die Reihe convergirt 
oder nicht, und zwar wird der Unterschied zwischen 

A,-\-A, + ..- + A„ 

und dem Integrale 



durch eine trigonometrische Reihe. 243 



ij 



sin -n_e 

dd =- 

> . t 

sin — 



mit wachsendem « zuletzt unendlich klein, wenn h eine zwischen 
und 7t enthaltene noch so kleine Constante und Q(t) eine solche Function 
bezeichnet, dass Q(t) und q (f) immer stetig und für / = h gleich Null 
sind, Q\t) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, und für 
f == 0, Q{t) = 1, Q(t) = 0, Q\t) = 0, Q"{t) und Q"\t) aber endHch 
und stetig sind. 



12. 
Die Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Function durcii 



eine trigonometrische Reihe können freihch noch etwas beschränkt 
und dadurch unsere Untersuchungen ohne besondere Voraussetzungen 
über die Natur der Function noch etwas weiter geführt werden. So 
z. B. kann in dem zuletzt erhaltenen Satze die Bedingung, dass 
()"(0) = sei, weggelassen werden, wenn man in dem Integrale 

. 2n+ 1 
sm— „— ^ 

dd 2 

b . t 

sm 



1 /* "' Y 



71 




G(t) durch G{f) — ^(0) ersetzt. Es wird aber dadurch nichts Wesent- 
liches gewonnen. 

Indem wir uns daher zur Betrachtung besonderer Fälle wenden, 
wollen wir zunächst der Untersuchung für eine Function, welche nicht 
unendlich viele Maxima und Minima hat, diejenige Vervollständigung 
zu geben suchen, deren sie nach den Arbeiten Dirichlet's norli 
fähig ist. 

Es ist oben bemerkt, dass eine solche Function allenthalben in- 
tegrirt werden kann, wo sie nicht unendlich wird, und es ist offenbar, 
dass dies nur für eine endliche Anzahl von Argumentwerthen eintreten 
kann. Auch lässt der Beweis Dirichlet's, dass in dem Integralaus- 
drucke für das nid Glied der Reihe und für die Summe ihrer n ersten 
Glieder der Beitrag aller Strecken mit Ausnahme derer, wo die Function 
unendlich wird, und der dem Argumentwerth der Reihe unendlich nahe 
liegenden mit wachsendem n zuletzt unendlich klein wird, und dass 

16* 



244 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 



/ 



1+'' sin?^±i.(,^_t) 



X 



X 2 

wenn < & < ;r und f(P) zwischen den Grenzen des Integrals nicht 
unendlich wird, für ein unendliches n gegen 7r/'(.r + 0) convergirt, in 
der That nichts zu wünschen übrig, wenn man die unnöthige Voraus- 
setzung, dass die Function stetig sei, weglässt. Es bleibt also nur noch 
zu untersuchen, in welchen Fällen in diesen Integralausdrücken der 
Beitrag der Stellen, wo die Function unendlich wird, mit wachsendem 
n zuletzt unendlich klein wird. Diese Untersuchung ist noch nicht 
erledigt; sondern es ist nur gelegentlich von Dirichlet gezeigt, dass 
dies stattfindet unter der Voraussetzung, dass die darzustellende Function 
eine Integration zulässt, was nicht nothwendig ist. 

Wir haben oben gesehen, dass, wenn die Glieder der Reihe ii für 
jeden Werth von x zuletzt unendlich klein werden, die Function 7^(.r), 
deren zweiter Differentialquotient f(x) ist, endlich und stetig sein niuss, 

und dass 

Fix -f fx) — 2F(^) -I- F{ x — g) 
a 

mit a stets unendlich klein wird. Wenn nun F' {x ■\- i) — F' ((c — f) 
nicht unendlich viele Maxima und Minima hat, so muss es, wenn t 
Null wird, gegen einen festen Grenzwerth L convergiren oder unend- 
lich gross werden, und es ist offenbar, dass 



\j\r(x-\-t)~r{x-i))dt = 



Fix -f a) - 2F{x) + F{x — (x) 







dann ebenfalls gegen L oder gegen cx) convergiren muss und daher 
nur unendlich klein werden kann, wenn F' (x -\- t) — F'(x — t) gegen 
Null convergirt. Es muss daher, wenn f(x) für x = a unendlich gross 
wird, doch immer f{ci -\- t) -{- f(a — t) bis an ^ = integrirt werden 
können. Dies reicht hin, damit 

a — f c 

mit abnehmendem f convergire und mit wachsendem n unendlich klein 
werde. Weil ferner die Function J^(,/;) endlich und stetig ist, so muss 
F' (x) bis an ^ = a eine Integration zulassen und (./: — a) F' {x) mit 
{x — ci) unendlich klein werden, wenn diese Function nicht unendlich 
viele Maxima und Minima hat; woraus folgt, dass 



durch eine trigonometrische Reihe. 245 

und also auch (j; — d)f(oc) bis an x = a integrirt werden kann. Es 
kann daher auch ff'(jo) sinM(x' — a)djc bis an x = a integrirt werden, 
und damit die Coefficienten der Reihe zuletzt unendlich klein werden, 
ist oti'enbar nur noch nöthig, dass 



j 



fix) sin n (x — a) dx, wo 6 < a < c, 

6 

mit wachsendem n zuletzt unendlich klein werde. Hetzt man 

f(x){x— a) = (p(x), 

so ist, wenn diese Function nicht unendlich viele Maxima und Minima 
hat, für ein unendliches n 

I f (x) sm n {x — a)dx= j _ sni n (x — a) dx = ' , 

wie Dirichlet gezeigt hat. Es muss daher 

(p{(i ^ t) -\- (p[ii — t) = fXa + t)t — f(a — t 
mit t unendlich klein werden, und da 

/•(« + + /•(« - 

bis an t = integrirt werden kann und folglich auch 

f{a + t)t + f{a-t)t 

mit t unendlich klein wird, so muss sowohl /'(a + t) t, als f{a — t)t 
mit abnehmendem t zuletzt unendlich klein werden. Von Functionen, 
welche unendlich viele Maxima und Minima haben, abgesehen, ist es 
also zur Darstellbarkeit der Function f{x) durch eine trigonometrische 
Reihe mit in s Unendliche abnehmenden Coefficienten hinreichend und 
nothwendig, dass, wenn sie für x = a unendlich wird, f{a -{- t)t und 
f{a — t) t mit t unendlich klein werden und /*(a -\- t) -\- /'(« — ^^^ 
an t = integrirt werden kann. 

Durch eine trigonometrische Reihe, deren Coefficienten nicht zuletzt 
unendlich klein werden, kann eine Function f{x), welche "hiebt unend- 
lich viele Maxima und Minima hat, da 



c 

[L [i I F(x) cos ^{x — a) l (jj) dx 



nur für eine endliche Anzahl von Stellen für ein unendliches /t nicht 
unendlich klein wird, auch nur für eine endliche Anzahl von Argument- 
wexi;hen dargestellt werden, wobei es unnöthig ist länger zu verweilen. 



246 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

13. 

Was die Functionen betrifft, welche unendlich viele Maxima und 
Minima haben, so ist es wohl nicht überflüssig zu bemerken, dass eine 
Function f{x), welche unendlich viele Maxima und Minima hat, einer 
Integration durchgehends fähig sein kann, ohne durch die Fourier'sche 
Reihe darstellbar zu sein. Dies findet z. B. Statt, wenn /'(x) zwischen 
und 2% gleich 

d Ix'' cos — ) 

, — , und < 1/ < 4 

dx ' ^ ^ / 

ist. Denn es wird in dem Integral 1 t'(x) cos n {x — a) dx mit wach- 



senden! n der Beitrag derjenigen Stelle, wo x nahe = T/— ist, all- 
gemein zu reden zuletzt unendlich gross, so dass das Verhältniss dieses 
Integrals zu 

1 — 2v 

\ sin (2'\/n — na + ^.\ Yiin 

gegen 1 convergirt, wie man auf dem gleich anzugebenden Wege finden 
wird. Um dabei das Beispiel zu verallgemeinern, wodurch das Wesen 
der Sache mehr hervortritt, setze man 



/ f(x)dx = (p(x) cos2l^(x) 



und nehme an, dass 9)(j) für ein unendlich kleines x unendlich klein 
und 4}(x) unendlich gross werde, übrigens aber diese Functionen nebst 
ihren Difierentialquotienten stetig seien und nicht unendlich viele 
Maxima und Minima haben. Es wird dann 

f(x) = q)\x) cosi^(x') — (p{x) i)'(x) ^mipipc) 
und 

I t'(x) cos n [x — ii) dx 
gleich der Summe der vier Integrale 

i / 9^' W cos (^{x) + n (x — a)\ dXy 

— -kl 9(^) t'ip^) sin Nj(x) + >^ (^ — a)) dx. 
Man betrachte nun, ip(x) positiv genommen, das Glied 

•— i I (p(x) f'(x) sin fif{x) -\- n{x — a)) dx 



durch eine trigonometrische Reihe. 247 

und untersuche in diesem Integrale die Stelle, wo die Zeichenwechsel 
des Sinus sich am langsamsten folgen. Setzt man 

i^{x) + n{x — a)r=y^ 

so geschieht dies, wo ^,-, = ist, und also, 

gesetzt, für x = a. Man untersuche also das Verhalten des Integrals 

U-f6 



1 / 9^ W ^'W ^^^^ydx 



für den Fall, dass 6 für ein unendliches n unendlich klein wird, und 
führe hiezu y als Variable ein. Setzt man 

^(«) + n{a—-a) = ß, 
so wird für ein hinreichend kleines £ 

y = /3 + ^"(«) ^^^^ + ■■■ 

und zwar ist i^"(«) positiv, da i/;(^) für ein unendlich kleines x positiv 
unendlich wird; es wird ferner 

g = ^"(rO (x - «) = ± /2?'(«)(2/-^ , 
je nachdem x — « ^ 0, und 



— i / 9^ C«^) ^' {^) sin y dx 






/ 



ü 

Lässt man also mit wachsendem n die Grösse e so abnehmen, dass 
il)\a)e£ unendlich gross wird, so wird, falls 





welches bekanntlich gleich ist sinM+Y) V^ 7 nicht Null ist, von 
Grössen niederer Ordnung abgesehen 



248 XII. Ueber die Darstellbarkeit einer Function 

- i f<p{.c) i,'(x) sin U.{x) + n{x-ci))dx = - sin ^^ + ^) K«^*>1. 

Es wird daher, wenn diese Grösse nicht unendlich klein wird, das Yer- 
hältniss von 

27t 

j f(x) cos n {x — a) dx 



zu dieser Grösse, da dessen übrige Bestandtheile unendlich klein wer- 
den, bei unendlichem Zunehmen von n gegen 1 convergiren. 

Nimmt man an, dass (p{x) und i^'(x) für ein unendlich kleines x 
mit Potenzen von x von gleicher Ordnung sind und zwar q){x) mit x" 
und ^'{x) mit x~^~^j so dass v > und f* > sein muss, so wird 

für ein unendliches n 

rp ja) ip' {u) 

von gleicher Ordnung mit a und daher nicht unendlich klein, wenn 
/Li>2i'. Ueberhaupt aber wird, wenn xil^'(x) oder, was damit iden- 
tisch ist, wenn ~, für ein unendlich kleines x unendlich gross ist, 

' log X o ? 

sich q){x) immer so annehmen lassen, dass für ein unendlich kleines x 
(p{x) unendlich klein, 

q)(x) -^^1— = y(-^') ^ _ y(-^) 

r dx ^ (x') Y x^ {x) 

aber unendlich gross wird, und folglich I /*(^) dx bis an x = er- 

X 

streckt werden kann, während 

cos n (x — d) dx 



J m 



für ein unendliches u nicht unendlich klein wird. Wie man sieht, 
heben sich in dem Integrale j f{x) dx bei unendlichem Abnehmen von 

X die Zuwachse des Integrals, obwohl ihr Verhältniss zu den Aen- 
derungen von x sehr rasch wächst, wegen des raschen Zeichenwechsels 
der Function f{x) einander auf; durch das Hinzutreten des Factors 
cos n {x — d) aber wird hier bewirkt, dass diese Zuwachse sich summiren. 
Ebenso wohl aber, wie hienach für eine Function trotz der durch- 
gängigen Möglichkeit der Integration die Fourier'sche Reihe nicht 
* convergiren und selbst ihr Glied zuletzt unendlich gross werden kann, 



durch eine trigonometrische Reihe. 249 

— ebenso wohl können trotz der durchgängigen Unmöglichkeit der 
Integration von f{x) zwischen je zwei noch so nahen Werthen un- 
endlich viele Werthe von x liegen, für welche die Reihe Sl convergirt. 
Ein Beispiel liefert, {nx) in der Bedeutung, wie oben (Art. 6.) 
genommen, die durch die Reihe 

""^ {nx) 

1, oc 

gegebene Function, welche für jeden rationalen Werth von x vorhanden 
ist und sich durch die trigonometrische Reihe 

,^„^9 _ (_ 1)9 . 

> ^ ^inznxTC , 

1, j^ 

wo für B alle Theiler von n zu setzen sind, darstellen lässt, welche 

aber in keinem noch so kleinen Grössenintervall zwischen endlichen 

Grenzen enthalten ist und folglich nirgends eine Integration zulässt. 

Ein anderes Beispiel erhält man, wenn man in den Reihen 

^ CnCosnnx, ^ 6'„sinnna; 

0, 00 1, oo 

für Cy, c'i, 6'^, ... positive Grössen setzt, welche immer abnehmen und 

zuletzt unendlich klein werden, während Hc« mit u unendlich gross 

1,« 

wird. Denn wenn das Verliältniss von x zu 2;r rational und in den 
kleinsten Zahlen ausgedrückt, ein Bruch mit dem Nenner m ist, so 
werden offenbar diese Reihen convergiren oder in's Unendliche wachsen, 
je nachdem 

^ coaniiXj ^ ainnux 

0, «i— 1 0, m — 1 

gleich Null oder nicht gleich Null sind. Beide Fälle aber treten nach 
einem bekannten Theoreme der Kreistheilung*) zwischen je zwei noch 
so engen Grenzen für unendlich viele Werthe von x ein. 

In einem eben so grossen Umfange kann die Reihe fl auch con- 
vergiren, ohne dass der Werth der Reihe 

dAn 

c' + Ä,x-y^, 

welche man durch Integration jedes Gliedes aus ß erhält, durch ein 
noch so kleines Grössenintervall iutegrirt werden könnte. 
Wenn man z. B. den Ausdruck 



'•) Disquiö. ar. pag. 036 art. 356. (Gauss 's Werke Bd. I. pag. 44J.) 



2.y» XIL üeber die Daisteilbailceit einer Fnnction etc. 

wo die Logarithmen so zu nehmen sind, dass sie für ^ = ver- 
schwinden, nach steigenden Potenzen Ton q entwickelt und darin 
^ = e" setzt, so bildet der imaginäre Theil eine trigonometrische Reihe, 
welche zweimal nach ./ düferentiirt in jedem Grössenintervall unend- 
lich oft convergirt, während ihr erster Differentialquotient unendlich 
oft unendlich wird. 

In demselVien Umfange, d. h. zwischen je zwei noch so nahen 
Argumentwerthen unendlich oft, kaun die trigonometrische Reihe auch 
selbst dann convergiren, wenn ihre Coefficienteu nicht zuletzt unend- 
lich klein werden. Ein einfaches Beispiel einer solchen Reihe bildet 
die unendliche Reihe E ^m(n\ x%), wo n\, wie gebräuchlich, 

= 1 . 2 . 3 . . . n, 
welche nicht bloss für jeden rationalen Werth von x convergirt, indem 
sie sich in eine endliche verwandelt^ sondern auch für eine unendliche 
Anzahl von irrationalen, von denen die einfachsten sind sinl, cos 1 

1 

2 . ^"T 

— und deren A iel fache, ungerade Vielfache von e, ,--, u. s. w\(^) 



Inhalt. 

Seite 

Geschichte der Frage über die Darstellbarkeit einer Function durch eine 
trigonometrische Reihe. 
§. 1. Von Euler bis Fourier. 

Ursprung der Frage in dem Streite über die Tragweite der d'Alem- 
bert 'sehen und Bernoulli 'sehen Lösung des Problems der schwin- 
genden Saiten im Jahre 1753. Ansichten von Euler, dAlembert, 

Lagrange 213 

§. 2. Von Fourier bis Dirichlet. 

Richtige Ansicht Fourier's, bekilmi>ft vou Lag ränge. 18U7. 

Cauchy. 1826 218 

§. 3. Seit Dirichlet. 

Erledigung der Frage durch Dirichlet für die in der Natur vor- 
kommenden Functioilen, 1829. Dirksen. Bessel. 1839. . . . 221 
Ueber den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit. 

§. 4. Definition eines bestimmten Integrals 225 

§. 5. Bedingungen der Möglichkeit eines bestimmten Integrals 226 

§. 6.' Besondere Fälle. . . . ' 227 

Untersuchung der Darstellbarkeit einer Fimction durch eine trigonometrische 
Reihe, ohne besondere Voraussetzungen über die Natur der Function. 
§. 7. Plan der Untersuchung 230 

I. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, 

deren Coefficienten zuletzt unendlich klein werden. 

§. 8. Beweise einiger für diese Untersuchung wichtigen Sätze 231 

§. 9. Bedingungen für die Dai-stellbarkeit einer Function durch eine tri- 
gonometrische Reihe mit in'a Unendliche abnehmenden Coefficienten. 237 
§. 10. Die Coefficienten der Fourier'schen Reihe werden zuletzt unend- 
lich klein, wenn die darzu.stellende Function durchgehends endlich 
bleibt und eine Integiation zulässt 239 

II. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe 
mit nicht in's Unendliche abnehmenden CoetBcienten. 

§. 11. Zurückführung dieses Falles auf den vorigen 241 

Betrachtung besonderer Fälle. 

§. 12. Functionen, welche nicht unendlich viele Maxima und Minima haben. 243 

§. 13. Fimctionen, welche unendlich viele Maxima und Minima haben. . -'•' 



Anmerkungen. 

(1) (Zu Seite 238). Die unter II. aufgestellten Sätze bedürfen einer Erläuterung: 
Da die Function f\x) um 27r periodisch angenommen ist, so muss 
F{x + 27r) — F{x) = cp{x) 
die Eigenschaft haben, dass 

fp {x -f tt -| - |3) — ( p{x -{- a — ^) — cp{x — a -\- ß) -\- cp{x — a— ß) 

4: aß 
unter der im Text geraachten Voraussetzung sich mit a und ß der Grenze 
nähert. Es ist daher q){x) eine lineare Function von x, und folglich lassen 
sich die Coustanten C, ^4^ so bestimmen, dass 

^(x) = F{x) — C'x — A^^ 

eine um 27t periodische Function von x ist. 

Nun ist über die Function F{x) weiter die Voraussetzung gemacht, dass 
für beliebige Grenzen b, c 



lifi I F 



F{x) coa ii{x — a)l{x)dx 



b 

mit unendlich wachsendem (i sich der Grenze nähere, wenn X(a;) den im 
Text angegebenen Bedingungen genügt, woraus folgt, dass unter den gleichen 
Voraussetzungen 

c 

(i^ I {x) cos ii(x — a) X (x) dx 



'S' 



b 

sich der Grenze nähert. 

Es sei nun h <C — Tt , c'^ n , und man nehme, was zulässig ist, X{x) im 
Intervall von — n h\)i -{- n = 1 an, so folgt, dass auch: 

— TT 

jitfi. I ^{x) coH (i{x — a) l{x)dx -{- ii^i I ^{x) cos/x(a; — a) ?.{x)dx 



1 ^(x) coH (i{x — a) l{x)dx -{- ii^i I c^i 



6 7t 



-\- li[i I ^{x) coü[i{x — a)dx 
n 

Null zur Grenze hat. Nun kann man, wenn ft eine ganze Zahl n ist, mit 
Rücksicht auf die Periodicität von ^{x) für diese Summe setzen: 

c -^-n 

nn I ^{x) C08}i{x — a) ly{x)dx -j- nn j ^{x) cosn(x — ä)dx 

wenn in dem Intervall von h -\- 'In bis n X^ix) = X{x — 2 7r) und in dem 
Intervall von n bis c X^{x) = X{x) ist, so dass X^{x) zwischen den Grenzen 



Anmerkungen. 253 

h -{- '2n und c den Voraussetzungen über die Function X{x) genügt. Demnach 
hat das erste Glied der obigen Summe für sich den Grenzwerth 0, und folg- 
lich ist auch der Grenzwerth von 

) cos w(:r — a)dx 



nn I ^{x 



gleich Null. 

(2) (Zu Seite 2.^.9). Hier scheint für die Function X{x) die Bedingung hinzugefugt 

werden zu müssen, dass sie sich nach dem Tntervall 2jr periodisch wiederholt, 

(die mit der nachher gemachten Annahme verträglich 'ist). In der That würde 

z. B. das in Rede stehende Integral nicht sich der Grenze nähern, wenn 

F{t) — C't — Aq — = const. und X{t) = (x — t)'^ gesetzt würde. Dagegen 

lässt sich unter der Voraussetzung der Periodicität von l{x) das Verschwinden 
dieses Integrals durch Ausführung der DiiFerentiation 



dd 



sin {x — t) 

sin \{x — t) 



df 
durch Anwendung des Satzes 3, Art. 8. und eines ähnlichen Verfahrens wie 
in der Anmerkung (1) leicht darthun. 

(8) (Zu Seite 250) der "Vyerth x = } le j gehört, wie Genocchi in einem 

diese Beispiele betreffenden Aufsatz bemerkt (Intorno ad alcune serie, Torino 
1875) nicht zu den Werthen von x, für welche die Reihe ^^ 8in{n!x7i) con- 

1, 00 

vergirt. Aber auch für x == -^ ie j ist die Reihe nicht, wie Genocchi 

angiebt, convergent. 



XIIL 

lieber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde 

liegen. 

(Ans dem dreizehnton Baude der Abbandlungen der Königlichen Gesellschaft der 
Wissenschaften zu Göttingen.*)) 

Plan der Untersuchung. 

Bekanntlicli setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes^ 
als die ersten Grundbegriffe für die Constructionen im Räume als etwas 
Gegebenes voraus. Sie giebt von ihnen nur Nominaldefinitionen, wäh- 
rend die wesentlichen Bestimmungen in Form voü Axiomen auftreten. 
Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei im Dunkeln; man 
sieht weder ein, ob und in wie weit ihre Verbindung noth wendig, 
noch a priori, ob sie möglich ist. 

Diese Dunkelheit wurde auch von Euklid bis auf Legendre, um 
den berühmtesten neueren Bearbeiter der Geometrie zu nennen, weder 
von den Mathematikern, noch von den Philosophen, welche sich da- 
mit beschäftigten, gehoben. Es hatte dies seinen Grund wohl darin, 
dass der allgemeine Begriff mehrfach ausgedehnter Grössen, unter 
welchem die Raumgrössen enthalten sind, ganz unbearbeitet blieb. 
Ich habe mir daher zunächst die Aufgabe gestellt, den Begriff einer 
mehrfach ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössenbegriffen zu 
construiren. Es wird daraus hervorgehen, dass eine mehrfach aus- 
gedehnte Grösse verschiedener Massverhältnisse fähig ist und der Raum 
also nur einen besonderen Fall einer dreifach ausgedehnten Grösse 
bildet. Hiervon aber ist eine nothwendige Folge, dass die Sätze der 

*) Diese Abhandlung ist am 10. Juni 1854 von dem Verfasser bei dem zum 
Zweck seiner Habilitation veranstalteten CoUoquium mit der philosophischen 
Facultät zu Göttingen vorgelesen worden. Hieraus erklärt sich die Form der Dar- 
stellung, in welcher die analytischen Untersuchungen imr angedeutet werden 
konnten; einige Ausführungen derselben findet man in der Beantwortung der 
Pariser Preisaufgabe nebst den Anmerkungen zu derselben. 



XIII. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 255 

Geometrie sich nicht aus allgemeinen Grössenbegriffen ableiten lassen, 
sondern dass diejenigen Eigenschaften, durch welche sich der Raum 
von anderen denk1)aren dreifach ausgedehnten Grössen unterscheidet, 
nur aus der Erfahrung entnommen werden können. Hieraus entsteht 
die Aufgabe, die einfachsten Thatsachen aufzusuchen, aus denen sich 
die Massverhältnisse des Raumes bestimmen lassen — eine Aufgabe, 
die der Natur der Sache nach nicht völlig bestimmt ist; denn es lassen 
sich mehrere - Systeme einfacher Thatsachen angeben, Avelche zur Be- 
stimmung der Massverhältnisse des Raumes hinreichen; am wichtigsten 
ist für den gegenwärtigen Zweck das von Euklid zu Grunde gelegte. 
Diese Thatsachen sind wie alle Thatsachen nicht nothwendig, sondern 
nur von empirischer Gewissheit, sie sind Hyjjothesen; man kann also 
ihre Wahrscheinlichkeit, welche innerhalb der Grenzen der Beobachtung 
allerdings sehr gross ist, untersuchen und hienach über die Zulässig- 
keit ihrer Ausdehnung jenseits der Grenzen der Beobachtung, sowolil 
nach der Seite des Unmessbargrossen, als nach der Seite des Un- 
messbarkleinen urtheilen. 

I. Begriff einer nfsiCh. ausgedehnten Grösse. 

Indem ich nun von diesen Aufgaben zunächst die erste, die Ent- 
wicklung des Begriffs mehrfach ausgedehnter Grössen, zu lösen ver- 
suche, glaube ich um so mehr auf eine nachsichtige Beurtheilung An- 
spruch machen zu dürfen, da ich in dergleichen Arbeiten philosophischer 
Natur, wo die Schwierigkeiten mehr in den Begriffen, als in der Con- 
struction liegen, wenig geübt bin und ich ausser einigen ganz kurzen 
Andeutungen, welche Herr Geheimer Hofrath Gauss in der zweiten 
Abhandlung über die biquadratischen Reste, in den Göttingenschen 
gelehrten Anzeigen und in seiner Jubiläumsschrift darüber gegeben 
hat, und einigen philosophischen Untersuchungen Herbart^s, durchaus 
keine Vorarbeiten benutzen konnte. - 

1. 

Grössenbegriffe sind nur da möglich, wo sich ein allgemeiner Be- 
griff vorfindet, der verschiedene Bestimmungsweisen zulässt. Je nach- 
dem unter diesen Bestimmungsweisen von einer zu einer andern ein 
stetiger Uebergang stattfindet oder nicht, bilden sie eine stetige oder 
discrete Maimigfaltigkeit; die einzelnen Bestimmungsweisen heissen im 
erstem Falle Punkte, im letztern Elemente dieser Mannigfaltigkeit. 
Begriffe, deren Bestimmungsweisen eine discrete Mannigfaltigkeit bil- 
den, sind so häufig, dass sich für beliebig gegebene Dinge wenigstens 



256 XIII. Ueber die Hypothesen , welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

in den gebildeteren Sprachen immer ein Begriff auffinden lilsst, unter 
welchem sie enthalten sind (und die Mathematiker konnten daher in 
der Lehre von den discreten Grössen unbedenklich von der Forderung 
ausgehen, gegebene Dinge als gleichartig zu betrachten), dagegen sind 
die Veranlassungen zur Bildung von Begriffen, deren Bestimmungs- 
weisen eine stetige Mannigfaltigkeit bilden, im gemeinen Leben so 
selten, dass die Orte der Sinnengegenstände und die Farben wohl die 
einzigen einfachen Begriffe sind, deren Bestimmungsweisen eine mehr- 
fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit bilden. Häufigere Veranlassung zur 
Erzeugung und Ausbildung dieser Begriffe findet sich erst in der 
höhern Mathematik. 

Bestimmte, durch ein Merkmal oder eine Grenze unterschiedene 
Theile einer Mannigfaltigkeit heissen Quanta. Bire Vergleichung der 
Quantität nach geschieht bei den discreten Grössen durch Zählung, bei 
den stetigen durch Messung. Das Messen besteht in einem Aufeinander- 
legen der zu vergleichenden Grössen; zum Messen wird also ein Mittel 
erfordert, die eine Grösse als Massstab für die andere fortzutragen. 
Fehlt dieses, so kann, man zwei Grössen nur vergleichen, wenn die 
eine ein Theil der andern ist, und auch dann nur das Mehr oder Min- 
der, nicht das WievieJ entscheiden. Die Untersuchungen, welche sich 
in diesem Falle über sie anstellen lassen, bilden einen allgemeinen von 
Massbestimmungen unabhängigen Theil der Grössenlehre, wo die Grössen 
nicht als unabhängig von der Lage existirend und nicht als durch eine 
Einheit ausdrückbar, sondern als Gebiete in einer Mannigfaltigkeit be- 
trachtet werden. Solche Untersuchungen sind für mehrere Theile der 
Mathematik, namentlich für die Behandlung der mehrwerthigen ana- 
lytischen Functionen ein Bedürfniss geworden, und der Mangel der- 
selben ist wohl eine Hauptursache, dass der berühmte AbeTsche Satz 
und die Leistungen von Lagrange, Pfaff, Jacobi für die allgemeine 
Theorie der Differentialgleichungen so lange unfruchtbar geblieben sind. 
Für den gegenwärtigen Zweck genügt es, aus diesem allgemeinen Theile 
der Lehre von den ausgedehnten Grössen, wo weiter nichts vorausgesetzt 
wird, als was in dem Begriffe derselben schon enthalten ist, zwei 
Punkte hervorzuheben, wovon der erste die Erzeugung des Begriffs 
einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, der zweite die Zurück- 
führung der Ortsbestimmungen in einer gegebenen Mannigfaltigkeit 
auf Quantitätsbestiramungen betrifft und das wesentliche Kennzeichen 
einer ^fachen Ausdehnunc^ deutlich machen wird. 



XIII. lieber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Oriinde liege 



Geht man bei einem Begriffe, dessen Bestimmungsweisen eine 
stetige Mannigfaltigkeit bilden, von einer Bestimmungs weise auf eine 
bestimmte Art zu einer andern über, so bilden die durchlaufenen Be- 
stimmungsweisen eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, deren 
wesentliches Kennzeichen ist, dass in ihr von einem Punkte nur nach 
zwei Seiten, vorwärts oder rückwärts, ein stetiger Fortgang möglich 
ist. Denkt man sich nun, dass diese Mannigfaltigkeit wieder in eine 
andere, völlig verschiedene, übergeht, und zwar wieder auf bestimmte 
Art, d. h. so, dass jeder Punkt in einen bestimmten Punkt der andern 
übergeht, so bilden sämmtliche so erhaltene Bestimmungsweisen eine 
zweifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, In ähnlicher Weise erhält man 
eine dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, wenn man sich vorstellt, 
dass eine zweifach ausgedehnte in eine völlig verschiedene auf be- 
stimmte Art übergeht, und es ist leicht zu sehen, wie man diese Con- 
struction fortsetzen kann. Wenn man, anstatt den Begriff als be- 
stimmbar, seinen Gegenstand als veränderlicli betrachtet, so kann diese 
Construction bezeichnet werden als eine Zusammensetzung einer Ver- 
änderlichkeit von n -j- 1 Dimensionen aus einer Veränderlichkeit von 
n Dimensionen und aus einer Veränderlichkeit von Einer Dimension. 

3. 

Ich werde nun zeigen, wie man umgekehrt eine Veränderlichkeit, 
deren Gebiet gegeben ist, in eine Veränderlichkeit von einer Dimension 
und eine Veränderlichkeit von weniger Dimensionen zerlegen kann. 
Zu diesem Ende denke man sich ein veränderliches Stück einer Mannig- 
faltigkeit Ton Einer Dimension — von einem festen Anfangspunkte an 
gerechnet, so dass die Werthe desselben unter einander vergleichbar 
sind — welches für jeden Punkt der gegebenen Mannigfaltigkeit einen 
bestimmten mit ihm stetig sich ändernden Werth hat, oder mit andern 
Worten, man nehme innerhalb der gegebenen Mannigfaltigkeit eine 
stetige Function des Orts an, und zwar eine solche Function, welclie 
nicht längs eines Theils dieser Mannigfaltigkeit constant ist. Jedes 
System von Punkten, wo die Function einen constanten Werth hat, 
bildet dann eine stetige Mannigfaltigkeit von weniger Dimensionen, 
als die gegebene. Diese Mannigfaltigkeiten gehen bei Aenderung der 
Function stetig in einander übey; man wird daher annehmen können, 
dass aus einer von ihnen die übrigen hervorgehen, und es wird dies, 
allgemein zu reden, so geschehen können, dass jeder Punkt in einen 
bestimmten Punkt der andern übergeht; die Ausnalimsfälle, deren 

Kikmann's gtsaiiumltf matliprnatiselio Wciko. I. 17 



258 XITI. üeber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

Untersuclmng wichtig ist^ können liier unberücksiclitigt bleiben. Hier- 
durcli wird die Ortsbestimmung in der gegebenen Mannigfaltigkeit zurück- 
geführt auf eine Grössenbestimmung und auf eine Ortsbestimmung in 
einer minderfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit. Es ist nun leicht zu 
zeigen^ dass diese Mannigfaltigkeit n — 1 Dimensionen hat, wenn die 
gegebene Mannigfaltigkeit eine wfach ausgedehnte ist. Durch n malige 
Wiederholung dieses Verfahrens wird daher die Ortsbestimmung in 
einer 9^fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit auf w Grössenbestimmungen, 
und also die Ortsbestimmung in einer gegebenen Mannigfaltigkeit, 
wenn dieses möglich ist, auf eine endliche Anzahl von Quantitäts- 
bestimniungen zurückgeführt. Es giebt indess auch Mannigfaltigkeiten, 
in welchen die Ortsbestimmung nicht eine endliche Zahl, sondern ent- 
weder eine unendliche Reihe oder eine stetige Mannigfaltigkeit von 
Grössenbestimmungen erfordert. Solche Mannigfaltigkeiten bilden z. B. 
die möglichen Bestimmungen einer Function für ein gegebenes Gebiet, 
die möglichen Gestalten einer räumlichen Figur u. s. w. 



n. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von ^^ Dimensionen 

fähig ist, unter der Voraussetzung, dass die Xiinien unabhängig 

von der Lage eine Länge besitzen, also jede Linie durch jede 

messbar ist. 

Es folgt nun, nachdem der Begriff einer wfach ausgedehnten Mannig- 
faltigkeit construirt und als wesentliches Kennzeichen derselben ge- 
funden worden ist, dass sich die Ortsbestimmung in derselben auf 
n Grössenbestimmungen zurückführen lässt, als zweite der oben ge- 
stellten Aufgaben eine Untersuchung über die Massverhältnisse, deren 
eine solche Mannigfaltigkeit fähig ist, und über die Bedingungen, welche 
zur Bestimmung dieser Massverhältnisse hinreichen. Diese Massver- 
hältnisse lassen sich nur in abstracten Grössenbegriffen untersuchen 
und im Zusammenhange nur durch Formeln darstellen; unter gewissen 
Voraussetzungen kann man sie indess in Verhältnisse zerlegen, welche 
einzeln genommen einer geometrischen Darstellung fähig sind, und 
hiedurch wird es möglich, die Resultate der Rechnung geometrisch 
auszudrücken. Es wird daher, um festen Boden zu gewinnen, zwar 
eine abstracte Untersuchung in Formeln nicht zu vermeiden sein, die 
Resultate denselben aber werden sich, im geometrischen Gewände dar- 
stellen lassen. Zu Beidem sind die Grundlagen enthalten in der be- 
rühmten Abhandlung des Herrn Geheimen Hofraths Gauss über die 
krummen Flächen. 



XIII. Ueber die Hypothesen, welche der rifnuvtri" zu rninid« hV^rcu. 259 



Massbestimmungen erfordern eine Unabhängigkeit der Grössen 
vom Ort, die iu melir als einer Weise stattfinden kann; die zunächst 
sieh darbietende Annahme, wejehe ich hier verfolgen will, ist wohl 
die, dass die Länge der Linien unabhängig von der Lage sei, also 
jede Linie durch jede messbar sei. Wird die Ortsbestimmung auf 
GrJJssenbestimmungen zurückgeführt, also die Lage eines Punktes in 
der gegebenen nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit durch n veränder- 
liche Grössen x^, x.,j x.^, und so fort bis x« ausgedrückt, so wird die 
Bestimmung einer Linie darauf hinauskommen, dass die Grössen ./■ als 
Functionen Einer Veränderlichen gegeben werden. Die Aufgabe ist 
dann, für die Länge der Linien einen mathematischen Ausdruck auf- 
zustellen, zu welchem Zwecke die Grössen x als in Einheiten ausdrück- 
))ar betrachtet werden müssen. Ich werde diese Aufgabe nur unter 



gewissen Beschränkungen behandeln und beschränke mich erstlich auf 
solche Linien, in welchen die Verhältnisse zwischen den Grössen dx 
— den zusammengehörigen Aenderungen der Grössen x — sich stetig 
ändern; man kann dann die Linien in Elemente zerlegt denken, inner- 
halb deren die Verhältnisse der Grössen dx als constant betrachtet 
werden dürfen, und die Aufgabe kommt dann darauf zurück, für jeden 
Punkt einen allgemeinen Ausdruck des von ihm ausgehenden Linien- 
elements ds aufzustellen, welcher also die Grössen x und die Grössen 
(Ix enthalten wird. Ich nehme nun zweitens an, dass die Länge des 
Linienelements, von Grössen zweiter Ordnung abgesehen, ungeändert 
bleibt, wenn sämmtliche Punkte desselben dieselbe unendlich kleine 
Ortsänderung erleiden, worin zugleich enthalten ist, dass, wenn sämmt- 
liche Grössen dx in demselben Verhältnisse wachsen, das Linienelement 
sich -ebenfalls in diesem Verhältnisse ändert. Unter diesen Annahmen 
wird das Linienelement eine beliebige homogene Function ersten Grades 
der Grössen dx sein können, welche ungeändert bleibt, wenn sämmt- 
liche Grössen dx ihr Zeichen ändern, und worin die willkürlichen 
Constanten stetige Functionen der Grössen x sind. Um die einfachsten 
Fälle zu finden , suche ich zunächst einen Ausdruck für die n — 1 fach 
ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, welche vom Anfangspunkte des Linien- 
elements überall gleich weit abstehen, d. h. ich suche eine stetige 
Fimction des Orts, welche sie von einander unterscheidet. Diese wird 
vom Anfangspunkt aus nach allen Seiten entweder ab- oder zunehmen 
müssen; ich will annehmen, dass sie nach allen Seiten zunimmt und 
also in dem Punkte ein i\Iiuimum hat. Es niuss dann, wenn ihre 
ersten und zweiten Dili'erentialquotienten endlich sind, das Differential 

17* 



260 XIII. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

erster Ordnimg verschwinden und das zweiter Ordnung darf nie negativ 
werden; ich nehme an, dass es immer positiv bleibt. Dieser Ditferential- 
ausdruck zweiter Ordnung bleibt alsdann constant, wenn ds constant 
bleibt, und wächst im quadratischen Verhältnisse, wenn die Grössen 
(Ix und also auch ds sich sämmtlich in demselben Verhältnisse ändern; 
er ist also = const. ds^ und folglich ist ds = der Quadratwurzel aus 
einer immer positiven ganzen homogenen Function zweiten Grades der 
Grössen rZ.r, in welcher die Coefficienten stetige Functionen der Grössen 
X sind. Für den Raum wird, wenn man die Lage der Punkte durch 
rechtwinklige Coordinaten ausdrückt, ds = yiJldxy-^ der Raum ist 
also unter diesem einfachsten Falle enthalten. Der nächst einfache 
Fall würde wohl die Mannigfaltigkeiten umfassen, in welchen sich das 
Linienelement durch die vierte Wurzel aus einem Differentialausdrucke 
vierten Grades ausdrücken lässt. Die Untersuchung dieser allgemeinern 
Gattung würde zwar keine wesentlich andere Principien erfordern, aber 
ziemlich zeitraubend sein und verhältnissmässig auf die Lehre vom 
Räume wenig neues Licht werfen, zumal da sich die Resultate nicht 
geometrisch ausdrücken lassen; ich beschränke mich daher auf die 
Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadratwurzel aus 
einem Differentialausdruck zweiten Grades ausgedrückt wird. Man kann 
einen solchen Ausdruck in einen andern ähnlichen transformiren, in- 
dem man für die u unabhängigen Veränderlichen Functionen von n 
neuen unabhängigen Veränderlichen setzt. Auf diesem Wege wird 
man aber nicht jeden Ausdruck in jeden transformiren können; denn 

n -4- 1 
der Ausdruck enthält n ^ Coefficienten, welche willkürliche Functionen 

der unabhängigen Veränderlichen sind; durch Einführung neuer Ver- 
änderlicher wird man aber nur n Relationen genügen und also nur n 
der Coefficienten gegebenen Grössen gleich machen können. Es sind 

dann die übrigen n — - — durch die Natur der darzustellenden Mannig- 
faltigkeit schon völlig bestimmt, und zur Bestimmung ihrer Massver- 
hältnisse also n — ^— Functionen des Orts erforderlich. Die Mannig- 
faltigkeiten, in welchen sich, wie in der Ebene und im Räume, das 
Linienelement auf die Form Yzdx'^ bringen lässt, bilden daher nur 
einen besondern Fall der hier zu untersuchenden Mannigfaltigkeiten; 
sie verdienen wohl einen besonderen Namen, und ich will also diese 
Mannigfaltigkeiten, in welchen sich das Quadrat des Linienelements 
auf die Summe der Quadrate von vollständigen Difierentialien bringen 
lässt, eben nennen. Um nun die wesentlichen Verschiedenheiten sämmt- 
licher in der Vorausgesetzen Form darstellbarer Maimigfaltigkeiten über- 



XI 11. [Jeber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 261 

seilen zu können, ist es nötliig, die von der Darstellungsweise her- 
rührenden zu beseitigen, was durch Wahl der veriinderlichen Grössen 
nach einem bestimmten Princip erreicht wird. 



Zu diesem Ende denke man sich von einem beUebigen Punkte aus 
das System der von ihm ausgehenden kürzesten Linien construirt; die 
Lage eines unbestimmten Punktes wird dann bestimmt werden können 
durch die Anfangsrichtung der kürzesten Linie, in welcher er liegt, 
und durch seine Entfernung in derselben vom Anfangspunkte und kann 
daher clurch die Verhältnisse der Grössen dx^^ d. h. der Grössen dx im 
Anfang dieser kürzesten Linie und durch die Länge s dieser Linie aus- 
gedrückt werden. Man führe nun statt dx^ solche aus ihnen gebildete 
lineare Ausdrücke da ein, dass der Anfangswerth de^ Quadrats des Linien- 
elements gleich der Summe der Quadrate dieser Aasdrücke wird, so dass 
die unabhängigen Variabein sind: die Grösse s und die Verhältnisse der 
Grössen da] und setze schliesslich statt da solche ihnen proportionale 
Grössen .r^ , 0^2, . . . , Xn, dass die Quadratsumme = 5^ wird. Führt man 
diese Grössen ein, so wird für unendlich kleine Werthe von :/; das 
Quadrat des Linienelements = Ildx\ das Glied der nächsten Ordnung in 
demselben aber gleich einem homogenen Ausdruck zweiten Grades der 

n — ,-— Grössen {x^ dx.^ — X2 dxAj {x^ dx.^ — x.^ äx^)^ . . ., also eine 

unendlich kleine Grösse von der vierten Dimension, so dass man eine 
endliche Grösse erhält, wenn mamsie durch das Quadrat des unendlich 
kleinen Dreiecks dividirt, in dessen Eckpunkten die Werthe der Ver- 
änderlichen sind (0, 0, 0, . . .), {x^y x.^, ^'3, . . .)> (ß^^'u ^^^2» ^*^3> • • • •)• 
Diese Grösse behält denselben Werth, so lange die Grössen x und dx 
in denselben binären Linearformen enthalten sind, oder so lange die 
beiden kürzesten Linien von den W\^rthen <> bis zu den Werthen x 
und von den W^erthen bis zu den Werthen dx in demselben FläcUen- 
element bleiben, und hängt also nur von Ort und Richtung desselben 
ab. Sie wird offenbar = 0, wenn die dargestellte Mannigfaltigkeit^ 
eben, d. h. das Quadrat des Linienelements auf Edx- reducirbar ist, 
und kcinu daher als das Mass der in diesem Punkte in dieser Flächen- 
richtung stattfindenden Abweichung der Mannigfaltigkeit von der Eben- 
heit angesehen werden. Multiplicirt mit — ;[ wird sie der Grösse 
gleich, welche Herr Geheimer Hofrath Gauss das Krümmuugsmass 
einer Fläche genannt hat. Zur Bestimmung der Massverhältnisse einer 
nfach ausgedehnten in der vorausgesetzten Form darstellbaren Mannig- 

faltiffkeit wurden vorhin )i Finnlinnou dr« Orts nnf1ii<j" LTcfuTuhM): 



262 XIU. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

weillT also das Krümmiingsmass in jedem Punkte in n -^— Flächen- 
richtungen gegeben wird, so werden daraus die Massverhältnisse der 
Mannigfaltigkeit sich bestimmen lassen, wofern nur zwischen diesen 
AVerthen keine identischen Relationen stattfinden, was in der That, 
allgemein zu reden, nicht der Fall ist. Die Massverhältnisse dieser 
Mannigfaltigkeiten, wo das Linienelement durch die Quadratwurzel aus 
einem Dilferentialausdruck zweiten Grades dargestellt wird, lassen sich 
so auf eine von der Wahl der veränderlichen Grössen völlig unab- 
hängige Weise ausdrücken. Ein ganz ähnlicher Weg lässt sich zu 
diesem Ziele auch bei den Mannigfaltigkeiten einschlagen, in welchen 
das Linienelement durch einen weniger einfachen Ausdruck, z. B. durch 
die vierte Wurzel aus einem Differentialausdruck vierten Grades, aus- 
gedrückt wird. Es würde sich dann das Linienelement, allgemein zu 
reden, nicht mehr auf die Form der Quadratwurzel aus einer Quadrat- 
summe von Differentialausdrücken bringen lassen und also in dem 
Ausdrucke für das Quadrat des Linienelements die Abweichung von 
der Ebenheit eine unendlich kleine Grösse von der zweiten Dimension 
sein, w^ährend sie bei jenen Mannigfaltigkeiten eine unendlich kleine 
Grösse von der vierten Dimension war. Diese Eigenthümlichkeit der 
letztern Mannigfaltigkeiten kann daher wohl Ebenheit in den kleinsten 
Theilen genannt werden. Die für den jetzigen Zweck wichtigste Eigen- 
thifmlichkeit dieser Mannigfaltigkeiten, derentwegen sie hier allein 
untersucht worden sind, ist aber die, dass sich die Verhältnisse der 
zweifach ausgedehnten geometrisch durch Flächen darstellen und die 
der mehrfach ausgedehnten auf die der in ihnen enthaltenen Flächen 
zurückführen lassen, was jetzt noch einer kurzen Erörterung bedarf. 



In die Auffassung der Flächen mischt sich neben den inneren 
Massverhältnissen, bei welchen nur die Länge der Wege in ihnen in 
Betracht kommt, immer auch ihre Lage zu ausser ihnen gelegenen 
Punkten. Man kann aber von den äussern Verhältnissen abstrahiren, 
indem man solche Veränderungen mit ihnen vornimmt, bei denen die 
Länge der Linien in ihnen ungeändert bleibt, d. h. sie sich beliebig 
— ohne Dehnung — gebogen denkt, und alle so auseinander ent- 
stehenden Flächen als gleichartig betrachtet. Es gelten also z. B. be- 
liebige cylindrische oder conische Flächen einer Ebene gleich, weil sie 
sich durch blosse Biegung aus ihr bilden lassen, wobei die innern 
Massverhältnisse bleiben, und sämmtliche Sätze über dieselben — also 
die ganze Planimetrie — ihre Gültigkeit behalten; dagegen gelten sie 



Xül. Uebur die Ilypoihoaen, welche dgr Geometrie zu Grunde liegen. 263 

als wesentlich verschieden von der Kugel, welche sich nicht ohne 
Dehnung in eine Ebene verwandeln lässt. Nach der vorigen Unter- 
suchung werden in jedem Punkte die innern Massverhältnisse einer 
zweifach ausgedehnten Grösse, wenn sich das Linienelement durch die 
Quadratwurzel aus einem Differentialausdruck zweiten Grades ausdrücken 
lässt, wie dies bei den Flachem der Fall ist, charakterisirt durch das 
Krümjuungsmass. Dieser Gr()sse lässt sich nun bei den Flächen die 
anschauliche Bedeutung geben, dass sie das Product aus den beiden 
Krümmungen der Fläche in diesem Punkte ist, oder auch, dass das 
Product derselben in ein unendlich kleines aus kürzesten Linien ffe- 
bildotes Dreieck gleich ist dem halben üeberschusse seiner Winkel- 
summe über zwei Rechte in Theilen des Halbmessers. Die erste De- 
finition würde den Satz voraussetzen, dass das Product der beiden 
Krümmungshalbmesser bei der blossen Biegung einer Fläche ungeändert 
bleibt, die zweite, dass an demselben Orte der üeberschuss der Winkel- 
summe eines unendlich kleinen Dreiecks über zwei Rechte seinem In- 
halte proportional ist. Um dem Krümmungsmass einer wfach aus- 
gedehnten Mannigfaltigkeit in einem gegebenen Punkte und einer ge- 
gebenen durch ihn gelegten Flächenrichtung eine greifbare Bedeutung 
zu geben, muss man davon ausgehen, dass eine von einem Punkte 
ausgehende kürzeste Linie völlig bestimmt ist, wenn ihre Anfangs- 
richtung gegeben ist. Hienach wird man eine bestimmte Fläche er- 
halten, wenn man sämmtliche von dem gegebenen Punkte ausgehenden 
und in dem gegebenen Flächenelcment liegenden Anfaugsrichtungen 
zu kürzesten Linien verlängert, und diese Fläche hat in dem gegebenen 
Punkte ein bestimmtes Krümmuugsmass, welches zugleich das Krüm- 
mungsmass der ?ifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in dem gegebenen 
Punkte und der gegebenen Flächenrichtung ist. 

4. 

Es sind nun noch, ehe die Anwendung auf den Raum gemacht 
wird, einige Betrachtungen über die ebenen Mannigfaltigkeiten im All- 
gemeinen nöthig, d. h. über diejenigen, in welchen das Quadrat des 
Linienelements durch eine Quadratsumme vollständiger Differential ien 
darstellbar ist. 

Li einer ebenen wfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit ist das 
Krümmungsmass in jedem Punkte in jeder Richtung Null; es reicht 
aber nach der frühern Untersuchung, um die Massverhältnisse zu be- 

stimmen, hin zu wissen, dass es in jedem Punkte in w —- — Flächen- 
richtungen, deren Krümmungsmasse von einander unabhängig sind. 



264 Xlll. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

Null sei. Die Mannigfaltigkeiten, deren Krümmungsmass überall = 
ist, lassen sich betrachten als ein besonderer Fall derjenigen Mannig- 
faltigkeiten, deren Krümmungsmass allenthalben constant ist. Der 
gemeinsame Charakter dieser Mannigfaltigkeiten, deren Krümmungs- 
mass constant ist, kann auch so ausgedrückt werden, dass sich die 
Figuren in ihnen ohne Dehnung bewegen lassen. Denn offenbar wür- 
den die Figuren in ihnen nicht beliebig verschiebbar und drehbar sein 
können, wenn nicht in jedem Punkte in allen Richtungen das Krüm- 
mungsmass dasselbe wäre. Andererseits aber sind durch das Krüm- 
mungsmass die Massverhältnisse der Mannigfaltigkeit vollständig be- 
stimmt; es sind daher um einen Punkt nach allen Richtungen die 
Massverhältnisse genau dieselben, wie um einen andern, und also von 
ihm aus dieselben Constructionen ausführbar, und folglich kaiin in den 
Mannigfaltigkeiten mit constantem Krümmungsmass den Figuren jede 
beliebige Lage gegeben werden. Die Massverhältnisse dieser Mannig- 
faltigkeiten hängen nur von dem Wt^rthe des Krümmungsmasses ab, 
und in Bezug auf die analytische Darstellung mag bemerkt werden, 
dass, wenn man diesen Werth durch a bezeichnet, dem Ausdruck für 
das Linienelement die Form 



i + f^.^ 



yudx' 



gegeben werden kann. 



Zur geometrischen Erläuterung kann die Betrachtung der Flächen 
mit constantem Krümmungsmass dienen. Es ist leicht zu sehen, dass 
sich die Flächen, deren Krümmungsmass positiv ist, immer auf eine 
Kugel, deren Radius gleich 1 dividirt durch die Wurzel aus dem 
Krümmungsmass ist, wickeln lassen werden; um aber die ganze Mannig- 
faltigkeit dieser Flächen zu übersehen, gebe man einer derselben die 
Gestalt einer Kugel und den übrigen die Gestalt von Umdrehungs- 
flächen, welche sie im Aequator berühren. Die Flächen mit grösserem 
Krümmungsmass, als diese Kugel, werden dann die Kugel von innen 
berühren und eine Gestalt annehmen, wie der äussere der Axe ab- 
gewandte Theil der Oberfläche eines Ringes; sie würden sich auf Zonen 
von Kugeln mit kleinerem Halbmesser wickeln lassen, aber mehr als 
einmal herumreichen. Die Flächen mit kleinerem positiven Krümmungs- 
mass wird man erhalten, wetm man aus Kugelflächen mit grösserem 
Radius ein von zwei grössten Halbkreisen begrenztes Stück ausschneidet 
und die Schnittlinien zusammenfügt. Die Fläche mit dem Krümmungs- 



XIIL Ueber dio Hypoüiesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 265 

inass Null wird eine auf dem Aequator stehende Cylinderfläche sein; 
die Flüclien mit negativem Krümmungsmass aber werden diesen Cylin- 
der von aussen berühren und wie der innere der Axe zugewandte Theil 
der Oberfläche eines Ringes geformt sein. Denkt man sich diese 
Flächen als Ort für in ihnen bewegliche Flächenstücke, wie den Raum 
als Ort für Körper, so sind in allen diesen Flächen die Flächenstücke 
ohne Dehnung beweglich. Die Flächen mit positivem Krümmungsmass 
lassen sich stets so formen, dass die Flächenstücke auch ohne Biegung 
beliebig bewegt werden können, nämlich zu Kugelflächen, die mit ne- 
gativem aber nicht. Ausser dieser Unabhängigkeit der Flächenstücke 
vom Ort findet bei der Fläche mit dem Krümmungsmass Null auch 
eine Unabhängigkeit der Richtung vom Ort statt, welche bei den 
übrigen Flächen nicht stattfindet. 

III. Anwendung auf den Raum. 

1. 

Nach diesen Untersuchungen über die Bestimmung der Massver- 
hältnisse einer wfach ausgedehnten Grösse lassen sich nun die Bedin- 
gungen angeben, welche zur Bestimmung der Massverhältnisse des 
Raumes hinreichend und nothwendig sind, wenn Unabhängigkeit der 
Linien von der Lage und Darstellbarkeit des Linienelements durch die 
Quadratwurzel aus einem Differontialausdrucke zweiten Grades, also 
Ebenheit in den kleinsten Theilen vorausgesetzt wird. 

Sie lassen sich erstens so ausdrücken, dass das Krümmungsmass 
in jedem Punkte in drei Flächenrichtungen = ist, und es sind da- 
her die Massverhältnisse des Raumes bestimmt, wenn die Wink^'l- 
summe im Dreieck allenthalben gleich zwei Rechten ist. 

Setzt man aber zweitens, wie Euklid, nicht bloss eine von der 
Lage unabhängige Existenz der Linien, sondern auch der Körper 
voraus, so folgt, dass das Krümmungsmass allenthalben constant ist, 
ujid es ist dann in allen Dreiecken die Winkelsumme bestimmt, wenn 
sie in Einem bestimmt ist. 

Endlich könnte man drittens, anstatt die Länge der Linien als 
unabhängig von Ort und Richtung anzunehmen, auch eine Unab- 
hängigkeit ihrer Länge und Richtung vom Ort voraussetzen. Nach 
dieser Autfassung sind die Ortsänderungen oder Ortsverschiedenheiten 
complexe in drei unabhängige Einheiten ausdrückbare Grössen. 

2. 

hn Laufe der bisherigen Betrachtungen wurden zunächst die Aus- 
dehnungs- oder Gebietsverhältnisse von den Massverhältnissen geson- 



26(3 Xlll. Ucber die llypoiliCbL'u, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

dert, und gefunden, dass bei denselben Ausdelinungsverhältnissen ver- 
schiedene Massverhältnisse denkbar sind; es wurden dann die Systeme 
einfacher Massbestimmungen aufgesucht, durch welche die Mass Ver- 
hältnisse des llaumes völlig bestimmt sind und von welchen alle Sätze 
über dieselben eine nothwpndige Folge sind; es bleibt nun die Frage 
zu erörtern, wie, in welchem Grade und in welchem Umfange diese 
Voraussetzungen durch die Erfahrung verbürgt werden. In dieser Be- 
ziehung findet zwischen den blossen Ausdehnungsverhältnissen und den 
Massverhältnissen eine wesentliche Verschiedenheit statt, insofern bei 
erstem, wo die möglichen Fälle eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, 
die Aussagen der Erfahrung zwar nie völlig gewiss, aber nicht un- 
genau sind, während bei letztern, wo die möglichen Fälle eine stetige 
Mannigfaltigkeit bilden, jede Bestimmung aus der Erfahrung immer 
ungenau bleibt — es mag die Wahrscheinlichkeit, dass sie nahe richtig 
ist, noch so gross sein. Dieser Umstand wird wichtig bei der Aus- 
dehnung dieser empirischen Bestimmungen über die Grenzen der Beob- 
achtung ins ünmessbargrosse und Unmessbarkleine; denn die letztern 
können offenbar jenseits der Grenzen der Beobachtung immer unge- 
nauer werden, die ersteren aber nicht. 

Bei der Ausdehnung der Raumconstructionen in's ünmessbargrosse 
ist Unbegrenztheit und Unendlichkeit zu scheiden; jene gehört zu den 
Ausdehnungsverhältnissen, diese zu den Massverhältnissen. Dass der 
Raum eine unbegrenzte dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit sei, ist 
eine Voraussetzung, welche bei jeder Auffassung der Aussenwelt an- 
<»"ewandt wird, nach welcher in jedem Augenblicke das Gebiet der 
wirklichen Wahrnehmungen ergänzt und die möglichen Orte eines ge- 
suchten Gegenstandes construirt werden und welche sich bei diesen 
Anwendungen fortwährend bestätigt. Die Unbegrenztheit des Raumes 
besitzt daher eine grössere empirische Gewissheit, als irgend eine 
äussere Erfahrung. Hieraus folgt aber die Unendlichkeit keineswegs; 
vielmehr würde der Raum, wenn man Unabhängigkeit der Körper vom 
Ort voraussetzt, ihm also ein constantes Krümmungsmass zuschreibt, 
nothwendig endlich sein, so bald dieses Krümmungsmass einen noch 
so kleinen positiven Werth hätte. Man würde, wenn man die in einem 
Flächenelement liegenden Anfangsrichtungen zu kürzesten Linien ver- 
längert, eine unbegrenzte Fläche mit constantem positiven Krümmungs- 
mass, also eine Fläche erhalten, welche in einer ebenen dreifach aus- 
gedehnten Mannigfaltigkeit die Gestalt einer Kugelfläche annehmen 
würde und welche folglich endlich ist. 



XLir. Uebcr diu Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 267 



Die Fragen über das Uiimessbargrosse sind für die Naturerkläruii^ 
müssige Fragen. Anders verliält es sich aber mit den Fragen über 
das Unmessbarkleine. Auf der (ienauigkeit, mit welcher wir die Er- 
scheinungen in's Unendlichkleine verfolgen, beruht wesentlich die Er- 
kenntniss ihres (Jausalzusar^nenhangs. Die Fortschritte der letzten 
Jahrhunderte in der Erkenntniss der mechanischen Natur sind fast 
allein bedingt durch die Genauigkeit der Construction, welche durch 
die Erfindung der Analysis des Unendlichen und die von Archimed, 
(ialliliii und Newton aufgefundenen einfachen Grundbegriffe, deren 
sich die heytige Physik bedient, möglich geworden ist. In den Natur- 
wissenschaften aber, wo die einfachen Grundbegriffe zu solchen Con- 
structionen bis jetzt fehlen, verfolgt man, um den Causalzusaramen- 
hang zu erkeimen, die Erscheinungen in's riiumlicli Kleine, so weit es 
das Mikroskop nur gestattet. Die Fragen über die Massverhältnisse 
des Raumes im ünmessbarkleinen gehören also nicht zu den müssigen. 

Setzt man voraus, dass die Körper unabhängig vom Ort existiren, 
so ist das Krümmungsmass überall constant, ujid es folgt dann aus 
den astronomischen Messungen, dass es nicht von Null verschieden 
sein kann; jedenfalls müsste sein reciprocer Werth eine Fläche sein, 
gegen welche das unsern Teleskopen zugängliche Gebiet verschwinden 
müsste. Wenn aber eine solche Unabhängigkeit der Körper vom Ort 
nicht stattfindet, so kann mau aus den Massverhältnissen im (irossen 
nicht auf die im Unendlichkleinen schliessen; es kann dann in jedem 
Punkte das Krümmungsmass in drei Richtungen einen beliebigen Werth 
haben, wenn nur die ganze Krümmung jedes messbaren Raumtheils 
nicht merklich von Null verschieden ist; noch complicirtere Verhält- 
nisse können, eintreten, wenn die vorausgesetzte Darstellbarkeit eines 
Ijinienelements durch die Quadratwurzel aus einem Diöerentialausdruck 
zweiten (Jrades nicht stattfindet. Nun scheinen aber die empirischen 
Regriffe, in welchen die räumlichen Massbestimmungen gegründet sind, 
der Regriff' des festen Körpers und des Lichtstrahls, im Unendlich- 
kleinen ihre Gültigkeit zu verlieren; es ist also sehr wohl denkbar, 
dass die Massverhältnisse des Raumes im Unendlichkleinen den Vor- 
aussetzungen der (ieometrie nicht gemäss sind, und dies würde nlan 
in der That annehmen müssen, sobald sich dadurch die Erscheinungen 
auf einfachere Weise erklären Hessen. 

Die Frage über die Ciültigkeit der Voraussetzungen der (ieometrie 
im Unendlichkleinen hängt zusammen mit der Frage nach dem innern 
Grunde der Massverhältnisse des Raumes. Bei dieser Frage, welche 



268 XIII. Uebor die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 

wohl noch zur Lehre vom Räume gerechnet werden darf^ kommt die 
obige Bemerkung zur Anwendung, dass bei einer discreten Mannig- 
faltigkeit das Princip der Massverhältnisse schon in dem Begriffe 
dieser Mannigfaltigkeit enthalten ist, bei einer stetigen aber anders 
woher hinzukommen muss. Es muss also entweder das dem Räume 
zu Grunde liegende Wirkliche eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, 
oder der Grund der Massverhältnisse ausserhalb, in darauf wirkenden 
bindenden Kräften, gesucht werden. 

Die Entscheidung dieser Fragen kann nur gefunden werden, indem 
man von der bisherigen durch die Erfahrung bewährten Auffassung 
der Erscheinungen, wozu Newton den Grund gelegt, ausgeht und 
diese durch Thatsachen, die sich aus ihr nicht erklären lassen, ge- 
trieben allmählich umarbeitet; solche Untersuchungen, welche, wie die 
hier geführte, von allgemeinen Begriffen ausgehen, können nur dazu 
dienen, dass diese Arbeit nicht durch die Beschränktheit der Begriffe 
gehindert und der Fortschritt im Erkennen des Zusammenhangs der 
Dinge nicht durch überlieferte Vorurtheile gehemmt wird. 

Es führt dies hinüber in das Gebiet einer andern Wissenschaft, 
in das Gebiet der Phj^^sik, welches wohl die Natur der heutigen Ver- 
anlassung nicht zu betreten erlaubt. 



U e b e r s i c h t. 

Seite 

Plan der Untersuchung 254 

I. Begriff' einer nfach. ausgedehnten Grösse*) 255 

§. 1. Stetige und discrete Mannigfaltigkeiten, liestinimte Theile einer Man- 
nigfaltigkeit heissen Quanta. Eintheiking der Lehre von den stetigen 
Grössen in die Lehre 

1) von den blossen Gebietsverhältnissen, bei welcher eine Unab- 
hängigkeit der Grössen vom Ort nicht vorausgesetzt wird, 

2) von den Massverhältnissen, bei welcher eine solche Unabhängig- 
keit vorausgesetzt werden muss 255 

§. 2. Erzeugung des Begriff's einer einfach, zweifach, . . . , nfach ausgedehn- 
ten Mannigfaltigkeit 257 

§. 8. Zurückführung der Ortsbestimmung in einer gegebenen Mannigfaltig- 
keit auf Quantitätsbestimmungen. Wesentliches Kennzeichen einer 
/ifach ausgedehnten Mannigfaltigkeit 257 

II. Massverhältnisse, deren eine Mannigfaltigkeit von ?i Dimensionen fähig 



'') Art. 1. bildet zugleich die Vorarbeit für Beiträge zur aiialysis situs. 



Uebersicht. 269 

Seite 
ist*), unter der Voraussetzung, dass die Linien unabhängig von der 
Lage eine Länge besitzen, also jede Linie durch jede messbar ist. . . '258 
§. 1. Ausdruck des Linienelements. Als eben werden solche Mannigfaltig- 
keiten betrachtet, in denen das Linienelement durch die Wurzel aus 
einer Quadratsumme vollständiger Differentialien ausdrückbar ist . . 259 
i?. 2. Untersuchung der nfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, in welchen 
das Linienelement durch die Quadratwurzel aus einem Differentialaus- 
druck zweiten Grades dargestellt werden kann. Mass ihrer Abwei- 
chung von der Ebenheit (Krümmungsmass) in einem gegebenen Punkte 
und einer gegebenen Flächenrichtung. Zur Bestimmung ihrer Mass- 
verhältnisse ist es (unter gewissen Beschränkungen) zulässig und 

n 1 

hinreichend, dass das Krümmungsmass in jedem Punkte in n ^ 

Flächenrichtungen beliebig gegeben wird 261 

c?. 3. Geometrische Erläuterung 202 

§. 4. Die ebenen Mannigfaltigkeiten (in denen das Kriimmungsmass allent- 
halben = ist) lassen sich betrachten als einen besondem Fall der 
Mannigfaltigkeiten mit constantem Krümmungsmass. Diese können 
auch dadurch dcfinirt werden, dass in ihnen Unabhängigkeit der nfach 
ausgedehnten Grössen vum Ort (Bewegbarkeit d(n-selben ohne Dehnung) 

stattfindet 203 

§. ö. Flächen mit constantem Krümmungsmasse 264 

III. Anwendung auf den Raum 265 

§. 1. Systeme von Thatsachen, welche zur Bestimmung der Massverhältnisse 

des Raumes, wie die Geometrie sie voraussetzt, hinreichen .... 265 
ij. 2. In wie weit ist die Gültigkeit dieser empirischen Bestimmungen wahr- 
scheinlich jenseits der Grenzen der Beobachtung im Unmessbargrossen? 205 
§. 3. In wie weit im Unendlichkleinen? Zusammenhang dieser Frage mit 

der Naturerklärung**) 207 

*) Die Untersuchung über die möglichen Massbestimmungen einer 7ifach aus- 
gedehnten Mannigfaltigkeit ist sehr unvollständig, indess für den gegenwärtigen 
Zweck wohl ausreichend. 

**) Der §. 3. des Art. 111. bedarf noch einer Umarbeitung und weitern Ausführung. 



XIV. 

Ein Beitrag zur Elektrodynamik. 

(Aus Poggeudorffs AnnaleD der Physik und Chemie, Bd. CXXXl.) 

Der Küiiiglichen Societät erlaube ich mir eine Bemerkung mit- 
zutlieilen, welche die Theorie der Elektricität und des Magnetismus 
mit der des Lichts und der strahlenden Wärme in einen nahen Zu- 
sammenhang bringt. Ich habe gefunden^ dass die elektrodynamischen 
Wirkungen galvanischer Ströme sich erklären lassen^ wenn man an- 
nimmt, dass die Wirkung einer elektrischen Masse auf die übrigen 
nicht momentan geschieht, sondern sich mit einer constanten (der Licht- 
geschwindigkeit innerhalb der Grenzen der Beobachtungsfehler gleichen) 
Geschwindigkeit zu ihnen fortpflanzt. Die Differentialgleichung für die 
Fortpflanzung der elektrischen Kraft wird bei dieser Annahme dieselbe, 
wie die für die Fortpflanzung des Lichts und der strahlenden Wärme. 

Es seien S und S' zwei von constanten galvanischen Strömen 
durchflossene und gegen einander nicht bewegte Leiter, e sei ein 
elektrisches Massentheilchen im Leiter S, Avelches sich zur Zeit t im 
Punkte (.r, y, z) befinde, e' ein elektrisches Massentheilchen von S' 
und befinde sich zur Zeit t im Punkte {x , y, /). Ueber die Bewegung 
der elektrischen Massentheilch'en, welche in jedem Leitertheilchen für 
die positiv und negativ elektrischen entgegengesetzt ist, mache ich die 
Voraussetzung, dass sie in jedem Augenblicke so vertheilt sind, dass 
die Summen 

Zefipc, y, z\ Z^i\x, y\ /) 
über sämmtliche Massentheilchen der Leiter ausgedehnt gegen dieselben 
Summen, wenn sie nur über die positiv elektrischen oder nur über 
die negativ elektrischen Massentheilchen ausgedehnt werden, vernach- 
lässigt werden dürfen, sobald die Function /' und ihre Differential- 
quotienten stetig sind. 

Diese Voraussetzung kann auf sehr mannigfaltige Weise erfüllt 
werden. Nimmt man z. B. an, dass die Leiter in den kleinsten Theilen 
krystallinisch sind, so dass sich dieselbe relative VortluMluug der 



XIV. Ein Beitrag zur Elektrodynamik. 271 

Elektricitäten in bestimmten gegen die Dimensionen der Leiter unend- 
lich kleinen Abständen periodisch wiederholt, so sind, wenn ß die 
Länge einer solchen Periode bezeichnet, jene Summen unendlich klein, 
wie cß", wenn /' und ihre Derivirten bis zur (n — l)ten Ordnung stetig 

sind, und unendlich klein wie e ' , wenn sie sämmtlich stetig sind. 



Erfahrungsmässiges Gesetz der elektrodynamischen "Wirkungen. 

Sind die specifischen Stromintensitäten nach mechanischem Mass 
zur Zeit t im Punkte (^, y^ z) parallel den drei Axen ?/, v, tv, und 
im Punkte (/, y, /) «', v\ w\ und bezeichnet r die Entfernung beider 
Punkte, c die von Kohlrausch und Weber bestimmte Constante, so 
ist der Erfahrung nach das Potential der von S auf S' ausgeübten 
Kräfte 

- cc f f ""-'+- j'-^—'^dSdS', 

dieses Integral über sämmtliche Elemente dS und dS' der Leiter S 
und >S" ausgedehnt. Führt man statt der specifischen Stromintensitäten 
die Producte aus den Geschwindigkeiten in die specifischen Dichtig- 
keiten und dann für die Producte aus diesen in die Volumelemente die 
in ihnen enthaltenen Massen ein, so geht dieser Ausdruck über in 

cc r dt dt 

wenn die Aenderung von r" während der Zeit dt^ welche von der Be- 
wegung von £ herrührt, durch d, und die von der Bewegung von a 
herrührende durch d' bezeichnet wird. 

Dieser Ausdruck kann durch Hinwegnahme von 

cc r dt 
dt 

welches durch die Summirung nach e verschwindet, in 

- "(-) .V ». 
cc dt dt 

und dieses wieder durch Addition von 

(I ZI. ) r 

cc dt 

<lf 
welches durch die Suuuuation nach t' Null wird, in 



272 XIY. Ein Beitrag zur Elektrodjaiamik. 

cc dt dt 
verwandelt werden. 

Ableitung dieses Gesetzes aus der neuen Theorie. 

Nacli der bislierigen Annalime über die elektrostatische Wirkung 
wird die Potential Function U beliebig vertlieilter elektrischer Massen, 
wenn q ihre Dichtigkeit im Punkte (,x', y^ z) bezeichnet, durch die 
Bedingung 

dx^ ' oy^ ' dz- ^ ^ 

und durch die Bedingung, dass U stetig und in unendlicher Entfernung 
von wirkenden Massen constant sei, bestimmt. Ein particulares Inte- 
gral der Gleichung 

dx' ~r 8y- ~^ dz^ ~ ' 
welches überall ausser dem Punkte {a: , y ^ /) stetig bleibt, ist 

yW 

r 
und diese Function bildet die vom Punkte (ä/, y\ /•) aus erzeugte 
Potentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit t diö Masse — fif) 
befindet. 

Statt dessen nehme ich nun an, dass die Potentialfunction V durch 
die Bedingung 

dt' \ox- ' Oy^ ' cz'/ ' ^ 

bestimmt wird, so dass die vom Punkte (x, ?/, /) aus erzeugte Po- 
tentialfunction, wenn sich in demselben zur Zeit t die Masse — f(f) 
befindet, ^ 

r 

wird. 

Bezeichnet mau die Coordinaton der Masse s zur Zeit t durch 
Xtj ytj Zi, und die der Masse t zur Zeit t' durch ./y, y'f, Zf, und setzt 
zur Abkürzung 

(fc - xVf + (?A - y',')' + («, - ^'.'If^ = ^--f) = F(t, i'), 
so wiril iiacli dieser Annaliino das l'otential vou £ auf t' zuv Zeit / 



XTV. Ein Beitrag zur Elektrodynamik. 273 

Das Potential der von sämmtliclien Massen f des Leiters S -auf 
die Massen a des Leiters S' von der Zeit bis zur Zeit t ausgeübten 
Kräfte wird daher 



p=— I'zzss'fU— [,ty., 



u 
die Summen über sämmtliehe Massen beider Leiter ausgedehnt. 

Da die Bewegung für entgegengesetzt elektrische Massen in jedem 
Leitertheilchen entgegengesetzt ist^ so erlangt die Function F(tj f) 
durch die Derivation nach t die Eigenschaft^ mit £, und durch die 
Derivation nach f die Eigenschaft, mit e' ihr Zeichen zu ändern. Bei 
der vorausgesetzten Vertheilung der Elektricitäten wird daher, wemi 
mau die Derivationen nach t durch obere und nach f durch untere 
Accente bezeichnet, UUse F^!^ (r, t), über sämmtliehe elektrische Massen 
ausgedehnt, nur dann nicht unendlich klein gegen die über die elektri- 
schen Massen einer Art erstreckte Summe, wenn n und n beide un- 
gerade sind. 

Man nehme nun an, dass die elektrischen Massen während der 
Fortpflanzungszeit der Krafc von einem Leiter zum anderen nur einen 
sehr kleinen Weg zurücklegen, und betrachte die Wirkung während 
eines Zeitraums, gegen welchen die Fortpflanzungszeit verschwindet. 
In dem Ausdrucke von F kann man dann zunächst 



durch 



4-v>^) 



F(t — l , r) — Kr, r) = — f F' {x — (T, t)da 

u 
ersetzen, da LEat Fir^T) vernachlässigt werden darf. Man erhält 
dadurch 



I a 

P = CdtZZas Cr ix — G, x) 



da. 



oder wenn man die Ordnung der Litegrationen umkehrt und r -(- a 
für T setzt. 



r 

« I - (T 



P = SEea Cda rdxF\x, x + o). 

— <f 

Verwandelt man die Grenzen des Innern Integrals in und /, so 
wird dadurch an der obern Grenze der Ausdruck 

lliEMANx's gesammelt»' iiiatluniutisclit> Werke. I, 18 



274 X\Y. Ein Beitrag zur Elektrodynamik. 



H{t) = U^Jes' j'da CilxF'it + t, ^ + r + a) 

— (T 

hinzugefügt, und an der untern Grenze der Werth dieses Ausdrucks 
für t = hinweggenommen. Man hat also 

r 

t Tt 

F = färZZes Cdar{r, r -\- ö) - H{t) + H{()). 



In diesem Ausdruck kann man F\t, t + (?) durch F' (t, t + (?) — F'{r,r) 
ersetzen, da 



7 

/ r 



EEes -F\t,T) 

vernachlässigt Averden darf. Man erhält dadurch als Factor von se' 
einen Ausdruck, der sowohl mit s als mit s' sein Zeichen ändert, so 
dass sich bei den Summationen die Glieder nicht gegen einander auf- 
heben, und unendlich kleine Bruchtheile der einzelnen Glieder vernach- 
lässigt werden dürfen. Es ergiebt sich daher, indem man 

F\t,r + ö)- F'{x, r) durch o-j^^ 

ersetzt und die Integration nach a ausführt, bis auf einen zu ver- 
nachlässigenden Bruchtheil 

Es ist leicht zu sehen, dass H{t) und H(0) vernachlässigt werden 
dürfen; denn es ist 

F'(f + r.f + r + a)= ]{■'+ ^L'-r + ^(r + a) + ■■., 

folglich : 

4(±) .d-^il-) ., dd-(-i) 
rrr.x ^,. > ( rr \r / v \r I _. r' \r I ^^ 

n{t) — Z.A8B y^^^-Y^ ««^'"TtT^ + g«^' dt dt "T 

Hierin aber ist nur das erste Glied des Factors von ff' mit dem 
Factor in dem ersten Bestandtheile von P von gleicher Ordnung, und 
dieses liefert wegen der Summation nach a nur einen zu vernach- 
lässigenden Bruchtheil desselben. 

Der Werth von P, welcher sich aus unserer Theorie ergiebt, 
stimmt mit dem erfahrungsmässigen 



XIV. Ein Beitrag zur Elektrodynamik. 275 

1 cc dt dz 

u 

ühorein, wenn man «« = Jcr annimmt. 

Nach der Bestimmung von Weber und Kohl rausch ist 

c = 439450. 10^' ™^*"^f^ 
becunde 

woraus sich a zu 41949 geographischen Meilen in der Secunde ergiebt, 
wlUirend für die Liclitgeschwindigkeit von Busch aus Bradley's 
Aberrationsbeobaclitungen 41994 Meilen, und von F'izeau durch directe 
Messung 41882 Meilen gefunden worden sind. 



Dieser Aufsatz wurde von lliemann der Königl. Gesellschaft der Wissen- 
schaften zu Göttingen am 10. Februar 1858 überreicht, wie aus einer dem Titel 
des Manuscriptes hinzugefügten Bemerkung des damaligen Secretiirs der Gesell- 
schaft hervorgeht, später aber wieder zurückgezogen. Nachdem der Aufsatz nach 
Kiemann's Tode veröffentlicht worden war, wurde er durch Clausius (Poggen- 
dorffs Annalen Bd. CXXXV p. 006) einer Kritik unterworfen, deren wesentlichster 
Einwand in Folgendem besteht: 

Nach den Voraussetzunffen hat die Summe: 



i' = -j'zz..'4-;;, r) 



dz 



einen verschwindend kleinen Werth. Die Operation, vermöge deren später für die- 
selbe ein nicht verschwindend kleiner Werth gefunden wird, muss daher einen 
Irrthum enthalten, den Clausius in der Ausführung einer unberechtigten Um- 
kehrung der Integrationsfolge findet. 

Der Einwand scheint mir begründet und ich bin mit Clausius der Meinung, 
dass Riemann sich denselben selbst gemacht und desshalb die Arbeit vor der 
Publication zurückgezogen hat. 

Obwohl damit der wesentlichste Inhalt der lliemann'schen Deduction dahin- 
fallen würde, habe ich mich doch zur Aufnahme dieses Aufsatzes in die vorliegende 
Sammlung entschlossen, weil ich nicht zu entscheiden wagte, ob er nicht doch 
noch Keime zu weiteren fruchtbaren Gedanken über diese höchst interessante 
Frage enthält. W. 



18' 



XV. 

Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2 1/ flieh 
periodische Function von v? Veränderlichen unmöglich ist.*) 

(Aus Borchardt's Journal für reino und angewandte Matliematik, Bd. 7.1.) 

. . . Den Beweis des Satzes, auf welchen Sie neulich die Unterhal- 
tung lenkten, dass eine einwerthige mehr als 2>^fach periodische Function 
von n Veränderlichen unmöglich ist, habe ich im Gespräch wohl nicht 
ganz klar ausgedrückt, auch nur die Grundgedanken angegeben; ich 
theile ihn Ihnen daher hier noch einmal mit. 

Es sei f eine 2 ^^ fach periodische Function von w Veränderlichen 
x^, X2J . . ., Xn und — ich darf wohl meine Ihnen bekannten Benen- 
nungen gebrauchen — der Periodicitätsmodul von ./',. für die ftte Periode 
a' . Es lassen sich dann bekanntlich die Grössen x in die Form 



X, = ^%^, für 7/ = 1, 2, . . ., n 



setzen**), so dass die Grössen | reell sind. Lässt man nun die Grössen 
I die Werthe von bis 1 mit Ausschluss eines von diesen Grenz- 
werthen durchlaufen, so hat das dadurch entstehende 2 w fach ausge- 
dehnte Grössengebiet die Eigenschaft, dass jedes System von Werthen 
der w Veränderlichen einem und nur einem Werthsysteme innerhalb 
dieses Grössengebiets nach den 2n Modulsystemen congruent ist. Ich 
werde, um mich später kürzer ausdrücken zu können, dieses Gebiet 
„das bei diesen 2 w Modulsystemen periodisch sich wiederholende Grössen- 
gebiet" nennen. 

Hat die Function nun noch ein 2n-|-ltes Modulsystem, welches 
sich nicht aus den 2n ersten Modulsystemen zusammensetzen lässt, so 



*) Auszug aus einem Schreiben Riemanns an Hrn. Weierstrass. 
**) Dies ist nicht immer der Fall, sondern nur, wenn die 2 n Gleichungen, 
durch welche die Grössen | bestimmt werden, von einander unabhängig sind; die 
Ausnahmen sind aber leicht zu behandeln. 



XV. Beweis des Satzes, dass eine einwerthige etc. 277 

kann man die einem Grössensysterae nach diesem Modulsysteme con- 
gruenten Grössensysteme auf innerhalb dieses Gebiets liegende nach 
den 2)1 ersten Modulsystemen ihnen congruente zurückführen und da- 
durch offenbar beliebig viele innerhalb dieses (iebiets liegende und 
nach den 2n+l Modulsystemen einander congruente Grössensysteme 
erhalten, wenn nicht zwei von -den nach dem 2n+ Iten Modulsysteme 
congruente Grössensysteme auch nach den 2n ersten Modulsystemen 
congruent sind. In diesem Falle würden zwischen den 2n-\- i Modul- 
systemen n Gleichungen von der Form 

,«=1 
worin die Grössen m ganze Zahlen wären, stattfinden, und folglich, 
wie ich später zeigen werde, die 2n-\- 1 Modulsysteme sich aus 2>? ^To- 
dulsystemen zusammensetzen lassen. 

Man theile nun für jede der Grössen ^ die Strecke von bis 1 
in q gleiche Theile, wodurch das bei den 2n ersten Modulsystemen 
periodisch wiederkehrende Gebiet in q^" Gebiete zerfällt, in deren jedem 

sich die Grössen | nur um — ändern. Offenbar müssen dann von 

q 

mehr als 5^" nach den 2n + 1 Modulsystemen einander congruenten und 
in jenem Gebiete liegenden Grössensystemen nothwendig zwei in dasselbe 
Theilgebiet fallen, so dass sich die Werthe derselben Grösse J in bei- 
den keinenfalls um mehr als von einander unterscheiden. Die 
Function bleibt also dann ungeändert, während keine der Grössen g 
um mehr als geändert wird, und ist folglich, da q beliebig gross 

genommen werden kann, wenn sie stetig ist, eine Function von we- 
niger als n linearen Ausdrücken der Grössen ./■. 

Es ist nun noch zu zeigen, dass sich 2;^+! Modulsysteme, zwi- 
schen denen die n Gleichungen 

stattfinden, aus 2 71 Modulsystemen zusammensetzen lassen. 

Man kann zunächst leicht beweisen, dass sich zu einem Modul- 
systeme 

worin die Grössen m ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler 
sind, immer 2 71 — 1 andere Modulsysteme 6^,, 63,. . . , 6^,, so finden lassen, 



278 XV. Beweis des Satzes, dass eine eiuwerthige etc. 

dass Congruenz uacli den Modulsystemen a mit Congruenz nach den 
Modulsystemen h identisch ist. Es seien 9^ der grösste gemeinschaft- 
liche Theiler von m^ und 7n., und K,ß zwei der Gleichung 

ßnij^ — am.^ = 0^ 
genügende ganze Zahlen. Setzt man dann 

a\ nii + (fl m.^ == c] O^ 
und 

aal + ßal = &;^ , 
so hat man 

Es lassen sich also auch umgekehrt die Modulsysteme a^ und a^ aus 
den Modulsystemen h^n und q zusammensetzen, und folglich ist Con- 
gruenz nach jenen mit Congruenz nach diesen gleichhedeutend. Man 
kann daher die Modulsysteme a^ und «^ durch die Modulsysteme q 
und hon ersetzen. Auf dieselbe Weise kann man nun, wenn Gg der 
grösste gemeinschaftliche Theiler von 6^ und m^ ist, die Modulsysteme 
c'i und «3 durch das Modulsystem 

und durch ein Modulsystem &2«— 1 ersetzen. Durch Fortsetzung dieses 
Verfahrens erhält man offenbar den zu beweisenden Satz. Der Inhalt 
des periodisch sich wiederholenden Gebiets ist für die neuen Modul- 
systeme h derselbe wie für die alten. 

Mit Hülfe dieses Satzes lassen sich in den n Gleichungen 

1 

die 2n ersten Modulsysteme so durch 2n neue &^, h^y . . ., h^n ersetzen, 
dass diese Gleichungen die Form 

annehmen, worin p und ([ ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Theiler 
sind. Sind nun y^ ö zwei der Gleichung 

pÖ -{- ,jy=l 

genügende ganze Zahlen, so lassen sich offenbar die beiden Modul- 
systeme h^ und «2«+x durch das eine Modulsystem 

a , b 

' 1 • 2rt+l p q 

ersetzen. Sämmtliche Modulsysteme, welche sich aus den Modulsystemen 



XV. Beweis des Satzes, dass eine einwerthige etc. 279 

a^y a.,, . . .y a2„-\.i zuHammensetzen lassen, können also auch aus den 
2/1 Modulsystemen ~, b.^, \j ..., h^n zusammengesetzt werden, und 
umgekehrt. Der Inhalt des periodisch wiederkehrenden Gebiets be- 
trägt für diese 2n Modulsysteme nur — von dem für die 2n ersten 

Modulsysteme a. Hat die Function nun ausser diesen Modulsystemen 
noch ein durch ähnliche ganzzahlige Gleichungen mit ihnen verbun- 
denes, so lassen sich wieder 2n neue Modulsysteme finden, aus wel- 
chen sich alle diese Modulsysteme zusammensetzen lassen, und der In- 
halt des periodisch sich wiederholenden Gebiets wird dabei wieder auf 
einen aliquoten Theil reducirt. Wenn dieses Gebiet unendlich klein 
wird, so wird die Function eine Function von weniger als n linearen 
Ausdrücken der Veränderlichen und zwar von n — 1 oder n — 2 oder 
11 — m, jenachdem nur eine, oder zwei oder m Dimensionen dieses 
Grössengebiets unendlich klein werden. Soll dies aber nicht eintreten, 
so muss die Operation schliesslich abbrechen, und man wird also zu 
2n Modulsystemen gelangen, aus welchen sich sämmtliche Modul - 
Systeme der Function zusammensetzen lassen. 

Göttingen, den 26ten October 1859. 



XYI. 

Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il di 
21 Gennaio 1864 al Sig. Professore Enrico Betti. 

(Annali di Matematica, Ser. 1. T. VII.) 

Carissimo Amico 
. . . Per trovare Tattrazione di un cilindro omogeneo retto ellissoi- 
dale qualunque, io considero, introduceiido coordiiiate rettangolari x., y, z^ 
il cilindro ilifinito limitato della diseguaglianza: 

1 _ ^ _ ^! > 

ripieno di massa di densita costante +1, se ^ < 0, e di densitä 
— 1, se ^ > 0. Allora se poniamo, come e solito, il potenziale nel 
punto Xy y, z eguale di, V q 

dv_ ^ dv__ ^ dv _ 

dx ~" ■'^' dy ~ ' Tz ~~ ^' 
si ha per ^ = 0, F = 0, X = 0, Y= 0. 
Z e eguale al potenziale dell' ellisse: 

colla densita 2, e si trova col metodo di Diriclilet, se denotiamo con 
(7 la radice maggiore delF equazione: 

1 ^ yl — = F =0 

a^ -\- s h'^ -\- s s ' 



con I): 



4 r VFds ^ 



a 



X ed F si possono determinare dalle equazioni: 

dz dx ' dz dy 



XVr. Estratto di una lettcra acrittu in lingua Italiana etc. 281 

e dalle condizioni: 

X = 0, Y=() 
per z = 0. 

Per effettuare questa determinazione conviene di sostituire invece di 

QO 00 

4 1,2/ esteso per il contorno intero di un pezzo del Piano degli 

s, che contiene il valore ö senza contenere veruii altro valore di dira- 
mazione o di discontinuitä della funzione sotto il segno integrale. Se 
denotiamo le radici di F=0 in ordine di grandezza con ö, a , a", 
questi valori sono tutti reali e in ordine di grandezza: 

ö^ 0, a\ — Ij'^j a", — a\ 
in modo che: 

(? > > <?' > — 5^ > (?" > — a^ . 
Posto 



viene 



F=t 
Z=2 



~ ox ~ J j)yj " ^' 



ax dz ^s^.ifs-z^ 



ma: 






ü 

e: 

dt . 
s -TT— ds 
ex 



Dunque si trova per integrazione parziale: 

CO 

Se si prende la via delF integrazione come nella espressione di Z ü 
valore delF integrale sodisfa sempre alla condizione: 

ax_az 

dz dx ' 

ma puo differire di funzioni di a; e di y, la funzione sotto segno in- 
tegrale essendo discontinua anche per ^ = 0. Dunque occorre una 
determinazione olteriore della via dell' integrazione. 



282 XVI. Estratto di vitia lettere scritta in lingua Italiana etc. 

Nella espressioue di -^ = -~ la funzione sotto segno integrale 

e continua per 6' = 0; dunque il pezzo del piano degli s, per il ciii 
contorno Tintegrale e esteso^ deve contenere 6= (> e puo contenere 
o no 6= 0, ma nessimo altro dei valori sopra notati. Nella espres- 
sioue di X questo pezzo deve essere determinato in modo che X sia = 
per ^ = 0; e al'finche ciö avvenga, dovendo contenere s = (T, deve anche 
contenere la maggiore radice di is = (la quäle e la maggiore radice 
di f = 0, se 






ed e = 0, se: 



i-5-|<o- 



1_- _^>0j 



ma nessun allra radice di ts = 0. Perche per ^ = le radici di 
F =0 coincidono coUe radici di ^s = 0, e se la via dell' integrazione 
passasse tra due valori di discontinuitä che coincidono per 3 = 0, 
doverebbe per ^ = passare per questo valore in modo che Fintegrale 
nella espressione di X diverrebbe infinito ed il valore nonostante il 
fattore s rimarrebbe finito. — 

Vostro aif"'° Amico Riemann. 



XVII. 

lieber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener 
Begrenzung.*) 

1. 

Eine Fläche lässt sich im Sinne der analytischen Geometrie dar- 
stellen, indem man die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z eines in ihr 
beweglichen Punktes als eindeutige Functionen von zwei unabhängigen 
veränderlichen Grössen j) und q angiebt. Nehmen dann j> und (£ be- 
stimmte constante Werthe an, so entspricht dieser einen Combination 
immer nur ein einziger Punkt der Fläche. Die unabhängigen Variabein 
j) und q können in sehr mannigfacher Weise gewählt werden. Für 
eine einfach zusammenhängende Fläche geschieht dies zweckmässig 
wie folgt. Man lässt die Fläche längs der ganzen Begrenzung ab- 
nehmen um einen Flächenstreifen, dessen Breite überall unendlich klein 
in derselben Ordnung ist. Durch Wiederholung dieses Verfahrens wird 
die Fläche fortwährend verkleinert, bis sie in einen Punkt übergeht. 
Die hierbei der Reihe nach auftretenden Begrenzungscurven sind in 
sich zurücklaufende, von einander getrennte Linien. Man kann sie 
dadurch unterscheiden, dass man in jeder von ihnen der Grösse j) 
einen besondern constanten Werth beilegt, der um ein ünendlichkleines 
zu- oder abnimmt, je nachdem man zu der benachbarten umschliessen- 
den oder umschlossenen Curve übergeht. Die Function j> hat dann 
einen constanten Maximalwert!! in der Begrenzung der Fläche und 
einen Minimalwerth in dem einen Punkte im Innern, in welchen die 



*) Dieser Abhandlung liegt ein Manuscript Riemann's zu Grunde, welches 
nach der eigenen Aousserung des Verfassers in den Jahren 1860 und 1861 ent- 
standen ist. Dieses Manuscript, welches in gedrängter Kürze nur die Formeln 
und keinen Text enthält, wurde mir von Riemann im April 1866 zur Bearbeitung 
anvertraut. Es ist daraus die Abhandlung hervorgegangen, welche ich am 
6. Januar 1867 der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften /ai Göttingen ein- 
gereicht habe, und welche im 13. Band der Abhandlungen dieser Gesellschaft ab- 
gedruckt ist. Diese Abhandlung kommt hier in sorgfältiger Ueberaibeitung zum 
zweiten Male zum Abdruck. K. Hatteudorff. 



284 XVII. lieber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

allmählich abnehmende Flache zuletzt zusammenschrumpft. Den U eber- 
gang von einer Begrenzung der abnehmenden Fläche zur nächsten 
kann man dadurch hergestellt denken^ dass man jeden Punkt der Curve 
(}-)) in einen bestimmten unendlich nahen Punkt der Curve (p -\- dp) 
übergehen lässt. Die Wege der einzelnen Punkte bilden dann ein 
zweites System von Curven^ die von dem Punkte des Minimalwerthes 
von p strahlenförmig nach der Begrenzung der Fläche verlaufen. In 
jeder dieser Curven legt man q einen besondern constanten Werth bei, 
der in einer beliebig gewählten Anfangscurve am kleinsten ist und 
von da beim Uebergange von einer Curve des zweiten Systems zur 
andern stetig wächst, wenn man zum Zweck dieses Ueberganges irgend 
eine Curve (]i) in bestimmter Richtung durchläuft. Beim Uebergange 
von der letzten Curve {q) zur Anfangscurve ändert sich q sprung- 
weise um eine endliche Constante. 

Um eine mehrfach zusammenhängende Fläche ebenso zu behan- 
deln, kann man sie zuvor durch Querschnitte in eine einfach zu- 
sammenhängende zerlegen. 

Irgend ein Punkt der Fläche lässt sich hiernach als Durchschnitt 
einer bestimmten Curve des Systems (p) mit einer bestimmten Curve 
des Systems (q) auffassen. Die in dem Punkte {p, q) errichtete Nor- 
male verläuft von der Fläche aus in zwei entgegengesetzten Richtungen, 
der positiven und der negativen. Zu ihrer Unterscheidung hat man 
über die gegenseitige Lage der wachsenden positiven Normale, der 
wachsenden p und der wachsenden q eine Bestimmung zu treifen. Ist 
nichts anderes festgesetzt, so möge, von der positiven x-A.'^q aus ge- 
sehen, die positive ?/-Axe auf dem kürzesten Wege in die positive 
^-Axe übergeführt werden durch eine Drehung von rechts nach links. 
Und die Richtung der wachsenden positiven Normale liege zu den 
Richtungen der wachsenden p und der wachsenden q, wie die positive 
.r-Axe zur positiven y-A.xe und zur positiven ^-Axe. Die Seite der 
Fläche, auf welcher die positive Normale liegt, soll die positive Seite 
der Fläche genannt werden. 

2. 

Ueber das Gebiet der Fläche sei ein Integral zu erstrecken, dessen 
Element gleich ist dem Element dp)dq multiplicirt in eine Functional- 
determinante, also 

wofür zur Abkürzung geschrieben werden soll 

J'J'Wd'j). 



bei gegebener Begrenzung. 285 

Denkt man sich f und g als unabhängige Variable eingeführt, so 
geht das Integral über in ff dfdgy und es lässt sich die Integration 
nach f oder nach g ausführen. Die wirkliche Einsetzung von f und g 
als unabhängigen Variabein verursacht aber Schwierigkeiten oder 
wenigstens weitläufige Unterscheidungen, wenn dieselbe Werthecom- 
bination von /' und g in mehreren Punkten der Fläche oder in einer 
Linie vorhanden ist. Sie ist ganz unmöglich, wenn f und // com- 
plex sind. 

Es ist daher zweckmässig, zur Ausführung der Integration nach 
/' oder g das Verfahren von Jacobi (Crelle's Journal Bd. 27 p. 208) 
anzuwenden, bei welchem p und q als unabhängige Variable beibe- 
halten werden. Um in Beziehung auf f zu integriren^ hat man die 
Functionaldeterminante in die Form zu bringen 

dp Öq 

weil die Integration durch eine in sich zurücklaufende Linie erstreckt 
wird. Dagegen ist 



und erhält zunächst 



J 



f 



"''■dp 



dp 

in der Richtung der wachsenden |) zu nehmen, d. h. von dem Minimal- 
punkte im Imiern durch eine Curve (q) bis zur Begrenzung. Man er- 
hält f . und zwar den Werth, den dieser Ausdruck in der Begrenzung 
annimmt, da, an der untern Grenze des Integrals - = ist. Folg- 
lieh wird 



ffW'hi) -Jf% <h =ff'^fi 



und das einfache Integral rechts ist in der Richtung der wachsenden 
q durch die Begrenzung erstreckt. Andererseits hat man nach der 
eingeführten Bezeichnung ((lfdg) = — (dgdf), und daher 

ff Wdy) = - ff {dg df) = - fgdf, 

wobei das einfache Integral rechts ebenfalls in der Richtung der wach- 
senden q durch die Begrenzung der Fläche zu nehmen ist. 



28G XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

3. 

Die Flilche^ deren Punkte durcli die Cnrvensysteme (p)^ (q) fest- 
gelegt sind^ soll in der folgenden Weise auf einer Kugel vom Radius 1 
abgebildet werden. Im Punkte {p^ q) der Flilclie, dessen rechtwinklige 
(Joordinaten x, y, z sind^ ziehe man die positive Normale und lege zu 
ihr eine Parallele durch den Mittelpunkt der Kugel. Der Endpunkt 
dieser Parallelen auf der Kugeloberfläche ist die Abbildung des Punktes 
{x, «/; d). Durchläuft der Punkt {x, y, i) auf der stetig gekrümmten 
Fläche eine zusammenhängende Linie, so wird auch die Abbildung 
derselben auf der Kugel eine zusammenhängende Linie sein. Auf die- 
selbe Weise erhält man als Abbildung eines Flächenstücks ein Flächen- 
stück, als Abbildung der ganzen Fläche eine Fläche, welche die Kugel 
oder einen Theil derselben einfach oder mehrfach bedeckt. 

Der Punkt auf der Kugel, welcher die Richtung der positiven 
x-Axe angiebt, werde zum Pol gewählt und der Anfangsmeridian durch 
den Punkt gelegt, welcher der positiven y-Axe entspricht. Die Ab- 
bildung des Punktes (x, ?/, z) wird dann auf der Kugel festgelegt 
durch ihre Poldistanz r und den Winkel (p, welchen ihr Meridian mit 
dem Anfangsmeridian einschliesst. Für das Vorzeichen von (p gilt die 
Bestimmung, dass der der positiven ^-Axe entsprechende Punkt die 

Coordinaten r ==-—-, (p = -{- ' haben soll. 

4. 

Hiernach erhält man als Differential- Gleichung der Fläche 
(1) cosrdx + sinr cosg) dy + sinr sincpdz = 0. 

Sind y und ^ die unabhängigen Variabein, so ergeben sich für 
r und (p die Gleichungen 

1 

cos r == - - 



±T/^+(gr+(ifr 



sm r cos (p = —- 



ex 



v^m^m' 



d X 

Tz 
sin r sm (p = 



v^^(Sr+(Mf' 



in welche^ gleichzeitig entweder die oberen oder die unteren Vor- 



zeichen gelten. 



bei gegebener Begrenzung. 287 

Ein Parallelogramm auf der positiven Seite der Fläche, begrenzt 
von den Curven (p) und (j) + dp)^ {q) und (q + dq)^ projicirt sich 
auf der i/^ -Ebene in einem Flächenelemente, dessen Inhalt gleich dem 
absoluten Werthe von {dydz) ist. Das Vorzeichen dieser Functional- 
determinante ist verschieden, je nachdem die im Punkte (/), q) errichtete 
positive Normale mit der positiven x-Kilq einen spitzen oder stumpfen 
Winkel einschliesst. In dem ersten Falle liegen iiemlich die Pro- 
jectionen von dp und dq in der ?/^- Ebene ebenso zu einander wie die 
positive ?/-Axe zur positiven ^-Axe, im zweiten Falle umgekehrt. Daher 
ist die Functionaldeterminantc im ersten Falle positiv, im zweiten 
negativ. Und der Ausdruck 

(dy dz) 

cos r ^ ^ ^ 

ist immer positiv. Er giebt den Inhalt des unendlich kleinen Parallelo- 
c'ramms auf der Fläche. Um also den Inhalt der Fläche selbst zu 
erhalten, hat man das Doppelintegral 



''^-ff^A'^i"'-^ 



über die ganze Fläche zu erstrecken. 

Soll dieser Inhalt ein Minimum sein, so ist die erste Variation 
des Doppelintegrals = zu setzen. Man erhält 

ex cöx ^^ dx ddx 

und es gilt das obere oder das untere Zeichen vor der Wurzel, je 
nachdem (dydz) positiv oder negativ ist. Die linke Seite lässt sich 
schreiben 

d 



jj 



^ ( — sin r cos cp dx) (dy dz) 



-r,- ( — sin r sin (p öx) (dydz) 
dx 7^- •( — sinr cos 9) (dydz) 
— / / öx S- ( — sin >• sin cp) (dydz). 



Die beiden ersten Integrale reduciren sich auf einfache Integrale, die 
in der Richtung der wachsenden q durch die Begrenzung der Fläche 
zu nehmen sind, nemlich 

/ öx ( — sin y cos (p dz + sin r sin cp dy). 



288 XVI r. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

Der Werth ist = 0^ da iu der Begrenzung öx = ist. Die Bedingung 
des Minimum lautet also 

n'äx {^^'^"^1 + g(.inr^siny) \ ^^^^^^ _ ^_ 

Sie wird erfüllt, wenn 

(2) — sin r sin cp dy + sin r cos (p dz = d^ 

ein vollständiges Differential ist. 

5. 

Die (loordinaten r und cp auf der Kugel lassen sich ersetzen durch 

eine complexe Grösse i] = tg - e'P'\ deren geometrische Bedeutung 

leicht zu erkennen ist. Legt man nemlich an die Kugel im Pol eine 
Tangentialebene, deren positive Seite von der Kugel abgekehrt ist, und 
zieht vom Gegenpol eine Gerade durch den Punkt (r, (p), so trifft 
diese die Tangentialebene in einem Punkte, der die complexe Grösse 
2^1 repräsentirt. Dem Pol entspricht t] = 0, dem Gegenpol i] == oo. 
Piir die Punkte, welche die Richtungen der positiven y- und der posi- 
tiven S'-Axe angeben, ist r] = -{- 1 und resp. == -[- /. 
Führt man noch die complexen Grössen 

7] = tg - e-'i"', s ^= y -\- zi, s = y — zi 

ein, so gehen die Gleichungen (1) und (2) über in folgende: 

(1*) (1 — riri) dx + ri ds + 7} ds = 0, 

(2*) (1 + fin) dii — n ds + n ds = 0. 

Diese lassen sich durch Addition und Subtraction verbinden. Dabei 

werde 

x + ^i = 2X, ^ — ji = 2X' 

gesetzt, so dass umgekehrt x == X -{- X' ist. Das Problem findet dann 
seinen analytischen Ausdruck in den beiden Gleichungen 

(3) ds —ridX+\ dX == 0, 

(4) ds + l dX — ridT'= 0. 

Betrachtet man X und X' als unabhängige Variable und stellt 
die Bedingungen dafür auf, dass ds und ds vollständige Differentiale 
sind, so findet sich 

dX' ' iiX ^ 

d. h. es ist r] nur von A'^, r]' nur von X' abhängig, und deshalb um- 
gekehrt X eine Function nur von rjj X' eine Function nur von tf. 



bei gegebener Begrenzung. 280 

Hiernach ist die Aufgabe darauf zurückgeführt, rj als Function der 
complexen Variabein X oder umgekehrt X als Function der complexen 
Variabein rj so zu bestimmen, dass zugleich den Grenzbedingungen 
(ienüge geleistet werde. Kennt man rj als Function von X, so ergiebt 
sich daraus i]\ indem man in dem Ausdrucke von rj jede complexe 
Zahl in die' conjugirte verwandelt. Alsdann hat man nur noch die 
Gleichungen (3) und (4) zu integriren, um die Ausdrücke für s und s 
zu erlangen. Aus diesen erhillt man endlich durch Elimination von \- 
eine Gleichung zwischen x, y, z, die Gleichung der Minimalfläche. 

6. 
Sind die Gleichungen (P>) und (4) integrirt, so lässt sich aucli der 
Inhalt der MinimalflUche selbst leicht angeben, nemlich 

« -JJit- ^^y'^) -ff l^ (''y^')- 

Die Functionaldeterminante (dydz) formt sich in folgender Weise um 

^ ^ ^ \cs ds CS CS J • ^ 

=»= — (dsds) 

i [ , \ \dxdx f -j j ,■ 

Danach erhält man 

i' i* fc^cxcx . CS es' . CSCS\,j 7 / 

= 2 iTd^'-l + V^'". + ^'^ {dnH)- 

fj \drj örf ' CT} cri * Crj orj J ^ ' '^ 

Zur weiteren Umformung dieses Ausdruckes kann man // aus Y 
und Y'j z aus Z und Z' ebenso zusammensetzen wie x aus X mid A", 
so dass die Gleichungen gelten 

^=f%^n, r=J%dn, 
'-fll"n'''=f>^- 

a; = X + X', jt = X - X; 

2/= }■+ r, \)i= y- r, 



IIikmaxn's gos.iiuiiH'lto matluiiiatixtlie Werk« 



290 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

Alsdann erhält man schliesslich 

(5) S = — ifJ[{dXdX) + {dYdY) + {dZdZ')\ 

= \JJ[{dxdi) + iclyd^)) + {dzdi)\. 

7. 

Die Minimalfläche und ihre Abbildungen auf der Kugel wie in 
den Ebenen, deren Punkte resp. die complexen Grössen t], X, Y, Z 
repräsentiren, sind einander in den kleinsten Theilen ähnlich. Man 
erkennt dies sofort, wenn man das Quadrat des Linearelementes in 
diesen Flächen ausdrückt. Dasselbe ist 
auf der Kugel sin r^ d log r] d log 7]\ 

in der Ebene der t] drj dr] 

in der Ebene der X j- ■^, dr] dt] / 



in der Ebene der Y -- t^"^, dri dri , 

71 crj ' ' ' 

in der Ebene der Z :ä~ ä~^ ^^V ^^v\ 



in der Minimalfläche selbst 

,7^2 _,_ ^y2 _^ ^j^2 _ ^^x + dxy + {dY+ dYf + (dz + dzy 

= 2{dXdX' + dYdY' + dZdZ') 



2 1^^ . ^ 4- ^ ^ 4- ^-^ ^^ dn dri 

\^7\ cr\ ^^ drj dri ^^ dri cn j ' ' 



Es ist nemlich nach den Gleichungen (3) und (4), wenn man darin 7} 
und rj' als unabhängige Variable ansieht: 

dX ds 2 '^^' 

'dri dri ' cri ^ 

, dX' CS '2 ^^ 

' dri' dri' ' dri' 

und deshalb 

dX' +dY' +dZ'^ =0, 
dX^-\-dY'"-\-dZ/^=0. 

Das Verhältniss von irgend zwei der obigen quadrirten Linearelemente 
ist unabhängig von dr} und dri , d. h. von der Richtung des Elementes, 
und darin beruht die in den kleinsten Theilen ähnliche Abbildung. 
Da die Linearvergrösserung bei der Abbildung in irgend einem Punkte 
nach allen Richtungen dieselbe ist, so erhält man die Flächenver- 
grösserung gleich dem Quadrat der Linearvergrösserung. Das Quadrat 
des Linearelementes in der Minimalfläche ist aber gleich der doppelten 



bei gegebener Begrenzung. 291 

Summe der Quadrate der entsprechenden Lineareleraente in den Ebenen 
der X, der Y und der Z. Daher ist auch das Flächenelement in der 
Minimalfläche gleich der doppelten Summe der entsprechenden Flächen - 
elemente in jenen Ebenen. Dasselbe gilt von der ganzen Fläche und 
ihren Abbildungen in den Ebenen der X, Y, Z. 



8. 

Eine wichtige Folgerung lässt sich noch aus dem Satze von der 
Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen ziehen, wenn man eine neue 
complexe Variable rj^ dadurch einführt, dass man auf der Kugel den 
Pol in einen beliebigen Punkt (rj == a) verlegt und den Anfangsmeridian 
beliebig wählt. Hat dann r]^ für das neue Coordinatensystem dieselbe 
Bedeutung wie rj für das alte, so kann man jetzt ein unendlich kleines 
Dreieck auf der Kugel sowohl in der Ebene der 7] als in der der rji 
abbilden. Die beiden Bilder sind dann auch Abbildungen von ein- 
ander und in den kleinsten Theilen ähnlich. Für den Fall der directen 

Aehnlichkeit ergiebt sich ohne Weiteres, dass -^ unabhängig ist von 

der Richtung der Verschiebung von t^, d. h. dass rj^ eine Function der 
complexen Variabein rj ist. Den Fall der inversen (symmetrischenj 
Aehnlichkeit kann man auf den vorigen zurückführen, indem man statt 
rji die conjugirte complexe Grösse nimmt. Um nun rj^ als Function 
von rj auszudrücken, hat man zu beachten, dass i?i = ist in dem 
einen Punkte der Kugel, für welchen rj = a, und rj^^ = oc in dem dia- 
metral gegenüberliegenden Punkte, d. h. für 7] = ?- Danach ergiebt 

sich rji = c — j- — ^ • Zur Bestimmung der Constanten c dient die Be- 
merkung, dass, wenn t^^ = ß ist für ?^ = 0, daraus r]^ = — -37 gefunden 

1 c 

wird für rj = oc. Es ist also ß = — ca und — ~W ^^ ~f d. h. 

ß= — ". Hieraus ercriebt sich cc = 1 und daher c = e^^ für ein 

reelles 9. Die Grössen a und G können beliebige Werthe erhalten: 
« hängt von der Lage des neuen Pols, 9 von der Lage des neuen 
Anfangsmeridians ab. Diesem neuen Coordinatensystem auf der Kugel 
entsprechen die Richtungen der Axen eines neuen rechtwinkligen 
Systems. Es mögen in dem neuen System 0*^, s^, s\ dasselbe be- 
zeichnen wie Xj s, s' in dem alten. Dann erlangt man die Transfor- 
mationsformeln 



19' 



292 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

(6) (1 + aa) x^ = (1 -^ aa)x + (X- s + as, 

(1 + aa) s, e-^' = — 2ax + s — ah\ 
{\ -\- aa) s\e^'' = — 2ax—a"-s-{- s. 

9. 
Aus den Transformationsformeln (6) berechnen wir 

\(^V J crii rj drj 



oder 



(^^^^-^i)' F&7 = (^i^g^)' aS 



Hiernacli empfiehlt es sich^ eine neue complexe Grösse n einzuführen, 
welche durch die Gleichung definirt wird 

und die von der Lage des Coordinatensystems (x^ ?/, ^) unabhängig 
ist. Gelingt es dann^ ti als Function von tj zu bestimmen, so erhält 
man 

:i^ ist der Abstand des zu rj gehörigen Punktes der Minimalfläche von 
einer Ebene, die durch den Anfangspunkt der Coordinaten rechtwinklig 
zur Richtung rj == gelegt ist. Man erhält den Abstand desselben 
l^unktes der Minimalfläche von einer durch den Anfangspunkt der Co- 
ordinaten gelegten Ebene, die rechtwinklig auf der Richtung ij = a 

steht, indem man in (8) ^-j_ ^- e statt y} setzt. Speciell idso für 

a = i und a = i 

+ ¥J'(,z log ,/)''(''' ~?)'^'"«''' • 



bei gegebener Begrenzung. 293 

10. 

Die Grösse u ist als Function von rj zu bestimmen, d. h. als ein- 
werthige Function des Ortes in derjenigen Fläche, welche, über d'w 
»^-Ebene ausgebreitet, die Minimalfläche in den kleinsten Theilen ähn- 
lich abbildet. Daher kommt es vor allen Dingen auf die Unstetig- 
keiten und Verzweigungen in dieser Abbildung an. Bei der Unter- 
suchung derselben hat man Punkte im Innern der Fläche von Be- 
grenzungspunkten zu unterscheiden. 

Handelt es sich um einen Punkt im Innern der Minimalfläche, so 
lege man in ihn den Anfangspunkt des Coordinatensystems (x, y, z), 
die Axe der positiven x in die positive Normale, folglich die ^/^-Ebene 
tangential. Dann fehlen in der Entwicklung von ./' das freie Glied 
und die in y und ,r multiplicirten Glieder. Durch geeignet gewählte 
Richtung der y-Axe und der ^^-Axe kann man auch das in yz multipli- 
cirte Glied verschwinden lassen. Die partielle Difl'erentialgleichung der 
Minimalfläche reducirt sich unter dieser Voraussetzung für unendhch 

kleine Werthe von y und z auf x '2 + ö-i = 0. Das Krümmungsmass 

ist also negativ^ die Haupt-Krümmungsradien sind einander entgegen- 
gesetzt gleich. Die Tangentialebene theilt die Fläche in vier Quadran- 
ten, wenn die Krümmungshalbmesser nicht 00 sind. Diese Quadranten 
liegen abwechselnd über und unter der Tangentialebene. Beginnt die 
Entwicklung von x erst mit den Gliedern nter Ordnung (k > 2), so 
sind die Krümmungsradien 00, und die Tangentialebene theilt die Fläche 
in 2n vSectoren, die abwechselnd über und unter jener Ebene liegen 
und von den Krümmungslinien halbirt werden. 

Will man nun X als Function der complexen Variabein }' an- 
sehen, so ergiebt sich in dem Falle der vier Sectoren 

log X = 2 log 1'^ -\- fiinct. cont., 
in dem Falle der 2n Sectoren 

log X = n log F + 1- c. 
Und da luich (8) und (0) Vt7 = .- - - ist, so bejnnnt die Entwick- 

-^ ^ '^ (li 1 — rjT} ' " 

hing von r] im ersten Falle mit der ersten, im zweiten mit der 
(n — Ijten Potenz von Y. Umgekehrt wird also, wenn y als Function 

von r] angesehen werden soll, die Entwicklung im ersten Falle nach 

_i 
ganzen Potenzen von t;, im zweiten nach ganzen Potenzen von )^'*~* 
fortschreiten. D. h. die Abbildung auf der j;-Ebene hat an der be- 
treft'enden Stelle keinen oder einen (n — 2) fachen Verzweigungspunkl, 
je nachdem der erste oder der zweite Fall eintritt. 



294 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

Was u betrifft, so ersjiebt sich -ji — ^ = -jt— -r^lr, also mit 

' ° d log 1 d log 7} d log 1 ' 

Hülfe der Gleichung (9) 



/ du y _ _ o, II ^^ /iiV^ 
l^diogY^ ~ ^^ (^7? i-7?2\^rfry 



ri' 



oder 



Demnach ist in einem (n — 2)fachen Verzweigungspunkte der Ab- 
bildung auf der ?^-Ebene 

11. 

Die weitere Untersuchung soll zunächst auf den Fall beschränkt 
werden j dass die gegebene Begrenzung aus geraden Linien besteht. 
Dann lässt sich die Abbildung der Begrenzung auf der 7^-Ebene wirk- 
lich herstellen. Die in irgend welchen Punkten einer geraden Be- 
grenzungslinie errichteten Normalen liegen in parallelen Ebenen, und 
daher ist die Abbildung auf der Kugel ein grösster Kreis. 

Um einen Punkt im Innern einer geraden Begrenzungslinie zu 
untersuchen, legt man wie vorher in ihn den Anfangspunkt der Co- 
ordinaten, die positive ^-Axe in die positive Normale. Dann fällt die 
ganze Begrenzungslinie in die ?/^- Ebene. Der reelle Theil von X ist 
demnach in der ganzen Begrenzungslinie = 0. Geht man also durch 
das Innere der Minimalfläche um den Anfangspunkt der Coordinaten 
herum von einem vorangehenden bis zu einem nachfolgenden Begrenzungs- 
punkte, so muss dabei der Arcus von X sich ändern um nit^ ein gan- 
zes Vielfaches von 7t. Der Arcus von Y ändert sich gleichzeitig 
um TT. Man hat also, wie vorher 

log X = n log Y -|- f. c. 

log 7] =(n — 1) log F -)- f. c. 

Dem betrachteten Begrenzungspunkte entspricht ein (n — 2) facher Ver- 
zweigungspunkt in der Abbildung auf der ?^ -Ebene. In dieser Ab- 
bildung macht das auf den Punkt folgende Begrenzungsstück mit dem 
ihm vorhergehenden den Winkel (n — 1) tc. 

12. 

Bei dem Uebergange von einer Begrenzungslinie zur folgenden hat 
man zwei Fälle zu unterscheiden. Entweder treffen sie zusammen in 



bei gegebener Begrenzung. 295 

einem im Endlichen liegenden Schnittpunkte, oder sie erstrecken sich 
ins Unendliche. 

Im ersten Falle sei ktc der im Innern der Minimalfläche liegende 
Winkel der beiden Begrenzungslinien. Legt man den Anfangspunkt 
der Coordinaten in den zu untersuchenden Eckpunkt, die positive 
a:-Axe in die positive Normale, so ist in beiden Begrenzungslinien der 
reelle Theil von X = 0. Beim Uebergange von der ersten Begrenzungs- 
linie zur folgenden ändert sich also der Arcus von X um mn^ ein 
ganzes Vielfaches von ;r, der Arcus von Y um an. Man hat daher 



,MogX = logr+f.c. 
(l--^)log-'*^'=log>) +f. c. 

Erstreckt sich die Fläche zwischen zwei auf einander folgenden 
Begrenzungsgeraden ins Unendliche, so lege man die positive x-Axa 
in ihre kürzeste Verbindungslinie, parallel der positiven Normalen im 
Unendlichen. Die Länge der kürzesten Verbindungslinie sei Ä, und 
ccTt der Winkel, welchen die Projection der Minimalfläche in der yz- 
Ebene ausfüllt. Dann bleiben die reellen Theile von X und^Hog?^ 
im Unendlichen endlich und stetig und nehmen in den begrenzenden 
Geraden constante Werthe an. Hieraus ergiebt sich (für y = oo, z = cx)) 

X=-.^log, + f.c. 

Y=—~ - +f.c. 

Legt man die i\-Axe eines Coordinatensystems in eine begrenzende 
Gerade, die rt^-Axe eines andern Systems in die zweite begrenzende 
Gerade u. s. f., so ist in der ersten Linie logi^i, in der zweiten log »;^, 
u. s. f. rein imaginär, da die Normale zu der betreffenden Axe der a\j 

der X. u. s. f. senkrecht steht. Es ist also iöi-— ' — in der ersten Be- 

r log rjy 

7) - * 

grenzungslinie reell, i-^-j — '— in der zweiten u. s. f. Da aber auch für 
ein beliebiges Coordinatensystem {x, y, z) immer 



ist, so findet sich, dass in jeder geraden Begrenzungslinie 



296 XVII. lieber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

ontweder reelle oder rein imaginäre Werthe besitzt. 



13. 

Die Minimalflilclie ist bestimmt, sobald man eine der Grössen ?(, 
rjy Xj Y^ Z durch eine der übrigen ausgedrückt hat. Dies gelingt in 
vielen Fällen. Besondere Beachtung verdienen darunter diejenigen, in 

welchen -y, eine algebraische Function von i? ist. Dazu ist nöthig 

d log Tj ^ ' ^ 

und hinreichend, dass die Abbildung auf der Kugel und ihre symmetri- 
schen und congruenten Fortsetzungen eine geschlossene Fläche bilden, 
Avelche die ganze Kugel einfach oder mehrfach bedeckt. 

Im Allgemeinen aber wird es schwierig sein, direct eine der 
Grössen ii, t], X, I", Z durch eine der übrigen auszudrücken. Statt 
des^sen kann man aber auch jede von ihnen als Function einer neuen 
zweckmässig gewählten unabhängigen Variablen bestimmen. Wir führen 
eine solche unabhängige Variable t ein, dass die Abbildung der Fläche 
auf der i^-Ebene die halbe unendliche Ebene einfach bedeckt, und zwar 
diejenige Hälfte, für welche der imaginäre Theil von t positiv ist. In 
der That ist es immer möglich, t als Function von ii (oder von irgend 
einer der übrigen Grössen t?, X, Y, Z) in der Fläche so zu bestimmen, 
dass der imaginäre Theil in der Begrenzung = ist, und dass sie in 
einem beliebigen Begrenzungspunkte (ii == V) unendlich von der ersten 
Ordnung wird, d. h. 

, COnSt. . r, . ,N 

t == -^j-~^ + f. c. {u = h). 

Der Arcus des Factors von ~- ^r ist durch die Bedingung be- 
stimmt, dass der imaginäre Theil von t in der Begrenzung == 0, im 
Innern der Fläche positiv sein soll. Es bleibt also in dem Ausdrucke 
von t nur der Modul dieses Factors und eine additive Constante will- 
kürlich. 

Es sei t = a^, a,2,... für die Verzweigungspunkte im Innern der 
Abbildung auf der 7^-Ebene, t = h^, h^j ... für die Verzweigungspunkte 
in der Begrenzung, die nicht Eckpunkte sind, ^ = q, Cg, ... für die 
Eckpunkte, ^ = 6i, Cg, ... für die ins Unendliche sich erstreckenden 
Sectoren. Wir wollen der Einfachheit wegen voraussetzen, dass die 
sämmtlichen Grössen a, &, c, e im endlichen Gebiete der ^-Ebene 
liegen. 



bei gegebener Begrenzung. 297 

Dann hat man 

für ^ = a log '^^^ = (~ — l) log (t — aj + f. c, 

„ t==h log|^ = (;--l)log(^~&) + f.c, 

„ t = c log^ = (y - l) loga - c) + f. c, 

„ f=e '' = 1/4^ loga-e) + f.c. 

Man kann die Untersuchung auf den Fall n = 3, m = 1 be- 
schränken, d. h. auf einfache Verzweigungsi)unkte, und den allgemeinen 
Fall aus diesem dadurch ableiten, dass man mehrere einfache Ver- 
zweigungspunkte zusammenfallen lässt. 

Um den Ausdruck für -jj zu bilden, hat man zu beachten, dass 

längs der Begrenzung dt reell, du entweder reell oder rein imaginär 

ist. Demnach ist l-jj) reell, wenn t reell ist. Diese Function kann 

man über die Linie der reellen AVerthe von t hinüber stetisr fortsetzen, 
indem man die Bestimmung trifft, dass für conjugirte Wertlie t und f 
der Variabein auch die Function conjugirte Werthe haben soll. • Als- 
dann ist l-jrj für die ganze ^- Ebene bestimmt und zeigt sich ein- 
werthig. 

Es seien a\, d^, ... die conjugirten Werthe zu a^^ a.^, . . ., und 
das Product (t — a^) {t — o.,) . . . werde mit n(t — a) bezeichnet. 
Alsdann ist 

(11) « ^ const. ^jynJE^i nW:^^^) ^0L . 

Die Constanten n, h, c etc. müssen so bestimmt werden, dass für 



t = e «=|/i|log(<-c) + f. 



wird. Damit u für alle Werthe von t ausser (C, h, c, c endlich und 
stetig bleibe, muss für die Anzahl dieser letztgenannten Weiihe eine 
Relation bestehen. Es muss die Differenz der Anzahl der Eckpunkte 
und der in der Begrenzung liegenden Verzweigungspunkte um 4 grösser 
sein als die doppelte Differenz der Anzahl der innern Verzweigungs- 
punkte und der ins Unendliche verlaufenden Sectoren. Setzt man zur 



Abkürzung 



n(t — a) n(t — d) n{t — ?>) = ^(0, 



298 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

d. h. 



= const.]/^, 



du 

dt ""^* V xit) 

SO ist die ganze Function (p(t) vom Grade v — 4^ wenn xi^) vom 
Grade v ist. Hier bedeutet v die Anzahl der Eckpunkte vermehrt um 
die doppelte Anzahl der ins Unendliche verlaufenden Sectoren. 

14. 

Es ist noch rj als Function von t auszudrücken. Direct gelangt 
man dazu nur in den einfachsten Fällen. Im Allgemeinen ist der fol- 
gende Wesc einzuschlagen. Es sei v eine noch näher zu bestimmende 

DO O 

Function von t, die als bekannt vorausgesetzt wird. In den Gleichungen 
(8), (9), (10) kommt es wesentlich an auf yj , wofür man auch 

schreiben kann ^ -j-, . Der letzte Factor lässt sich ansehen als 

dv d log 7] 

Product der beiden Factoren 

die der Differentialgleichung erster Ordnung genügen 

(13) ^:f-^.f=l- 

sowie der Differentialgleichung zweiter Ordnung 



(14) 



1 d'Jc, 



dv^ \ dv^ 



Gelingt es also, die eine oder die andere Seite dieser letzten 
Gleichung als Function von t auszudrücken, so lässt sich eine homogene 
lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung herstellen, von welcher 
l\ und k^ particuläre Integrale sind. Es sei Ä das vollständige Inte- 

gral. Wir ersetzen -^-r, durch das ihm gleichbedeutende 

o dv- ° 

dv d^h dJc dH 
dt dt^ dt dt' 



/dv\^ 
\dtJ 

und erhalten für 7j die Differentialgleichung 

^^^) dt dt' dt' dt \dt) Vk, dv']''' 

Von der Gleichung (15) seien zwei von einander unabhängige 
particuläre Integrale Z^ und Zg gefunden, deren Quotient /C : K^ = H 



bei gegebener Begrenzung. 299 

ein von Bögen grösster Kreise begrenztes Abbild der positiven t Halb- 
ebene auf der Kugelfläche liefert. Dasselbe leistet dann jeder Ausdruck 
von der Form 

(16) 7] = e 

worin 9 reell und a, a conjugirte complexe Grössen sind. 

Die Function v ist so zu wählen, dass für endliche Werthe von t die 

1 d^k 
Unstetigkeiten von -r- -r-^- nicht ausserhalb der Punkte a, a, b, c, e 

liegen. 

Setzt man 
/|.TX dv ^^ __^L ^^ 1 

so wird die Function -j -r^ im Endlichen unstetig nur für die Punkte 

a, a, hj Cy und zwar für jeden unendlich in erster Ordnung. Man 
erhält nemlich für t = c 

2yt — c 



Folglich : 



(c) 
rj — r]c = const. (t — c)y. 



und hieraus: 



^^1 ^ Vj^ ^ ^^°^** (^ — ^^0 



1^=1 (y y-i)r(^) 

k dv~ ^ t — c 



Entsprechende Ausdrücke erhält man für t = a, a, h, in denen c resp. 
durch a, a, hj und y durch 2 zu ersetzen ist. 

Eine ähnliche Betrachtung lehrt, dass für t = e die Function 

T Si^ stetig l'leibt. 

Für ^ = oo ergiebt sich 



/: c?!;2 \ 2 ^ -^y \2 V^ 



1 (Z^^ 
Demnach lautet der Ausdruck iTir -=- ^-^ wie fol<:jt: 

1 d--^/j , Vf(yy- i-) f'ig) 



k dv' ^ ^ {t — g) "■ ^^* 



Die Summe bezieht sich auf alle Punkte rj = a, a\ hj c, und bei 
a, a'j h ist 2 statt y zu setzen. F(0 ist eine ganze Function vom 
Grade (2v — G), in der die ersten beiden Coefficienten sich folgender- 
massen bestimmen. Man bringe dv in die Form 



)00 XVI r. Uebor die Fläche vom kleinsten Inhalt 

dt 



-v + 4 



tt ,-1+4 



folglich 



oder 



dv = =t '^ dv. 

oder kürzer = a dv^. 

Dann ergiebt sich durch Differentiation 

dv' l\dvj J — « - ^^2 l\dv'J J "T" \dvj dv'"' 

h 

(diM d' [fdA-^l -2 A7^\i d'' [fdriY^l . __A.dHcih 

\dv) dV'l\dv) J=.« V^; ^ L W J + '^ ' dv^'' 

(driVi d^ VfdrA-^ _ 
\dvj dv\ WdvJ J 

(dri\\ d' [{^IvY^ _.-2,. + 8 ^, iYY-J)r{fj) 
\dvj dv\ WdvJ J "~ ^ ^ "4 J_ g '- 

Die Function auf der linken Seite ist endlich für t = oo. Folg- 
lich hat man rechts in der Entwicklung von f^^'' + ^ jr(^f;^ ujid yQj^ 

""' die Coefficienten von f und resp. von t einander gleich zu 



2r + 8 1 d-A- ^ d''(Kh 

t -r -r^> — «' — 7^ 

IC dv dv' 

oder 



dv' 

. ^ d' (a') 

setzen. Die Entwicklung von a '^ —rY giebt nach einfacher Rechnung 



d'ic^h , ( V . c,\,^r + 5d{t-^+'f{t)) 



«'^-i^=n-2+2j^ dt 

Hiernach bleiben in F{t) noch 2v — 7 unbestimmte Coefficienten. 
Es ist aber wichtig zu bemerken, dass dieselben reell sein müssen. 
Denn Avir haben in §. 12 gefunden, dass du reell oder rein imaginär 
ist in allen geraden Begrenzungslinien der Minimalfläche und folglich 
auch an jeder Stelle in der Begrenzung der Abbildungen. Vermöge 
der Gleichung (17) gilt dasselbe von dv. Daraus lässt sich beweisen, 

dass für reelle Werthe von t die Function -r- t •> nothwendigerweise 

k dv' ° 

reelle Werthe besitzt. 

Um diesen Beweis zu führen, betrachten wir die Abbildung auf 
der Kugel vom Radius 1 und nehmen irgend einen Theil der Begren- 
zung, also den Bogen eines gewissen grössten Kreises. Im Pole dieses 
grössten Kreises legen wir die Tangential-Ebene an und bezeichnen 



bei gegebener Begrenzung. 301 

sie als die Ebene der 7]^. Dann lassen sich die Constanten Grössen 
^u ^1? ^1 s^ bestimmen, dass 

e, t H — a, 

ist, und wir erhalten zwei Funcj^ionen /c\ = 1/ l^^L und /j„ = >/, l/^'^ , 

die particuläre Integrale der Differentialgleichung (I5j sind. Folglich 
haben wir 

k dv'^ h dv' 

Der eben betrachtete Theil der Begrenzung bildet sich in dfr 
1^1 -Ebene ab durch die Gleichung 

und wenn man dies in 1c\ einführt, so erkennt man leicht, dass in dem 
tra<f liehen Begrenzunt^stheile , -y^ reell ausfällt. Folglich gilt das- 

o o o ^. ^-y-' r> r> 

l d'^k 

selbe von -y- y-., , und da diese Betrachtung für jedes einzelne Begren- 

k dv- ' o J r» 

zungsstück angestellt werden kann, so ist , , ., reell in der ganzen 

Begrenzung. 

Nun fallt aber bei einem reellen oder rein imaginären dv die 

Function , -jAl- auch dann reell aus, wenn man allgemeiner 
/,• dv^ ' ^ 

setzt und den Modul ^^ constant nimmt. Damit also die Axe der 
reellen t sich auf der Kugel vom Radius 1 wirklich in Bögen grösster 
Kreise abbilde, muss für jeden Begrenzungstheil (»j = 1 sein. Dies 
liefert ebenso viele Bedingungsgleichungen, als einzelne Begrenzungs- 
linien gegeben sind. 

Bei dieser Untersuchung ist, wie schon im vorigen Paragraphen, 
vorausgesetzt, dass die Werthe a, h, c, c sämmtlich endlich seien. Trifft 
dies nicht zu, so bedarf die Betrachtung einer geringen Modification. 

Anmerkung. Die Aufgabe ist hiermit vollständig formulirt. Im einzelnen 
Falle kommt es nur darauf an, die Dittorentialgleichung (15) wirklich aufzustellen 
und zu integriren. Uebrigens ist es nicht unwichtig, zu bemerken, dass die An- 
zahl der in der Lösung auftretenden willkürlichen reellen Constanten ebenso gross 
ist wie die Anzahl der Bedingungsgleichungen, welche vermöge der Natur der 
Aufgabe und vermöge der Daten des Problems erfüllt sein müssen. Wir bezeich- 
nen die Anzahl der Punkte (t, h, c, e resp. mit J, i>, 6\ E und beachten, dass 
2^1 + 7i-|-4 = (7-|-2i/' = v ist. In der Ditterentialgleichung (15) treten 
2A -\- B -\- A:C -\- b K — 10 willkürliche reelle Constanten auf, nemlich: die Win- 



302 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

kel y, deren Anzahl C ist; die 2^ — 7 Constanten der Function F{t)] die reellen 
Grössen &, c, e, von denen man dreien beliebige Werthe geben kann, indem man 
für t eine lineare Substitution mit reellen Coefficienten macht. Zu diesen willkür- 
lichen Constanten kommen bei der Integration noch 10 hinzu, nemlich G reelle 
Constanten in ?;, ein Factor von du und je eine additive Constante in den Aus- 
drücken für x^ y, z. Die Lösung enthält also 2 yl -}- Ji -f- 4 C -|- 5 jfc' reelle Con- 
btanten von unbestimmtem Werthe. 

Die Daten des Problems bestehen in den Coordinaten der Eckpunkte und 
den Winkeln, welche die Richtungen der ins Unendliche verlaufenden Begren- 
zungslinien festlegen. Diese Daten sprechen sich in 3C-|- ^E Gleichungen aus. 
Dazu kommen C ~\- iJ Bedingungsgleichungen, die erfüllt sein müssen, damit die 
Axe der reellen t sich auf der Kugel vom Radius l in C -|- JiJ Bögen grösster 
Kreise abbilde. Wenn also die Zahl der Bedingungj^gleichungen ebenso gross sein 
soll wie die Zahl der unbestimmten Constanten, so fehlen noch ebenso viele Glei- 
chungen, wie Punkte a, «', b vorhanden sind. Nun ist aber die Differential- 
gleichung (15) so beschaffen, dass in der Umgebung jedes dieser Punkte das In- 
tegral einen Logarithmus enthalten kann. Ein solcher ist nach der Natur der 
Aufgabe nicht zulässig, und damit er nicht auftrete, ist für jeden der genannten 
Punkte Eine Bedingungsgleichung zu erfüllen. 

In der That ist hiernach die Anzahl der Bedingungsgleichungen ebenso gross 
wie die Anzahl der unbestimmten Constanten in der Lösung. 

Beispiele. 

15. 

Die Begrenzung bestehe aus zwei unendlichen geraden Linien, 
die nicht in einer Ebene liegen. Ihre kürzeste Verbindungslinie habe 
die Länge Ä, und es sei ajt der Winkel, welchen dije Projection der 
Fläche auf der rechtwinklig gegen jene Verbindungslinie gelegten 
Ebene ausfüllt. 

Nimmt man die kürzeste Verbindungslinie zur :r-Axe, so hat in 
jeder der beiden Begrenzungsgeraden x einen constanten Werth. 
Ebenso ist cp in jeder der beiden Begrenzungsgeraden constant. Li 
unendlicher Entfernung ist die positive Normale für den einen Sector 
parallel der positiven, für den andern Sector parallel der negativen 
x-Axe. Die Begrenzung bildet sich auf der Kugel in zwei grössten 
Kreisen ab, die durch die Pole i] = und 7^ = oo gehen und den 
Winkel ajc einschliessen. 



Hiernach hat man 



X = log 7] 

lÄ ( \\ 

^ - - 27^ (^ - ? j 

lA (\ \ 



bei gegebener Begrenzung. 303 

folglich ^ = -.iJLxog(X). 

2 an \n J 

(a) 



-^i^'°g(-.f)' 



worin man die Gleichung der Schrauben fläche erkennt. 

Der Inhalt der Fläche ist unendlich gross. Soll also von einem 
Minimum die Rede sein, so ist dies so zu verstehen. Der Inhalt jeder 
andern Fläche von derselben Begrenzung ist ebenfalls unendlich gross. 
Aber wenn man den Inhalt der Schraubenfläche abzieht, so kann die 
Differenz endlich sein, und die Schraubenfläche hat die Eigenschaft, 
dass diese endliche Differenz positiv ausfällt. 

In demselben Sinn hat man die Minimal-Eigenschaft immer auf- 
zufassen, wenn die Fläche unendliche Sectoren besitzt. 

16. 

Die Begrenzung bestehe aus drei geraden Linien, von denen zwei 
sich schneiden und die dritte zur Ebene der beiden ersten parallel läuft. 

Legt man den Anfangspunkt der Coordinaten in den Schnittpunkt 
der beiden ersten Geraden, die positive x-Axe in die negative Normale, 
so bildet jener Schnittpunkt auf der Kugel sich ab im Punkte rj = oo. 
Die Abbildung der beiden ersten Geraden sind grösste Halbkreise, die 
von 7^ = 0» bis rj = laufen. Ihr Winkel sei «;r. Die Abbildung 
der dritten Linie ist der Bogen eines grössten Kreises, der von r] = 
ausgeht, an einer gewissen Stelle umkehrt und in sich selbst bis zum 
Punkte rj = zurückläuft. Dieser Bogen bilde mit den beiden ersten 
grössten Halbkreisen die Winkel — ßit und yit^ so dass ß und y ab- 
solute Zahlen sind und ß -{- y = a sich ergiebt. Um die Abbildung 
auf der halben ^- Ebene zu erhalten, setzen wir fest, dass f= <x> sein 
soll für ?2 = oo, dass dem unendlichen Sector zwischen der ersten und 
dritten Linie t = h, dem unendlichen Sector zwischen der zweiten und 
dritten Linie t = c, dem Umkehrpunkte der Normalen auf der dritten 
Linie t = a entsprechen soll. Dabei sind a, h, c reell und c^ a ^ b. 
Diesen Bestimmungen entspricht rj = (t — ^Y {t — cy. Der Werth a 
hängt von h und c ab. Man hat nemlich 

dlog n _ ß(< -c)-hy(< -&) 

dt {t — b){t — c) 

c6 -4- by 
und dieses muss für den Umkehrpunkt = sein, also a = ßT / ' 

Man hat weiter nach Art. 12. und 13. 

,7,, _ -1 Ai (7-~ 6) iß -f y) {t - a)^ d t 
((ff — y 27r " («_6)(«-c)» 



304 XVIT. Lieber die Fläche vom Ideinsten Inhalt, 

oder wenn man c — ?) = j annimmt 

du 1 






Folglich 



\^^nogr;j ^ ^^ 



r^ = 



(i -?>)(<- c) 



W ?^ = - Y j 



. r _dt L • r ^1^ 






dt 






(i'-&)(t'-c) 



17. 

Die Begrenzung bestehe aus drei einander kreuzenden geraden 
Linien, deren kürzeste Abstände A, B, (J sein mögen. Zwischen je zwei 
begrenzenden Linien erstreckt sich die Fläche ins Unendliche, Es 
seien aTt, ßjt, yjt die Winkel der Richtungen, in welchen die Grenz- 
linien des ersten, des zweiten, des dritten Sectors in's Unendliche ver- 
laufen. Setzt man fest, dass für die drei Sectoren der Minimalfläche 
im Unendlichen die Grösse t resp. =0, oo, 1 sein soll, so erhält man 

du y'cp (t) 



dt t{l — t) 

(p(t) ist eine ganze Function zweiten Grades. Ihre Goefficienten 
bestimmen sich daraus, dass 

d log 

d', 
dlog 

du 

7/100^(1-^/) 



ffir t = 1 -^-'•"-- - ,= l/^- 

r 2 TT 



sein muss. 



Danach ergiebt sich 



bei gegebener Begrenzung. 305 

Je nachdem die Wurzeln der Gleichung (p (t) = imaginär oder 
reell sind, hat die Abbildung auf der Kugel einen Verzweigungspunkt 
im Innern eder zwei Umkehrpunkte der Normalen auf der Begrenzung. 

Die Functionen l\ = y t' ^"^ ^'^- = ^ T/t"" werden nur für 
die drei Sectoren unstetig, wenn man - .-, = (p (t) nimmt. Und zwar 
ist die Unstetigkeit von /^ der Art, dass 

-- + - 
für ^ == t '' ' \ 

^ — — L 

für f = oü r ^ - \ 

für ^ = 1 (1 — ' ' K 

einändrig und verschieden von und oo wird. Zq und l\^ sind particu- 
läre Integrale einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter 

Ordnung, die sich ergiebt, wenn man , y-r^ aus seinen Unstetigkeiten 

als Function von t darstellt und t statt v als unabhängige Variable in 

-j-r^ einführt. Hat man das particuläre Integral A'^ gefunden, so ergiebt 

sich h^ aus der Differentialgleichung erster Ordnung 

Das vollständige Integral der homogenen linearen Differential- 
gleichung zweiter Ordnung werde mit 



id) h = Q 



bezeichnet. Diese Function genügt wesenthch denselben Bedingungen, 
die in der Abhandlung über die Gauss'sche Reihe F{a^ /3, y, x) als 
Definition der F-Functiou ausgesprochen sind*). Sie weicht von der 
P-Function darin ab, dass die Summe der Exponenten — 1 ist, nicht 
+ 1 wie bei P. 

Man kann die Function Q mit Hülfe einer Function P und ihrer 
ersten Derivirten ausdrücken. Zunächst ist nemlich 



1 a 

2 2 


a |3 

2 2 


1 y 

2 2 


1 « 

2 "^ 2 


_3 . ^ 
2 ' 2 


1 . y 

2 "^ 2 



*) Beiträge zur Theorie der durch die fiauss'sche Reihe F {a^ ß, y, .«) dar- 
stellbaren Functionen. (S. 02 dieser Sammlung.) 

UiEMAN^r's gesammelte inaUjornatische Wirke. I. 20 



306 



XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

cc — ß — y — 1 



Setzt man nun 



2 2 



Q 







a-\-ß-y- 1 



6 = P 







a-ß - Y+1 

2 
cc + ß-Y-\-l 



SO lassen sich die Constanten a, &, c so bestimmen^ dass 



1_ >L 

2 



(«) fc = r' ^ (1 - 0^ '' ((« + &0 " + c^ (1 - %) 

wird. In der That hat man nur diesen Ausdruck in die Differential- 
gleichung (c) einzusetzen und die Differentialgleichung zweiter Ordnung 
für a zu beachten, um zu der Gleichung zu gelangen 

F{t) = a{a + CO) {1 — t) + (a + h) (a + b — cy) t 
V^ermöge der Eigenschaften der Function 6 kann man setzen 



''-"a-0'-(-/^-«^.^) = i, 



und folglich muss F{t) = (p{t) sein. Hieraus ergeben sich drei Be- 
dingungsgleichungen für a, h, e, die eine sehr einfache Form an- 
nehmen, wenn man 



a+-c=p, b ^ ^ c = q, a + h — f 

setzt. Die Bedingungsgleichungen lauten dann 

2)p — aa(p + q + rf = ^ , 

qq-ßß(P + Q + rf = ^. 
rr — yy(p + q-\- ^f = -^ • 
Mit Hülfe der Function 



c = ~ r 



A==P 



a ß 1 y 

Y """ 2" Y ~7 T 

^ 1 JL _j_ -^ 

2 2 2' 2 



deren Zweige A^ und L ^^^^' Differentialgleichung genügen 



bei gegebener Begrenzung. 307 

^^ dlogt '^2 ^log« ■" ^' 

kann man 1c noch einfacher ausdrücken, neralich 

Es würde nicht schwer sein, die einzelnen Zweige der Function k 
m der Form von bestimmten Integralen herzustellen. Der Weg dazu 
ist in art. VII. der Abhandlung über die Function P vorgezeichnet. 

In dem besondern Falle, dass die drei begrenzenden geraden Linien 

den Coordinatenaxen parallel laufen, ist a = ß = y = Y' l^ann er- 
hält man 

Der Zweig A^ dieser Function ist 

= (-^y yt^ + ii- 1)* const, 
und daraus ergiebt sich 
7.-, = 1/2 t^ (t - l/]/<* + it- if [ p + qf - l-~ VW-'^)} - 

Mit Hülfe dieser beiden Functionen lassen sich dX, dY, dZ folgender- 
massen ausdrücken 

dX = — i/tj \ p (1 _ ^p ' 

iX = ip + q- rf ]/^4^ + (- ]> + q + rf ]/'-^ 
+ i (J' + 3? + r) {p - q + r) log' J^A^ , 
{;,) iY=-(p-q + rf ti -{-p + q + rf f-i 

1 I 

iZ = (j, _ q + rf (1 - 0^ + (P + q - >f (1 —0" ^ 

+ i i^p + q + >') 1- p + q + log 1 + v"! - ^ 



1 — V 1 — « 

20* 



308 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

Wenn p, q, r reell sind, so geben die doppelten Coefficienten von 
i in den drei Grössen rechts die rechtwinkligen Coordinaten eines 
Punktes der Fläche. 

18. 
Die Begrenzung bestehe aus vier sich schneidenden geraden Linien^ 
die man erhält^ wenn von den Kanten eines beliebigen Tetraeders 
zwei nicht zusammenstossende weggelassen werden. Die Abbildung 
auf der Kugeloberfläche ist ein sphärisches Viereck, dessen Winkel 
(CTT, ßjt, yit, Ö7t sein mögen. Es ergiebt sich 

. Cdt Cdt 

~ V(t — a) (* -^'b) (t —"c) {t — d) ~ V^j' 
wenn die reellen Werthe t == a, 6, Cj d die Punkte der ^- Ebene be- 
zeichnen, in welchen sich die Eckpunkte des Vierecks abbilden. 

Soll die in §. 14 entwickelte Methode zur Bestimmung von t] 
angewandt werden, so hat man hier speciell (p(t) = 1^ %{t) = A(^), 

folglich V = j, und 



-\ /dv 7 -\ /dv 



Die Functionen ]i\ und ^2 genügen der Differentialgleichung 

-j iL Ka -j Cl fC^ ^ 

^ dv " dv 

und sind particuläre Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung 

±d^^ {ac-i)A'{a) (_^J^-_i)^' (&) 

/• dv" t — a ' t — b 

, iVY - i) A'(c) , {SS - i) A'(^) , . 

H tzr~c- H '--jz^-TT + ^• 

Die Function F(t) des §. 14 ist hier vom zweiten Grade, aber die 
Coefficienten von t"^ und von t sind gleich Null, also h eine Constante. 
In der letzten Gleichung hat man auf der linken Seite t als unab- 
hängige Variable einzuführen und erhält 

_ (auj- -1) A>) , {ßß -1) A;^:^) , (yy - i) A-Cc) {öd-i)A'{d) , 
t-a "f" t-b "• f—c "^ t — d ' 

als die Differentialgleichung zweiter Ordnung, welcher h Genüge leisten 
muss. 

Sind x^ Uj z als Functionen von t wirklich ausgedrückt, so treten 
in der Lösung noch 16 unbestimmte reelle Constanten auf, nemlich 
die vier Grössen a, h, c, d, von denen wie oben, drei beliebig ange- 
nommen werden können, die vier Grössen «, /i, 'y, ö, die Grösse //, 



i 



bei gegebener Begrenzung. 309 

ferner 6 reelle Constanten in dem Ausdrucke für rj, ein constanter 
Factor in du und je eine additive Constante in x, y, z. Zur Bestim- 
mung dieser 16 Grössen sind 16 Bedingungsgleichungen vorhanden, 
nemlich 4 Gleichungen, welche ausdrücken, dass die vier Begrenzungs- 
linien in der Ebene der y\ sich auf der Kugel in grössten Kreisen ab- 
bilden, und 12 Gleichungen, welche aussagen, dass x, ?/, z in den 4 
Eckpunkten gegebene Werthe haben. 

In dem speciellen Falle eines regulären Tetraeders ist die Abbil- 
dung auf der Kugel ein regelmässiges Viereck, in welchem jeder Winkel 
= -|;r. Die Diagonalen halbiren sich und stehen rechtwinklig auf ein- 
ander. Die den Eckpunkten diametral gegenüberliegenden Punkte der 
Kugeloberfläche sind die Ecken eines congruenten Vierecks. Zwischen 
beiden liegen vier dem ursprünglichen ebenfalls congruente Vierecke, 
die je zwei Eckpunkte mit dem ursprünglichen, zwei mit dem gegen- 
überliegenden gemein haben. Diese sechs Vierecke füllen die Kugel- 
oberfläche einfach aus. Es wird also -^^ eine algebraische Function 

von r\ sein. (^ ÖUa> ih^juf-.^,^ »X^-v T^ ) 

Man kann die gesuchte Minimalfläche m)er ihre ursprüngliche 
Begrenzung dadurch stetig fortsetzen, dass man sie um jede ihrer 
Grenzlinien als Drehungsaxe um 180'^ dreht. Längs einer solchen 
Grenzlinie haben dann die ursprüngliche Fläche und die Fortsetzung 
gemeinschaftliche Normalen. Wiederholt man die Construction an den 
neuen Flächentheilen , so lässt sich die ursprüngliche Fläche beliebig 
weit fortsetzen. Welche Fortsetzung man aber auch betrachte, immer 
bildet sie sich auf der Kugel in einem der sechs congruenten Vierecke 
ab. Und zwar haben die Abbildungen von zwei Flächentheilen eine 
Seite gemein oder sie liegen einander gegenüber, je nachdem die 
Flächentheile selbst in einer Grenzlinie an einander stoss^n oder au 
gegenüberliegenden Grenzlinien eines mittleren Flächentheils gelegen 
sind. In dem letzteren Falle köimen die betreffenden Flächentheile 
durch parallele Verschiebung zur Deckung gebracht werden. Daher 

niuss ( V,— ) unverändert bleiben, wenn rj mit vertauscht wiril. 

\d log Tj/ ' ' Tj 

Legt man den Pol (r] = 0) in den Mittelpunkt eines Vierecks, 
den Anfangsmeridian durch die Mitte einer Seite, so ist für die Eck- 
punkte dieses Vierecks 



Tti ;{«» 

. c ±-7- . c ± -T- 



und 



. C 1/3 



V2 



310 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

Punkte, denen entgegengesetzte Werthe von r] angehören, haben die- 
selbe rc-Coordinate. Es muss also (ji - ) bei der Vertauschung von 
Y] mit — y] unverändert bleiben. Hiernach erhält man 



/_du \2 _ 
\d\ogrj) ~ 



Die Constante C^ muss reell sein, damit du'^ in der Begrenzung 
reelle Werthe besitze. 

Zu demselben Resultate gelangt man auf dem folgenden Wege. 
Die Substitution 



Xri' + ri-' + ^ySi J V^ + V 



liefert auf der ^- Ebene eine Abbildung, die von einer geschlossenen 
überall stetig gekrümmten Linie begrenzt wird. Die Rechnung zeigt, 
dass d log t in der Begrenzung rein imaginär ist. Folglich ist die 
Abbildung der Begrenzung in der ^- Ebene ein Kreis um den Mittel- 
punkt t = 0. D.er Radius dieses Kreises ist = 1. Den Eckpunkten 

Tli 

entspricht t = -j^ 1; tlen Eckpunkten 

— n 

entspricht ^ = -j- /. Geht man an irgend einer dieser vier Stellen 
durch das Innere der Minimalfläche von einer Grenzlinie zur folgenden, 
so ändert sich dabei der Arcus von dt um jr. Daher kann man, wie 
in §. 13., auch hier setzen 

* du C2 

dt ~ y(i^ — 1) (f' 4- 1) ^ 

und es muss Cl rein imaginär sein, damit dti^ in der Begrenzung reell 
ausfalle. Es findet sich C, == 3"|/3C^i 

Dieser Ausdruck stimmt mit dem vorher aufgestellten für { t!,— — ) . 

° \d log 7}/ 

Zur weitern Vereinfachung nehme man 



(^-+4)' = "^ v' + r' 



2/1 

V" -t- A y ' ... 

und beachte, dass 

/ du \2 j. /duy dX -., 

Dann ergiebt eine sehr einfache Rechnung 



bei gegebener Begrenzung. 311 

w 2jV"»gvv ''/' ^' *^J v'<»(t-<»)(i -?*»)' 

wenn p = — — (1 — i l/3) eine dritte Wurzel der Einheit Ijezeichnet. 
Die reelle Constaiite C = — 6\ bestimmt sich aus der gegebenen Länge 

o 

der Tetraederkanten. 

19. 

Endlich soll noch die Aufgabe der Minimalfläche für den Fall 
l)ehandelt werden, dass die Begrenzung aus zwei beliebigen Kreisen 
besteht, die in parallelen Ebenen liegen. Dann kennt man die Uichtung 
der Normalen in der Begrenzung nicht. Daher lässt sich diese auch 
nicht auf der Kugel abbilden. Man gelangt aber zur Lösung der 
Aufgabe durch die Annahme, dass alle zu den Ebenen der Grenzkreise 
parallel gelegten ebenen Schnitte Kreise seien. Und es wird sich zeigen, 
dass unter dieser Annahme der Minimalbedingung Genüge geleistet 
werden kann. 

Legt man die ::t;-Axe rechtwinklig gegen die Ebenen der Grenz- 
kreise, so ist die Gleichung der Schnittcurve in einer parallelen Ebene 

und «, ß, y sind als Functionen von x zu bestimmen. Zur Abkürzung 
werde 



gesetzt, so dass 

dF . dF . . dF 

cos r = n -K— , sm r cos w = n -0— , sm r sm op == n ^— 

ex ^ ^ cy ^ ^ cz 

ist. Dann lässt sich die Bedingung des Minimum in die Form bringen 

dx ~^ dy ~^ dz 
oder nach Ausführung der Differentiation 

H-4.2(2.'+«-- + ^''-y) = 0. 
Schreibt man d' -\- ß'' — y = ~ q und beachtet, dass F = ist, 
so geht die letzte Gleichung über in 



312 XVII. Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt 

(0 ^ä^-ä^^ + 2^ = ö 

und giebi nach einmaliger Integration 

i f + 2 f"-^ + const. = 0. 

q dx ^ J q ^ 

Die Integrationsconstante ist von x unabhängig. Nimmt man anderer- 
seits I — unabhängig von y und z, so muss die Integrationsconstante 

eine lineare Function von y und s- sein, weil — ,<-- eine solche ist. 

^ ^ q ex 

Man hat also 



I- + 2 /'— + 2ay + 2hz + const. 

€X ' J q ^ ^ ' ' 



Vergleicht man damit das Resultat der directen Differentiation von F, 
nemlich 



so ergiebt sich 



cx ^ dx ^ dx ' dx 



da dß , 

dx ^^ dx ^ 



und wenn man j qclx = m setzt: 

• « = — am -{- d, ß = • — hm -\- e. 
Eüernacli hat man 

^ = _ 2av '^'^ — 26^ "^ -4- ^ 
dx^ "^ '^ dx '^ dx* dx'^' 

und diese Ausdrücke sind in die Gleichung (l) einzuführen. Nach ge- 
höriger Hebung erhält man 

^ dx' dxdx^^^ ^' 
eine Gleichung, die sich weiter vereinfacht, wenn man beachtet, dass 

y-<l + ci^' + ß' = ^1 +f{ni) - ^ + /'W, 
f{m) = (a^ + ¥) m- — 2 (ad -{- he) m + d' + ei 

Nimmt man hieraus -^ und ^-^, so geht die Differentialgleichung, 

Cl X Cl X 

welche die Bedingung des Minimum ausdrückt, über in folgende: 

Zur Ausführung der Integration setze man ^ = p und betrachte 

cl X 



bei gegebener Begrenzung. 313 

q als unabhängige Variable. Dadurch erhält man für p^ als Function 
von q eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, nemlich 



2 ^ dq 

oder 

q'dip'')—p'diq') 



k ^ ^? - f + ^^I + '^ («' + ^'0 </ == 



21/2 


+ 


2032 — 

qdq 


(a^ 


^^h')q'' 


2y'q 

* 


' + 


2cq^ — 
rf2 


(«' 


'-\-h^')q:^ 


21/7 

-* 


-M 


qdq 


(a'^ 


+ b')q'' 



Das Integral lautet 

(«) !? = 7 - •* ("' + ^'^ 2 + »'•■• 

Darin ist für ^> wieder y7 zu setzen, wodurch man erhält 
dx = '"' 

dm = 
Also ergiebt sich 

(0) m = I , - — — , 

y == am — d -\- y — q cos i^, 
s = hm — e + y — g sin 1^. 
Man hat demnach Xj y, z als Functionen von zwei reellen Variabein 
q und i\} ausgedrückt. Die Ausdrücke sind, abgesehen von algebrai- 
schen Gliedern, elliptische Integrale mit der obern Grenze q. Nach 
der oben entwickelten allgemeinen Methode hätte man x^ y, z erhalten 
als Summen von zwei conjugirten Functionen zweier conjugirten coni- 
plexen Variabein. Danach liegt die Vermuthung nahe, dass diese 
complexen Ausdrücke mit Hülfe der Additionstheoreme der elliptischen 
Functionen sich je in einen einzigen Integralausdruck mit der Varia- 
bein q zusammenziehen lassen. 

Und dies ist leicht zu bestätigen. Man hat nemlich aus den For- 
meln für die Richtungscoordinaten r und 9) der Normalen 
aF ££' . 
n ^^ 2r/,,- ^^ dy "i dz ^ ^^ y -\- zi - \- a -\- ßi ^^ 2./W 
V ?I! _ I^ • y — zi -{- a- ßi~ ^ 

dy dz 

Verbindet man damit die Definitionsgleichung von q, nemlich: 

(i/ + £ /• 4- « -f ßi) (^y - zi + a- ßi) = — q, 
so ergiebt sich 



314 



XVII. Ucber die Fläche vom kleinaten Inhalt 



-1 -1. .— 



{ij + Zi) + (« + ß-i) = (- qf n' V 



i) + (« - ßi) = (- 5)' ri ^ V- 



cotg r 

oder 
1 



Ferner hat man 

dF 

dx 



1/© + ©^ ''-' 



p-2aq(:y + cc)-2hq{z + ß) 



. r r 
Sin- COS - 






Auf der rechten Seite sind für y -\- a und s -\- ß die eben gefundenen 
Ausdrücke in rj und t] einzuführen. Dadurch geht die Gleichung über 
in folgende: 

| = (.-,/[(« + ,,)(fy+(«-^oÖ-)-] 

+(-.r-(i/^'-^)- 

Quadrirt man beide Seiten dieser Gleichung und setzt für —, seinen 






Werth aus (m), so ergiebt sich nach gehöriger Reduction 



(P) 



= Sc-2(a + bi) (V -^) -2(a- hi)(r, -i,) 



Die so gefundene Gleichung^ welche den Zusammenhang von q, rj^ r{ 
angiebt, kann man als Integral einer Differentialgleichung für t] und ri 
ansehen und q als Integrationsconstante auffassen. Die Differential- 
gleichung ergiebt sich durch unmittelbare Differentiation in folgender 
Form 

- V-i ((« + 4.) (0' - (. - »0 (4)') 



+ 



+ T/-2((« + 6O(^)*-(«-?'0(fy)' 



Mit Hülfe der primitiven Gleichung (j?) lassen sich aber die Factoren 

von — und — ?- anders ausdrücken. Man braucht nur die linke Seite 
ri 71 



bei gegebener Begrenzung. 315 

von (j)) in zweifacher Weise zu einem yollstiindigen Quadrat zu er- 
gänzen, indem man das fehlende doppelte Product das eine mal positiv, 
das andere mal negativ hinzufügt. Dadurch erhält man 



= ± 2 ]/[2c + (a + &i)i - (a - bt)rij, 

= + 2 "[/[2c + (a _ Ji) i, _ (a + 6»),']- ' 

Nimmt man die Quadratwurzeln mit gleichen Vorzeichen, so geht die 
Differentialgleichung über in 







[1/2 c-^-ia-^bt)- —{a — h i) tj 



2r} 



2>?'l/2c + (a — hl) — , — (a -f- H) n' 



Ihr Integral in algebraischer Form ist in der Gleichung (|>) ausgesprochen 
oder, was auf dasselbe hinauskommt, in den beiden Gleichungen 

V-^l ((« + ^ n —{a — U) ri) = yrj'[{a + hi) + 2cri—(a—hi)rj''] 

In transscendenter Form lautet das Integral 

const. = / . ^ ^ — zz =- 

^^^ J 2y7i[{a-{'bi)-\-2cri-ia-hi)7)'^ 



+ 



J 



dr)' 



2 Vv^[{a — bi) + 2 cV - (a + bt) r?"] ' 
und die Integrationsconstante lässt sich ausdrücken 

const. = ' ^^ 



/■ 



2Vq[l~+2cq-{a'^b^q']' 
was aus der Gleichung (r) leicht hervorgeht, wenn man rj oder rj' con- 
stant und zwar = nimmt. Man erkennt darin das Additionstheorem 
der elhptischen Integrale erster Gattung. 



XVIII. 

Mechanik des Ohres. 

(Aus Henle und Pfeuffer's Zeitschrift für rationelle Medicin, dritte Reihe, J5d. 20.)*) 

1. Ueber die in der Physiologie der feineren Sinnesorgane anzuwen- 
^ dende Methode. 

Für die Physiologie eines Sinnesorganes sind ausser den allge- 
meinen Naturgesetzen zwei besondere Grundlagen nöthig, eine psycho- 
physische, die erfahrungsgemässe Feststellung der Leistungen des 
Organes, und eine anatomische, die Erforschung seines Baues. 

Es sind demnach zwei Wege möglich, um zur Kenntniss seiner 
Functionen zu gelangen. Man kann entweder vom Baue des Organes 
ausgehen und hieraus die Gesetze der Wechselwirkung seiner Theile 
und den Erfolg äusserer Einwirkungen zu bestimmen suchen, 

oder man kann von den Leistungen des Organes ausgehen und 
diese zu erklären versuchen. 

Bei dem ersten Wege schliesst man von gegebenen Ursachen auf 
die Wirkungen, bei dem zweiten sucht man zu gegebenen Wirkungen 
die Ursachen. 

Man kann mit Newton und Her hart den ersten Weg den syn- 
thetischen, den zweiten den analytischen nennen. 

Synthetischer Weg. 
Der erste Wejy lie«:t dem Anatomen am nächsten. Mit der Unter- 

Ä c5 O 

suchung der einzelnen Bestandtheile des Organs beschäftigt, fühlt er 



*) Der grosse Mathematiker, den ein früher Tod unserer Hochschule und der 
Wissenschaft entriss, beschäftigte sich, angeregt durch die von Helmholtz be- 
gründete neue Lehre von den Tonempfindungen, in seinen letzten Lebensmonaten 
mit der Theorie des Gehörorgans. Was sich darüber aufgezeichnet in seinen Pa- 
pieren vorfand und hier mitgetheilt wird, berührt allerdings nur einen kleinen und 
minder wesentlichen Theil der Aufgabe; doch rechtfertigt sich ohne Zweifel die 
Verööentlichung dieses Fragments durch die Bedeutung des Verfassers und durch 
den Werth seiner Aussprüche, wie seines Beispiels für die methodische Behand- 
lung des Gegenstandes. Den ersten Abschnitt und den grössten Theil des zweiten 
hat der Verf. in Reinschrift hinterlassen; der Schluss des ZAveiten, vom letzten Ab- 
sätze auf S. 326 an, wurde aus zerstreuten Blättern und Sätzen, in welchen R. 
seine ersten Entwürfe niederzulegen pflegte, zusammengestellt. Die Bemerkung, 
in welcher er sich gegen die Helmholtz 'sehe Theorie von den Bewegungen des 
Ohres erklärt, würde erst durch seine eigene Ausführung verständlich geworden 
sein; Riemann's gesprächsweise Aeusserungen lassen vermuthen, dass die Ver- 
schiedenheit der beiderseitigen Ansichten erst bei dem Problem der Uebertragung 
der Schallschwingungen auf die Organe der Schnecke hervorgetreten sein würde, 
und dass R. das dabei zu lösende mathematische Problem als ein hydraulisches 
aufgefasst habe. Schering. Henle. 



XVIII. Mechanik des Ohres. 317 

sich veranlasst, bei jedem einzelnen Theile zu fragen, welchen Einfiuss 
er auf die Thätigkeit, des Organs haben möge. Dieser Weg würde 
auch in der Physiologie der Sinnesorgane mit demselben Erfolg ein- 
geschlagen werden können, wie in der Physiologie der Bewegungs- 
organe, wenn die physikalischen Eigenschaften der einzelnen Theile 
sich bestimmen Hessen. Die Bestimmung dieser Eigenschaften aus den 
J3eobachtungen bleibt aber bei mikroskopischen Objecten immer mehr 
oder weniger ungewiss und jedenfalls im höchsten Grade ungenau. 

Man ist daher zu einer Ergänzung nach Gründen der Analogie 
oder Teleologie genöthigt, wobei die grösste Willkür unvermeidlich ist, 
und aus diesem Grunde führt das synthetische Verfahren in der Phy- 
siologie der Sinnesorgane selten zu richtigen und jedenfalls nicht zu 
sichern Ergebnissen. 

Analytischer Weg. 

Bei dem zweiten Wege sucht man zu den Leistungen des (3rganes 
die Erklärung. 

Das Geschäft zerfällt in drei Theile. 

1. Das Aufsuchen einer Hypothese, welche zur Erklärung der 
Leistungen genügt. 

2. Die Untersuchung, in wie weit sie zur Erklärung noth- 
w endig ist. 

3. Die Vergleichung mit der Erfahrung, um sie zu bestätigen 
oder zu berichtigen. 

I. Man muss das Instrument gleichsam nacherfinden und in so 
fem die Leistungen des Organs als Zweck, seine Schöpfung als Mittel 
zu diesem Zweck betrachten. Aber der Zweck ist kein vermutheter, 
sondern ein durch die Erfahrung gegebener, und wenn man von der 
Herstellung des Organs absieht, kann der Begriff der Endursachen ganz 
ausser dem Spiele bleiben. 

Zu den thatsächlichen Leistungen des Organs sucht man in dem 
Baue des Organs die Erklärung. Bei dem Aufsuchen dieser Erklärung 
hat man zuvörderst die Aufgabe des Organs zu analysiren; hieraus wer- 
den sich eine Reihe von secundären Aufgaben ergeben, und erst nach- 
dem man sich überzeugt hat, dass sie gelöst sein müssen, sucht man 
die Art und Weise, wie sie gelöst sind, aus dem Baue des Organs 
zu schliessen. 

H. Nachdem aber eine Vorstellung gewonnen worden ist, welche 
zur Erklärung des Organs ausreicht, darf man nicht unterlassen zu 
untersuchen, in wie weit sie zur Erklärung not h wendig ist. Man 
muss sorgfältig unterscheiden, welche Voraussetzungen unbedingt oder 
vielmehr in Folge unbezweifelter Naturgesetze nothwendig sind, und 



318 XVIII. Mechanik des Ohres. 

welche Vorstellungsarten vielleicht durch andere ersetzt werden können^ 
das ganz willkürlich Hinzugedachte aber ausscheiden. Nur auf diese 
Weise können die nachtheiligen Folgen der Benutzung von Analogien 
bei dem Aufsuchen der Erklärung beseitigt werden, und auf diese 
Weise wird auch die Prüfung der Erklärung an der Erfahrung (durch 
Aufstellung von zu beantwortenden Fragen) wesentlich erleichtert. 

III. Zur Prüfung der Erklärung an der Erfahrung können theils 
die Folgerungen dienen, die sich aus ihr für die Leistungen des Organs 
ergeben, theils die bei dieser Erklärung vorauszusetzenden physikali- 
schen Eigenschaften der Bestandtheile des Organs. Was die Leistungen 
des Organs betrifft, so ist eine genaue Vergleichung mit der Erfahrung 
äusserst schwierig, und man muss die Prüfung der Theorie meist auf 
die Frage beschränken, ob kein Ergebniss eines Versuchs oder einer 
Beobachtung ihr widerspricht. Was dagegen die Folgerungen über die 
physikalischen Eigenschaften der Bestandtheile betrifft, so können diese 
von allgemeiner Tragweite sein und zu Fortschritten in der Erkenntniss 
der Naturgesetze Anlass geben, wie dies z. B. bei dem Aufsuchen der 
Erklärung der Achromasie des Auges durch Euler der Fall war. 



Für die beiden eben einander gegenübergestellten Forschungsweisen 
gelten übrigens die Bezeichnungen synthetisch und analytisch nur a 
potiori. Genau genommen ist weder eine rein synthetische, noch eine 
rein analytische Forschung möglich. Denn jede Synthese stützt sich 
auf das Ergebniss einer vorausgehenden Analyse und jede Analyse 
bedarf zu ihrer Bestätigung oder Berichtigung durch die Erfahrung 
der nachfolgenden Synthese. Bei dem ersten Verfahren bilden die all- 
gemeinen Bewegungsgesetze das vorausgesetzte Ergebniss einer früheren 
Analyse. 

Das erste vorzugsweise synthetische Verfahren ist für die Theorie 
der feinern Sinnesorgane deshalb zu verwerfen, weil die Voraus- 
setzungen für die Anwendbarkeit des Verfahrens zu unvollständig er- 
füllt sind, die Ergänzung der Voraussetzungen durch Analogie und 
Teleologie hier aber völlig willkürlich bleibt. 

Bei dem zweiten vorzugsweise analytischen Verfahren kann die 
Hülfe der Teleologie und Analogie zwar auch nicht ganz entbehrt, 
wohl aber bei ihrer Benutzung die Willkürlichkeit vermieden werden, 
indem man 

1) die Anwendung der Teleologie auf die Frage beschränkt, durch 
welche Mittel die thatsächlichen Leistungen des Organs ausgeführt 
werden, nicht aber bei den einzelnen Bestandtheilen des Organs die 
Frage nach dem Nutzen auf wirft; 



XVni. Mechanik des Ohres. 319 

2) die Anwendung von Analogien (das „Dichten von Hypothesen") 
sich zwar nicht, wie Newton will, gänzlich versagt, aber hinterher 
die Bedingungen, die zur Erklärung der Leistungen des Organs erfüllt 
sein müssen, heraushebt, und die zur Erklärung nicht nöthigen Vor- 
stellungen, welche durch Benutzung der Analogie herbeigeführt worden 
sind, davon absondert. 

Nach diesen Principien müssen nun für unsern Zweck zuvörderst 
die Leistungen des Gehörorgans festgestellt werden. Mit welcher 
Schärfe, Feinheit und Treue das Ohr die Wahrnehmung des Schalles, 
seines Klanges und Tones, seiner Stärke und Richtung vermittelt, 
dieses muss durch Beobachtung und Versuch so genau, wie irgend 
möglich, bestimmt werden. 

Ich setze diese Thatsachen als bekannt voraus. In dem Buche 
„die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage 
für die Theorie der Musik ^' von Helmholtz, findet man die Fort- 
schritte zusammengestellt, welche in der so äusserst schwierigen Er- 
mittelung der Thatsachen, die die Wahrnehmung der Tcme betreifen, 
in neuester Zeit gemacht worden sind und zwar vorzüglich von Helm- 
holtz selbst. 

Da ich den Folgerungen, welche Helmholtz aus den Versuchen 
und Beobachtungen zieht, entgegen zu treten vielfach genöthigt bin, 
so glaube ich um so mehr gleich hier aussprechen zu müssen, wie 
sehr ich die grossen Verdienste seiner Arbeiten über unsern Gegenstand 
anerkenne. Sie sind aber meiner Ansicht nach nicht in seinen Theorien 
von den Bewegungen des Ohres zu suchen, sondern in der Verbesserung 
der erfahr ungsmässigen Grundlage für die Theorie dieser Bewegungen. 

Ebenso muss ich auch den Bau des Ohres hier als bekannt voraus- 
setzen, und bitte den geneigten Leser, nöthigenfalls ein mit Abbildungen 
versehenes Handbuch der Anatomie zur Hülfe zu nehmen. Die Er- 
gebnisse der neuesten Forschungen über den Bau der Schnecke und 
des Ohres überhaupt findet man dargestellt in der vor Kurzem er- 
schienenen dritten Lieferung des zweiten Bandes von He nie 's Hand- 
buch der "Anatomie des Menschen. 

Ich betrachte es hier allein als meine Aufgabe, jene psychophysi- 
schen Thatsachen aus diesen anatomischen Thatsachen zu erklären. 

Die Theile des Ohres, die für unsern Zweck in Betracht kommen, 
sind die Paukenhöhle und das Labyrinth, welches aus dem Vorhofe, 
den Bogengängen und der Schnecke besteht. Wir verfahren nun so, 
dass wir zunächst aus dem Baue dieser Theile zu schliessen suchen, 
was jeder derselben zu den Leistungen des Ohres beitragen möge, dann 
aber bei jedem einzelnen Theile wieder von- cler durch ihn zu lösenden 



320 XVIII. Mechanik des Ohres. 

Aufgabe ausgehen und zunächst die Bedingungen aufsuchen, deren 
Erfüllung zu einer genügenden Lösung der Aufgabe erforderlich ist. 

2. Paukenhöhle. 

Man hat längst erkannt, dass der Apparat in der Paukenhöhle 
die Wirkung hat, den Druck der Luft auf das Labyrinthwasser ver- 
stärkt zu übertragen. 

Nach den oben entwickelten Principien müssen wir nun aus den 
in der Erfahrung gegebenen Leistungen des Organs die Bedingungen 
ableiten, welche bei dieser Uebertragung erfüllt werden müssen. Es 
ergeben sich diese vorzüglich aus der Feinheit des Ohres in der Wahr- 
nehmung des Klanges und aus der grossen Schärfe, welche das Ohr, 
zumal das unverkümmerte Ohr des Wilden und des Wüstenbewohners, 
besitzt. Versteht man unter Klang die Beschaffenheit des Schalles, 
welche von Stärke und Richtung desselben unabhängig ist, so wird 
diese offenbar durch den Apparat völlig treu mitgetheilt, wenn er die 
Druckänderung der Luft in jedem Augenblick in constantem 
Verhältniss vergrössert auf das Labyrinthwasser überträgt. 

Es ist unverfänglich, dies als Zweck des Apparats anzusehen, 
wenn man nur dabei nicht unterlässt, zugleich aus den Leistungen des 
Ohres zu bestimmen, wie weit man durch die Erfahrung berechtigt d. h. 
genöthigt ist, die wirkliche Erfüllung dieses Zwecks vorauszusetzen. 

Wir wollen dies sogleich thun, vorher jedoch für die Beschaffen- 
heit der Druckänderung, von welcher der Klang abhängt, einen mathe- 
matischen Ausdruck suchen. Die Curve, welche die Geschwindigkeit 
der Druckänderung als Function der Zeit darstellt, bestimmt die Schall- 
welle vollständig bis auf ihre Richtung, also auch Stärke und Klang 
des Schalles. Nimmt man nun statt dieser Geschwindigkeit den Loga- 
rithmus von dieser Geschwindigkeit, oder wenn man lieber will, von 
deren Quadrat, so erhält man eine Curve, deren Form von Richtung 
und Stärke des Schalles unabhängig ist, die aber den Klang vollständig 
bestimmt und daher „Klangcurve" heissen möge. 

Löste der Apparat seine Aufgabe vollkommen, so würden die 
Klangcurven des Labyrinthwassers mit den Klangcurven der Luft völlig 
übereinstimmen. Durch die Feinheit des Ohres in der Wahrnehmung 
des Klanges halten wir uns nun zu der Annahme berechtigt, dass die 
Klangcurve durch die Uebertragung nur sehr wenig geändert werde 
und also das Verhältniss zwischen den gleichzeitigen Druckänderungen 
der Luft und des Labyrinthwassers während eines Schalles sehr 
nahe constant bleibe. 

Eine lanirsame Veräiiderlichkeit dieses Verhältnisses ist damit sehr 



XVIII. Mechanik des Ohres. 321 

wohl vereinbar und wahrscheinlich. Sie würde nur eine Veränderlich- 
keit des Ohres in der Schätzung der Schallstärke zur Folge haben, deren 
Annahme die Erfahrung durchaus nicht verbietet. Würde die Klang- 
curve merklich geändert, so scheint eine solche Feinheit des Gehörs, 
wie sie sich z. B. in der Wahrnehmung geringer Verschiedenlieiten der 
Aussprache zeigt, mir kaum denkbar. Die unmittelbare Beurtheiluug 
der Feinheit der Klangwahrnehmungen und besonders die Schätzung 
der den Klangverschiedenheiten entsprechenden Verschiedenheiten der 
Klangcurve bleibt freilich immer sehr subjectiv. 

Die Verschiedenheit des Klanges dient uns aber auch, die Ent- 
fernung der Schallquelle zu schätzen. Von dieser Klangverschiedenheit 
können wir die mechanische Ursache, die Veränderung der Klangcurve bei 
der Fortpflanzung des Schalles in der Luft durch Rechnung bestimmen. 

Wir können indess dies hier nicht weiter verfolgen und wollen 
von dem Uebertragungsapparat nur fordern, dass er keine groben Ent- 
stellungen des Klanges bewirke, obgleich wir glauben, dass seine Treue 
viel grösser ist, als man gewöhnlich annimmt. 

I. Der Apparat in der Paukenhöhle (im un verkümmerten Zu- 
stande) ist ein mechanischer Apparat von einer Empfindlichkeit, die 
Alles, was wir von Empfindlichkeit mechanischer Apparate kennen, 
himmelweit hinter sich lässt. ' 

In der That ist es durchaus nicht unwahrscheinlich, dass durch 
denselben Schallbewegungen treu mitgetheilt werden, die so klein sind, 
dass sie mit dem Mikroskop nicht wahrgenommen werden könnten. 

Die mechanische Kraft der schwächstöh Schälle, welche das Ohr 
noch wahrnimmt, lässt sich freilich kaum direct ii?6hätzen; aber man 
kann mit Hülfe des Gesetzes, nach welchem die Stärke des Schalles 
bei seiner Verbreitung in der Luft abnimmt, zeigen, dass das Ohr 
Schälle wahrnimmt, deren mechanische Kraft Millionen Mal kleiner ist, 
als die der Schälle von gewöhnlicher Stärke. 

In Ermangelung anderer von Fehlerquellen freier Beobachtungen 
berufe ich mich auf die Angabe von Nicholson, nach welcher das 
Rufen der Schildwachen von Portsmouth 4 bis 5 englische Meilen weit 
zu Ride auf der Insel Wight bei Nacht deutlich gehört wird. Wenn 
man erwägt, welche Vorrichtungen Co Iladon nöthig hatte, um die 
Verbreitung des Schalles im Wasser wahrzunehmen, so wird man zu- 
geben , dass von einer erheblichen Verstärkung des Schalles durch Fort- 
pflanzung im Wasser nicht die Rede sein kann und dass hier in der 
That die mechanische Kraft des Schalles umgekehrt proportional dem 
Quadrat der Entfeniung und wahrscheinlich noch schneller abnimmt. 
Da die Entfernung von 4 bis 5 Meilen etwa 2000 Mal so gross ist 

IliEMANN's gesammelte mathematische Werke. I. 21 



322 * XVIII. Mechanik des Ohres. 

als die Entfernung von 8 bis 10 Fuss, so ist die mechanische Kraft der 
das Trommelfell treffenden Schallwellen hier vier Millionen Mal kleiner^ 
als in der Entfernung von 8 bis 10 Fuss von der Schildwache und die 
Bewegungen sind 2000 Mal kleiner. Man muss zugeben, dass bei den 
Schall-Empfindungen durchaus nichts von Verhältnissen, wie 1 zu 
1000 Millionen oder 1 zu Tausend bemerkt wird. Nach den neueren 
Untersuchungen über das Verhältniss der psychischen Schätzung der 
Schallstärken zum physischen oder mechanischen Mass der Schallstärke 
bildet dies jedoch durchaus keinen Einwand gegen die eben erhaltenen 
Resultate. Wahrscheinlich ist dies Abhängigkeitsverhältniss gerade so, 
wie das unserer Schätzung der Lichtstärke oder Grösse der Fixsterne 
zu der mechanischen Kraft des uns von ihnen zugesandten Lichtes. 
Hier hat man bekanntlich aus den Stern -Aichungen geschlossen, dass 
die mechanische Kraft des Lichtes im geometrischen Verhältnisse ab- 
nimmt, wenn die Grösse des Fixsternes in arithmetischer Reihe steigt. 
Theilte man dem analog die Schälle, von denen von gewöhnlicher 
Stärke bis zu den eben noch wahrnehmbaren, in Schälle von der ersten 
bis zur achten Grösse, so würde die mechanische Kraft für die Schälle 
zweiter Grösse etwa y^^^,, für die dritter Yj^^; . . • ., für die achter 
Vio.0000007 ^®^^ ^^^^^ Millionten Theil so gross sein, als für die Schälle 
erster Grösse, und die Weite der Bewegungen würde für die Schälle 
erster, dritter, fünfter, siebenter Grösse sich wie 1 : y^j : y^Q^ : y^o^Q ver- 
halten. 

Ich habe oben bei der Betrachtung der das Ohr treffenden Schall- 
wellen vor dem Trommelfell Halt gemacht, weil Einige eine Dämpfung 
der stärkeren ScHälle (durch Spannung des Trommelfells?) annehmen. 
Ich muss jedoch gestehen, dass mir diese Meinung als eine völlig will- 
kürliche Vermuthung erscheint. Es mögen allerdings, wenn ein star- 
ker Knall die Membranen des Labyrinths zu verletzen droht, Schutz- 
vorrichtungen wirksam werden-, aber ich finde in der Beschaffenheit 
der Gehörseindrücke durchaus nichts Analoges mit dem Beleuchtungs- 
grad des Gesichtsfeldes beim Auge, und wüsste durchaus nicht, was 
eine fortwährend veränderliche Reflexthätigkeit des M. tensor tympani 
für das genaue Auffassen eines Musikstücks nützen sollte. Meiner An- 
sicht nach hat man durchaus keinen Grund, bei dem Schalle in 10 Fuss 
Entfernung von der Schildwache ein anderes Verhältniss zwischen den 
Bewegungen 'der Luft vor dem Trommelfell und den Bewegungen der 
Steigbügelplatte anzunehmen, als in der Entfernung von 20,000 Fuss; 
aber selbst wenn man eine ziemlich starke Veränderlichkeit der 
Spannung des Trommelfells annimmt, werden unsere Schlüsse dadurch 
nicht beeinträchtigt. Wenn nun die Bewegungen der Steigbügelplatte 



XVIII. Mechanik des Ohres. 323 

in der Entfernung von 10 Fuss von der Schildwache wahrscheinlich 
zu den eben mit blossen Augen noch wahrnehmbaren gehören, so wer- 
den die Bewegungen in der Entfernung von 20,000 Fuss bei einer 
2000 fachen Vergrösserung eben wahrnehmbar sein. 

II. Soll der Paukenapparat so kleine Bewegungen treu mittheilen, 
wie er es der Erfahrung nach thut, so müssen die festen Körper, aus 
denen er besteht, an den Stellen, wo sie auf einander wirken sollen, 
völlig genau auf einander schliessen; denn offenbar kann ein Körper 
einem anderen eine Bewegung nicht mittheilen, sobald er um mehr 
als die Weite der Bewegung von ihm absteht. 

Es wird ferner nur ein kleiner Theil der mechanischen Kraft der 
Schallbewegung durch anderweitige Arbeit, wie Spannung von Gelenk- 
kapseln und Membranen, für das Labyrinth verloren gehen dürfen. 

Ein solcher Verlust wird vermieden durch die äusserst geringe 
Breite des freien Randes der Membran des Vorhofsfensters. WUre 
dieser Rand breiter, so würden die Schwingungen der Steigbügelplatte 
beinahe ganz durch Schwingungen dieses Randes ausgeglichen werden, 
und auf die Membranen der Schnecke und des Schneckenfensters nur 
eine geringe Wirkung stattfinden. 

Die Wirkung dieses Membranenrandes auf die Steigbügelplatte 
wird wegen der geringen Breite des Randes für die verschiedenen 
Lagen der Steigbügelplatte während der Schallbewegung sehr verschie- 
den sein. Man muss daher, wenn sie den Klang nicht entstellen soll, 
annehmen, dass die Elasticität der Membran sehr gering ist, und die 
Steigbügelplatte nicht durch sie, sondern durch andere Kräfte in die 
richtige Gleichgewichtslage gebracht wird. 

IIL Da die Theile des Paukenapparates, um die erfahrungs- 
gemässe Schärfe des Ohres möglich zu machen, fortwährend mit mehr 
als mikroskopischer Genauigkeit in einander greifen müssen, so schei- 
nen Correctionsvorrichtungeu wegen der Ausdehnung und Zusammen- 
ziehung der Körper durch die Wärme durchaus unentbehrlich. Die 
Temperaturänderungen mögen innerhalb der Paukenhöhle nur sehr 
klein sein-, dass sie aber stattfinden, ist nicht zu bezweifeln. Für die 
Temperaturvertheilung im menschlichen Körper gilt, wenn die äussere 
Temperatur hinreichend lange constant gewesen ist, nahe das Gesetz, 
dass der Abstand der Temperatur an einer beliebigen Stelle des Kör- 
pers von der Kirntemperatur propoi-tional ist dem Abstände der 
äusseren Temperatur von der Hirntemperatur. Dieses Gesetz ergiebt 
sich aus dem New ton' sehen und der Voraussetzung, dass der Wärme- 
leitungscoefficient und die specifische Wärme innerhalb der in Be- 
tracht kommenden Temperaturen constant sei, eine Voraussetzung, die 

21* 



324 XVIII. Mechanik des Ohres. 

wahrscheinlich nahe erfüllt ist. Man kann durch dieses Gesetz aus 
dem Abstände der Temperatur der Paukenhöhle von der Hirntempera- 
tur auf die Temperaturänderungen schliessen. Wenn sich nun auch 
der Temperaturunterschied zwischen Paukenhöhle, und Hirn nicht be- 
stimmen lässt, so kann man doch aus mehreren Gründen, aus den 
Communicationen mit der äusseren Luft durch den äusseren Gehör- 
gang und die Tuba, auch wohl aus der Art und Weise der Blutver- 
sorgung der Paukenhöhle, mit grosser Wahrscheinlichkeit schliessen, 
dass ein merklicher Temperaturunterschied stattfindet. 

Dagegen hat der Pyramidenknochen, weil er den Can. caroticus 
enthält, wahrscheinlich sehr nahe die Temperatur des Hirns, und wir 
müssen daher annehmen, dass die innere Auskleidung der Pauken- 
höhle ein sehr schlechter Wärmeleiter und Strahler ist. 

Von den übrigeu, die Paukenhöhle umgebenden Knochen lässt 
sich freilich wohl nicht behaupten, dass sie eine so hohe Temperatur 
besitzen, wie das Hirn oder die Pyramide. Doch enthalten sie bedeu- 
tende Wärmequellen in Blutleitern, grossen Arterien und Venen und 
sind, wie die Pyramide, durch Schleimhaut und Periost gegen die Aus- 
strahlung in die Paukenhöhle geschützt. Wir dürfen daher annehmen, 
dass ihre Temperatur merklich höher ist als die der Paukenhöhle. 

Wenn nun die äussere Temperatur sinkt, so wird nach dem oben 
angeführten Gesetze der Abstand von der Hirntemperatur allenthalben 
im Körper in demselben Verhältniss (auf das Doppelte) steigen, die 
Paukenhöhle wird sich in Folge dessen merklich, die umgebenden 
Knochen nur sehr wenig abkühlen, und die Gehörknöchelchen werden 
sich merklich zusammenziehen, während die Wände der Paukenhöhle 
fast ungeändert bleiben. 

Viel mehr als dieses, dass die Gehörknöchelchen sich beim Sin- 
ken der äusseren Temperatur viel stärker abkühlen und zusammen- 
ziehen, als die W^ände der Paukenhöhle, dürfte sich über den Einfluss 
der Temperatur auf den Paukenapparat bei unserer gänzlichen Unbe- 
kanntschaft mit den thermischen Eigenschaften seiner Bestandtheile 
nicht feststellen lassen. 

IV. Ich werde nun zunächst die Veränderungen zu bestimmen 
suchen, welche bei einem Sinken der äusseren Temperatur in der Lage 
der Gehörknöchelchen eintreten, damit alle zur Berührung bestimmten 
Theile des Apparates fortfahren, genau auf einander zu schliessen. Der 
Theil des Gehörknöchelsystems, der am unveränderlichsten mit der 
Wand der Paukenhöhle verbunden ist, ist das Ambos-Paukengelenk. 
Durch Abkühlung werden alle Entfernungen in festen Körpern kleiner, 
also auch die Entfernung des Ambos-Steigbügelgelenks von dieser Ge- 



XVIII. Mechanik dos Ohres. 325 

lenkfläche. Vom Hammer ist wahrscheinlich das obere Griffende der- 
jenige Theil, welcher, wenigstens parallel dem Paukenfellring, die ge- 
ringsten Verschiebungen zulässt. Da nun bei der Abkühlung die Ent- 
fernung des Ambos-Paukengelenks von dem am unveränderlichsten 
befestigten Punkt des oberen Hammergriffs im Paukenfell nahe unge- 
ändert bleibt, die Entfernungen dieser Punkte vom Ambos-Hammergelenk 
aber beide abnehmen, so muss sich am Ambos-Hammergelenk der Winkel 
zwischen den nach diesen Punkten gehenden Linien etwas weiter offnen. 

Bei diesen beiden Aenderungen in der Lage der Gehörknöchelchen 
wird der Hammer ein wenig in der Richtung vorn-median-hinten und 
gleichzeitig (um das Gelenkknöpfchen des Amboses in seiner Höhe zu 
erhalten) sehr wenig in der Richtung vorn-oben -hinten gedreht. Der 
lange Fortsatz des Hammers würde dabei in der Fissur nach oben 
und medianwärts bewegt werden, wenn er gegen Griff und Kopf des 
Hammers eine und dieselbe Lage behielte. Durch die Wirkung der 
Abkühlung wird er aber stärker gekrümmt und dem Hammergriff 
genähert, so dass er sich während der Temperaturänderung wahrschein- 
lich nur allmählich ein wenig aus der Fissur herausbewegt. 

V. Wir haben eben die Bedingungen aufgestellt, denen die Lage 
der Gehörknöchelchen wahrscheinlich genügt, damit sie fortwährend 
genau auf einander schliesserr und dabei weder im Rande der Vor- 
hofsmembran, noch im Paukenfell eine merkhch ungleichmässige Span- 
nung erzeugen. Wir fragen nun nach den Mitteln, durch welche 
den Gehörknöchelchen jederzeit die richtige Lage gegeben und gesichert 
wird. (Es wird dies meist durch einander entgegengesetzte Kräfte 
geschehen, welche bei der richtigen Lage des Knöchelchens sich das 
Gleichgewicht halten und es, wenn es aus ihr entfernt würde, in sie 
zurücktreiben würden.) 

Es ist klar, dass diese in den beiden die Lage der Gehörknöchel- 
chen regulirenden Muskeln, in den Gelenkkapseln, Ligamenten, den 
Schleimhautfalten und den beiden Membranen, mit denen die Gehör- 
knöchelchen verwachsen sind, gesucht werden müssten.. Bei diesem 
Aufsuchen der Ursachen einer bestimmten Wirkung auf die Gehör- 
knöchelchen ergeben sich jedoch, namentlich wenn man die Schleim- 
hautfalten mit in Betracht zieht, oft mehrere Wege zur Erzielung der 
Wirkung als möglich. Um aus diesen verschiedenen Möglichkeiten die 
wahrscheinlichste herauszufinden, ist es vor allen Dingen nöthig, sich 
durch anatomische Untersuchungen an frischen Präparaten ein unge- 
fähres ürtheil über die Elasticität und Spannung der Bänder, Häute etc. 
zu verschaffen, was mir unmöglich ist. Man darf jedoch auch hoffen, 
durch sorgfältige Entwicklung der Consequenzen der verschiedenen 



326 XVIII. Mechanik des Ohres. 

Hypothesen bei den falschen auf Unwahrscheinlichkeiten zu stossen 
und diese so zu excludiren. 

Es ist ^für unsere jetzige Untersuchung zweckmässig^ zu unter- 
scheiden zwischen dem lauschenden, zum genauen Hören adaptirten 
Ohr und dem nicht lauschenden Ohr, und für bestimmte Fragen zwi- 
schen dem Ohr des Neugeborenen und des Erwachsenen. Wir machen 
die Unterscheidung zwischen dem lauschenden und nicht lauschenden 
Ohr, wenn die Steigbügelplatte durch den Zug des M. tensor tympani 
ein wenig gegen das Labyrinthwasser gedrückt wird, so dass der Druck 
im Labyrinthwasser ein wenig stärker ist als in der Luft der Pauken- 
höhle; es werden dabei die Theile der festen Körper, deren Berührung 
gesichert werden soll, ein wenig gegen einander gedrückt. Diejenigen 
nun, welche eine solche fortwährende Spannung des Apparates (das 
Paukenfell etwa ausgenommen) für unwahrscheinlich halten, mögen 
annehmen, dass bei den Temperaturänderungen die Gehörknöchelchen 
durch die Wirkung der Haft- und Gelenkbänder und die allmähliche 
Aenderung der Contraction der Muskeln ihre Lage ändern, ohne gegen 
einander gedrückt zu werden, weil wir gefunden haben, dass nur dann 
das genaue Ineinandergreifen aller Theile des Apparats gesichert ist. 

Es bleibt dann unsere Untersuchung für das lauschende, zum 
genauen Hören absichtlich vorgerichtete Ohr giltig, während daneben 
doch immer die Möglichkeit bestehen bleibt, dass das Ohr (des Wachenden?) 
fortwährend, wenn auch vielleicht in geringerem Grade, adaptirt ist. 

Der Gehörknöchelapparat besteht aus einem aus zwei Theilen 
(Hammer und Ambos) zusammengesetzten, um eine Axe drehbaren 
Körper und aus einem mit diesem Körper articulirenden, auf das 
Wasser des Yorhofsfensters drückenden Stempel (dem Steigbügel). 
Das eine Ende der Umdrehungsaxe, der kurze Fortsatz des Amboses, 
ist mittelst des Ambos-Paukengelenks an der hintern Wand der Pau- 
kenhöhle befestigt, das andere Ende, der lange Fortsatz des Hammers, 
ragt, nur von Weichtheilen umgeben, in eine Spalte zwischen dem 
vordem obern Ende des Paukenfellrings und dem Felsenbein und legt 
sich in eine Furche dieses Ringes. (Wenigstens ist es so beim Ohr 
des Neugeborenen.) 

Die Bestimmung der relativen Lage der Gehörknöchelchen gegen 
die Paukenhöhle wird sehr erleichtert durch das Verfahren von Henle, 
die Paukenhöhle sich so gedreht zu denken, dass die Umdrehungsaxe hori- 
zontal von hinten nach vorn geht und das Vorhofsfenster vertical steht. 

Wird der Stiel des Hammers durch Steigerung des Druckes der 
Luft auf das mit ihm verwachsene Trommelfell nach innen getrieben, 
so wird die Basis des Steigbügels gegen die Membran des (ovalen) 



XVIII. Mechanik des Ohres. 327 

Vorhofsfensters gedrückt, der Druck im Labyrinthwasser gesteigert und da- 
durch die Membran des (runden) Schneckenfensters nach aussen getrieben. 

Damit der Apparat die kleinsten Druckänderungen der Luft, in 
stets gleichem Verhältniss vergrössert, dem Labyrinthwasser mitthei- 
len könne, ist es vor allen Dingen nöthig, dass der Druck des 
Steigbügels stets in völlig gleicher Weise auf das Labyrinth- 
wasser wirke. Zu diesem Ende muss 

1.) der Druck der Basis stets Eine und dieselbe Fläche treffen 
und die Richtung der Bewegung unveränderlich sein; 

2.) es dürfen keine Anheftungen des Steigbügels an die Wand des 
Vorhofsfensters stattfinden, wenigstens keine solchen, die irgend einen 
merklichen Einfluss auf seine Lage und Bewegung ausüben könnten; 

3.) der Steigbügel darf nie aufhören, gegen die Membran des 
Vorhofsfensters zu drücken. 

Wie man bei einiger Ueberlegung leicht finden wird, würden die 
Druckänderungen der Luft entweder gar nicht oder nach völlig ver- 
änderten Gesetzen auf das Labyrinthwasser wirken, sobald Eine dieser 
Bedingungen verletzt würde. 

um die Erfüllung der 3. Bedingung zu sichern, muss durch den 
M. tensor tympani, welcher den Hammerstiel nach innen zieht, der 
Druck gegen die Membran des Vorhofsfensters stets auf einer solchen 
Höhe erhalten werden, dass er die grössten, beim Hören zu erwarten- 
den Druckänderungen beträchtlich übertrifft. Wahrscheinlich wird am 
Schnecken- oder Vorhofsfenster eine Wirkung dieses Druckes, sei es 
die Spannung oder Krümmung (Ausdehnung, Formänderung) der Mem- 
bran empfunden und durch den M. tensor tympani der für das genaue 
Hören günstigste Druck hergestellt. 

Der Druck hängt nur von der Lage des Hammerstiels ab, und um 
die erforderliche Einstellung dieses Stiels zu bewirken, muss der Zug 
des Muskels gerade so stark sein, dass er der Wirkung der Spannung 
des Paukenfells bei dieser Einstellung das Gleichgewicht hält. Ob die 
Spannung des Paukenfells dabei grösser oder kleiner ist, darauf kommt 
gar nichts an ; nur muss sie, wie wir jetzt zeigen wollen, so gross bleiben, 
dass nur ein sehr kleiner Theil der mechanischen Kraft der das Ohr 
treffenden Wellen an die Luft im Innern der Paukenhöhle verloren geht. 

Wenn eine in freier Luft ausgespannte Membran von einer Schall- 
welle getroften wird, so entstehen eine Schwingung der Membran, eine 
zurückgeworfene Luftwelle und eine weitergehende (gebrochene) Luft- 
welle. Wie sich die mechanische Kraft der Schallwelle auf diese drei 
Wirkungen vertheilt, hängt von der Spannung der Membran ab. Ist 
diese Spannung sehr gering, so sind die beiden ersten Wirkungen 



328 XVJII. Mechanik des Obres. 

sehr schwach, und es geht die Schallwelle fast unverändert 'weiter. Ist 
dagegen die Membran so stark gespannt, dass ihre Bewegungen nur 
sehr klein sind gegen die Schwingungen der Lufttheilchen in der auf 
sie trejßpenden Schallwelle, so kann sie der Luft auf der hintern Seite 
nur sehr kleine Bewegungen mittheilen und folglich auch ihren Druck 
nur wenig verändern, und es wird fast die ganze Druckänderung auf 
der vordem Seite zur Spannung der Membran verwandt. Ausserdem 
aber entsteht, wenn die Membran in freier Luft ausgespannt ist, 
eine zurückgeworfene Welle. 

Die Lage des Linsenbeines gegen das Vorhofsfenster kann also 
nicht unverändert bleiben; aber es kann durch Drehung des Amboses 
um seinen Befestigungspunkt (das Paukengelenk) bewirkt werden, dass 
das Linsenbein sich nur parallel der Längsaxe des Vorhofsfensters 
verschiebt, und also nur in dieser Richtung eine Drehung des Steig- 
bügels um das Centrum der Ambosgelenkfläche nöthig ist, um die 
Steigbügelplatte an ihrem Platze zu erhalten. Da nun nur für diese 
Richtung eine Vorrichtung (der M. stapedius) vorhanden ist, den Steig- 
bügel um das Ambosgelenkknöpfchen willkürlich zu drehen, für die 
darauf senkrechte aber nicht, so darf man wohl vermuthen, dass die 
letztere Vorrichtung eben dadurch überflüssig gemacht worden ist, dass 
das Ambosgelenkknöpfchen fortwährend in derselben Höhe erhalten wird. 

VL Dem Zuge der Sehne des M. tensor tympani wird zum Theil 
das Gleichgewicht gehalten durch die Befestigung des Hammergriffs im 
Paukenfell und des Paukenfells im Sulcus tympanicus. Die Anheftung 
des Paukenfells an dem Hammergriff reicht aber (nach v. Tröltsch und 
Ger lach) nur wenig höher, als der Insertionspunkt der Sehne, und ihr End- 
punkt liegt selbst schon höher als die Endigungen des Sulcus tympanicus. 

Offenbar kann also die Befestigung des Paukenfells im S. t. dem 
M. tensor tympani allein nicht das Gleichgewicht halten. Zum Gleich- 
gewicht des Hammers ist vielmehr erforderlich, dass auf den oberhalb 
des Insertionspunkts gelegenen Theils ein gleich grosses entgegengesetzt 
gerichtetes Drehungsmoment wirke, wie auf den unterhalb gelegenen Griff. 
Man kann diese zur Herstellung des Gleichgewichts nöthige Kraft suchen 

L) entweder in der Verbindung des Paukenfells mit den ober- 
flächlichen Schichten der Haut des äusseren Gehörgangs, 

2.) oder in der Wirkung der hinteren Paukenfelltasche, 

3.) oder vielleicht in dem Zusammenwirken der Anheftungen des 
Hammerkopfes an die Paukenhöhlen wand durch den Ambos einerseits 
und anderseits durch das Lig. superius Arnoldi. Diese Anheftungen 
bilden einen etwa gegen die Spitze des kurzen Fortsatzes gerichteten Winkel 
und drücken, wenn sie gespannt sind, diese Spitze gegen das Paukenfell. 



Dritte Abtlieiluiig 



XIX. 

Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und 

Differentiation.*) 

In dem folgenden Aufsatze ist der Versuch gemacht, ein Ver- 
fahren aufzustellen, mittelst dessen man aus einer gegebenen Function 
einer Veränderlichen eine andere Function derselben Veränderlichen 
ableiten könne, deren Abhängigkeit von jener ursprünglichen sich durch 
eine Zahl ausdrücken lässt und die für den Fall^ dass diese Zahl eine 
ganze positive, negative oder null ist, bezüglich mit den DiflFerential- 
quotienten, Integralen und der ursprünglichen Function übereinstimmt. 
Die Resultate der Differential- und Integral-Rechnung vrerden zwar als 
Grundlage hier vorausgesetzt, aber nicht in der Weise, dass diejenigen 
derselben, die für alle Differentiale und Integrale, deren Ordnung durch 
eine ganze Zahl ausgedrückt wird, gelten, auch auf die gebrochenen 
Ordnungen ausgedehnt würden; sondern sie sollen nur einerseits zur 
Begründung des oben angedeuteten Verfahrens benutzt werden und 
andrerseits als Wegweiser dienen dasselbe zu finden. 

Zu diesem letzteren Zwecke wollen wir einmal die Reihe der 
Differentialquotienteu etwas näher betrachten. Es ist klar dass man 
hiebei nicht von der gewöhnlichen Definition derselben ausgehen kann, 
die sich auf ihr recurrentes Bildungsgesetz gründet, da mau ja durch 
dasselbe unmöglich auf andere Glieder der Reihe, als auf solche, die 
ganzen Indices entsprechen, gelangen kann; man rauss sich also nach 
einer independenten Bestimmung derselben umsehen. Ein Mittel dazu 



*) Diese Abhandlung trägt im Manuscript das Datum U. Jan. 1847. und 
stammt also aus Riemanns Studienzeit. Riemann dachte ohne Zweifel nicht 
an ihre Veröffentlichung, auch stützt sich die Betrachtung auf Grundlagen, deren 
Haltbarkeit er in späteren Jahren nicht mehr anerkannt haben würde. Immerhin 
ist die Arbeit für Riemanns Entwicklungsgang charakteristisch, und die Resultate 
sind bemerkenswerth genug, um die Aufnahme in diese Sammlung zu recht- 
fertigen. 



332 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung 

bietet uns die Entwicklung der Function, welche aus der ursprüng- 
lichen durch Vermehrung der Veränderlichen um einen beliebigen Zu- 
wachs entsteht^ nach ganzen positiven Potenzen dieses Zuwachses dar. 
Denn da die bekamite Entwicklung 

(wo %4-Ä) das bedeutet, was aus %) wird, wemi man darin statt x 
X -\^h setzt) für jeden beliebigen Werth von h gültig ist, so müssen 
die Coefficienten in derselben einen ganz bestimmten Werth haben; 
man kann dieselben also zur Definition der Differentialquotienten ver- 
wenden. Demgemäss stellen wir folgende Definition auf: der nte 
Differentialquotient der Function %) ist gleich dem Coefficienten von 
li'^ in der Entwicklung von % + ;o nach ganzen positiven Potenzen 
von h, multiplicirt in einen nach x constanten, nur von n abhängigen 
Factor, nemlich in 1.2 n. Diese Betrachtungsweise der Differential- 
quotienten führt sehr leicht zur Feststellung einer allgemeinen Operation, 
in welcher die Differentiation und Integration enthalten ist und welche 
wir (da die Bezeichnung und Benennung derselben als die Grenze des 
Quotienten verschwindender Grössen bei dieser Betrachtungsweise keinen 
Sinn hat) durch ^^ bezeichnen und nach dem Vorgange von Lagrange 
in der Benennung „fonctions derivees" Ableitung benennen wollen. 

Wir verstehen nemlich unter d*' z oder unter dem Ausdruck „i'te 
Ableitung von %) nach x^^ den Coefficienten von If in einer nach Po- 
tenzen von A, deren Exponenten um eine ganze Zahl von einander 
abstehen, rückwärts und vorwärts in's Unendliche fortlaufenden Ent- 
wicklung von %_j_Ä), multiplicirt in einen nach x constanten, nur von 
V abhängigen Factor, d. h. wir definiren d^'^z durch die Gleichung 

(2) ^(^_^,)=^ hjj h\ 

In dieser Definition muss nun natürlich der von v allein abhängige 
Factor h^ so bestimmt werden, dass für den Fall, dass die Exponenten 
von h ganze Zahlen sind, die Reihe (2) in die (1) übergeht, weil 
nur dann die Differentialquotienten wirklich als besondere Fälle in den 
Ableitungen enthalten sind-, sollte dies nicht möglich sein, so wäre 
diese Definition unserm Zwecke, eine Operation, welche die Differen- 
tiation als besonderen Fall in sich schliesst, festzustellen, nicht ent- 
sprechend, und wir müssten uns also nach einem anderen Wege, ihn 
zu erreichen, umsehen. 



der Integration und Differentiation. 333 

Bevor wir aber diesen Factor zu bestimmen suchen, wollen wir 
erst Einiges über die Reihen von der angegebenen Form vorausschicken, 
da sie, wie man sieht, die Grundlagen dieses ganzen Versuchs einer 
Theorie der Ableitungen bilden. 

Man hat wohl die Behauptung aufgestellt, man könne auf die 
Reihen im Allgemeinen gar keine sicheren Schlüsse gründen, sondern 
nur unter der Bedingung, dass man den darin vorkommenden Grössen 
solche Zahlenwerthe beilege, dass die Reihe convergire, d. h. dass sich 
ihr (wenigstens genäherter) Werth durch eine wirkliche Ziffernaddition 
finden lasse. Nun können wir aber, wenn, wie hier immer voraus- 
gesetzt wird, die Coefficienten einem bestimmten Gesetze gehorchen, 
jeden einzelnen Theil derselben genau angeben; sie ist folglich eine 
in allen ihren Theilen genau begrenzte, also bestimmte Grösse; und 
ich sehe darin, dass der Mechanismus der Ziffernaddition nicht aus- 
reicht, diesen ihren bestimmten Werth zu finden, keinen Grund, warum 
wir nicht die Gesetze, die für die Zahlengrössen als solche erwiesen 
sind, auf sie anwenden und die Resultate, die wir dadurch erhalten, 
als richtig ansehen sollten. 

Um an einem Beispiele zu zeigen, dass man für eine Reihe von 
der Form (2) wirklich einen Werth finden kann, wollen wir durch ein 
Verfahren, das in vielen Fällen für diesen Zweck anwendbar ist, die 
Function x^' in eine nach gebrochnen Potenzen von {x — h) fortlaufende 
Reihe entwickeln, eine Entwicklung, deren wir ohnehin im Lauf der 
Untersuchung bedürfen. 

Die Reihe, die .t" gleich sein soll und die wir der Kürze wegen 
durch z bezeichnen, sei 



^c„{x-h)". 



enn z = . 


r^', so ist 


§-:=^-"-s 


glich 




dz 



es muss also auch 

^[{ii - «)c« - 6 (« + 1) c«+i] (pc. -hy = o 

sein. Dieser Bedingung ist oö'enbar Genüge geleistet, sobald 

(P' - «) Ca — h{a+r) c„ + i = 0. 
Nun sind aber alle Ausdrücke, welche dieser Differentialgleichung ge- 
nügen in den verschiedenen Werthen von kxf' enthalten, es musg 



334 XIX. Versuch eiuer allgemeinen Auffassung 

also die Reihe ^, in der das Gesetz 

(^ — a) Ca — h (a -{- 1) Ca-\-i = 
stattfindet, notli wendig einem derselben gleich sein; um diesen zu 
finden, machen wir 

Ca-l (X — hy- ' + Ca {X — hf =p, 

P = c«+i (.r - &)« + ^ + c,. + 2 {x - hY + ^ , 

also 

p -{- 2)' = z = kx'' ; 
folj^lich 



o 



^^~-^d^ = ^^ — ^)^^(^ — ^y = ^^ ^p — ^ j|- 

Diese Differentialgleichungen haben zum allgemeinen Integral 
— / Xx~^~^ dx + \ =px^^' = Ca{x — hyx-^ 

+ Ca-l (X — hy-^X-^' 

/ Xx-^'-^ dx + 7^2 =px~^' = Ca + i {x — lY^^ x-^ 

+ Ca 4-2 ix — &)« + 2^-^* 

Substituirt man hierin für X seinen Werth und — für x. so erhält 

V 
man 

px-^' = Ca{^ — a) h"~^' Cif-"-^ (1 — ijY dij + \ 

= Cah''^'''(l — yy y^'~-" + Ca-i'b"-'^~^'{l—yy-^y'''-''+^ + •• 

PX-''' = — C« (^ — ß) 6«-^* / y^C-a-1 1^1 _ yY ^y _|_ l^ 

= c«4-i h" + ^-^'- (1 — yy + ^ y^^-cc-i 

+ Ca + 2 &« + 2-^' (1 — iy)« + 2 |/,«-«-2 -I- .. 

In dem Falle, dass ^ > a > — 1, verschwinden nun offenbar die Aus- 
drücke rechts bezüglich für y == und ^ = 1 , und die beiden Inte- 
grale werden ihnen also, das erste von bis y, das zweite von 1 bis y 
genommen, genau gleich sein, wenn dieselben zwischen diesen Grenzer 
continuirlich sind. Es könnte scheinen, als ob diese Bedingung ver 
letzt wäre, so bald einige oder alle Glieder einer Reihe in's Positive 
oder Negative über alle Grenzen hinaus wachsen; daraus würde aber 
da sich dieselben gegenseitig aufheben können, nur folgen, dass siel 
durch eine wirkliche Addition ein bestimmter Werth für die Reihe 
nicht finden lässt. Da wir nun den Schluss, als ob die Reihe in einen 
solchen Falle überhaupt keinen bestimmten Werth. habe, nach den 
Obigen nicht zugeben, so können wir die Continuität oder Disconti 
nuität der Reihen px~^' und px~^' nur durch die Betrachtung dej 



der Integration und Differentiation. 335 

ihnen gleichen Integrale erfahren.*) Bekanntlich kann nun aber ein 
Ausdruck nur discontinuirlich werden, wenn sein Differential unendlich 
wird; der Ausdruck (1 — ?/)•"- «-^ ?/" ^^^ ^t>er für alle endlichen 
Werthe von y einen endlichen Werth, wenn die Exponenten ^ — a — 1 
und a positiv sind; die Integrale ändern sich also dann stetig, und 
aus der Betrachtung der singulären Integrale für y = \ und ^ = 
ersieht man, dass dies auch noch stattfindet, so lange beide Exponen- 
ten grösser als — 1 bleiben. Es ist demnach für den Fall, dass 
ft > « > — 1 und y endlich ist,**) 

A- == zx-^' =poc-^' + j/o.—'" = (ft — ci)Ca h"-f / (1 — yy-"-^ y" dy 

u 

(wo n das bekannte bestimmte Integral bezeichnet). Dies Resultat 
gilt, wie bemerkt, nur, wenn ^ > « > — 1 ; es lässt sich aber auf 
alle Werthe von ft und a ausdehnen, wenn man das FI einer negativen 
Zahl (wie im Lauf dieser Untersuchung immer angenommen werden 

soll) als durch das Gesetz n{n) = — -j—- TI{n +1) aus den positiven 

abgeleitet definirt. Denn erstens muss es nach dem Gesetz, welches 
angenommener Massen zwischen den Coefficienten der Reihe stattfindet, 

für jeden Werth von a gelten, wenn nur einer derselben ^ (^ j ist; es 
ist also, wenn fi positiv ist 

ft = CO 

hx^=y Ijrr^ — T ^~" C^' — ^Y 

^ I n{a)n{(i — a) ^ ^ 

« = 00 

oder _ 

n^i ~ ^ II {fx — a) n{a) J 

daraus aber erhält man durch ?? malige Differentiation nach x 

n{fi — n) ^ n{(i — cc) "^77 (a — n) ' 
wodurch das Gesetz auch für negative Werthe von ^ erwiesen ist. 

*) Behandelt man die Integrale vor der Substitution von — statt ,r, so wer- 

y 

den sie für x = discontinuirlich. Man erkennt aber auch unter dieser Form 
leicht, dass die ihnen zugehörigen Constanten für positive und negative Werthe 
von X dieselben Werthe haben müssen, da der Werth der Integrale bei dem 
Uebergange des a; von -f oo zu — oo sich stetig ändert. 

**) Für den Fall, dass ?/ = ± co, also x = 0, ist der Werth beider Inte- 
grale CO; folgHch l' = cc — 00, d. h. beliebig, was offenbar aus der blossen Be- 
trachtung dieses Falles hervorgeht. 



336 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung 

Es ist also ganz allgemein. 



(3) 



Tl{a) ~ ^ Hill — a) n{a) 



Bemerkenswert!! ist es, dass man clurcli diese Formel, eine Reihe für 
x^' nicht erhält, wenn ^ eine negative ganze Zahl ist, da der Ausdruck 
links dann wird, worauf wir später zurückkommen werden. Man 
sieht auch dass es Reihen von dieser Form giebt, die der Null oder 
einer Constanten, für jeden Werth von x, gleich sind. 

Nach dieser Protestation gegen das Verdammungsurtheil, welches 
man den divergirenden Reihen gesprochen hat, wollen wir jetzt den 
eingeschlagenen Weg zur Feststellung des Begriffs der Ableitungen 
weiter verfolgen. Man sieht, dass der Zweck, den wir uns gesetzt 
haben, dass nemlich die Differentiation als besonderer Fall in der Ab- 
leitung enthalten sein soll, erfüllt ist, so bald nur die Function ky für 

alle ganzen positiven Werthe von v = —- ^ und für alle ganzen 

negativen Werthe =0 ist- denn dann geht die Reihe (2) in die 
Reihe (1) über; dieser Bedingung kann aber offenbar durch unendlich 
viele verschiedene Functionen von v genügt w^erden-, man kann ferner 
durchaus nicht annehmen, dass es nur Eine Entwicklung derselben 
Function nach denselben Potenzen von Ji gebe, d. h. dass nur Ein 
System von Coefficienten einer Reihe von einer bestimmten Form 
einen bestimmten Werth gebe; man muss vielmehr unendlich viele 
verschiedene Systeme als möglich voraussetzen; wir haben also, un- 
beschadet unseres Zweckes, sowohl unter den verschiedenen möglichen 
Functionen von v für äv als unter verschiedenen möglichen Systemen 
von Coefficienten die Wahl, und es ist offenbar am zweckmässigsten 
diese Wahl womöglich so zu treffen, dass die Ableitungen noch meh 
reren Gesetzen gehorchen, die bei einer andern Wahl nur für Ab- 
leitungen mit ganzen Indices gültig sein würden. 

Hierzu dienen folgende Betrachtungen. 

Da der Ausdruck Zh dlz h" alle in dieser Form möglichen Ent 
Wicklungen % + /,) umfassen soll, so muss 

ah 
alle in dieser Form möglichen Entwicklungen von — "^^^^^ umfassen 
und ebenso 

dx "^ dx 



der Integration und Differentiation. 337 

alle Entwicklungen dieser Form von — -^?-±-^. Bekanntlich sind nun 
— ^'^j ^'^ und — ^1 — ~ identisch; beide Ausdrücke umfassen also genau 
dieselben Reihen; es müssen also auch /m-j-i {v -\- \) Cx z und 

/.:,. /" genau dieselben Werthe Jiaben, d. h. sie sind einander gleich; 

setzt man nun ky^\ (^ + 1) = /^v^ was der obigen Hauptbedingung 
offenbar nicht widerspricht, da für ganze Werthe von v vermöge der- 
selben dies Gesetz stattfinden muss, so erreicht man dadurch , dass 
auch für die Ableitungen mit gebrochenen Indices 



dx 
ist und folglich allgemein, wenn n eine ganze Zahl ist, 

(4) ^ ^^' + % = fl^^- 

Aus dem angenommenen Gesetze für /Cv folgt, dass 

ist, es hat also die Function //(i*)/:, ,die wir durch Z^ bezeichnen wollen, für alle 
Werthe von v, die um ganze Zahlen von einander abstehen, stets denselben 
Werth. Wir können daher für die zweckmässigste Wahl der Function 
Iv nicht mehr aus der Betrachtung einer einzelnen Entwicklungsform, 
sondern nur aus der Combination verschiedener Schlüsse ziehen; dem- 
gemäss wollen wir versuchen, ob wir sie so wählen können, dass 

Cx OxZ = Cx Z ist. 

Lässt man zu diesem Zwecke x in der Formel (2) noch einmal 
wachsen, und bezeichnet man diesen Zuwachs durch /c, so ist 

und dieser Ausdruck bezeichnet alle nach denselben Potenzen von h 
und h möglichen Entwicklungen von z^x + h + k)- Es ist aber auch 

// t= CO 1= OO V u 

Nun bezeichnet der letzte Ausdruck (ß) zwar nicht alle möglichen 
Entwicklungen dieser Form von z (,r -{- f, + k) , da *die Gleichung (3) 

RiEMANN-'s gesammelte mathematische Wrrko. I. 22 



338 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung 

nur Eine Entwickluntr von - :^ — ■ — r- ffiebt, ohne dass dies die einziu' 

mögliche zu sein brauchte; es müssen aber alle in ihm enthaltenen 
Entwicklungen auch in (a) enthalten sein; stellt man also für die 
Function l das Gesetz ?(« + )> =l,ilv auf; so werden alle Werthe 
von rl > auch Werthe von ri'^l-? sein^ obgleich der letzte Ausdruck 
auch noch andere Werthe haben kann. 
Es' ist also 

(5) ai'a:> = a£+"^ 

unter der ausgesprochenen Beschränkung. 

Aus ?(,, + ,,) = /(,,)?(,,) folgt aber 

?(u-f r-f-TT) = l(u + r)l7l = luly Ire 

und allgemein, dass das Product der l verschiedener Zahlen gleich ist 
dem / ihrer Summe, oder wenn man die einzelnen Factoren einander 
gleich setzt \mv) = C)? so oft m eine ganze Zahl ist; bezeichnet man 
nun — durch tc, so ist 



1{un == kan) = ?'" = C oder hm\ = iv . 

Das Gesetz ?(av) = fv ist also für alle rationalen Werthe von ^, und 
folglicb (nach dem bekannten Gesetz der Interpolation) allgemein gültig. 
Da nun für ganze Werthe von v Ir = 1 sein muss, so ist ?^, = V . 
Sollen demnach die Gesetze (4) und (5) für die Ableitungen im 
Allgemeinen gelten, und die Differentiation in der Ableitung als be- 
sonderer Fall enthalten sein, so müssen wir die Ableitungen unter 
denjenigen Functionen von x wählen, die der Gleichung 

^i^+i>) —Zj m^ ^^^ — Zj my) ^^^ 

genügen. Diese Wahl wird am zweckmässigsten auf diejenigen unter 
ihnen fallen, welche am geschmeidigsten für die Rechnung sind; ver- 
sucht man aber die Entwicklung einiger Functionen von x -\-'h in 
Reihen, die nach gebrochenen Potenzen von 1i fortlaufen, so wird man 
sehen, dass am leichtesten und einfachsten Entwicklungen in solche 

li" + ^ 
Reihen sind, in denen der Coefficient von 7:^7 — r-~v das Differential des 

' U{y -f- 1) 

Coefficienten von ^^7— ist: wir wollen also obige Begrenzung der Ab- 
leitungen dahin beschränken, dass das Zeichen c'xZ den Coefficienten von 
y=^ nicht in allen möglichen Entwicklungen von ^(r-f-A) bezeichnen 



der Integration und Diflferentiation. 339 

soll, sondern nur in solchen, in denen der Coefficient von -^, — ,—, das 

^ ' /T(v-J-1) 

Differential des Coefficienten von 7=7-, ist. *) 

n{v) ^ 

Hieraus folgt zunäclist, dass Ein Werth von dlz nur einer Ent- 
wicklung angehören kann; denn gesetzt, ein W*erth von c^z, pr, ge- 
hörte zwei Entwicklungen, a und h, an, so müssten diese beiden Ent- 
wicklungen in allen folgenden Gliedern übereinstimmen, da diese durch 
Differentiation aus p,, entstehen. Bezeichnen wir nun die vorhergehen- 
den Glieder in a durch ih — 1, Pv— 2...,^^ ^ durch g,. — 1, ^» — 2 • .., so 
müssen p,— 1 und qv — i beide zum Differential pv haben; sie kön- 
nen also nur um eine Constante verschieden sein, d. h. 

qr-l=Pr-l+Ku 

ebenso muss 

sein. Die Entwicklung h ist also 

m = l 7i = CO m=l 

— « -r ^ ^rn^ jj^^^ jj(7_^_„,)— " 1- ^ ^'« n{v - m)'^ 

m==o w = 111 = cc 

nun soll aber für alle Werthe von (x -\- h) a = h sein, was bekannt- 
lich nur stattfinden kann, wenn alle Constanten null sind; dann aber 
sind beide Entwicklungen identisch. 

Ist py ein Werth von dlzy so ist j9,. + K yrr— — -^—r (wo n positiv 

und ganz und K eine endliche Constante ist) ebenfalls ein Werth des- 
selben; denn die Reihe 

"V/ I 7^ x--^-n \ hv -^ hv fx -\-h)-n 

un(t es findet in ihr das Gesetz statt. 



,^^^'n(v) — % + /'; 






*) Aus (4) folgt zwar, dass wenn ^ ^U-— eine Entwicklung von Z{x-^/i) 

jiLi n{v) 

• i. 'ST? ^'^x^ /i»-fi 

ist, > — - — — — ^ ebenfalls eine Entwicklung von :^(.r-f ä) ist, aber nicht 
M^ dx n{v-\-l) ° 

dass diese beiden Entwicklungen identisch sind. Durch die gemachte Annahme 

erreicht man auch, dass die Ableitungen mit ganzen negativen Indices, die nach 

dem Bisherigen noch gar keinen Sinn hatten, mit den Integralen zusammenfallen, 

wie weiter unten bewiesen werden wird. 

22* 



340 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung 

Den Inbegriff aller Werthe von c^^z, die sich durch Addition von Aus- 
drücken von der Form K ^, — - — — r aus einander ableiten lassen, wol- 
len wir ein System von Werthen nennen; es sind also alle Werthe 
von d^^z, die demselben Systeme angehören, in dem Ausdruck 

(6) P' + 'S'^'i^i^^' 

7?= CO 

enthalten (wo iT« endliche Constanten bedeuten). 

Wir wollen nun einen We*rth von ^' iS zu bestimmen suchen. 
Bekanntlich ist 

sobald 5'(j.) zwischen den Grenzen x und k continuirlich ist, setzt man 
hierin x + h für h und entwickelt die Glieder der Reihe mittels (3) 
nach Potenzen von h^ so erhält man 

'^^"^ ~\^^ ^^(.") V'^ ^n- ^) "^ [ä.vJik) /T(- ^ + 1) 

und in dieser Reihe ist der Coefficient von -^=pr^ das Differential des 

Coefficienten von „. ^--r •, er ist folglich ein Werth von ^^'<^, den 

wir durch p„ bezeichnen wollen. Differentiirt man nach k, so er 
hält man 

Nun verschwinden alle Glieder der obigen Reihe für h = X] das In- 
tegral wird also von Ic bis ^ genommen = Pju sein, wenn es zwischei 
den Grenzen continuirlich ist; dies ist aber, da z zwischen den Gren 
zen X und Je continuirlich sein soll und — ^ — 1> — 1, offenbar dei 
Fall und es ist also 

ein Werth von d'^Zj sobald ^ zwischen den Grenzen x und Ic continuirlich un(( 
ft negativ ist. Der derselben Entwicklung angehörige Werth von 



X 






k 



dt. 



der Jntc'f'ration und Differentiation. 341 



Mau sieht leicht, dass, je nachdem man dem Ic verschiedene Werthe 
giebt, verschiedene Entwicklungen von ^(.r-f/o daraus hervorgehen, 
aber alle diese Entwicklungen gehören demselben Systeme an. Denn 
aus dem Werth 



geht offenbar 



k 



ß' 



ij 



X 



7t7=-^-z-i\- / (^ — " ' ^it)cU 



hervor durch Addition von 



da nun 2 zwischen x und k^ und also auch zwischen h und A^ con- 
tinuirlich ist; so sind alle jene Integrale endliche und ZAvar nach x 
constante Grössen. Man wird demnach durch das angewandte Ver- 
fahren stets auf dasselbe System von Werthen gelangen; beschränken 
wir also den Begriff" der Ableitungen auf dies System von Werthen, 
so haben wir die Bestimmung derselben auf bekannte Werthe zurück- 
geführt und werden mittels dieser Definition die Eigenschaften der- 
selben und ihre Werthe für bestimmte Functionen ableiten können. 
Es ist demnach 

1. ^;> = f(x - 0--^ %) dt + 2^ir. ^ 



l - v) ^ 

wenn Kn endliche willkürliche Constanten sind,*) v negativ, und 2 
zwischen den Grenzen x und Je continuirlich ist; für einen Werth von 
7f aber der > ist, bezeichnet ^^^ dasjenige, was aus ^^~'" ^ (wo m > v) 
durch m malige Differentiation nach x hervorgeht,**) ein Werth, wel- 
cher stets auch der Gleichung 



*) Alle diese willkürlichen Functionen wollen wir durch cpv bezeichnen; wir 
machen zugleich darauf aufmerksam, dass (wenn w positiv imd ganz) jede 
Function q)v auch eine Function cpv— 71 ist. 
**) Die Definition 



^v 



V /^"^(^ 



/j = 

welche mit der gegebenen identisch ist, würde zwar für alle Werthe von v gel- 
ten; wir haben ihr aber die gewählte ihrer grösseren ^Geschmeidigkeit wegen vor- 
gezogen. 



342 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung 

n= CK «^ „ = 1 

genügen muss.*) Hieraus folgt 

X {m) n = 1 

«-^ n = m 

und 

4 ^% = ^ ■ 



5. 

ferner 



dx'" 



6. <^,^ =67/^^ + 9),,. 






Das Umgekehrte findet aber nur statt, wenn ^ eine ganze posi- 
tive oder V eine ganze negative Zahl ist. In diesem Falle sind also 
beide Ausdrücke identisch. Aus der Definition folgt noch (wenn c eine 
Constante bedeutet) 

7. dl (p + q) = dlp + dlq 

8. Cxicp) = cdlp 

9. dx-\-c^ = dxZ 

10. dlxS = dlzc~\ 

Zwei Werthe von d^z und dxZ, in denen die Constanten K, K^, etc. 
sämmtlich einander gleich sind, sollen correspondirende Werthe heissen. 
Alle derselben Entwicklung von z-^x + h) angehörigen Werthe sind cor- 
respondirende. 

Wir wollen nun zu der Bestimmung der Ableitungen bestimmter 
Functionen von x übergehen. Dabei kann es natürlich nur darauf 
ankommen, einen AVerth Einer Ableitung zu finden, da sich aus 
diesem ihr allgemeiner Werth durch Addition der Function cp sofort 
ergiebt, und zwar wird dieser Werth, wenn die Umformung des Aus- 
drucks 1. überhaupt etwas nützen soll, ein einfacherer, als dieser Aus- 
druck, also eine explicite Function von x in endlicher Form sein 



*) Ob die obige Formel 1. alle Werthe enthält die dieser Gleichung genügen, 
hängt offenbar davon ab, ob die Functionen cpv die einzigen sind, welche, statt 

dxZ substituirt, die Reihe 2. zu Null machen. Nun lässt sich zwar ohne Schwie- 
rigkeit zeigen, dass keine algebraische Function von .t, die nicht in cpv enthalten 
ist dies leistet; ob aber überhaupt keine Function dieser Bedingung genügt, dar- 
über konnte ich bis jetzt zu keinem Resultat gelangen. 



der Integration und Differentiation. 343 

müssen. Diese Umformung wird also im Allgemeinen darin bestehen, 
dass man das x aus dem Integralzeichen herauszuschaffen sucht. 

Betrachten wir nun zuerst die Function a". 

Ist ^ positiv, so ist x'' für alle Werthe von x continuirlich; es 
wird also 

x' 


immer ein Werth von dl{x^') sein; dies Integral ist aber 



Da das mte Differential hiervon -^, r xf^~'''~"' = dl "Ux'') ist, 

71 (jLt — V — VI) -^ \ J 7 

(4), so ist für jeden Werth von v 

Ist ^ negativ, so ist x^ für x = discontinuirlich, für alle andern 
Werthe aber continuirlich; in dem Ausdrucke (1) müssen also x und Ic 
stets gleiches Zeichen haben. Nun erhält man aber durch m malige 
partielle Integration 

X 

k 

X 

= 77? i^^^lrr, ■ A i\^ — 0-'-'-'" ^+'" dt + 9,., 

il(— v — 1 — m)n{iL-\-m) ) ' i -TM 

h 

so lange — v — w > ist, wodurch sich also, wenn — i^ > — ^ ist, 
diejenigen Integrale worin ^ < — 1 ist, auf solche zurückführen lassen, 
in denen der Exponent von ^ > — 1 ist; ist er > — 1, so gehört ^ 

k 

{x — t)-''-^-'" tf'+'^ dt 



zu den Functionen cpv, und es ist also 



j' 



JT(— V — 1 — m) n{(i -\-m) J ^ ^ n{^ — 



ein Werth von dl{x^'), wenn — v> — ft, welches Resultat nach dem 
dd^z 
dx 
Ist aber ^ + m = — 1, so ist 



(jesetze c^ z = —^ für jedes v gelten muss. 



344 XIX. Versuch einer allgemeinen Auffassung etc. 

'k k 

-^-^^— ^ dt+(p,. 

ü 

1 

=]ogxx^'-' +xf'-' r '^^'~-~'^ ^^ 

ü 
= log^ x^'-'' — {W(}i — v)— W(0) ) :(f-^ . 
Verallgemeinert man auch das hieraus erhaltene Resultat durch Differen- 
tiation, so hat man folgende Werthe für ^.r(^'^'), 

wenn ^ nicht eine negative ganze Zahl ist, 

12. ?:(,.:'■) = ^^- -^--^ [iog^,r"-' -(1^(ft-,.)-'P(0)>"--]^ 

wenn ^ eine ganze negative Zahl ist. 

Es ist zu bemerken, dass aus der Formel 12. die Formel 11. her- 
vorgeht, sobald man nur die Constanten, die für diesen Fall ~ werden, 
einer geeigneten Behandlung unterwirft, was auch in dem Fall ge- 
schehen muss, wo fft — v) und ^ beide ganze negative Zahlen sind. 
Man übersieht leicht, dass die aus diesen Formeln für verschiedene 
Werthe von v hervorgehenden Werthe correspondirende sind; dies ist 
auch der Grund warum wir in 12. nicht, wie wir es für den Fall \l == 
einer negativen ganzen Zahl konnten, den blos x^'-~^ enthaltenden 
Theil in die Function (py einschlössen. 

Wendet man ein ähnliches Verfahren auf e^ an, so erhält man 

X CO 

13. -dl{f) = i*e\x—t)-'-' dt = ^^__l__ ^^ e- i\-Uj-^-^dy = e. 

— 00 Ü 

Die Ableitungen von log^ ergeben sich durch dieselbe Methode, 
noch leichter aber und zwar sogleich für alle Werthe von v aus 6. 
und 12. 

14. S(log^) =ä^^^^-^ = ^^^)(log^^-^-['J^(-^^)-'P•(0)]^-'•)• 

Durch Anwendung der Regeln 7 bis 10 findet man aus 13. und 14. 
mit der grössten Leichtigkeit auch die Ableitungen von sinrr, cos^, igx 
und arc (tg == x). 

Schliesslich bemerken wir noch, dass sich die aufgestellte Theorie 
mit derselben Sicherheit auch auf den Fall ausdehnen lässt, wo mau 
den in Rede stehenden Grössen imaginäre Werthe beilegt. 



XX. 

Neue Theorie des Rückstandes in electrischen Bindungs- 
apparaten. *) 

1. 
Vorbemerkung. 

Herrn Professor Kolilrausch ist es gelungen, die Bildung des 
Rückstandes in electrischen Bindungsapparaten scharfen Messungen zu 
unterwerfen und darauf eine den Beobachtungen genügende Theorie 
dieser Erscheinung zu gründen, welche in Poggendorff's Annalen**) 
veröffentlicht worden ist. Die Genauigkeit dieser Messungen reizte 
mich, ein aus andern Gründen wahrscheinliches Gesetz für die Be- 
wegungen der Electricität an denselben zu prüfen; in der Form, welche 
ihm für diesen Zweck gegeben wurde, ist es auf die Bewegungen der 
Electricität in allen ponderabeln Körpern anwendbar, jedoch nur unter 
der Voraussetzung, dass die in Betracht kommenden ponderabeln Kör- 
per gegen einander ruhen und keine merklichen thermischen und 
magnetischen (oder voltainductorischen) Wirkungen und Einflüsse statt- 
finden. Behuf unbeschränkter Anwendbarkeit bedarf es noch einer 
Umarbeitung und Ergänzung, mit welcher ich mich an einem andern 
Orte beschäftigen werde. 

Im folgenden Aufsatze, welcher einem Schreiben an Herrn Professor 
Kohlrausch entnommen ist, ist diese neue Theorie des electrischen 
Rückstandes indess nicht selbstständig, sondern im Anschlüsse an Seine 
Theorie entwickelt worden; ich war bestrebt, jene Theorie, nicht ge- 
radeswegs die Erscheinungen auf sie zurückzuführen. Ich habe daher 
die von Herrn Professor Kohlrausch in seiner Abhandlung gebrauchten 



*) Die hier mitgetheilte Abhandlung stammt aus dem Jahre 1854; ihre Ver- 
öffentlichung unterblieb wahrscheinlich, weil der Verfasser nicht gern auf eine 
ihm angerathene Abänderung derselben eingehen wollte. 
**) Bd. 91. pag. 56. 



346 XX. Neue Theorie des Rückstandes 

Begriffe: electrisclies Moment der isolireiiden Wand, Spannung, Ge- 
sammtladimg , disponible Ladung, Rückstand, überall durch die hier 
zu Grunde gelegten Begriffe ausgedrückt und auch sonst in mancher 
Hinsicht die dortige Betrachtungsweise berücksichtigt. 

2. 

Das der Rechnung zu Grunde gelegte Gesetz. 

Es bezeichne t die Zeit, x, y, z rechtwinklige Coordinaten, q die 
Dichtigkeit der Spannungselectricität zur Zeit' t im Punkte {x, y, z), 
u den 47rten Theil des (Gauss'schen) Potentials aller wirkenden 
electrischen Massen im Punkte (x, y, z) zur Zeit ^, also die Grösse 

1 r Q dx dy dz 

wenn q dx dy dz die Spannungselectricität des Elements dx' dy dz zur 
Zeit t bedeutet. Man hat dann 

Die hier anzuwendenden Gesetze für die Bewegungen der Electrici- 
tät im Innern eines homogenen ponderabeln Körpers unter den er- 
wähnten Umständen sind nun folgende: 

I. Die electromotorische Kraft im Punkte (x, y, z) zur Zeit t 
setzt sich zusammen aus zwei Bestandtheilen, aus einem dem Coulomb'- 
schen Gesetz gemässen, dessen Componenten proportional 

du du du 

dx' d y^ dz 

sind, und einem andern, dessen Componenten proportional sind 

dQ dg dQ 

X cy Gz 

so dass ihre Componenten gleichgesetzt werden können 

_fi«_^^|i, _|^_^^|i, _|if_^^?i, 

ex ^^ dx dy ^^ dy dz ^^ cz 

wo j3/3 nur von der Natur des ponderabeln Körpers abhängt. 

IL Die Stromintensität ist der electromotorischen Kraft propor- 
tional, also 

wenn a eine von der Natur des ponderabeln Körpers abhängige Con- 
stante und |, rj, g die Componenten der Stromintensität sind. 



in electrischen Bindungsapparaten. 3-47 

Mit Zuziehung der phoronomischen Gleichung 

It < fk f l'j + I? = 

erhält man daher für u die Gleichungen 
und 

oder, wenn man die Länge ß und die Zeit a zur Einheit nimmt, 

a^ ^ ^ \dx^' ^ cy'^ dzV ^' 

Dies giebt für u eine partielle Differentialgleichung, welche in 
Bezug auf t vom ersten^ in Bezug auf die Raumcoordinaten vom vier- 
ten Grade ist, und um von einem bestimmten Zeitpunkte an it allent- 
halben im Innern des ponderabeln Körpers zu bestimmen, werden 
ausser dieser Gleichung noch eine Bedingung in jedem Punkte des- 
selben für die Anfangszeit und für die Folge in jedem Oberflächen- 
punkte zwei Bedingungen erforderlich sein. 



*) Hienach sind die Gleichungen für das Gleichgewicht (in einem electrisirten 
isolirten Leiter) 

dx ^^ dx cy oy dz ^^ dz ' 

oder 






für die Stromausgleichung oder das bewegliche Gleichgewicht im Schliessungs- 
bogen constanter Ketten 

dt 
oder 

Wenn die Länge ß gegen die Dimensionen des Körpers sehr klein ist, so nimmt 
u — const. im ersteren Falle, und q im zweiten von der Oberfläche ab sehr schnell 
ab und ist im Innern allenthalben sehr klein, und zwar ändern sich die Grössen 
mit dem Abstände p von der Überfläche, so lange deren Krümmungshalbmesser 

gegen ß sehr gross bleibt, nahe wie e ^. Dieser Fall wird bei den metaUischen 
Leitern angenomen werden müssen. 



348 XX. Neue Theorie des liückbtandes 

3. 

Plausible Auffassung dieses Gesetzes. 

Das Bewegungsgesetz der Electricifät ist unter voriger Nummer durch Be- 
griffe, welche jetzt in der Lehre von der Electricität gebräuchlich sind, aus- 
gedrückt worden. Diese Auffassung desselben ist jedoch einer Umarbeitung 
fähig, durch welche, wie es scheint, ein etwas treueres und vollständigeres 
Bild des wirklichen Zusammenhangs gewonnen wird. 

Statt eine Ursache anzunehmen, welche im Punkte {x, y, z) die positive 
Electricität in den Richtungen der drei Axen mit den Kräften 

und die negative mit den entgegengesetzten treibt, kann man auch eine Ur- 
sache annehmen, welche im Punkte {x^ y, z) die positive Electricität mit dei 
Intensität §ßQ zu vermindern und die negative zu vermehren strebt, und diese 
Ursache kann man in einem Widerstreben des Ponderabile gegen das Ent- 
halten von Spannungselectricität oder den electrischen Zustand suchen. 

Ebenso kann man auch die electromotorische Kraft, deren Componenten 

du du du 

dx^ d y ^ dz 

sind, durch eine Ursache von der Intensität u im Punkte {x, y, z) ersetzen 
welche die Dichtigkeit der Electricität gleichen Zeichens zu vermindern unt 
die der entgegengesetzten zu vermehren strebt. 

Es ist aber dann, um der Grösse q eine reelle Bedeutung zu geben, nich1 
nöthig zweierlei Electricitäten anzunehmen und q dx dy dz als den Ueberschuss 
der positiven Electricität des Elements dxdydz über die negative zu betrach 
ten, sondern man kann im Wesentlichen zu der Franklin 'sehen Auffassung' 
der electrischen Erscheinungen zurückkehren, am einfachsten wohl durch fol 
gende Annahme: 

Das Ponderabile, welches Sitz der Electricität ist, erfüllt den Raum stetig*) 
und mit gleichmässiger electrischer Capacität, welche seinem Leitungs- 
widerstände umgekehrt proportional ist, und von welcher die Dichtigkeit de:- 
wirklich in ihm enthaltenen Electricität immer nur um einen unmerklich klei 
nen Bruchtheil abweicht. Bei überschüssiger oder fehlender Electricität (positive 
oder negativer Spannungselectricität) geräth das Ponderabile in einen positi' 
oder negativ electrischen Zustand, vermöge dessen es die Dichtigkeit der in ihm 
enthaltenen Electricität zu vermindern oder zu vermehren strebt und zwar mii 
einem Drucke, welcher gleich ist der Dichtigkeit seiner Spannungselectricität, ^ 
multiplicirt in einen von der Natur des Ponderabile abhängigen Factor (sein 
antelectrische Kraft). Ihrerseits geräth bei auftretender Spaunungselectricita', 



*) Auf einem andern Blatt findet sich hierzu fol i, ende Bemerkung: Insofern die 
Ponderabile (Kupfer, Glas) als Sitz der Electricität betrachtet und ihm eine be 
stimmte electrische Capacität und ein bestimmter Leitung.^widerstand beigeleg 
wird, muss als von ihm eingenommener Raum der ganze Raum, in welchem sicl 
die specifische Eigenthümlichkeit desselben geltend macht, nicht etwa der Or 
von Kupfer- oder Glasmoleculen angesehen werden. 



in electrischen Bindungsapparaten. 349 

die Electricität in einen Zustand, Spannung, vermöge dessen sie ihre Dich- 
tigkeit zu vermindern (oder bei negativer Spannung zu vermehren) strebt und 
dessen Grösse u in jedem Augenblicke abhängt von sämmtlichen Massen Span- 
nungselectricität nach der Formel 

1 r q' dx dy dz 

oder auch vermittelst des Gesetzes 

d'^u d^u d^u _ 
d^^'^ dj^'^ dV^~ ~ ^ 

und der Bedingung, dass u in unendlicher Entfernung von Spannungselectricität 
unendlich klein bleibt. Die Electricität bewegt sich gegen die ponderabeln Kör- 
per mit einer Geschwindigkeit, welche in jedem Augenblicke der aus diesen 
Ursachen hervorgehenden electromotorischen Kraft gleich ist. 

Uebrigens müssen diese Bewegungsgesetze der Electricität, wenn deren Ver- 
hältniss zu Wärme und Magnetismus in Rechnung gezogen werden soll, vor- 
bemerktermassen selbst noch abgeändert und umgeformt werden, und dann 
wird eine veränderte Auffassung dieser Erscheinungen nöthig.*) 



4. 

Behandlung des Problems der Rüekstandsbildung. Ausdruck der 

zu bestimmenden Grössen durch das Potential. 

Indem ich mich nun zur Untersuchung der Rückstandsbildung 
wende, beschäftige ich mich zunächst damit, die zu bestimmenden 
Grössen durch das Potential, oder vielmehr, was die Rechnung ver- 
einfacht, durch die ihm proportionale Function « auszudrücken. Zu 
grösserer Bequemlichkeit für die an abstracte Grössenbetraclitung min- 
der gewöhnten Physiker habe ich das Potential als das Mass einer 
Ursache, Spaimung, betrachtet, welche die Dichtigkeit der Electricität 
im Punkte (a;, y, z) zu vermindern strebt, und diese im Punkte 
(a;, 2/, z) = w, also die Componenten der durch sie bewirkten electro- 
motorischen Kraft 

du du du 

d x"* dy^ cz 

gesetzt. Man muss dann als Spannungseinheit die im Innern einer 
Kugel vom Radius 1 durch auf der Oberfläche vertheilte Electricität 
von der Dichtigkeit 1 entstehende Spannung annehmen oder als Ein- 
heit der electromotorischen Kräfte die von der Masse 4;r in der Ent- 



*) Dieser ganze Artikel ist im Manuscript durchgestrichen, wahrscheinlich 
nur aus dem Grunde, weil der Verfasser durch die Eigenthümlichkeit der hier 
vorgetragenen Auffassung, welche auf das Innigste mit seinen naturphilosophischen 
Principien zusammenhängt, bei den Physikern damals Anstoss zu erregen be- 
fürchtete. 



350 XX. Neue Theorie des Rückstandes 

fernungseinheit erzeugte. Zur Vereinfacliung der Rechnung ist fernei 
als Zeiteinheit «, als Längeneinheit ß eingeführt worden; macht mar 
die Einheit der electromotorischen Kräfte auf die hier angenommene 
Weise von der electrisehen Masseneinheit abhängig^ so sind a und ßß 

electromotorische Kraft\ 



die Maasse für den Leitungswiderstand ( = 



Stromintensität 

,. ,-,,•■, -rr n, f Druck des Ponderabile \ , 

die antelectrische Kratt I == ^ . , ,. ., — r, — -, 5 -, — , . .,.. -7 I de;- 

\ Dichtigkeit der fepannungselectricitat/ 

ponderabeln Sitzes. 

Zur Discussion der vorliegenden Beobachtungen genügt die Lö 
sung der Aufgabe: die Aenderungen der Spannungselectricität im Li 
nern einer überall gleich dicken homogenen Wand zu bestimmen^ wem 
die Oberflächen mit vollkommenen Leitern belegt sind^ gleiche Mengei 
entgegengesetzter Electricität empfangen und keine electromotorischt 
Kraft besitzen (keine Contactwirkung in ihnen stattfindet), und ihrt 
Dimensionen gegen die Dicke der Wand als unendlich gross betrachtei 
werden dürfen (d. h. der Einfluss des Randes und der Krümmung ver- 
nachlässigt werden darf). 

Legt man den Anfangspunkt der Coordinaten in die Mitte de] 
Wand, die x-Axe auf ihre Oberflächen senkrecht und bezeichnet ihre 
halbe Dicke durch a, so wird der Ausdruck für die Wand a > ^ > — a 
u eine blosse Function von x und 

^ cx- 

folglich 



unc 



J ^^''-(ji).-(!rX'' 



Die zwischen zwei Werthen von x über der Flächeneinheit enthalten*^ 
Electricitätsmenge ist also, geometrisch ausgedrückt, gleich der Diffe 
renz zwischen den Tangenten der Neigungen der Spannungscurv^e, d. h 
der Curve, deren Ordinate für die Abscisse x gleich u ist; diese Curv« 
ist gerade, wo keine Spannungselectricität vorhanden ist, nach oben 
(oder für Orte mit grösseren Ordinaten) convex, wo positive, nach 
unten, wo negative stetig vertheilt ist, und gebrochen für einen Wertli 
von X, bei welchem eine endliche Menge angehäuft ist. 

Die durch eine Ladung erzeugte oder durch eine Entladung ver 
nichtete Spannung wird daher stets dargestellt durch eine Curve vo] 
der Form Ä, d. h. ist sie in den Belegungen Ua, U—a i-^iifl folglich h 
der Mitte 

Ua + U—a 



in electrischen Bindungsapparaten. 



351 



SO ist sie im Innern 



^^) + - («'« — ^^o) • 



Durch das Eindringen der Electricität in's Innere erhält die Spannungs- 
ciirve die Form B. Für die Flächeneinheit ist die Gesammtmenge 
der geschiedenen Electricitäten gleich der Tangente ihrer Neigung in 
der Mitte 



das electrische Moment 

+ « 



vJo 



jQXdX = Ua - U-a - « {^^ ^ + (^)_^) = «« " U-a , 

- — rt 

also gleich der Spannungsdifferenz der Oberflächen. 

Durch eine Entladung wird die Spannung in den Belegungen 
aufgehoben. Die vernichtete Spannung ist daher in den Belegungen 



= Ua, II- 



im Innern 



die disponible Ladung für die Flächeneinheit 
die bleibende Spannung im Innern 

= U — U^ — ^(Ua — %), 

und für die Flächeneinheit der verborgene Rückstand 



= (-) 



— —(Ua — tQ, 



« 

die der Oberfläche (x = d) durch die Entladung mitgetheilte Electrici- 
tätsmenge 

a 

A B C B 





1) Spannungscurve der Gesammtladung 

2) „ der disponiblen Ladung 

3) „ des Rückstandes. 
Gesammtladung: = ac, disponible Ladung: ah, Rückstand 



hc. 



352 ^^- Neue Theorie des Rückstandes 

5. 

Lösung der Aufgabe im einfachsten Falle, wo kein Ab- und Zufluss 

durch die Oberflächen stattfindet. 

Nach dieser Uebersicht und geometrischen Darstellung der ge- 
suchten Grössen gehe ich zu ihrer Bestimmung durch Rechnung nach 
dem angegebenen Gesetze über. Ich behandle zunächst den Fall, wo 
anfangs im Innern keine freie Electricität vorhanden ist, und den 
Oberflächen auf der Flächeneinheit die Masseneinheit mitgetheilt wird, 
später aber kein Ab- und Zufluss durch die Oberflächen stattfindet. 

Die Bedingungen zur Bestimmung von tt sind: 

M^ t>0, a> x> —a -^^^ — Q, —- -\- Q — — = 

;>0,x=±« g^ = 0, g^ + g^, = 

welche letzteren ausdrücken, dass in den Oberflächen sowohl die 
Electricitätsmengen, als der Durchfluss, und folglich die electromotorische 
Kraft = sein soll. 

Diesen Bedingungen genügen zwei Ausdrücke, der eine für kleine, 
der andere für grosse Werthe von t brauchbar. 

Setzt man zur Abkürzung 



J 



und 

00 



J 



so genügt erstens 



zweitens 



Die hieraus sich ergebenden Bestimmungen sind: 
für die Vertheilung der Electricität^') 



*) Vergl. JacobiFundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. §§. 61,6o 



in electrischen Bindungöappaiaten. 55S 

_ (a(2n-— 1) — X)» (a{2n — l)-|-x)2 



^ = - S = Ä 2(- ^)"-<«"~^"~- '"^""^ 






für die Gesammtladung 
für die disponible Ladung 






2 



TT TT 



für den Rückstand 



e 






* 10 u\ 



du\ Ua — 1*— a 



2a 






e ^^ aa 



Zurückführ iing der allgemeinen Aufgabe auf diesen einfachsten Fall. 

Um auf diesen einfachsten Fall den Fall zurückzuführen, wo Ab- 
und Zufluss durch die Oberflächen stattfindet^ bezeichne %{t) den Aus- 
druck für die Spannungsdifferenz u — u^ zur Zeit t in diesem ein- 
fachsten Falle; für negative Werthe von t sei %{{) = 0. 

Soll nun die Spannung bestimmt vrerden, welche entsteht, wenn 
den Oberflächen {x = + a) zur Zeit die Mengen + ii, darauf zur 
Zeit t' die Mengen + ^i , zur Zeit t" die Mengen + ^" , . . . mitgetheilt 
werden, so hat man 

^ - ^<o = ^xit) + iix(t - n + i^"%(t - n -f . . . ; 

denn dieser Werth genügt sämmtlichen zu seiner Bestimmung ge- 
gebenen Bedingungen. 

Findet ein stetiger Ab- und Zufluss von Electricität statt, so wird 



^'o=fx{t-r)'^d. 



Hif.mann's gesammelte matliematische Worke. I. 23 



$54 X.X. Neue Theorie des Rückstandes 

wenn + T~ ^^ ^i^ i^ Zeitelement dx durch die Oberflüche (x = + o) 
nach Innen strömende Electricitätsmenge bezeichnet. 

Beide Ausdrücke kann man zusammenfassen in dem Ausdruck 

t 



''o= / %(i'—'^)ä^: 



wenn man durch + ä^i die im Zeitelement dx auf der Oberfläche 
(ä" = + a) hinzukommende Electricitätsmenge bezeichnet^ wo diese 
dann einen endlichen Werth hat oder dx proportional ist, je nachdem 
eine plötzliche Ladung oder Entladung, oder ein stetiger Ab- oder 
Zufluss stattfindet. 

Aus diesem Ausdrucke für die Spannung folgt 



Qt 



= JQf^rd^, Lt= l Lt-td^i, rt= Irt-td^. 

Ü - 

In diesen Formeln sind die Zeiten in Theilen von a, die Längen 
in Theilen von ß ausgedrückt; um bekannte Maasse einzuführen, hat 
man nur a und x durch ,, ; ,, : t und x durch —j zu ersetzen. 

7. 
Vergleichung der Rechnung mit den Beobachtungen. 

Um nun die erhaltenen Formeln mit dem wirklichen Verlaufe der 
Rückstandsbildung zu vergleichen, wie er durch die in Poggendorff's 
Annalen veröfi'entlichten Messungen des Herrn Professor Kohlrauscli 
mit so grosser Genauigkeit festgestellt worden ist, geht man wohl am 
zweckmässigsten von der Thatsache aus, dass die Ladungscurve einer 
Parabel nahe kommt mit allmählich abnehmendem Parameter, d. h. 

dass die Grösse - '^ ,_, ^ - langsam abnimmt. 

yt ° 

Zufolge der für Lt abgeleiteten Formel ist L^ — Lt für sehr kleine 
Werth e von t proportional yt und zwar 

yt ^ yn y aaoc 

Zufolge der Messungen muss man annehmen, dass diese Proportionalität 
näherungsweise noch während der Beobachtungen stattfindet. 

Man wird daher die Zeit ^a in roher Annäherung aus den Be- 
obachtungen bestimmen können, und dann ist in der That 

t 

7 * r>« 7* 

■Lo — e lA 



in electrischen Bindungsapparaten. 355 

eine Function, welche mit wachsendem t langsam abnimmt. Nichts- 
destoweniger würde ^" mit wachsendem t zunehmen, wenn man 

— einen merklichen Werth beilegte. Dasselbe scheint sich auch zu 

ergeben, wenn man einen beträchtlichen Verlust durch die Luft an- 
nimmt, wenigstens wenn man dafür das Coulom bische Gesetz zu 
Grunde legt. 

Man wird daher für die erste Bearbeitung der Beobachtungen die 
Zeit a (d. h. den Leitungswiderstand des Glases für die dem Coulom bi- 
schen Gesetz gemässen electromotorischen Kräfte) unendlich gross an- 
nehmen, den Verlust durch die Luft vernachlässigen und sich zunächst 
darauf beschränken müssen, zu untersuchen, in wie weit sich durch 

gehörige Bestimmung von -^a den Beobachtungen genügen lässt. 

Sobald man sich überzeugt hat, dass die Voraussetzungen der 
Rechnung näherungs weise richtig sind, ist eine schärfere Vergleichung 
der Rechnung mit den Beobachtungen verlorene Arbeit, wenn man 
nicht die Gelegenheit hat, die Quellen der Differenzen zwischen Rech- 
nung und Beobachtung an der Hand der Erfahrung aufzusuchen, um 
die wegen der Abweichungen von den Voraussetzungen der Rechnung 
nöthigen Correctionen anzubringen. Da mir nun zu einem experi- 
mentellen Studium des Gegenstandes die Mittel fehlen, so musste ich 
von einer weiteren Verfolgung desselben vorläufig abstehen. 

8. 

Verhältniss dieses Problems zur Electrometrie und zur Theorie 

verwandter Erscheinungen. 

Die Grösse -— , bei der Flasche h etwa — — , giebt den Quotien- 
aaa^ 2000' ^ 

antelectrische Kraft , ^, i t^i i . ^ ^ > nr 

ten v^" .- — -■ r- des Glases der Jb lasche m absolutem Mass, 

Leitungswiderstand 

wenn als Längeneinheit die Flaschendicke, als Zeiteinheit die Secunde 
angenommen wird. Für diese Bestimmung ist es gleichgültig, wie 
man die Einheit der electromotorischen Kräfte von der Einheit der 
electrischen Massen abhängig macht; die Constanten a und ßß wür- 
den aber den Leitungswiderstand und die antelectrische Kraft in einem 
andern Masse als dem Web er 'sehen geben, wo die Einheit der electro- 
motorischen Kräfte durch die dem Ampere'schen Gesetz gemässen 
Wirkungen der Masseneinheit festgesetzt wird. 

Zur. Vergleichung des hier untersuchten Falles mit den Erschei- 
nungen an guten Leitern kann die Betrachtung des Beharrungszustandes 



356 X.X. Neue Theorie des Rückstandes in electrischen Bindimgsapparaten. 

bei constant erhaltener Spannungsdifferenz der Oberflächen (oder con- 
stantem Zufluss) dienen. Für diesen ist 

die Dichtigkeit im Innern: Q = — ^^^ = e^' — e~^, 

ex 

die Spannung: xt = u^ — &" -]- e-"" -\- x {&' + <^~")? 
die Spannungsdifferenz der Oberflächen: 

Ua — u-a = 2 (a(e« + e-«) — (ß« — e"«)) . 
die Gesammtladung : (p, *) == e« -(- e— « — 2, 

\(J X/ Q 

der Kuckstand: I ^ ) — — = — _- — — 2, 

\c.v/q 2 a a ' 

die in der Zeiteinheit durchfliessende Menge: 

oder gleich proportionalen Grössen , wobei zur Vereinfachung, wie oben, 
als Zeiteinheit a, als Längeneinheit ß, als Spannungseinheit die Span 
nung im Innern einer Kugel vom Radius 1 bei auf der Oberfläche 
vertheilter J]lectricität von der Dichtigkeit 1 angenommen ist. 

Besonders wichtig scheint mir die Prüfung des vermutheten Ge 
setzes und eventualiter die J^estimmung der Constanten a und ß bei 
den Gasen zu sein. Die Beobachtungen von Riess*) und Kohlrausch**), 
nach welchen für den Electricitätsverlust an die Luft in einem ge 
schlossenen Räume das Gesetz Coulomb^s nicht gilt, können vielleicht 
als Ausgangspunkt für diese Untersuchung dienen und es wäre fü • 
dieselben wohl zunächst ein System von Messungen über den Electri 
citätsverlust im Innern eines einigermassen regelmässigen geschlossenem 
Raumes zu wünschen. 



*) Pogg. Ann. Bd. 71. pag. 359, 
**) Pogg- Ann. Bd. 72. pag. 374. 



XXL 

Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 
mit algebraischen Coefficienten. 

(20. Febr. 1857.) 

Bekanntlich lässt sich jede Lösung einer linearen homogenen 
Differentialgleichung nter Ordnung in u von einander unabhängige 
particulare Lösungen linear mit constanten Coefficienten ausdrücken. 
Sind die Coefficienten der Differentialgleichung rationale Functionen 
der unabhängigen Veränderlichen x, so wird jeder Zweig der, allgemein 
zu reden, vielwerthigen Functionen, welche ihr genügen, sich linear 
mit constanten Coefficienten in n für jeden Werth von x eindeutig 
bestimmte Functionen ausdrücken lassen, welche freilich dann längs 
eines gewissen Liniensystems unstetig sein müssen. Sind die Coef- 
ficienten aber algebraische Functionen von x, welche sich rational in 
X und eine ft-werthige algebraische Function von x ausdrücken lassen, 
so gehört zu jedem Zweig dieser fi-werthigen Function eine Gruppe 
von n von einander unabhängigen particularen Ijösungen, so dass in 
diesem Falle jeder Zweig einer Lösung der Differentialgleichung als 
ein linearer Ausdruck von höchstens ^n eindeutigen Functionen sich 
darstellen lässt, welcher aber von ihnen immer nur n einer Gruppe 
angehörige enthalten wird. Aus diesen Vorbemerkungen wird man, 
da sich jede nicht homogene lineare Differentialgleichung leicht in eine 
homogene von der nächst höhern Ordnung verwandeln lässt, ersehen, 
dass die folgenden Sätze alle linearen Differentialgleichungen mit al- 
gebraischen Coefficienten umfassen. 

Es seien y^, !/2;---)2/« Functionen von x, welche für alle com- 
plexen Werthe dieser Grösse einändrig und endlich sind, ausser für 
a, &, c, .., g, und welche durch einen Umlauf des x um einen dieser 
Verzweigungswerthe in lineare Functionen mit constanten Coefficienten 
von ihren früheren Werthen übergehen. 

Zu ihrer näheren Bestimmung scheide man die Gesammtheit der 
complexen Werthe in zwei Gebiete durch eine in sich zurücklaufende 



358 XXI. Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 

Linie, die der Reihe nach durch sämmtliche Verzweigungswerthe 
{g,..j c, h, a) geht, so dass in jedem dieser Gebiete die Functionen 
völlig gesondert und stetig verlaufen, und betrachte die Werthe der 
Functionen in dem auf der positiven Seite dieser Linie liegenden Ge- 
biete als gegeben. Durch einen positiven Umlauf des x um a gehe 

nun y^ in E A^l^ji'^ ij^ in ZÄf^yi, ...; ?/„ in ZA^^^yi über und ähn- 

2 = 1 * " 

lieh durch einen positiven Umlauf am h yv in UB^py,-, etc., durch 
einen positiven Umlauf um g y,, in ZG! yi. 

Bezeichnet man nun zur Abkürzung das System der w Werthe 
(^15 2/2; ••;!/«) durch (y) das System der wn Coefficienten 

12 n 

j(n) j(w) ^ ^ ^ jin) 
1 2 * * * n 

durch (Ä)j das System der B durch (_B), . . ., der G durch (G), und 
die aus (i/) mittelst des Coefficientensystems (Ä) gebildeten Werthe 
£Äf\j,-, 2:Af^y,, ..., ZA^fy, durch {A)(xj„ y,,.., y„) = {Ä){y), so 
findet zwischen diesen Coefficientensystemen die Gleichung 
(1) {G){F)...{B){A) = (p) 

statt, wenn man durch (0) ein Coefficientensystem bezeichnet, das 
nichts ändert, oder in welchem die Coefficienten der abwärts nach 
rechts gehenden Diagonale = 1 und alle übrigen = sind. In der 
That, durchläuft x die ganze Grenzlinie so, dass es sich von einem 
Verzweigungswerth zum folgenden auf der positiven Seite bewegt, dann 
aber jedesmal um diesen Verzweigungswerth positiv herum, so gehen 
die Functionen {y) nach und nach m{G){ij), {G)(F)(y), schliesslich in 
(G)(F) ..(B)(Ä){y) über. Es hat aber denselben Erfolg, wenn x die 
negative Seite der Grenzlinie oder die ganze Begrenzung des negativer- 
seits liegenden Gebiets durchläuft, wobei (y^, y^^ .., y«) ihre früheren 
Werthe wieder annehmen müssen, da sie in diesem Gebiet allenthalben 
einändrig sind. 

Ein System von n Functionen, welches die eben angegebenen Eigen- 
schaften hat, werde durch 

bezeichnet. 

Man betrachte nun als zu einer Klasse gehörig sämmtliche Systeme, 
für welche die Verzweigungswerthe und die um sie stattfindenden 



init algebraischen Coefficienten. 



359 



Substitutionen gegebene der Gleicliung (Ij genügende Wertlie haben, 
was, wie sich bald ergeben wird, für unendlich viele Systeme der Fall 
ist. Nach einem leicht zu beweisenden, von Jacobi vielfach ange- 
wandten Satze lässt sich jede Substitution, allgemein zu reden, in drei 
Substitutionen zerlegen, von denen die letzte die inverse der ersten ist, 
und in der mittleren die Coefficienten ausser der Diagonale sämmtlich 
= sind, so dass durch sie jede von den Grössen, auf welche sie 
angewandt wird, nur einen Factor erhält. Es lässt sich also z. B. 



(Ä) = («) 



Ai, .. 
0, A^.. 



(«)-i 



, 0, . . A, . 

setzen, wenn («)~^ die inverse Substitution von (a) bezeichnet. Die 
Grössen l werden dabei die ^Wurzeln einer durch (Ä) völlig bestimm- 
ten Gleichung nien Grades. Für den Fall, dass diese Gleichung gleiche 
Wurzeln hätte, müsste man der mittleren Substitution eine etwas ab- 
geänderte Form geben; wir wollen aber zur Vereinfachung diesen Fall 
vorläufig ausschliessen und annehmen, dass er bei der Zerlegung der Sub- 
stitutionen (Ä), (B), . . . , (G) nicht eintritt. Die Substitution (a) kann in 



(«) 



0, k,..o 



.0, 0,..l„ 

durch Hinzufügung einer nur multiplicirenden Substitution verwandelt 
werden; in dieser Form aber sind, wie die Gleichungen, durch welche 
sie bestimmt wird, zeigen, alle möglichen Werthe derselben enthalten. 
Durch einen positiven Umlauf des x um a gehen die Werthe der 
Functionen y aus (Piy P2j • -, Pn) i^^ {^)(p) über. Die Werthe der durch 
die Substitution {cc)~^ aus (y) gebildeten Functionen 



gehen daher aus {cc)~^(p) in 

(«)-'(^)(p) = 



., z> 



= («)-K2/) 



A„0, 
0, L, 



(ay^(p) 



0,0, .An 
über, oder (z^, z.,, . ., ^„) in {X,2,, A.^^; • '.L^n)- 

Wenn eine Function z durch einen positiven Umlauf des x um a 
den Constanten Factor A erhält, so kann sie durch Multiplication mit 
einer Potenz von (x — a) in eine Function verwandelt werden, die in 
der Umgebung von a einändrig ist. In der That erhält (x — ay durch 



360 XXI. Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 

einen positiven Umlauf des x um a den Factor cf'^^'] bestimmt man 

also ^ so dass e^'^'^' = A, oder setzt man ^ == ^^, so wird ^(x — «)--" 

eine für x = <i einändrige Function. Diese Function lässt sich also 
nach ganzen Potenzen von (x — a) entwickeln, und z selbst nach Po- 
tenzen, die sich von ^ um ganze Zahlen unterscheiden. 

Demnach sind 0^, z^, . .^ Zn nach Potenzen von x — a entwickel- 
bar, deren Exponenten in der Form 

logXj , log^2 , log^« , 

Im ' ' 27r^ ' ^ ' 27e* ' 

enthalten sind, wenn m eine ganze Zahl bedeutet. Wir wollen nun 
annehmen, dass die Functionen %j nirgends unendlich von unendlich 
grosser Ordnung werden, so dass diese Reihen auf der Seite der fallen- 
den Potenzen abbrechen müssen, und bezeichnen durch ft^, ft^, . ., fi„ 
die niedrigsten Potenzen in diesen Reihen, so dass 

endliche von verschiedene Werthe haben. Offenbar kann die Diffe- 
renz zweier von den Grössen ^i, /u,^,, .., ft« nie eine ganze Zahl sein, 
da die Werthe der Grössen A^, A^, . ., A„ sämmtlich von einander ver- 
schieden sind; dagegen werden die Werthe der entsprechenden Ex- 
ponenten bei zwei zu derselben Klasse gehörigen Systemen sich nur 
um ganze Zahlen unterscheiden können, da die Grössen A^, A^, .., A„ 
durch (^) völlig bestimmt sind. Diese Exponenten können dazu die- 
nen, die verschiedenen Functionensysteme derselben Klasse von einan- 
der zu unterscheiden, oder doch sie zu gruppiren, und es genügt, wenn 
sie bekannt sind, statt (^) die Substitution («) anzugeben, da die 
Grössen A^, Ag,.., A« schon durch sie bestimmt sind: wir werden uns 
daher zur genaueren Charakteristik des Systems (2/1, 2/2? • •; 2/«) des Aus- 
drucks 

a h ... g 
(«)(/3)...(^) 
Q\ H^ v^ ... Q^ X 



. y^n Vn '" Qn 

bedienen, in welchem die Grössen der übrigen Verticalreihen für die 
Verzweigungswerthe h,..,g die analoge Bedeutung haben sollen, wie 
die der ersten für a. Es liegt dabei auf der Hand, dass jedes System 
als ein specieller Fall eines andern betrachtet werden kann, in welchem 
die entsprechenden Exponenten zum Theil oder sämmtlich niedriger sind. 
Es ist nun nicht schwer zu beweisen, dass zwischen je n -(- 1 Sy- 
stemen, die derselben Klasse angehören, eine lineare homogene Glei- 



mit algebraischen Coefficienten. 361 

chung mit ganzen Functionen von x als Coefficienten stattfindet. Wir 
unterscheiden die entsprechenden Grössen in diesen n + 1 Systemen 
durch obere Indices. Nehmen wir an, dass zwischen ihnen die /? Glei- 
chungen stattfinden: 

so müssen die Grössen a^, «i, . ., ein proportional sein den Determinanten 
der Systeme, welche man erhält, wenn man in dem Systeme der 
n{n + 1) Grössen tj der Reihe nach die Ite, 2te, . .,n + Ite Vertical- 
reihe weglässt. Eine solche Determinante E + tfl^ yf - - y'^^ erhält 
durch einen positiven Umlauf des x um ^a den Factor Det. (Ä) und 
kann für x = a nicht unendlich von unendlich grosser Ordnung wer- 
den; sie lässt sich also nach um 1 steigenden Potenzen von x — a 
entwickeln. Um den niedrigsten Exponenten in dieser Entwicklung zu 
bestimmen kann diese Determinante in die Form gesetzt werden 

Det.(«)^±^;^^/;^.^;:^ 

In letzterer Determinante ist das erste Glied 

multiplicirt in eine Function, die für x = einen endlichen und von 
verschiedenen Werth hat. Der niedrigste Exponent in der Entwick- 
lung dieses Gliedes nach Potenzen von {x — a) ist daher 

(1) I (2) , , {n) 

und hieraus erhält man durch Permutation der oberen Indices die nie- 
drigsten Exponenten in den Entwicklungen der übrigen GHeder. Offenbar 
ist der gesuchte Exponent allgemein zu reden gleich dem kleinsten von 
diesen Werthen und jedenfalls nicht kleiner. Bezeichnen wir den klein- 
sten dieser Werthe durch ^, den ähnlichen Werth für den zweiten 
Verzweigungswerth durch v,..., für den letzten durch p, so ist 

eine Function von x, welche für alle endlichen complexen Werthe ein- 
ändrig und endlich bleibt und für x = oo unendlich gross höchstens 

von der Ordnung — (^ -{- v -{ \- q) wird, folglich eine ganze Function 

höchstens vom Grade — (f* + ^ + • • + (>)• Diese Grösse muss daher, 



3G2 XXI. Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 

wenn die Function nicht identisch verschwindet^ eine ganze, nicht 
negative Zahl sein. 

Die partiellen Determinanten, welchen die Grössen a^, a^, . ., a^ pro- 
portional sind , verhalten sich demnach wie ganze Functionen, multipli- 
cirt mit Potenzen von x — a, x — b, . ., x — g, deren Exponenten in 
den verschiedenen Determinanten sich um ganze Zahlen unterscheiden. 
Die Grössen o^, a^,.., a,^ verhalten sich daher selbst wie ganze 
Functionen und können in den Gleichungen (2) durch diese ersetzt 
werden, wodurch man den zu beweisenden Satz erhält. 

Die Derivirten der Functionen y^yV-iy * -y Vn nach x bilden offenbar 
ein derselben Klasse angehöriges System, denn die Dijfferentialquotienten 
der Functionen {Ä){\j^, y.^, . ., ?/„), in welche {y^, tj.^, . ., y^) durch einen 
positiven Umlauf des x um a übergehen, sind 

^ ^ \dx ^ dx ^ ^ dx / 
da die Coefficienten in {A) constant sind. Durch diese Bemerkung 
erhält man aus dem eben bewiesenen Satz die beiden Corollare: 
„Die Functionen y eines Systems genügen einer Differentialgleichung 
nter Ordnung, deren Coefficienten ganse Functionen von x sind." 
und : 

„Jedes derselben Klasse angchörige System lässt sich in diese Functionen 
und ihre n — 1 ersten Differentialquotienten linear mit rationalen 
Coefficienten ausdrüchen.'^ 

Mit Hülfe des letzteren lässt sieb ein allgemeiner Ausdruck für 
sämmtliche Systeme einer Klasse bilden, aus welchen man sofort sehen 
würde, dass die Anzahl sämmtlicher Systeme, wie oben behauptet, 
unendlich ist; es soll indess hier nur angewandt werden zur Aufsuchung 
aller Systeme, in welchen nicht bloss die Substitutionen, sondern auch 
die Exponenten dieselben sind. Für ein beliebiges S^^stem F^, ¥2, ..., Y^ 
mit denselben Substitutionen und denselben Exponenten wie ^1, 2/2; ••; ^n 
hat man nach demselben, wenn man die Derivirten nach Lagrange 
bezeichnet, w lineare Gleichungen von der Form: 



Co Y, = h^yi + hy^ H V'^n-iy^ 

<^o5^2 = ^o?/2 + hy'^ H 1- '^n-iy\ 



(n-l) 



(^o'Yn = \yn + \y,^ H h 'bn-iy^^ '^ 

wobei die Coefficienten ganze Functionen von x sind. Die Function 
c^ hängt nur von den Functionen y ab, und für den Grad der 
Functionen h ergiebt sich ein endliches Maximum, so dass sie nur eine 
endliche Anzahl von Coefficienteja habeji. Damit umgekehrt die aus 



mit algebraischen Coefficienton. ^ 363 

diesen Gleichungen sich ergebenden Functionen 1\, Y2J -f ^ri die ver- 
langten Eigenschaften haben, müssen diese Coefficienten so beschaffen 
sein, dass für die Verzweigungswerthe ihre Exponenten nicht niedriger 
sind als die der Functionen y und dass sie für alle anderen Werthe 
von X endlich bleiben. Diese Be,dingungen liefern für die Coefficienten 
der Potenzen von x in den Functionen h ein System linearer homogener 
Gleichungen. Die Auflösung dieser Gleichungen ergiebt, wenn sie zur 
Bestimmung der Coefficienten hinreichen, als allgemeinsten Werth der 
Functionen (Y) den Werth const {ij), wenn dies nicht der Fall ist, 
aber einen Ausdruck von der Form: 



mit den willkürlichen Constanten A', /ti, ...^Jim- Von diesen willkür- 
lichen Constanten kann man eine nach der andern als Function der 
übrigen so bestimmen, dass das Anfangsglied in der Entwicklung einer 
der Functionen {a)-'(Y), {ß)-'(Y), . ..,{d-)-'{Y) Null wird, wodurch 
die Exponentensumme jedesmal wenigstens um eine Einheit erhöht 
wird, so dass schliesslich die Exponentensumme wenigstens um m er- 
höht und die Anzahl der willkürlichen Constanten um ebenso viel ver- 
mindert ist. Auf diese Weise kann man aus jedem Systeme von 
w Functionen ein anderes mit höheren Exponenten ableiten, welches 
durch die Substitutionen und die Exponenten in seiner Charakteristik 
bis auf einen allen Functionen gemeinschaftlichen constanten Factor 
völlig bestimmt ist. Es werde nun auch dieser Factor dadurch be- 
stimmt, dass man den Coefficienten der niedrigsten Potenz von x — a 
in der Entwicklung der ersten von den Functionen {cc)~^(y) gleich 1 
setzt, so dass die Functionen y eindeutig bestimmt sind.*) 

Man hat dann nur nöthig scharf aufzufassen, wie sich der Verlauf dieser 
Functionen mit der Lage eines der Verzweigungswerthe, z. B, a ändert, um 
zu dem Satz zu gelangen, dass die Grössen y ein ähnliches System von 
Functionen wie von x auch von a bilden mit den Verzweigungswerthen 
h, c, d, . . . , <7, .1' und Substitutionen die aus (yl), (B), . . ., (F) zusammengesetzt 
sind. Für den Fall, dass es unmöglich ist, die Functionen mit a so zu än- 



*) Bis hierher reicht ein vollständig ausgearbeitetes Manuscript Riemann's. 
Da wo die kleingedruckten Worte beginnen, steht am Rande die Bemerkung „von 
hier an nicht richtig". Ich glaubte aber trotzdem nicht, diese Stelle ganz unter- 
drücken zu dürfen, weil sie doch die Keime zu einer Weiterentwicklung der darin 
angedeuteten wichtigen Theorie enthält. — Auf einigen Blättern, welche Entwürfe 
zu der vorstehenden Abhandlung enthalten, finden sich die Grundzüge zu einer 
Weiterführung der vorstehenden Untersuchungen, die ich im Nachfolgenden in mög- 
lichst unveränderter Form mittheile. W. 



364 - XXI. Zwei allgemeiue Sätze über lineare Differentialgleichungen 

dern, dass sänimtliclie Substitutionen constant bleiben, — weil die Anzahl der 
in ihnen enthaltenen willkürlichen Constanten geringer ist als die Anzahl der 
hierfür zu erfüllenden Bedingungen — , kann man das System als einen be- 
sonderen Fall eines Systems mit niedrigeren Exponenten betrachten, in welchem 
für diese speciellen Werthe von a, b, ..., g die Coeflicienten einiger Anfangs- 
glieder in den Reihen für («)—!(?/), (^)— i(y), . . . , ('&')— 1(^) verschwinden. 

In Folge dieses Satzes bilden die Grössen 2/i » 2/2 ' • •» 2/« Functionen von 
p Veränderlichen a, b, . .^ g, x, welche, wenn sämmtliche veränderliche Grössen 
wieder ihre früheren Werthe annehmen, entweder die früheren Werthe wieder 
erhalten, oder in lineare Ausdrücke ihrer früheren Werthe übergehen, mit 
einem constanten Coefficientensystem, das aus den j^ — 2 beliebig gegebenen 
Systemen (A), (B), (C), ..., (F) irgendwie zusammengesetzt ist. 

Auf eine weitere Untersuchung dieser Functionen von mehreren Veränder- 
lichen und der Hülfsmittel, welche der letzte Satz für die Integration linearer 
Differentialgleichungen bietet, muss ich für jetzt verzichten und bemerke nur 
noch, dass ein Integral einer algebraischen Function als ein specieller Fall der 
hier behandelten Functionen betrachtet werden kann, und dass man durch An- 
wendung dieser Principien auf ein solches Integral auf Functionen geführt 
w^ird, welche die allgemeinen -^'-Reihen mit beliebigen Periodicitätsmoduln dar- 
stellen. 

Bestimmung der Form der Differentialgleichung. 

Es wird die nächste Aufgabe der auf diese Principien zu gründen- 
den Theorie der linearen Differentialgleicliungen sein, die einfachsten 
Systeme jeder Klasse aufzusuchen, und zu diesen Ende zunächst die 
Form der Differentialgleichung näher zu bestimmen. Verstehen wir 
unter den obigen Functionen y''^\ y^^\ ..., y^^'^ jetzt, wie Lagrange, die 
successiven Derivirten der Function y so werden die Gleichungen (2) 
die Differentialgleichung, welcher sie genügen, darstellen. Der Grad 
der ganzen Functionen, welche für die Coefficienten gesetzt werden 
können, bestimmt sich f olgendermassen : durch jede Differentiation nach 
X werden sämmtliche Exponenten der Charakteristik, vorausgesetzt dass 
keiner eine ganze Zahl ist, um die Einheit erniedrigt. Es bleibt daher: 

allenthalben endlich und einändrig, wenn man 

— _, n .n — 1— -^ n .n — 1 — ^ w.n— 1 

ft = A: ^i ^ — - ; V =- 2.iVi — -— ;..*,(> = ^iQi ^— 

setzt. Für x = (x> wird, da die Functionen y endhch und einändrig 
bleiben, ^ + 2/1 ^2^^ "41" ^^ unendlich klein von der Ordnung: n.{n— 1). 
Der Grad der ganzen Function Xq ist daher 

r = (m — 2) 2 ^ 

wenn m die Anzahl der Verzweigungs werthe und s die Summe der 
Exponenten in der Charakteristik bezeichnet. 



mit algebraischen Coefficienten. 365 

Wenn in dem System der n . w + 1 Grössen \j statt der letzten 
Verticalreihe die w + 1 — ^te weggelassen wird, so muss die aus ihnen 
gebildete Determinante allgemein zu reden mit um t höheren Potenzen 
von X — a, X — h^ . . ., x — (j multiplicirt werden und wird dadurch 
eine ganze Function vom Grade r + {m — 1)^ [nur für t =w ist dieser 
Grad r + {m — 2)n\. 

Die Differentialgleichung lässt sich daher, wenn man das Product 
(^x — a) (x — h) .., (x — g) durch w bezeichnet in die Form: 

Xnij + coXn-iy + '-'Co-X^y'-^ = 

setzen, so dass die Grössen Xt ganze rationale Functionen vom Grade 
r -\- {in — 1)^ sind. [X„ vom Grade r + (m — 2)w]. 

Man untersuche jetzt, welchen Bedingungen die Coefficienten die- 
ser Functionen genügen müssen, damit nur für die Werthe a, h,...,g 
eine Verzweigung eintritt und die Unstetigkeitsexponenten für sie die 
gegebenen Werthe haben. Eine Verzweigung findet so lange und nur 
so lange nicht statt, als sich alle Lösungen der Differentialgleichung 
nach ganzen Potenzen der Aenderang von x entwickeln lassen, oder 
so lange die Entwicklung von v/ nach dem Mac-Laurin'schen Satz 
n willkürliche Constanten enthält. Dies ist immer der Fall, wenn a« 
von verschieden ist. Man hat daher nur den Fall ein = zu unter- 
suchen. Setzt man die Differentialgleichung in die Form: 

hy + h{oo — a)y + h, {x - afy' -\ Ylni,^ - d)'^y^-^ = 

so müssen, damit um x = a die Function y den vorgeschriebenen 
Charakter hat, ^^, ^^,, . ., fi„ sämmtlich Wurzeln der Gleichung 

sein. Dieses liefert n Bedingungen für die Functionen X und erfor- 
dert überdies, da alle Grössen \i endlich und unter einander ungleich 
sind, dass ha für x = a nicht sei. Aehnliches gilt für die übrigen 
Wurzeln 6, c, . ., ^ von o = 0. Es kann sonach X^ = mit w = 
keine Wurzel gemeinschaftlich haben. 

Ist nun (für eine Wurzel von X^ = 0) a,^ = 0, a„_i aber von 
verschieden, so können (für diese) ?/, /,...,?/(" ~ 2) willkürlich ange- 
nommen werden, dann aber ist y("-^^ durch die Differentialgleichung 

Ony'"^ + ««-1 ?/"-^^ H h a^y = 

bestimmt, so dass n — 1 willkürliche Constanten in den n — 1 ersten 
Gliedern der Mac-Laurin^schen Reihe auftreten, die letzte Constante 
aber frühestens im n+ Iten. Man nehme an, dass sie zuerst im 
n -\- hien erscheine. 



366 XXI. Zwei allgemeine Sätze über lineare Differentialgleichungen 

Eliminirt man dann aber in der hien Derivirten der Differential- 
gleichung: 

an 2/(" + '^ + {ha, + a, _ i) y(- + ^' "i) + • • • = ' 

die Grössen ?/(« + '' — 2)^ ...., yi'^ — '^) mittelst der vorhergehenden Deri- 
virten und der Differentialgleichung selbst, so müssen die Coefficienten 
von y(« + '' — 1)^ y^"~'^\ y''"~'''^\ • •} y sämmtlich verschwinden, da diese 
Grössen von einander unabhängig sind. Man erhält also 

hd, + an-i = 0, 
also d,i von verschieden und " ausserdem noch n — 1 Gleichungen, 
und es ergeben sich n Bedingungsgleichungen für die Coefficienten der 
Functionen X. 

Man setze nun zweitens voraus, dass a,i und a«_i gleichzeitig 
verschwinden, an — 2 aber endlich bleibt, so dass die n — 2 ersten 
Gheder der Mac-Laurin'sche Reihe n — 2 willkürliche Constanten 
enthalten, und nehme an, dass die folgende im n + /i — Iten, die 
letzte im n -{- li — Iten zuerst auftrete. Alsdann ergeben sich, damit 
y{n-\-h — 2) ^j^(j y{n + h' — 2) y^^ ^^^^ Wcrthcn der niedrigeren Differential- 
quotienten unabhängig werden, die Gleichungen: 



Cln=^, -^-^-^ a'n -\-hdn-l-\r an-2 = 0, 

- dn -\-}ldn-l+.an-2 = 0, 



2 

also dn und d^ — i von Null verschieden, und ausserdem 2n — 3 Glei- 
chungen. Es werden also zwei Linearfactoren von a« = und man 
erhält 2n Bedingungen für die Functionen X 

Auf ähnliche Art findet man für den Fall wenn a,, a^-i, an — 2 
gleichzeitig verschwinden, a«_3 aber endhch bleibt, und die drei letzten 
willkürlichen Constanten zuerst im n -{- h — 2ten, n -\- li — 2ten, 
n + /r — 2ten Gliede auftreten, die Bedingungen: 

a'n == , dn = 0, al _ 1 = , 

■ r^~-^ ^'^ H lT2~' "~^ ' han-2 + On-S =0 

für h, li, h" und ausserdem noch 3n — 6 Gleichungen, so dass a« drei 
und nur drei gleiche Wurzeln hat, und 3w Bedingungen erfüllt wer- 
den müssen. Durch Verallgemeinerung dieser Schlüsse ergiebt sich 
offenbar, dass jeder Linearfactor von X^ n Bedingungen zwischen den 
Functionen X zur Folge hat.*) 



*) Ueber das Verhalten der Differentialgleichung für unendliche Werthe von 
X findet sich im Rie mann 'sehen Manuscript nichts; die Abzahlung der Constauten 
ist nur angedeutet; das Folgende ist daher so gut als möglich vom Herausgeber 



mit algebraischen Coefficienten. 367 

Für unendlich grosse Werthe von x sind die Functionen y endlich 
und stetig vorausgesetzt; um die hieraus fliessenden Bedingungen zu 
erhalten, transformire man die Differentialgleichung durch Einführung 

einer neuen Variablen . für x. Dadurch erhält man: 

+ (< - 1) (/ - 2) ^(^^r'-^ — 5- + • • • 

und die Differentialgleichung erhält die Form: 

«„r» Jl + (» - 1 .».a„r"-> - «„-il^"'-^) ^^ + 



dl" 



+ • • + «„2/ = 



Nun ist da vom Grade r + mn^ at vom Grade r -\- mn — n -\- t, 
r/„ vom Grade /• -|- *ww — 2m in x. Wenn man also die vorstehende 
Gleichung mit |'+"'« — 2« multiplicirt, so bleiben der erste und der 
letzte Coeflicient für 1 = endlich und dieselbe erhält die Form: 

worin «,,, a«-i; . . ., «0 Functionen sind, welche für J = endlich 
bleiben. Nun lässt sich aber, wenigstens unter der Voraussetzungr 
dass X^ nur ungleiche Factoren, und die oben mit h bezeichnete ganze 
Zahl den Werth 1 hat, nachweisen, dass «„ — 1 durch ^ theilbar ist. 
Dies ist bewiesen, wenn man gezeigt hat, dass in dem Ausdruck 

{n — 1) naa — xün-i 
sich die (r + mn)iQ Potenz von x forthebt. Zu diesem Zweck zerlege 
man die echt gebrochene Function ^^^— ^ = — ^ in Partialbrüche : 



an to X, 






an (o Xq y^ I X — a ' y^ I X — a 

worin sich die erste Summe auf alle Wurzeln «, h, . . der Gleichuncj 
w = 0, die zweite auf alle Wurzeln a, ß, . . von X„ = erstreckt. 
Nun muss in Folge der oben für den Punkt a aufgestellten Bedingungs- 
gleichung für X = a 

ergänzt. Ich bemerke noch, dass man etwas einfVicher mid allgemeiner zum Ziel 
gelangt, wenn man von vorn herein einen der gegebenen Verzweigungswerthe ins 
Unendliche verlegt. \Y^ 



368 XXI. Zwei allgemeine Sätze über Imeäre Differentialgleichungen 
an ~i (x — a) n .71 — 1 



an 



— 2J^ 



sein , woraus sich für Ä der Werth Ä = ~^^-^ 2J^ ergiebt. 

Ebenso folgt aus der für den Punkt a gültigen Bedingung: 

a'n + ün-i = : A = — 1^ 
woraus man erhält: 

n . n — 1 ^ 
an 



ttn X < X — a -^1 X — a 

Lässt man nun in — "~^ x unendlich werden, so ers-iebt sich, wenn 
an ; o ; 

man die Coefficienten der höchsten Potenzen von x in a„ und a„ _. i 

durch A„j Än — i bezeichnet: 

An — i n.n — 1 . ^ X 

— . — = m . — r s — r = n(n — 1) 

An 2 ^ ^ 

• 

womit der Nachweis der obigen Behauptung geführt ist. 

Damit also für unendliche Werthe von x die Functionen y end- 
lich und stetig bleiben, müssen wir noch die Bedingungen stellen, 
dass an— 2 durch h,^,..,a^ durch 5""~^ theilbar seien, deren Zahl 

~- 1 betragt. 

Hiernach müssen die Coefficienten der Functionen X im Ganzen 

(m -\- r) n -{ '—^ 1 Bedingungen erfüllen. Die Anzahl dieser 

Coefficienten beträgt, wenn man, was freisteht, einen derselben = 1 
annimmt : 

2'V+(»»-2)i+i)+^— ^-1 

t = 

/ ii\/ ii\i/ ^^7i.n -}- 1 . n.n — 1 . 
= (r + l){n + Ij + (m — 2) — -^— -\ ^ 1. 

Es bleiben also, wenn man für r seinen Werth setzt, 

(m — 2) n^ — s — n.(m — 1) + 1 

von ihnen willkürlich. Nun involviren die Functionen y, als Integrale 
einer Differentialgleichung wter Ordnung n.n Integrationsconstanten. 
Von diesen kann, da ein gemeinschaftlicher constanter Factor aller 
Functionen y unbestimmt bleiben muss, eine = 1 gesetzt werden, so 
dass im Ganzen in dem Functionensystem (y) {m — l)n{n — 1) — s 
willkürliche Constanten bleiben, die Verzweigungswerthe und die Un- 
stetigkeitsexponenten , die als gegeben betrachtet werden, nicht mit- 
gerechnet. 



mit algebraischen Coefficienten. 369 

Um nun die Frage zu entscheiden, in wie weit das Functionen- 
system (y) durch die in seiner Charakteristik enthaltenen Grössen be- 
stimmt ist, müssen wir die Anzahl der dadurch gestellten Bedingungen 
bestimmen und diese mit der Anzahl der verfügbaren Constanten ver- 
gleichen. Diese Bedingungen bestehen, nachdem die Verzweigungs- 
punkte und die Unstetigkeitsexponenten gegeben sind, nur noch darin, 
dass um die Verzweigungspunkte herum die gegebenen Substitutionen 
(«), (/3), . . ., (-O-) stattfinden. Jede dieser Substitutionen enthält aber, da 
man in jeder Horizontalreihe Einen Coefficienten beliebig wählen kann, 
n.n — U unbestimmte Coefficienten, zwischen denen in Folge der Re- 
lation (1) n^ Bedingungsgleichungen bestehen. Von diesen letzteren ist 
Eine eine identische Folge der Annahme, dass s eine ganze Zahl sei, 
(vgl. die Abhandlung „Beiträge zur Theorie etc." Art. 3. S. 67) und 
demnach haben die in dem Functionensjstem (y) enthaltenen Con- 
stanten m.n.^ii — 1) — n -f- 1 Bedingungen zu befriedigen. Diese 
Zahl darf also nicht grösser sein als (m — l).n.(n — 1) — s, woraus 
sich ergiebt, dass s im Allgemeinen nicht grösser sein darf als n — 1. 
Für den Fall s = n — 1 ist die Anzahl der Bedingungsgleichungen 
ebenso gross als die Anzahl der verfügbaren Constanten. 



a 



lilEMANN*s gcsamincltc niatliomatifclie Wt'rke. 1. ' 24 



XXII. 

Oommentatio mathematica, qua respondere tentatur qüaestioni 
ab 111™^ Academia Parisiensi propositae: 

„Trouver quel doit etre Fetat calorifique dun corps solide homo- 
gene indefini pour qu'un Systeme de courbes isothermes, ä un instant 
donne, restent isothermes apres un temps quelconque^ de teile sorte 
que la temperature d'un point puisse s'exprimer en fonction du temps 
et de deux autres variables independantes."*) 

Et bis principiis via sternitur ad majora. 
1. 

Quaestionem ab ill""^ Academia propositam ita tractabimus, ut 
primum quaestionem generaliorem solvamus: 

quales esse debeant proprietates corporis motum caloris determi- 

nantes et distributio caloris, ut detur systema linear um quae sem- 

per isothermae maneant, 
deinde 

ex solutione generali hujus problematis eos casus seligamus, in 

quibus proprietates illae evadant ubique eaedem, sive corpus sit 

homogeneum. 

Pars prima. 
2. 

Priorem quaestionem ut aggrediamur, considerandus est motus 
caloris in corpore qualicunque. Si ii denotat temperaturam tempore 



*) Diese Beantwortung der von der Pariser Akademie im Jahr 1858 gestell- 
ten und 1868 zurückgezogenen Preisaufgabe wurde von Riemann am 1. Juli 
1861 der Akademie eingereicht. Der Preis wurde derselben nicht zuerkannt, weil 
die Wege, auf denen die Resultate gefunden wurden, nicht vollständig angegeben 
sind. Von der Ausführung einer beabsichtigten ausführlicheren Bearbeitung des 
Gegenstandes wurde Riemann durch seinen Gesundheitszustand abgehalten. 



XXIT. Commentatio inathematica , qua respondere tentatur etc. 371 

^ in puncto (x^, X2j,x^ aequationem generalem, secundum quam haec 
functio n variatur, hujus esse forniae constat, 

r. ( du . du . du\ 



7\( ^^ _i_ ?ü _j_ du\ 



^ / du _. ^^ _i_ du\ 

, "^ r^.l g^ -t- ^3,2 g^ i- ^3,3 ^J __ g^ 

"^ ^ ~ dx, ' '~'^dt' 

Qua in aequatione quantitates a conductibilitates resultantes, h calorem 
specilicum pro unitate voluminis, sive productum ex calore specifico 
in densitatem designant et tauquam functiones pro lubitu datae ipsa- 
rum x^j x^y Xo. spectantur. Disquisitionem nostram ad eum casum 
restringimus, in quo conductibilitas eadem est in binis directionibus 
oppositis ideoque inter quantitates a relatio 

intercedit. Praeterea quum calor a loco calidiore in frigidiorem migret 
necesse est ut forma secundi gradus 

/^l,l? <^2,2> ^3,3\ 
\^2,3; %,1' ^1,2/ 

sit positiva. 

3. 



lam in aequatione (I) in locos coordinatorum rectangularium Xj^, 



^2} •^3 



tres variabiles independentes quaslibet novas s^, Sg, s^ introducamus. 
Haec transformatio aequationis (I) facillime inde peti potest quod 
haec aequatio conditio est necessaria et sufficiens, ut, designante du 
variationem quamcunque infinite parvam ipsius u, integrale 

^^^ ^J J f^ ^'' ' ^ ^ ^^' ^^^' ^^^'' '^ i ff^^^ ^^ ^^ ^^' ^^^ ^^'' 

per corpus extensum, solum a valore variationis du in superficie pen- 
deat. Introductis novis variabilibus haec expressio (Ä) transibit in 

{B) ö IJJ ^ b,, ,' —- 1^ ds, ds^ ds, -{- Cj hhj^ du ds, ds^ ds., 
posito brevitatis causa 

y ^^^ _ j 2 i 

^_^~ds^ds^ds, — ^^''»'^ ^^ d_s^ ds, ds, — ^ • 
j^ - r.r, dx,^ dx.j y^i ^cxi dx.^ dx._^ 

24* 



372 XXII. Commentatio mathematica, qua respondere tentatur 

Quodsi formarum secundi gradus 

(1) (^^'^^ ^-'2> ^3,3\ /9\ /^1,1J ^2,2» ^3,3\ 

determinantes sunt Ä^ B et l'oriiiae adjunctae 

,3N /«l.l; «2.2> «3,3\ /4>^ /ft,n /32,2; A.3\ 

V«,,3, «3,1, «i,J VA,3; A,n ft,2/ 



invenietur 
et 

ideoque 

et 



.^j — ox^ cx.^ dx^ 
i, t' 



/i k 



J 

^5 1 



Unde facile perspicitur transformationem aequationis (I) reduci 
posse ad transformationem expressionis 2Ja,^t'dXidXi-. 

Quae quum ita sint, problema nostrum generale hoc modo solvero 
possumus, ut primum quaeramus, quales esse debeant functiones 6,,,' et 
h ipsarum s^, s^,? %? ^^ ^ ^^ ^^^^ harum quantitatum non pendert; 
possit. Qua quaestione soluta expressio Z! ßt,idSi dSi' formari poteri \ 
Tum ut, datis valoribus quantitatum a,, ,' et quantitatis h, inveniamu;., 
num ti functio temporis et duarum tantum variabilium fieri possit tt 
quibusnam in casibus, quaerendum est, an expressio illa U ß,,i' ds,d^.' 
in formam datam transformari possit; et hanc quaestionem infra vid( - 
bimus eadem fere methodo tractari posse, qua Gauss in theoria 
superficierum curvarum usus est. 

4. 

Primum igitur quaeramus, quales esse debeant functiones &,,,'et k 
ipsarum 5^, 5^, S3, ut «* ab una harum quantitatum non pendere possi.^. 
Ut denotationem simpliciorem reddamus, quantitates Sj, .Sg, s^ per cc, ß, y 
designemus et formam (2) per 



\a, h\ c) 



si i* a ;^ non pendet, aequatio differentialis erit formae 

(II) a rr-z + 2c 7-—Fr^ + ?>--^ + ^^— + /^ö-5- — f^öT = F =0 

^ ^ da^ ' oaö^ ' C^^ ' Va ^ ' d^ dt 



quaestioni ab lUma Academia Parisiensi propositae. 373 

posito 

da j^ de . db' ^^ i ^_^ i ^^ f 

Tribueiido ipsi y valores determinatos diversos ex aeqiiatione (II) 
inter sex quotientes differentiales ipsius ii obtinebnntur aequationes 
diversae, quariim coefficientes a y non pendent. Quodsi ex bis aequa- 
tiouibus m sunt a se independentes 

I\ = 0, ^2 = 0, . . ., F,n = 0, 

ita ut caeterae oinnes ex iis sequantur, aequatio JF^ = necesse est pro 
quo vis ipsius y valore ex bis m aequationibus fluat unde F formae 
esse debet 

c,F, + c,F,-\ \-c,„F,n 

qua in expressione solae quantitates c a. y pendent. 

lam casus singulos, quando 7H est 1,2,3,4 paulo accuratius exa- 
minemus simulque aequationes a y independentes, in quas aequatio 
li" = dissolvitur, in formas simpliciores redigere curemus. 

Casus primus, ni = 1. 

Si m = 1, in aequatione (II) rationes coefficientium a y non pen- 
debunt. At introducendo in locum ipsius y novam variabilem fkdy 
semper effici potest, ut Z; fiat == 1, quo pacto coefficientes omnes a y 
evadent independentes. Porro introducendo in locos ipsarum a, ß novar 
variabiles semper effici potest, ut a et & evanescant. Hoc enim eve- 
niet, si expressio hda^ — 2c da dß -f- adß'^ (quae quadratum expressionis 
differentialis linearis esse nequit, si (2) est forma positiva) in formam 
mdadß' redigitur et quantitates a, ß' tanquam variabiles indepen- 
dentes sumuntur. 

Aequatio igitur difi'erentialis (II) hoc in casu in formam 



2 c 



d'^u , du , j,du du 



redigi potest et in forma (2) a, h tum erunt = 0, cl et V functiones 
lineares ipsius 7, et c a y independens. Caeterum patet, teniperaturam 
in hoc casu semper a y independentem manere, si temperatura initialis 
sit functio quaelibet solarum a et /3. 

Casus secundus, m = 2. 

Si aequatio (II) in duas aequationes a y independentes discinditur, 

ope alterius -^ ex altera ejici potest. Brevitatis causa haec ita ex- 

liibeatur 

(l) ^u = 

illa 



374 XXII. Commentatio mathematica, qua respondere tentatur 

(2) ^» = ai 

denotantibus- z/ et A expressiones characteristicas ex da et dji coniiatas. 
Aequationem priorem facile perspicitur mutatis variabilibus inde- 
pendentibus ita transformari posse iit sit z/ 

vel = da 
valoribus e = 0, f == non exclusis. 
Quoniam sit 

= ^^ ^u = zl dtu = /i Au 

ex bis duabus aequatiouibus (1) et (2) sequitur 
(3) zlAu = 0. 

lam duo distinguendi sunt casus, prout haec aequatio (3) vel ex 
aequatione (1) fluat, (a), sive sit 

JA = ®A 

denotante ® novam expressionem characteristicam, vel non fluat, {ß), 
novamque aequationem a, ^ii independentem sistat. 

Casum priorem (a) ut saltem pro una forma ipsius z/ perscru- 
temur, supponamus 

^ =^dad(i+eda + fdi^. 

Tum ^ Au ope aequationis ^ii==0 ad expressionem reduci potest, 
quae solas derivationes secundum alteram utram variabilem contineat 
et coefficientes omnes cifrae aequales habere debeat. Ponamus, quum 
terminus da dß continens ope aequationis ^u = ejici possit, 

A = ad 4- hd. A~ cd -\- dd. 

formemusque expressionem 

^A ~ AzJ. 

In hac expressione quum coefficientes ipsarum d'^, d. evanescere debeant 
invenitur 0-0 = 0, 0— = 0, unde si casus speciales a = 0^ h = ex- 
cluduntur, mutatis variabilibus independentibus effici potest, ut sit 
a = 6 = 1. Tum autem invenitur ponendo coefficientes ipsarum d^, d . 
in expressione reducta zfA cifrae aequales 

unde poni potest 



de n ^^ ^^ 9^/" 

Fß~'^d^' d~oi~'^dß' 



quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae. 375 

dm ^ , r^dn 



y/ = ,7« + r^ + 2-^ a„ + 2 ^-^ a^ 



denotantibus m, n functiones ipsarum «, /3 quae jam duabus aequa- 
tionibus differentialibus sufficere debent, ut coefficientes ipsarum daj d^ 
in expressione reducta zfA evanescant. 

Prorsus simili modo in reliquis casibus specialibus formae sim- 
plicissimae ipsarum J et A inveniuntur conditioni 

satisfacientes. Sed huic disquisitioni prolixiori quam difficiliori hie non 
immoramur. 

Caeterum patet in hoc casu temperaturam semper a y independen- 
tem mauere, si temperatura initialis est functio quaelibet ipsarum 
a et ß aequationi z/if = satisfaciens; sequitur enim ex aequationibus 

Ju = 

. du 

^« = ji 

= ®/lu = zJ All = /ictU =—^j- et proin aequatio z/if = sub- 
sistere pergit, si initio valet et functio u secundum aequationem 
All = . variatur. Tum autem satisfit legi motus caloris sive aequa- 
tioni F = 0. 

5. 

Restat casus specialis alter (ß) quando zJ Au = a zJii = est 
independens. Ut simul et casus sequentes ni = 3, ni = 4: amplectemur, 
suppositionem generaliorem examinemus, praeter aequationem z/w = 
haberi aequationem differentialem quamlibet linearem @u = 0, ipsum 

^- non continentem et a z/u == independentem. 

Si z/ est formae dud^ + e^« + fd^ij ope aequationis /du = ex- 
pressio a derivationibus secundum ambas variabiles liberari potest. 

lam duo distinguendi sunt casus. 

Si ex expressione omnes quotientes dififerentiales secundum 
alteram utram variabilem ex. gr. secundum ß simul excidunt, obtinetur 
aequatio differentialis solos quotientes differentiales secundum a con- 
tinens formae 

V 

sin minus, semper elici poterit aequatio diflPerentialis formae 



376 XXII. Coramentatio mathematica, qua respondere tentatur 

(2) 2-1? = « 

sive solos quotientes difFerentiales secuudum t continens. 

Nam in hoc casu expressiones Au, J^hi, A^u, . ., quibus quotientes 
differentiales ipsius u secundum t aequales sunt, ope aequationum 
ziu = Q, @u = semper ita transformari possunt, ut solos quotientes 
differentiales secundum alteram utram variabilem contineant eosque non 
altiores quam @u. Quorum numerus quum sit finitus^ eliminando ae- 
quationem formae (2) obtineri posse manifestum est. Coefficientes a, 
utriusque aequationis sunt functiones ipsarum «, ß. 

Observare conveniet, alteram utram harum aequationum semper 
valere etiamsi z/ non sit formae Ca c^ + e c« + /'r-y. Casus specialis, 
quando J = d^-\- eca -\- fcß ad utrumque casum referri potest, quum 
ope aequationis /In = tum ex &Uj tum ex Au omnes derivationes 
secundum ß ejici possint, quo facto aequatio utriusque formae facile 
obtinetur. Si f = 0, hie casus sicuti casus zi == da ad casum priorem 
referendus est. 

lam casum posteriorem accuratius perscrutemur. 

Solutionem generalem aequationis 

e terminis formae f(t)e^* conflatam esse constat, denotante f(t) functio- 
nem integram ipsius i^ et A quantitatem a t non pendentem, facileque 
perspicitur, hos terminos singulos aequationi (I) satisfacere debere. 
lam demonstrabimus, fieri non posse ut sit A functio ipsarum x^, x^, x.^. 

Sit Jcf" terminus summus functionis f{t) distinguanturque duo 
casus. 

P. Quando A aut realis est aut formae ^ -\- vi et ^^v functiones 
unius variabilis realis a ipsarum x^, x^, x.^, substituendo u = f{t)€^^ 
in parte laeva aequationis (I) coefficiens ipsius ^« + 2ß'i< invenitur 



_ 7./^V 'V du du 

~^\dJ 2j ^'''' dx^ dx/ 



Sed haec quantitas evanescere nequit, nisi 
du du du ^ 

dx^ dx^ dx^ 

sive a = const., quum forma 

ut supra monuimus, sit forma positiva. 



quaestioni ab 111™» Acadernia Parisiensi propositae. 377 

2\ Quando k est formae ^i -{- vi et n, v sunt functiones inde- 
pendentes ipsarum ^Tj, X2, x^, quantitates ^ -\- vi et ^i — vi pro varia- 
bilibus independentibus a et ^ sumi poterunt contiiiebitque ipsum 11 
praeter terminum f{t)t^^ etiam terminum complexum conjiigatum 
cp{t)e^^. Quodsi 

d'^u , 7 d^u , d'^u , du , ,.ru 

est; ex aequatione zJu = substituendo 11 = f\t)€f'^ et aequando 
coefficientem ipsius ^" + ^e"^ cifrae, obtinetur a = et perinde c = 
substituendo u = (p{t)c^K Fnde ope aequationis z/w = aequatio 

ylii = -— ita transformari potest, ut solos quotientes differentiales 

secundum alteram utram variabilem contineat. Sed substituendo 

eoefficiens summi cujusque horum quotientium difFerentialium invenitur 
= 0, unde et hi quotientes differentiales ex aequatione Ju = yr 
omnos excidere debent, q. e. a., quum ii ex hyp. non sit constans. 

In casu igitur posteriori fun^^tio u coniponitur e numero finito 
terminorum formae f(t)e^-^ , in quibus l est constans et f\t) functio 
integra ipsius t. 

In casu priori quando habetur aequatio formae 

(1) 2'-B=«' 

functio u erit formae 



-=2 



^rlh 



denotantibus Pxi Ihy -" solutiones particulares aequationis (1) et gj, g'g, . . 
constantes arbitrarias sive functiones solarum /3 et t. Quodsi haec 
expressio in aequatione 

substituitur, obtinetur aequatio formae 

in qua quantitates Q sunt quotientes differentiales ipsarum q ideoque 
functiones solarum ß et t^ quantitates P autem functiones solarum 
a et ß. At tali aequationi supra vidimus, si ex n terminis compona- 
tur, subjacere ^i aequationes Hneares inter functiones Q ei n — ^ ae- 
quationes inter functiones F, quarum coefficientes sint functiones solius 
/3, denotante ft quempiam numero rum 0, 1, 2, . ., n. Obtinebuntur 



378 XXII. Commentatio mathematica qua respondere tentatur 

igitiir expressiones ipsanmi ^ per quotientes diiferentiales ipsariim q 

secundum ß ab ipsa a liberae. 

lam casus singulos problematis nostri ad Imnc casum pertinentes 
perlustremus. 

Quando m = 2 et z/ est formae da d^ -{- eda -\- fdß aequatio re- 
dueta zJylu = 0, si a quotientibus differentialibus secundum ß libera 
evadit, formam induet: 

dci^ ' Ca^ ' da 

unde n erit formae 

ttj> -{- hq ~\- c 

denotantibus a, hj c functiones solarum ß Qi t, p Qi q autem functiones 
solarum a et ß. lam in locum ipsius a variabilis independens q in- 
troduci potest. Quo pacto obtinetur 

u =- ap -\- h a -\- c 
ubi jam sola p est functio ambarura variabilium a et ß. Substituendo 
hanc expressionem in aequationibus 

/iu = , . Ali = -5:r 
üt 

coefficientium formae facile eruuntur. 

Restat casus quando jam una aequationum, in quas aequatio F'= 

discinditur^ formam (1) habet, ideoque formam 

d'^u , du ^ 
da^ ' dcc 

Tum erit u == ap + h denotantibus a ei h functiones solarum ß et f, 
et p functionem solarum a et ß. Si in locum ipsius a variabilis in- 
dependens x> introducitur, prodibit 

u = a K ~\- 0, ^2 = ^' • 

Invenimus igitur, si m sit == 2 sive aequatio F = in duas ae- 

quationes 

z/«f = 

j du 

Au = -oT 

öt 

dissolvatur, esse aut A A = SA, aut functionem ti compositam esse e 
numero finito terminorum formae f{t)e^\ in quibus k constans et f{t) 
functio integra ipsius t est, aut formam induere 

9(ft x(«, ß) + «9>i(A t) + ^,{ß, t), 

si m = 3, functionem u aut esse e numero finito terminorum f\t)e^^ 

conÜatam aut formae 

<p{ß,t)a + <f,{ß,t). 



quaestioni ab 111^» Academia Parisiensi propositae. 379 

Casus denique m = 4 nullo negotio penitus absolvi potest. 

Si enim praeter aequationem Aa = --^ habentur tres aequationes 

inter 

d^u d'^u d^u du du, 

d^'' dVdß\ dß''' ä^' Wß' 

aut prodibit aequatio forraae 

du . du ^ 
'Wi + '^ß-^ 

et proin variabiles iiidependentes ita eligere licebit^ ut u fiat functio 
imius tantum variabilis, aut 

d^u d^u d'^u 

ideoque etiam An, A^u, ylhi per ^^ ^-ö exprimi poterunt. Tum au- 

tem emerget aequatio formae 

d'^u . i^d'^u . du ^ 

unde u habebit formam 

2)6^' -\- qe^'^ -\- r vel (/> -f- qt)c^-< -\- r 

constatque per praecedentia /l et ft esse constantes. 

lam sumta p pro variabili independente « et substitutis bis ex- 

du . . . 

pressionibus in aequatione Au == -^ invenitur fieri non posse ut q sit 

functio ipsius a, siquidem A et ft sint inaequales. Ergo p et q vice 
variabilium independentium fungi possunt. Praeterea ex aequatione 

All = ^- invenitur r = const. 

In boc igitur casu u aut est functio ipsius t et unius tantum 
variabilis, aut alteram utrani formarum 

ae^*-\- ße^'^ + const. (« + /3/)e'-' + const. 
induet, valore ft = non excluso. 

Postquam formae quas functio ti induere potest inventae sunt, 
aequationes Fr = 0, quas brevitati consulentes perscribere noluimus, 
facillimae sunt formatu. Unde in singulis quibusqne casibus et forma 

et forma adjuncta 

innotescet. Si jam in expressionibus Zlß,,i dSidsi in locos quanti- 
tatum 6'i, S.J, ^3 functiones quaelibet ipsarum x^y x^, x.^ substituuntur, 



380 XXII. Commentatio mathematica, qua respondere tentatur 

manifesto obtinebuntur casus omnes, in quibus tt functio temporis et 
duarum tantum variabiliura fieri possit. Unde quaestio prior soluta erit. 
Superest iit quaeramus, quando expressio 2J ß,^i' dSi dsi in l'ormara 
datam ÜKi^i dx^dxi' transformari possit. 

Pars secunda. 

De transformatione expressionis Eh,,i' dSidSi in formum 

i, i' 

datam 2J «,.,' dx^ dxc. 

Quum quaestio ab IIP"* Academia ad corpora liomogenea restricta 
sit, in quibus conductibilitates resultantes sint constantes, evolvamus 
primum conditiones, ut expressio ^^1)1,1 dSidsc, aequando quantitates 0' 

functionibus ipsarum x, in formam U ai,i' dxt dXt y constantibus coeffi- 

cientibus a,,i' affectam transformari possit. Deinde de transformatione 
in formam quamlibet datam pauca adjiciemus. 

Expressionem Ea^^i'dXidXi', si est, id quod supponimus, forma 

positiva ipsarum dx, semper in formam 2J dx^ redigi posse constat. 



Unde si E hi^c ds^ds^' in formam E a^^i' dXi dxi transformari potest, 

t, i ' i, i 

redigi etiam potest in formam E dx^ et vice versa. Quaeramus igitur, 

quando in formam E dx^ transformari possit. 

Sit determinans E -V\,^ \^^ . . .'bn,n=^ ^ et determinantes par- 
tiales = /3,,t'-, quo pacto erit E ß,^^ &,,,' = B et E /3,,i' ht,i" = 0, si i">i", 

Si E hl t' dSi dsi = E dx pro valoribus quibuslibet ipsarum dx, 

substituendo d -\- Ö pro d invenitur etiam E h.c dSt ösi = E dXt dxt 

pro valoribus quibuslibet ipsarum dx et dx. 

Hinc si quantitates ds^ per dXi et quantitates dXt per quantitates 
dsc exprimuntur, sequitur 

et proinde 

V 

Unde porro deducitur, quoniam sit 



quaestioiii ab 111'"» Academia Parisiensi propositae. 381 



dx dx ^ ^,, 'sn ^^i ^**' ^^^ 

B 



(^) ^ d8^ ds^. ~ ^'''' ' W ^ ^ ^ — 
et (lifferentiando formulam (3) 

•^ d'^x dx ■ ^7 ^*a; ^ dh,,i' 

laDi ex his ipsarum 

expressionibus eruitur 

,^s 2 V ^'^ ^ = ^^.i' , ^Ki':_ _ ^^'.r 

et si haec quantitas per Pi,i,i" designatur 

Quantitatibus p,^ ,-, ," iteriim differentiatis obtinetur 

<^s^-, ^s^„ j^ ds^.ds^n ds^ds^... ^j ds^.ds^.., ds^ds^.. 

unde tandem prodit, substitutis valoribus modo inventis (6) et (4) 
'^'Kr , ^%;r' ^'Kr' ^^^^^ 



cs.ds.n "^ ds,d8,n CS,. ÖS., csds... 

+ i_^ (i'r, ,•,."■ iV,,,," — i'v,,,,'" i>^', ,■,.") "5^ = 

r, v' 

Hujus modi igitur aequationibus functiones h satisfaciant necesse 
est, quando Z!h,^,' dSids,' in formam Edx^ transformari potest: partes 

laevas harum aequationum designabimus per 

Ut indoles harum aequatiomim melius perspiciatur, formetur ex- 
pressio 

ddy^h,,r ds, ds,' — 2ddy^h,,r ds, ds,- + dd^h,,,- 8s, ds,' 

determinatis variationibus secuiidi ordims d^^ ddj d^ ita, ut sit 

d'V />,,,- ds, ds,' — ^ V^M' ds, d's,- — d^h,,,- ds, d's,- = 

(5' V ?>,,,' ds, dsf — 2dy]h,^,' ds, ö's, = 

(3' V />,,,' ds, ds,- — 2dV ?>,,,■ ds, d's, = 0, 



382 XXTT. Commentatio niathematica, qua respondere tentatur 

denotante d' variationem quamcunque. Quo pactö liaec expressio iu- 
venietur 

(II) = ^{^^\ ^"^'") {äs, 8s,' — ds,' ÖS,) (dsr dsr' - ds," ^v). 

lam ex hac formatione hujus expressionis sponte patet, mutatis 
variabilibiis independentibus transmutari eam in expressionem a nova 
forma ipsius U h,^ i' ds, ds,' eadem lege dependentem. At si quantitates 
h sunt constantes, omnes coefficientes expressionis (II) cifrae aequales 
evadunt. Unde si U h,^ ,■ ds, ds^ in expressionem similem constantibus 
coefficientibus affectam transformari potest expressio (II) identice eva- 
nescat necesse est. 

Perinde patet^ si expressio (II) non evaneseat, expressionem 

^(tt', t"t"') {ds^ Ss^. ~ ds^. Ss;) {ds^.. Ss^ ds^,,. 8s^..) 

mutatis variabilibus independentibus non mutari^ insuperque immutatam 
manere si in locos variationura ds,, ös, expressiones ipsarum lineares 
quaelibet independentes ads, -\- ßös,, yds, -\- dös, substituantur. Va- 
lores autem maximi et minimi hujus functionis (III) ipsarum ds,, ds, 
neque a forma expressionis U h,^ ,• ds, ds,' neque a valoribus variationum 
ds,, ÖS, pe]idebunt, unde ex bis valoribus dignosci poterit, an duae 
bujusmodi expressiones in se transformari possint. 

Disquisitiones haece interpretatione quadam geometrica illustrari 
possunt, quae* quamquam conceptibus inusitatis nitatur, tarnen obiter 
eam addigitavisse juvabit. 

Expressio Y^h,^i' ds, ds,' spectari potest tanquam elementum line- 
are in spatio generaliore n dimensionum nostrum intuitum transcen- 
dente. Quodsi in hoc spatio a puncto (s^, s^, . . s„) ducantur omnes 
lineae brevissimae, in quarum elementis initialibus variationes ipsarum 
s sunt ut a ds^ -\- ß8s^\ a ds^ -\- ßös.^: . , .: a dSn + ß^Sn, denotantibus 
« et /3 quantitates quaslibet, liae lineae superficiem constituent, quam 
in spatium vulgare nostro intuitui subjectum evolvere licet. Quo pacto 
expressio (III) erit mensura curvaturae hujus superficiei in puncto 

(^O S,, .., Sn){'). 

Si jam ad casum w = 3 redimus, expressio (IT) est forma secimdi 
gradus ipsarum 

ds^ 8^ — J.% ds^, ds.^ ös^ — ds^'^s.^, ds^ ös^ — ds.^ ds^ 

unde in hoc casu sex obtinemus aequationes , quibus functiones h 
satisfacere debent, ut Hh,^,' ds, ds,- in formam constantibus coefficien- 



quaestioni ab Illma Academia Parisieusi propositae. 383 

tibus gaudentem transforraari possit. Nee difücile, ope notionum modo 
traditarum, est demonstratu , has sex conditiones, ut lioc fieri possit, 
sufficere. Observandum tarnen est ternas tantum esse a se indepen- 
dentes. 



Tarn ut quaestionem ab Hl"* Academia propositam persolvamus, 
in bis sex aeqiiationibus formae functionum h, methodo supra exposita 
inventae, sunt substituendae, quo pacto omnes casus invenientur, in 
quibus temperatura u in corporibus homogeneis functio temporis et 
duarum tantum variabilium fieri possit. 

Sed angustia temporis non permisit hos ealculos perscribere. 
Contenti igitur esse debemus, postquam methodos quibus usi sumus 
exposuimus, solutiones singulas quaestionis propositae enumerasse. 

Si brevitatis causa casum simplicissimum, quando temperatura u 
secundum legem 

^^^ Jocf "T TxJ "^ dxi ~ ^^ 'dl 

variatur, solum respicimus, ad quem casus reliquas facile reduci posse 
constat: casus m = 1 tum tantum evenire potest, quando w est con- 
stans aut in lineis rectis parallelis, aut in circulis helicibusve, ita ut 
coordinatis rectangularibus 0j rcoaq), rsinq) rite electis, poni possit 
a = r^ ß = .'i -\- cp . const. 

Casus m = 2 locum inveniet si u == f(a) + 9^(ß), casus m == 3, 
si « = «e^' + /"(/J), denotante A constantem realem, casus denique 
m = 4, ut jam supra invenimus, si u est aut = a&-^ + ß^^^ + const., 
aut =(«-(" ßt)(^^ + const., aut = f{ci). 

lam ut formae functionis u penitüs innotescant, annotari tantum 
opus est, temperaturam tif nisi sit formae ac^-^ , tum tantum functionem 
temporis et unius variabilis esse posse, quando sit constans aut in 
planis parallelis, aut in cylindris eadem axi gaudentibus, aut in sphae- 
ris concentricis. Si u est formae «^^', ex aequatione diiferentiali (1) 
sequitur 

€x^ ' dxl ' cx^ 

et perinde in casu quarto substituendo valores ipsius n in aequatione 
diiferentiali (I), functiones « et ß facile determinantur, dummodo ani- 
madvertas, in hoc casu ac^' et ße^'^ esse posse quantitates complexas 
conjugatas.('^) 



Anmerkungen. 

1) (Seite 382). Diese Untersuchungen hängen aufs Innigste zusammen mit der 
Abhandlung „lieber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" 
(S. 254). Die folgende Ausführung Riemann 'scher Vorschriften, welche einen 
Auszug aus einer (umgedruckten) Untersuchung R. Dedekind über diesen 
Gegenstand bildet, wird zur Erleichterung des Verständnisses des Textes bei- 
tragen. 

Es sei das Quadrat des Linienelements im Räume von w Dimensionen 



ds^ = ^ b, , ds, ds. 



wenn 



Dann ergeben sich zur Bestimmung der kürzesten Linien die Diiferential- 
gleichungen 

(1) .v^-.^-i''^2'^?5^ 

.^^ '^ dr ^J CS,, dr dr 

i i, i' i" 

und 

Vi, .^^ = 1 

^ •'• dr dr 

l, l' 

=jy^^K,,'ds,ds, 

die Länge der kürzesten Linie selbst von einem willkürlichen festen Punkt 
bis zu einen variablen Punkt bedeutet. 

Man führe nun ein System neuer Variablen ein vermittelst der Substitution 
.T, = rci, a?2 = rc2, . . ., x,^ == rc^, 
worin die Grössen e< die Bedeutung haben: 

'dt 



\drJo 



so dass zwischen denselben die Relation besteht: 

und dass dieselben längs einer jeden, vom Punkt auslaufenden kürzesten 
Linie constant sind. 

Ist nun, in den neuen Vaiaablon ausgedrückt, das Quadrat des Linien- 
elements 

ds^ = ^^ a^^, dx^ dx^. 



Anmerkungen. 385 

80 folgt leicht, indem man längs einer von auslaufenden kürzesten Linie 
fortschreitet 

(2) ^ ":'■'•'•■ = 2 <'■''''■ = '■ 

Drückt man die Differentialgleichungen der kürzesten Linien in den neuen 
Variablen aus, so ergiebt sich 

t t, i /" 

woraus folgt 

wenn zur Abkürzung gesetzt ist 

^ /'''''' ex. "^ dx^ dx^^ ' 

die Gleichung (3) läset sich auch so schreiben : 

da,. ^^r\da 



Setzen wir nun zur Abkürzung 

i ' t ^ 

so lässt sich die Gleichung (3') schreiben: 

Setzt man ferner 
so folgt hieraus: 

und hieraus: 

d(o,, d(o„ .«r-T ;^ /^o),. dl 



^ - — + V — (^^ - —\ ^ = 



woraus hervorgeht, dass die ö — homogene Functionen der (— l)ten 

Ordnung sind. Bezeichnen wir eine solche mit f{x^^ a;^, . . »t«), so hat man 

f{tx^, tx.,, . . txj = t-^ f{x,, x^, . . x^). 
Setzt man daher voraus, dass die Coefficienten a^ ^. und ihre Ableitungen im 
Punkte bestimmte endliche Werthe haben, so folgt, wenn man ^ = setzt, 

c<a cco^ 

dass die Function /identisch verschwinden muss, dass also ö — =^ - — i>t. 

^ cXy c -i-^^ 

Bismann's gesammelte mathematische Werke. I. 25 



386 XXII. Commentatio mathematica etc. 

Es ist also auch 

r 

und daraus ergiebt sich mit Hülfe von (3'): 



^^ dar,. ' .^^ doc. * 



2 



da,, , 'sr-T da. .. 



J—L /y ly . ^ 



'. < 



X, ^, = > --r— ^ X.X,, = 



und durch Integration der DiiFerentialgleichungen der kürzesten Linie: 

i i 

Bedeuten nun t^ ^, == t^, ^ irgend welche Functionen von x^ , x.j,, . .,rc^^, welche 
mit ihren Ableitungen bis zur dritten Ordnung einschliesslich im Punkt be- 
stimmte endliche Werthe haben, und besteht die identische Gleichung 

i, i' 
so folgen daraus, wenn man dreimal difFerentiirt, und nach der Differentiation 
x^ = setzt, die für den Punkt gültigen Gleichungen: 

d^ct' , dt^- . et .. 

Setzt man hierin t^ ^, == p ^ ^, , so ergiebt sich für den Punkt 
^ dPc,t',c- , dp •, •. dp • •. 

Aus der ersten derselben erhält man durch Addition von j)^- ^ j- = 

da, ,, 

= 0, im Punkt 0, 

/ ö'a^ ,. c'a^ ^„ ö'a^ ^.„ \ d'^a,. ^„. d^a^.,, ^, d'^a. ,, 
2 I ^ \ -iL I i'_i ) = i-ii ] i_ii i i^:*-. 

\dx^ncx^.<. dx^.„dx^. dx^.dx^'>J dx^dx^, dx^cx^,, dx^dx^.,, 

Vertauscht man hierin i und i , addirt und bezeichnet mit S die Summe der 

d'^a^ ,' 
sechs Derivirten von der Form 7^^ 7^ , so folgt 

■d^a,. ,.. d'a. 



(5) 




dx,, 


" = 


aus der zweiten 








/ d^a, ,. 


d'a, 




d'a 



\dx^dx, dx^n dx^;, ) 



und da S sich nicht ändert, wenn man t", i" mit t, l vertauscht: 



2/, ;^2, 



(^) dx^dx, dx,,dx..,^ 

d''\e . ^'«..." . d'^a^,,, d^a 



(7) '21 I 11: I ''!_ = L2-' I 1-iI- -1 "Lil^ = 

^ ' dx^..dx^n, ' dx^,.,dx^, dx^cx,, Ix^dx, cx^cx,, cx^vx,., ' 

im Punkt 0. 



Anmerkungen. 387 

Nun ist das Quadrat eines vom Punkt aubgehenden Linienelementes 

t, i 

Für ein vom Punkt öx^, Öx.^, . ., 8xn, der dem Punkt unendlich nahe ist, 
ausgehendes Linienelement haben wir 

^''- = 2 «Iv ''*■. <^^.- + 2* (4^")/ "■•••■ d^.dx, 



1,1 , i ,1 



Hierin verschwindet nach (5) das zweite Glied auf der rechten Seite, und das 
dritte Glied lüsst sich nach (6) so schreiben: 

^dd ^ a^^< 8x^8x^. = \dS ^^ a^ ^dx^dx^. , 

i, i' i, i 

wenn die Variationen zweiter Ordnung ddx^, ddx^, ddx^^ 8dx^ gleich Null 
sind. Unter derselben Voraussetzung erhält man leicht aus (7) 

dd^ a^^^. dx^dx^, -\- 2dd ^ a^ ^. dx^d x^ = 0, 

i, i i, i' 

wodurch sich ergiebt: 

d d ^^ a^^ j. ö x^ 8 x^. 

= ^ Idd^a^^^. 8xjx^. — 2d8 '^a^^^. dxjx^. + 8 8 ^ a^ ^. dx^dxA , 

welches wieder in die Form gebracht werden kann: 

|- > p-; — ' {dx^8x^.. — 8x^dx^,) {dx^. 8x^:< — 8x^^. dx^-) , 



1,1 ; l ,1 



wenn die Summe nur auf die von einander verschiedenen Paare der Indices t, i 
und der Indices t', l" ausgedehnt wird. Hieraus folgt endlich: 



rf6'2 = dS,-' 



(8) .1^ c'a^ ,. 

'^ ^ 2j ä^:ra^^'^^'^^'" ~ sx^dx^;)idx^.sx^... - 8x.dx,..). 



1,1 ; t ,1 



Werden nun an Stelle der Variablen x^ beliebige andere eingeführt, so 
bleiben die Gleichungen (4), (5), (6), (7) nicht bestehen, noch werden die Variationen 
zweiter Ordnung ddx^,d8x^, 8dx^, 88x^ verschwinden. Wir müssen daher darauf 
ausgehen, die Bedingungen, auf denen die Bildung des Ausdrucks (8) beruht in 
eine Form zu bringen, welche bei Einführung beliebiger Variablen ungeändert 
bleibt. Dies erreichen wir, wenn wir an Stelle der Gleichungen (5), (6), (7) die 
folgenden setzen: 

dd^a^^.8x,Sx^. = 8d^a^.dx,dx^. = - 2d8 ^a^^^. dxjx,. , 
i, t' i, i i, t' 

woraus hervorgeht: 

26* 



388 XXII. Commentatio mathematica etc. 

(9) 

'»'■ 1,1 1,1 

und wenn wir die Variationen zweiter Ordnung so bestimmen, dass für eine 
beliebige Variation 8' die Gleichungen erfüllt sind: 

^'^\^' ^^^^^^' = ^\^' dd'x^Sx, + ^a, ,. dx^öd'x,, 
1,1 t,i' i,i' 

(^ 2\ c ^\ ^^V = ^\ c d 8'x^ dx, , 

^2\c' dxj'x, = ^a^,, dxjd'x., 
i, i t, i' 

woraus folgt: 

(10) S' ^a^ ^. dx^8x^, — d^a^ ^, d'xjx^. — d ^ct^ ^, dx^d'x^, = 0, 

i, i' i, i' i, i 

und wenn man d == d setzt: 



(11) 



ö' ^ a^^: dx^ dx^. — 2d ^ a^^. dx^ 8'x^, = 

t, C i, t' 



Die Bedingungen (9), (10), (11) sind für beliebige Variable x^ nach demselben 
Gesetz gebildet. 

Aus (10), (11) folgen noch für die Variationen zweiter Ordnung die Glei- 
chungen : 

i t, i' 

2 2^^., ,dSx,==- ^p,, ,^ , dx^ 8x, 
i t,t' 

2^a,., 88x^ = - ^P,,,,, dxjx, 
i i, i 

woraus man leicht den Ausdruck erhält: 

dd^a^ ^,Sx^8x^, — 2d8 ^a^ ^. dxjx^, -f 88 ^a,,,> dx^dx^. 

i, t' i, i I, i 

= ^ (tt', ^"^"') {dx^Sx^. — 8x^dx^,) {dx^,, 8x^n, — 8x^ndx^,.,)^ 
1 1', i" t'" 
wenn das Summenzeichen ebenso verstanden wird wie oben, und (ii, i" i") die- 
selbe Bedeutung hat, wie im Riemann'schen Text. 

Aus diesem Ausdruck erhalten wir nun das Krümmungsmaass unseres all- 
gemeinen Raumes. Es seien nemlich 



ds =y 2J^a^^^. dx^dx^, , Ss = 1/2;«,^^' ^OJ^^rc^. 



Anmerkungen. 389 

zwei Liuienelemeutc in demselben , und 



008-9- 



dsds 
der Cosinus des Winkels den sie einschliesyen. 

Der Flächeninhalt des von denselben gebildeten unendlich kleinen Dreiecks 
ist dann 

A = V dsds sin-Ö" 
und es ergiebt sich 

4A^' ^^a,,d,r^cLc.^a,,öxJj'^. - [^ a^,. dx^d x^J' 

, I, i' /. i' i, i' 

^ ^ Ki' ^c",i ^t\i'(^i,i") {d^,Sx^>. — 8x^dx^.<) {dx^.Sx^ dx^.dx^...), 

t i", i i" 

wi^s für das Krümmungsmaass den Ausdruck giebt: 

d d ^ «, . 8 X, S X . 



dd^^k^ • bx^8x. - 'Idd^a^ ^. dx^Öx,. + ^ Ö ^ a^ ^. dx^dx^. 
, t,i' , ■ i,t' t, i' 

^a, ^.dx^dx, ^a,^.Sx^dx, - (^'^ a, , dxj x,y 

i, i t, t' I, i 

Es ist nun noch nachzuweisen, dass dieser Ausdruck mit dem übereinstimmt, 
den Gauss für das Krümmungsmaass einer Fläche aufstellt, wenn wir eine 
Fläche betrachten, welche von solchen kürzesten Linien gebildet wird, in deren 
Anfangs dementen die Variationen der x sich verhalten wie 

ci dXi -j- ß ^^i ' ^ <^^2 + ß ^^2 :•..:« dx^ -\- ß ^.r , , 
wenn a und ß beliebige Grössen bedeuten. 

Wir setzen wie oben x^ = rc^, so dass die c^ in jeder vom Punkt aus- 
laufenden kürzesten Linie constant sind, und r die Länge dieser kürzesten Linie 
bis zu einem unbestimmten Punkt bedeutet. Dann ist, wie oben gezeigt, 

i, l' i, i 

Legen wir nun zwei feste Systeme der Grössen c^ zu Grunde, c^^^ und c- und 
betrachten ein veränderliches System 

(12) c, = «cf + ^-;. ■ 

80 haben wir hiernach: 

«2 4- 2aß co8(/^\ r) -f ß- = 1 
wodurch die Grössen c^ in Functionen einer einzigen Variablen übergehen, für 
welche wir den Winkel g? nehmen können, den das Anfangselement von r mit 
dem Anfangselement von r^^ bildet, und der sich aus dem Ausdruck ergiebt 



390 XXIT, Commentatio mathematica etc. 

Wenn sich mm die Grössen r, c^ um die unendlich kleinen Grössen dr, de 
ändern, welche der Bedingung genügen: 

2'«r.o.rfe, = 0, 

SO ergiebt sich mit Hülfe der Gleichungen (4) 

^ \ i c. ^^.' = 2^ <!' ^. ^^^.' = . 
'. t' t,i' 

Ferner haben wir 

dx^ = r dc^ -\- Cj dr, 
also : ^ 

rfs^ = ^ a^ j. fLr^ <Z.«j. = dr'^ + r=^ ^^ a^^. dc^dc^. = dr^ + r^fid(p^, 

i, i i, i' 

wenn zur Abkürzung 

^ a^ ^dc^dc^, ^ fidcp'' 
i, i 
gesetzt wird. 

Nun haben wir aber: 

cos^ = y^«W.c^c;?), - sintpcZ^) = Va;^).c[ö)6Zc. 



t, t' l, t' 

und aus (12) folgt ein Ausdruck von der Form 

dc^ = acf ^hc^', 

also : 

— %incp dcp = a -\- h cosqp , 

= a cosqp 4" ^• 

Hieraus durch Elimination von a und h: 

sinqp dc^ = cZqp (c^ cosqp — cJ^M • 

Daraus folgt weiter 



J(p2 = ^a;o),(Zc,^c 



und mithin 






^a^^^'dcjc^. 



i, t 

Bezeichnen wir diesen Ausdruck durch —-, so erhalten wir die Form, welche 
Gauss dem Linienelement auf einer beliebigen Fläche gegeben hat, nämlich: 

ds^^ == dr^ 4" in^dcp'^ 

(Disquisitiones generales circa suiDerficies curvas art. 19) und für das Krümmungs- 

maass ergiebt sich 

1 d'^m 

m 01 



Anmerkungen. 391 

Ist nun die Oberfläche im Punkt r == stetig gekrümmt^ so i«t in diesem 
Punkt 

dm c^m 

'" = "' w^'' a77 = »' 

und daher in diesem Punkt 

Für die Function ^i ergiebt sich hieraus für denselben Punkt 

Die beiden ersten dieser Gleichungen sind in Folge von (13), (5) befriedigt; 
aus der dritten ergiebt sich 

Vi. 



2„(^^^o''''^''''^''^ 



k = - ii 



^a^^\dc.dc. 



t, ' 



was mit dem oben gefundenen Ausdruck übereinstimmt. 

2) (Zu Seite 383). Die vollständige Verification der hier aufgestellten Schluss- 
resultate scheint noch verwickelte Rechnungen zu erfordern, die ich aus den 
sehr unvollständigen vorhandenen Bruchstücken nur zum Theil herstellen konnte. 
Was sich daraus entziffern Hess, theile ich hier mit in der Hoffnung, dass es 
bei einem erneuten Versuch, die Resultate vollständig herzuleiten, als Grund- 
lage dienen könne. 

Wir beantworten zunächst die Frage, in welchen Fällen die Temperatur 
ausser von der Zeit nur von Einer Veränderlichen abhängt. In diesen Fällen 
hat die Differentialgleichung, nach welcher die Bewegung der Wärme geschieht, 
die Form 
.,, d'^u , T_du du 

Cci^ Cd et 

Wenn nun die Coefficienten «, Jj nicht Functionen der einzigen Variableu 
a sind, so zerfällt diese Differentialgleichung in die beiden folgenden: 
,d'^u.^,du du „c'-u . j„du 

da^ du dt ' Cd' ca 

worin a\ h\ a" , h" nur von cc abhängen. 

Durch Einführung einer neuen Variablen an Stelle von cc lässt sich die 

zweite dieser Gleichungen in die Form ^ ^ = ^ bringen, so dass u die Form 

erhält Ui a -{- u^, wenn Mj , u.^ Functionen der Zeit allein sind. Die erste der 
obigen Gleichungen nimmt dann die Gestalt an 

, .du du 

{ca + Ci) W-- = TTT » 
^ da et 

worin c, q Constanten sind. Daraus folgt nun weiter 

du. d u., 

also hat u die Form ac^^ -\- const. 



392 XXII. Commentatio m'4thematica etc. 

Wenn aber in der Differentialgleichung (1) die Coefficienten «, h schon 
Functionen von a allein sind, so können wir unbeschadet der Allgemeinheit 
6=0 annehmen (durch Einführung einer neuen Variablen für a), und da die 
Differentialgleichung (1) durch Transformation aus der Gleichung 

c^u c^u , d^u f u 

dV^ "^ Fp "^ Fz'' ~~ dt 

hervorgegangen sein muss, so kommt unsere Aufgabe auf die folgende zurück: 
Es sollen alle Functionen cc der Coordinaten x, y, z gefunden werden, die 
den beiden Differentialgleichungen . 

^ = ä^^ + ä? + ä^ = '' ^ = te) +W +lä7; =^^") 

zugleich genügen. 

Wir setzen zur Abkürzung: 

Cd da c cc .>..>. 9 

c X -^ ' oy -^^ dz >/ i-ii 

und haben nun vier Fälle zu unterscheiden: 

1. Wenn p, q, r von einander unabhängige Functionen der Coordinaten 
ic , 2/ , ^ sind , so ist a eine Function von m , cp (m) , und wir können p, q, r als 



Ul 


labhängige 


Variable 


an 


Stelle von 


X, y, z 


• einführen. Setzen 


wir 


so 


s = 
> folgt: 


= K — px 

X = 


— 


qy — rz, 

ds 

Tp' y = 


ds = 

CS 


— xdp 

z = — 


— y d^. — ^ 

ds 
dr' 


■dr, 






a = 


s - 


ds 
-^dp- 


CS 


,cs _ 
dr~ 


cp{m). 





Setzt man 

s = ip{m) + i 

und bestimmt die Function ip{m) aus der Differentialgleichung 

tp{m) — 2mip'{ni} = qp(m), 

so ergiebt sich für t die partielle Differentialgleichung erster Ordnung 

dt dt dt 

t — p ^ q- r-^ = 0, 

cp cq er 

deren allgemeine Lösung ist: 

wenn % eine willkürliche Function bedeutet und zur Abkürzung 



gesetzt wird. 

Wir haben also 



"^ p ' P 



ds 
X ^j- = 2pip'{m) + X- ßx'iß) — YX (y) 



(2) - 2/ = 1^ = 2q^'{m) + xiß) 

eq 

' ds 
— z = j^ = 'ir^'im) -\- x{y) 



Anmerkungen. 393 

Nun folgt aus der Gleichung 

dx * dy ^ dz 
durch Einführung von j), Q, ^ als unabhängige Variable 

^^ _^^^ xdz_dx_ d^dz_ .d_x cy dy dx 
dq dr dq dr * dr dp~^ dr dp dp rq~ cp Wq"^ * 
oder durch Substitution von (2) 

VI ( 12 t/;' {mY + 16 w i/;' {in) 7p" (?w)) 



und da vi, ß, y von einander unabhängige Variable sind, so spaltet sich diese 
Gleichung in die drei folgenden: 

^^ dß'^'ry'^ [dßdy) {i-fß^-^y^' 

(4) (^^4-l)e;^ + 2|5y||^+(y^ + l)J^=^,^^ 

(5) in (l2i/)' (w)^ + 16 m ip'im) i/;"(»0) + ^'i "/»^(^t/j'Cw) + Am7p"(m)) -f Z; = , 

worin k, l\ unbestimmte Constanten bedeuten. Führt man an Stelle der 
Function x eine neue Function Xi ein durch die Gleichung 



so gehen die Gleichungen (3), (4) in folgende über: 



(6) 



dß^ dy'' \dßdy/ (i -^ ß'^ -\- y-^f ^ 

(T) iß'^ + ^) 1^ + ^^^5f^ + (y^ + ^) ^ = '- 

Diese Gleichungen können aber nur dann zusammen bestehen, wenn Xi eine 

lineare Function von ß, y, und folglich Ä:' = ist; denn betrachten wir 

^^ P a^ ^ay' dß' dy 
als rechtwinklige Coordinaten, so ist (6) die Differentialgleichung einer Fläche 
mit constantem Krümmungsmass, (7) die einer Mininialfläche, zwei Eigen- 
schaften , die bekanntlich nur bei der Ebene zusammentreffen. 

Hieraus ergiebt sich, wenn «, ö, c Constanten bedeuten, für x ein Ausdruck 
von der Form : 

X = a-^bß-\- cy -\. \ k, yr+ß^~rfy 
und die Gleichungen (2) gehen in folgende über: 

^A-, 4- 2ymip'{m) 



X -{- a = — 
y + h = - 



Vl + ß' + Y' 



394 XXII. Commentatio mathematica etc. 

- (u-, +2j/wV(»0)y 

Vi + ß' + y' 

{X + ay + (!/ 4- by + (^ + cy = (i-/.-, + 2>^7/,'(m))% 

woraus folgt , dass die Flächen a = const. oder vi = const. concentrischc 
Kugeln sind. 

2. Wenn zwischen den Variablen p, q, r eine von den Coordinaten x^ y, z 
freie Gleichung besteht, so kann r als Function von p, q angesehen werden, 
und wir haben 

clr = a dp -{- h dq, 
wenn 

dr dr da db 

~ dp' ~ dq' dq ~ dp 
gesetzt wird. Hieraus folgt: 

dp dp , ,dp dq ^<1 X i^Q ^f dr , ,dr 
cz dx dy dz dx dy dz dx dy 
Wenn nun nicht 

(8) p' -\- q^ -\- r^ = const. 

ist, so wird a von denselben beiden Variableu abhängen wie p, q, r, und 
daraus geht hervor: 

r = aj) -\- bq 
und durch Differentiation: 

da, db ^ da, db 
^ dp dp ^ dq cq 

dadbdadb^^ 

(9) ^- TS ^- ,^ == 0. 

^ ' dp cq dq Op 

Setzen wir nun, wie vorhin, auch in dem Fall, wo die Gleichung (8) be- 
steht, 

s = (X — xp) — yq — zr , 

ds = — xdp — y dq — z dr = — (^ + az) dp — {y -\- bz) dq , 
so folgt, dass auch s nur von p, q abhängt, und es ergiebt sich 

(10) ^^ = -(x + az), || = -(;, + i.). 

Führt man nun in der Gleichung 

dp di dr_^ 

dx dy dz 
p, q, z als unabhängige Variable ein, so folgt 

dp dq \dq dz dq dz) \dp dz dp dz/ ' 

und daraus mit Hülfe von (10) 

' idi^' + ^^ - ''^Kd-^^ Fi) + d^^' + ''^ 

+ l^o (1 + b') - 2 ab Ä- + 1^2 (1 + et') = 0. 
' dp^ cpcq dq^ 

Da nun a, 6, 8 von z unabhängig sind, so zerfällt diese Gleichung in die bei- 
den folgenden: 



Anmerkungen. 395 

(12) I« (j + 6^) _ ah (^ " + I*) + Ii (1 + «■') = 0. 

^ ' dp \rq cp/ oq 

Betrachten wir nun p^ q, r als rechtwinklige Coordinaten, so ist (12) die 
Differentialgleichung einer Minimalfläche, welche nach (8) oder (9) zugleich 
eine Kugel oder eine in die Ebene abwickelbare Fläche sein müsste. Dies 
kann nur vereinigt sein, wenn die Fläche eine Ebene ist, und daher a, b Con- 
stanten sind, die man bei passender Bestimmung der Richtung der 2-Axe 
gleich Null annehmen kann. Demnach ergiebt sich aus (11) 

('«) S + l^ = «' 

und ferner wie im ersten Fall 

m = p'^ -f q'\ r = 0, 

- ^ = 1^ = ^'{m)2p + xiß) - ßziß). 

ds 

— 2/ = ^ == '/''O'O 2^i -h X(ß) , 

wenn ß == — gesetzt wird. 

Aus (13) folgt daher 

_ s 

ym(4rip'{m) + 4mV'(wO) + (1 + ß')' x" iß) == 0, 

eine Gleichung, die in die beiden folgenden zerfällt: 

)/m ^4 if)' (tu) -j- 4 m xp" {m)j = k , 

X'iß) = ^ 



Vi + ß^' 

worin /.; constant ist. Die Integration dieser letzteren Gleichung ergiebt, wenn 
a, b willkürliche Constanten sind. 



^(ß) = kYi + ß' + ci-\-bß. 

Demnach haben wir 

2 ip' (m) Ym -f- k 



X -\- a = 
!/ + ?> = 



yi-\-ß' 

(2ip\7n)ym -j- k)ß 



Vi-\-ß' 

(x + ay + (?/ + ^y = (2 V ("0 V"^ 4- ^•)'' 

Die isothermen Flächen sind daher in diesem Fall Cylinder mit kreisförmigem 
Querschnitt und gemeinschaftlicher Axe. 

Der dritte Fall, in dem p, q, r Functionen einer und derselben Variablen 
sind, kann nicht vorkommen. Ist nemlich 

so folgt aus den Gleichungen 



396 ■ XXII. Commentatio mathematica etc. 

dg dr ,dr* dp dp di\ 

dz dy dx~ dz^ dy ~ dx' 

und die Gleichung A == liefert 

was sich offenbar widerspricht. 

Es bleibt also nur der vierte Fall, in dem p, g, r constant sind, und daher 
die Schaar der isothermen Flächen aus parallelen Ebenen besteht. 



Von der allgemeineren Frage, wann die Temperatur ausser von der Zeit 
nur von zwei Variablen abhängig ist, lässt sich der erste Fall, der im Text 
durch m = 1 charakterisirt ist, in folgender Weise beantworten. 

Wir haben in diesem Fall die quadratische Form 



\a\ b', c'/ 



in der a, b' lineare Functionen von y sind, während c von y unabhängig ist. 
Ferner ist die Determinante 



, c', ?>' I 

c' , , a\=2ab'c — c c c 

b' , a, c \ 

constant. Die adjungirte Form zu dieser ist 

— {ada -f b'dß — cdyY + 2{2ab' — cc)dadß , 
in der 2 ab' — cc von y unabhängig ist. 

Nun können wir durch Einführung einer neuen Variablen an Stelle von y, 
welche eine lineare Function von y ist, diese Form in die einfachere trans- 
formiren: 

(ada -\- cdyY -j- 2mdadß, 

in der a eine lineare Function von y, c und m von y unabhängig sind. Es 
sind nun die Fälle aufzufinden, in welchen diese Form in eine andere mit con- 
stanten Coefficienten, oder speciell in die Form dx''^ -\- dy^ -f- dz^^ transformir- 
bar ist. 

Zu dem Ende bilden wir die Gleichungen (tt', i" l") = (S. 381), welche 
in diesem Fall die Gestalt annehmen: 

(2.2) ,nc {Z\ - J^) + (^ _ |i) (o 1^ + .„ 1?) = , 

^ ' ^ \ca^ ccccy/ \dy da/ \ da cyl 

/„ ov ^ /^'"^«^ « c-m \ . ^ dm (dm d a\ m /dacV ^ 

(3.3) 2mc ( 2 ^^) + 4C^ (g^ - «gjj - - (^) = , 



Anmerkungen, 397 

/ d*a^ d^ac\ . ^ de / de da , d a\ 

(2,3) +2e(c--«^)(^-«^)-2m^^ 

/o ^v o a^ac ^ dae dm ^ de dae 

(3. 1) 2,»c ^^ - 2e -^ -g-- - 2» ^ ^ = , 

(1.2) 2,„ (20 g^-^ - .gp- J + [c 3p - «gp) = 0. 

Aus (1,2) folgt, dass c -p-^ — " öö^ » ^^^^ auch -^-^ von y unabhängig ist; setzt 

man daher a = «j + yao, so folgt dass a^ von der Form ist c /"(«), und /"(a) 
von ß unabhängig. 
Wir haben daher 

{ada + edy)' + 2)ndadß = (a^ da -\- c {f{a)da-\- dy)y + 2mdadß; 

führt man also statt y eine neue Variable y -|- j f{a)da ein, so geht die 
quadratische Form in eine andere von derselben Gestalt über, in der nur a 
von y unabhängig ist. Bei dieser Annahme erhält die Gleichung (2,2) die 
Form 

d^^ e de dm 







"'da' 


da Ca 




US in Verbindung 


mit 


(1,1) hervorgeht: 




aiog 

da 


de 

da 

— = 


d logw 

= 7{ 

Ca 


' ^ß ^ 


log m 

^Tß-' 


daraus 






. ' 






ce 

c a 


= mcp(ß) 


cc , , 





Es sind nun drei Fälle zu unterscheiden. 

1) wenn cp{ß) = tp{a) = ist, so ist c = const. und aus (1,2) folgt 

^^— ' = 0. Führt man also an Stelle von y eine neue Variable cy -f- fada 
C ß ^ 

ein, so erreicht man, dass in der quadratischen Form a = 0, c = 1 wird, und 
aus (3,3) folgt dann 

^ = 0, 2. = .«.)*(,). 

Führt man daher an Stelle von a, |3 die Variablen J;f(a) fZa, J%{ß)dß ein, 
so erhält man die quadratische Form 

dy2 -\- dadß, 
welche durch die Substitution a = x -\- iy , ß = x — iy , y = z übergeht in 

dx' + dy^ 4- dz'. 
Die isothermen Curven a = const., ß = const. sind also in diesem Fall parallele 
gerade Linien. 



398 XXII. Commentatio mathematica etc. 

2) Wenn (p{ß) == 0, tp{cc) nicht = ist, so ist c von a unabhängig, und 

aus (1,2) folgt, dass — - von ß unabhängig ist. Auf ähnliche Weise, wie oben 

erreicht man nun^ dass a verschwindet, und ferner ergiebt sich 

1 de 

^ dß~ '"' 
wodurch die Gleichungen (1,1) . . . (1,2) sämmtlich befriedigt sind. Führt mau 

I — 7-r , c als neue Variable an Stelle von a, ß ein, so erhält man die quadrati- 
J ip{ci) y r 1 

sehe Form ß-dy- -\- daclß, welche in dx^ -j- diß -\- dz^ übergeht durch die 
Substitution 

X + iy = ß, X — iy = a — ßf, z = ßy. 

Hieraus kann man aber mittelst der Gleichungen a ■-= const., ß = const. keine 
reellen Curven erhalten. Der Fall ^/^(o;) = 0, (p{ß) nicht = ist von diesen 
nicht wesentlich verschieden. 

3) Wenn weder ip{cc) noch (p{ß) verschwindet, so führe man für a, ß die 

dj^ 

iß) 



neuen Variablen / —r-z^ I — tt;^ ein, wodurch man erreicht, dass 



cc cc cc cc 

ida c ß ca c ß 



also c = f{u -\- ß) , m == /'(a -j- ß) wird. 
Nun folgt aus (1,3) 

Ol cac 



dß dlogcm 



dß dß ' 

und daraus durch Integration 

ac = f^(p{cc) -j- tp{a) 
durch Einführung der Variabein y -{- l cp{oc) da statt y erreicht man dass 

qp(a) = und mithin ac = i/;(a) wird. Dann folgt aus (1,2): 

Pf" 

I^ = _ ^(«)2. 

Da nun die eine Seite dieser Gleichung nur von a, die andere nur von 
a -\- ß abhängt, so muss jede derselben einer Constanten /<;- gleich sein, woraus 
sich für die Function f die Differentialgleichung zweiter Ordnung ergiebt: 

wonach die Gleichungen (1 , 1) . . (1 , 2) alle befriedigt sind. Die einmalige Inte- 
gration dieser Gleichung ergiebt, wenn /^ eine neue Constante bedeutet: 

Setzen wir nun a = x -[- iy , ß = x — iy , und führen für y eine neue 
Variable y — ik j ^2 ^^^^ ^^ erhalten wir 

{cdy -i- aday -{- 2mdcidß== [f dy + j dyf + '^f'idx' -f dy-) 
= f'dy'' + Udydy + 2f' dx' + l^\dy\ 



Anmerkungen. 399 

Setzen wir ferner 

woraus folgt 

I = ~ v^r-k\ r = /••? ^' + ~ . 

so gellt unsere quadratische Form über in 

(y cly + k, dy)' + /■•? a^cZy'-' + tZ|^ 
Beziehen wir dieselbe auf Polarcoordinaten , indem wir setzen: 

4 = r, 1;y = fp, /.:, ?/ + j' y = .- , 
so nimmt sie die Form an: 

Die Curven a = const., ß = const. werden daher 

r = const. , — -ry qp = const. 
worin k auch = sein kann. 

In dem Specialfall A-, = erhalten wir 4 = -j- und die quadratische Form 

wird 

- 2ki^dy' -\- 2kdydy + dk\ 

oder indem wir an Stelle von ^, - — , Y — 2kiY wieder a, |3, y schreiben : 

y — 2ki 

ady' -f dßdy + rfa^^ 

welche in die Form dx- + f??/^ + ^^^ übergeht durch die Substitution 

X -\- iy = ß -\- ay — -^y% 

X ~ iy = y , 

Z ^ Ci — |y2; 

aber den hieraus sich ergebenden Gleichungen 

z -\- {{x ~ iyY = a = const., 
(.r + 'iy) — o^i^ — iy) -f tV (^ — iy)^ = 1^ = const. 
entsprechen keine reellen Curven 

In den übrigen Fällen ist es mir nicht gelungen die Rechnung vollständig 
durchzuführen. W. 



XXIII. 

SuUo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche 
in frazione continua infinita.*) 

I. 

Avendo una frazione continua infinita della forma 



« + 



1 + 



1 + 



che per valori di x abbastanza piccoli converge e rappressenta la fun- 
zione fix), si vede facilmente, cbe la ridotta m^^"^^ e uguale al quo- 
ziente — di due funzioni intere ^^^ e g,n, i cui gradi sono ambedue 

n, se m = 2n -\- 1, e n e n — 1, se m = 2n. La diiferenza tra la 
ridotta e la funzione f(x'^, se x e infinitesimo, e infinitesima dell' ordine 
jj-^esimo^ Ma affinche questo avvenga, debbono essere sodisfatte tante 
condizioni, quante sono le quantitä ajbitrarie contenute nella funzione 
fratta uguale alla ridotta. 

Dunque la ridotta m^«"»* puö determinarsi mediante la condizione 
di coincidere nei primi m termini dello svolgimento secondo le potenze 
di X colla funzione da svolgere e mediante i gradi del numeratore e 
del denominatore, che sono per m = 2n -\- 1 ambedue n q n q n — 1 
per m = 2n, 

IT. 

Questo modo di determinare la ridotta conduce immediatamente 
alF espressione della ridotta, quando si tratta di svolgere il quoziente 
delle Serie ipergeometriche 



*) Die Bearbeitung dieses Fragments, dessen Entstehung in den October 1863 
fällt, rührt von H. A. Schwarz in Göttingen her. 



XXIII. SuUo svolgimento del quoziente di due serie etc. 401 

ove si faccia uso delle praprieta caratteristiche esposte nella memoria 
[Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F{ay ß^y^x) 
darstellbaren Functionen]. 

Infatti, poiche per x infinitesimo 77 — ^^ divieni infinitesimo 

dellordine m e Qq,,, delFordine a, Tespressione q,nP — 2),nQ diviene 
infinitesima deirordine m -\- a^ e si dimostra facilmente, che questa 
espressione ha tutte le proprietä caratteristiche di una funzione 
sviluppabile in serie ipergeometrica in modo che si abbia 

q2n+lP—p2n+lQ 

\«— 1 ß —n y J \a —n—1 ß y ) ^ 

\a — n ß — n y ) 

dove Tny Qn denotano ciö che divengono P, Q, quando si mutano 
a, a in a -{- n, a — n. Ora, se facciamo variare continuamente x e 
le funzioni di x, in modo che l'indice del valore complesso x percorra 
un giro intorno l'indice di 1, q,ny Pm riprendono gli stessi valori, mentre 
P, Q, Pn, Qu si convertono in altri rami di queste funzioni. 

Dunque: se designiamo con P', Q', Pn, Q'n altri rami corrispon- 
denti di queste funzioni, abbiamo anche 

, . q.2n+lP' —p2n-{-lQ' = X''Pn^l 

^^ q2nP'-p2nQ' = ^« ft. 

Dalle equazioni (1) e (2) s^ottiene: 

«2«+l QK+1-Q'KW ^2n QQn-Q'Qn' 

Dunque, per trovare per quali valori di x, -— e ^""^^ convergano 

verso* -^ , basta ricercare quando -jPr e -j7~ ^^^ crescere indefinito di 
X convergano verso zero. 

[IILJ 

A questo scopo conviene introdurre Tespressioni di P„ e Qn per 
integrali definiti. Ponendo 

[ — a — ß' — y = a 

— d — ß — y = h 

— a —ß' — y =c\ 
puö esprimersi 

Kikmann's gesammclto raatheniatischc Werke. I. 2G 



402 XXIII. Sullo svolgimento del quoziente di due serie 

1 

Pn per ra-« + '» (1 —oc)y rs" + " (1 — s)^ + « (1 — asy-'^ds'] 





1 

<3« per nr« + « (1 — o;)!' /'s« + i + «(l — 5)^ + «(l — rr5)'^-«6?sl. 



Per avere il valore generale delle funzioni P,^, Qn bisognerebbe 
moltiplicare gli integrali per fattori costanti, ma possiamo sostituire 
nelle equazioni (1) gli integrali comprendendo i fattori costanti nelle 
funzioni intere j^m, dm- Quanto ai valori delle funzioni sotto il segno 
integrale, e indifferente qualunque valore si prenda, purche si pren- 
dano per s% (1 — 5)^, (1 — xsy gli stessi valori in ogni integrale. 

[Nun bleiben die Ausdrücke für —^ auch unverändert, wenn für 

J-vi 

P', Q\ Fn, Qn dieselben linearen Verbindungen dieser Grössen und der 
Grössen P, Q, P,„ §« : ÄP+ BP', ÄQ + BQ\ ÄPn+BP;, ÄQ,+ BQ'n, 
gesetzt vs^erden, wo A und B i^wei Constanten bezeichnen, von wel- 
chen B nicht gleich Null ist. Solche correspondirende Functionen er- 
geben sich, wenn die obigen Integrale anstatt von bis 1 von irgend 

einem der vier Werthe 0, 1, 7 , 00 zu irgend einem dieser vier Werthe 

und zwar alle auf demselben Wege erstreckt werden.] 

Dunque si possono prendere per Pn, Q'n gli stessi integrali estesi 

da uno ad uno intorno di — . 

X 

Gli integrali [durch welche der letzten Annahme zufolge P„, Qn, 
Pn, Q'n ausgedrückt sind, ändern bei einer continuirlichen Variation 
des Weges der Integration zwischen den angegeben Grenzen ihren 
Werth nicht] purche il cammino d'integrazione non oltrepassi Tindice 

di — , e possiamo disporre del cammino deir integrazione in modo 

che si possa piü facilmente trovare il limite verso il quäle converge il 
valore delF integrale col crescere di n. 

* . s(l — s) 

A questo scopo -7 7 ' ' ' 

■'■ 1 — xs 

[Hier bricht der Text ab. Es lassen sich aber aus einigen Hand- 
zeichnungen und Formeln die Schlüsse, deren Riemann sich bedient 
hat, etwa in folgender Weise herstellen. 
Man setze:] 

1 — X8 

[und betrachte in der Ebene der complexen Grösse s die Curven, 
längs denen der Modul von e-^^'^ einen constanten Werth hat. Für 



ipergeometriche in frazione continua infinita. 403 

sehr kleine Werthe dieses Moduls umgeben diese Curven die Punkte 
und 1 nahezu wie concentrische Kreise mit kleinen Radien. Für sehr 

grosse Werthe des Moduls umgeben diese Curven den Punkt s = — 

und den Punkt s = <X). In beiden Fällen bestehen die Curven also 
aus zwei getrennten Theilen. Lässt man den Modul von kleinen 
Werthen an wachsen, so werden die getrennten Theile, welche die 
Punkte und 1 umgeben und demselben Werthe des Moduls ent- 
sprechen, einander immer näher rücken, bis sie nur eine Curve bil- 
den, welche einen Doppelpunkt hat. Für diesen Doppelpunkt muss 
l"(s) gleich Null sein. Eine ähnliche Betrachtung findet statt, wenn 
man den erwähnten Modul von sehr grossen Werthen an abnehmen 
lässt. 

Es ergeben sich folgende Gleichungen:] 

f(s) - log(l - s) - log(| - x) , 

' ^^^ ~i — S ' 1 _ _ SS s(l — s) (1 — xs) ' 

s 
[Für f\s) = ist also] 

1 — 25 + ^6-- = 0, s{l — xs) = l — s, l — 2s + s'^ = {l — x)s'^ = {l — sy 

- — 1 = yi-^ = 1 — xs 

s ' 

1 — s 



1 — xs 



[Es werde nun mit yl — x derjenige Werth der Quadratwurzel be- 
zeichnet, dessen reeller Bestandtheil positiv ist, wobei der Fall, dass 
X reell und > 1 ist, von der Betrachtung ausgeschlossen wird. Femer 
mögen (7, (?' die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung 

l-~2s + xs" = 0, 

1 , *l 

a = ,-, 7 6 = 



1 4- yi — X 1 — y 1 — X 

bezeichnen, so dass der Modul von a kleiner ist als der Modul 



von ö . 

Dann ist 



>fio) 



ö' = ( — y — y , c/(«') = (?'- = ( — j. — V . 

\i + yi-xj ^ \i-yi-xj 



Man denke sich nun den Punkt s = mit dem Punkte 5 = 1 so 
durch eine Linie verbunden, dass dieselbe den Punkt s = a enthält 
und dass bei dem Fortschreiten auf dieser Linie der Modul von e^^'^ 
II uf dem Wege von s = bis s = a beständig im Zunehmen, auf dem 



404 



XXIII. SuUo svolgimento del quoziente di due serie 



Wege von s = a bis 5=1 aber beständig im Abnehmen begriffen ist. 
Eine solche Linie kann als Integrationsweg für die von s = bis 
s = 1 zu erstreckenden Integrale dienen, durch welche die Functionen 
Pny Qn ausgedrückt werden. 

Für diejenigen Integrale hingegen, welche an die Stelle der 
Functionen Fn, Qn gesetzt werden, kann ein Integrationsweg dienen, 
welcher vom Punkte 5=1 zunächst nach dem Punkte s = ö' führt, 
von dort nach dem Punkte s = 1 zurückführt und hierbei den Punkt 

s = — umschliesst. Dieser Integrationsweg kann so gewählt werden, 

dass der Modul von e-^^^^ sein Maximum auf dieser Linie nur im Punkte 
s = a' erreicht. 

In den nachstehenden Figuren, zu denen sich Entwürfe von 
Riemann's Hand vorgefunden haben, sind die Integrationswege durch 
punktirte Linien angedeutet. 





Es handelt sich nun darum, einen Ausdruck zu finden, welche] 
den Werth des Integrals 



/ 



ga + n(^l _ gy-\-n(^l __^gy-nß^g 



für unendlich grosse Werthe von n asymptotisch darstellt. 
Man setze 

s«(i — sY {1 — xsy = (p(s), 



so ist zu berechnen 



/ e«/(*') (p(s) 



ds für n = oo. 



Diejenigen Theile des Integrationsweges, welche nicht in der Nähi 
des singulären Werthes s = a liegen, ergeben zu dem Werthe de 
Integrales einen Beitrag, welcher für unendlich grosse Werthe von o 
nicht allein unendlich klein wird, sondern auch — weil der reelle Be 
standtheil von n (/"(ö) — f(s)) unter den angegebenen Voraussetzungei 
über jedes Mass hinaus wächst — unendlich klein wird im Verhältnis 



ipergeometriche in frazione continua infinita. 405 

zu dem Theile des Integrals, welches sich auf einen in der Nähe des 
Werthes s = ö liegenden Theil des Integrationsweges bezieht. Aus 
diesem Grunde genügt es zur Auffindung eines für lim w = oo gelten- 
den asymptotischen Ausdruckes für das erwähnte Integral, die Sum- 
mation auf einen in der Nähe dea Werthes s = a liegenden Theil des 
Integrationsweges zu beschränken. Man setze daher, mit h eine Grösse 
bezeichnend, deren Modul nur kleine Werthe annehmen soll:] 

s == a -\- h 

nf{s) = nflo) + nf^ h' + n{h') 



V- 



nf ''^ 



2 



'*{P 



e«/W (p (s) ds = e»/^^) 9 ( (^ + -^-j=^====^ \ e""' --j^J^^ 



(. z \ ^^ dz 



2 



[Wird nun der in der Nähe des Punktes s = C liegende Theil des 
Integrationsweges geradlinig angenommen und zwar so, dass der von 
den beiden Tangenten der Curve 

mod ef^"^ = mod e-^^"^ 
im Punkte s = ö gebildete rechte Winkel durch denselben halbirt wird, 
so convergiren für -lim n = oo die Grenzen der auf die Variable z 
sich beziehenden Integration beziehlich gegen die Werthe — oo und 
+ oc, und es ist daher der Beitrag, den die in der Nähe des Werthes 
s = a liegenden Elemente des betrachteten Integrales für sehr grosse 
Werthe von n zu dem Werthe des Integrals ergeben, asymptotisch gleich 



Nun ist 



2 



— OD '2 



2 


1 

T(r- 


-ü) 


1 

ft + c 


9W== 


<ya + & 


(1- 


-X)-' . 



406 XXIII. Sullo svolgimento del quoziente di diie serie etc. 

1 
Es ist demnacli der asymptotische Werth von / e''f^'^q){s)ds gleich 






Durch analoge Schlüsse wird der asymptotische Werth von / e^-^'''^ (p(s)ch 
als 1 



Yn Vi - fl —xj ^ ^ 

gefunden. 

Unter den angegebenen Voraussetzungen ergiebt sich also für den 
Quotienten P^ : P« der asymptotische Werth:] 






[Für alle Werthe von x, mit Ausnahme derjenigen, welche reell und 
grösser als 1 sind, sowie mit Ausnahme des Werthes x = 1, con- 
vergirt daher der Quotient Fn : Fn mit unendlich zunehmendem n gegen 
Null. 

Dasselbe gilt, wenn a in a -|- 1 verwandelt wird, von dem Quo- 
tienten Qn : Q'n. 

Hiermit ist bewiesen, dass die Näherungswerthe des Kettenbruches 
von der in I angegebenen Form^ in welchen der Quotient 

entwickelt werden kann, für alle Werthe von x, welche nicht reell 
und ^ 1 sind, mit wachsendem Index gegen den Werth dieses Quo- 
tienten convergiren.] 



XXIV. 

lieber das Potential eines Ringes. 

Um die Wirkung eines beliebigen Körpers, dessen Theile eine 
Anziehung oder Abstossung umgekehrt proportional dem Quadrate der 
Entfernung ausüben, für jeden Punkt ausserhalb dieses Körpers zu 
bestimmen, hat man bekanntlich eine Function V der rechtwinkligen 
Coordinaten x', y, z dieses Punktes zu suchen, welche den Namen des 
Potentials oder der Potentialfunction der wirkenden Massen führt und 

dV cV dV 
deren Differentialquotienten 0— » ^— , ^ den Componenten der be- 

^ ex cy dz ^ 

schleunigenden Kraft im Punkte x^ y, z gleich oder entgegengesetzt 
sind, je nachdem die Masseneinheit eine gleiche um die Längeneinheit 
entfernte Masse mit der Einheit der Kraft anzieht oder abstösst. Zur 
Bestimmung dieser Function, welche der Bedingung 

S2 Y r,^V r-V 

Cl) ^ + ^ + ^ = 

genügen muss, ist es hinreichend, wenn in jedem Punkte der Ober- 
fläche des Körpers noch eine Bedingung gegeben ist, und es bietet 
sich die Aufgabe liäufig in der Form dar, dass nicht die Vertheilung 
der Massen im Körper, sondern gewisse Bedingungen, denen ihre 
Wirkung in der Oberfläche genügen soll, gegeben sind, z. B. dass V 
einer willkürlich gegebenen Function gleich werden soll, also in jedem 
Punkte der Oberfläche die ihr parallele Componente gegeben ist, oder 
dass in jedem Punkte in Einer gegebenen Richtung die Componente 
einen gegebenen Werth erhalten soll. Das Verfahren um diese Auf- 
gabe zu lösen besteht bekanntlich darin, dass man aus particularen 
Lösungen der Differentialgleichung (1) 

ft, Q,, •••, Q.„ ••• 

einen allgemeinen Ausdruck 

a,Q,+a,Q, + --- + a,.Q„ + ... = R 
mit den willkürlichen Constanten r/j, (^^ . . ., iiny ... zusammensetzt, 
welcher ebenfalls der Differentialgleichung (1) genügt, und dann diese 



408 XXIV. lieber das Potential eines Ringes, 

Constanten so bestimmt/ dass die Grenzbedingungen erfüllt werden. 
Die Ausdrücke R convergiren im Allgemeinen nur für gewisse Werthe 
der Coordinaten x, y, Zj so dass für jeden bestimmten Ausdruck der 
ganze unendliche Raum durch eine Fläche s in zwei Theile zerfällt, in 
deren einem dieser Ausdruck convergirt, während er in dem andern 
allgemein zu reden (d. h. von einzelnen Punkten und Linien abgesehen) 
divergirt. So z. B. wird der Ausdruck 

X/ ^n e ^"^ cos an X cos ßn V 

für eine bestimmte auf der ^-Axe senkrechte Ebene zu convergiren 
aufhören. Führt man statt x, y, s Polarcoordinaten ein und entwickelt 
V nach Potenzen des Radiusvectors, wo dann bekanntlich die Coef- 
ficienten der wten Potenz sich aus den Kugelfunctionen niex Ordnung 
multiplicirt mit willkürlichen Constanten zusammensetzen, so erhält 
man eine Reihe, welche für eine bestimmte Kugelfläche, die den Pol 
zum Mittelpunkt hat, zu convergiren aufhört. Es ist nun beachtens- 
werth, dass einer bestimmten Form der Entwicklung M schon eine 
bestimmte Schaar von Grenzflächen der Convergenz entspricht (im 
ersteren Falle eine Schaar paralleler Ebenen, im zweiten eine Schaar 
concentrischer Kugelflächen), während es von den Werthen der Coef- 
ficienten abhängt, für welche Fläche dieser Schaar die Divergenz 
eintritt. 

OjßFenbar muss nun der Ausdruck li für das ganze Gebiet, wo die 
Function V bestimmt werden soll, convergiren, weil man nur dann 
diesen Ausdruck in die Grenzbedingungen einsetzen kann um die will- 
kürlichen Constanten in ihm zu bestimmen. Andererseits aber lässt 
sich leicht zeigen, dass ein Ausdruck, welcher der Differentialgleichung 
(1) genügt, nur da wo er zu convergiren aufhört, eine willkürlich ge- 
gebene Function darstellen kann. Folglich muss die Form des Aus- 
drucks B so bestimmt werden, dass die Oberfläche des Körpers eine 
der ihm angehörenden Grenzflächen der Convergenz ist. 

Es soll zunächst für einen Ring mit kreisförmigem Querschnitte 
diese Aufgabe gelöst werden, was für manche physikalische Unter- 
suchungen nicht unerwünscht sein dürfte. 

1. 

Legt man die ^-Axe in die Axe des Ringes und den Anfangspunkt 
der Coordinaten in den Mittelpunkt des Ringes, so erhält die Gleichung 
der Ringoberfläche die Form 

. (y?+7' ± ay -f ^2 == c\ 



XXIV. Ueber das Potential eines Ringes. 400 

Ich suche zunächst statt x, y, z solche Variahehl einzuführen, 
(lass eine derselben in der Oberfläche des Ringes einen constanten 
Werth erhält und zugleich die Differentialgleichung (1) eine möglichst 
einfache Form behält. 

Führt man in der {x^ ?/)-Ebe5ie Polarcoordinateu ein, indem man 
X = r COS9 , y = r sinqp 
setzt, SO wird die Differentialgleichung (1) 

fi'^V f]V ?)^V r)^V 

•die Grenzgleichung von (p unabhängig, nemlich 

und 

(,. _ af + ^^ = c\ 

also in der (r, ;s)- Ebene die Grenze durch zwei mit dem Radius c um 

die Punkte ( — a, 0) und (a, 0) beschriebenen Kreise gebildet. 

Ich führe nun statt r und z zwei neue Veränderliche q und il? 

ein, indem ich für r -\- zi eine Function einer complexen Grösse pe'^' 

setze , 

r -\- zi = f{Qe'^') 

und die Grösse ge'^'' als Function von r -\- zi so bestimme, dass ihr 
Modul Q in jedem der beiden Grenzkreise einen constanten Werth er- 
hält und sie ausserhalb der beiden Kreise allenthalben stetig und end- 
lich bleibt. 

Diesen Bedingungen wird genügt, wenn man 

und 



ß = — y = Yaa — cc 
setzt; denn es wird dann 

(«+,-+.0(«+---)=^-^— ^fi^-(« + .)^' 

Diese Grösse wird von 1^' unabhängig, wenn 

und zwar 

= (a + ry->^ = (a + /3)(« + y). 

Ebenso wird die Grösse 

(— a + r + zi) (— a + r — ei) 



410 XXIV. Ueber das Potential eines Ringes. 

von i' unabhängig und zwar 

= (-a + ß)i-a-{-y), 
wenn 

Es entsprechen also den Werthen 



99 = i> 99 = r-^> 

zwei um die Punkte (— a, 0), (a^ 0) mit den Radien 



Via + ß)(a + y), >/(- a + ß) (- a + y) 
beschriebene Kreise. Sollen beide Radien = c werden, so muss 
{a + ß){a + y)-{-a^ß){-a + Y) = Mß + /) = 0, 



also y = — ß, aa — ßß = cc, also ß = Yaa — cc sein. 

2. 

Die Umformung der Differentialgleichung (I) kann dadurch er- 
leichtert werden, dass man V==r''^U setzt, wodurch 

= r" g + (2f. + 1) r/'-i |Lf + j,j,,.,.-2 j;^ 

und ^ so annimmt, dass das zweite Glied wegfällt, also ^ = — 4. 
Die Differentialgleichung (I) wird dann 

Bezeichnet man nun der Kürze wegen die complexen Grössen 
r -\- si durch y und ge^' durch r] und die conjugirten Grössen durch 
1/ und ri' j so erhält man 

y -\- y • 2/ — y 



2 

dU 
cy 
folglich 



~"2 \g,. dzV' dydy' ~'^\dr'' ~^ dz'J 
Xdr^ ' c z~ J ^^ ' ^ J cycy ^ 



ferner 



2 5 



XXIV. UcLcr das Potential eiues llinges. 411 



oder (da tjt] = q\ logt? = log() + ti, log V == log() — ^/) 
Die partielle DifFerentialgleichung wird also 

_ _1_ \ 2 
9 



2 






3. 

Es ist jetzt leicht, U in eine Reihe von particuliiren Integralen 
dieser Differentialgleichung zu entwickeln, welche gleichzeitig für alle 
Werthe von g) und 4* convergirt oder divergirt. Zu dem Ende hat 
man nur diesen particuliiren Integralen die Form zu gehen 

COS^^, ; COS 

• mit • n w , 
sin ^ sin ^ ' 

multiplicirt in eine Function P von q^ welche der Differentialgleichung 

genügt. Die Bestimmung der willkürlichen Constanten ergiebt sich 
dann durch die Fourier'sche Reihe. 
Setzt man * 



so wird 



dP ^ dP ^__Q 
d log Q dt 2 



d^P I ^ + 9 I d'^P ^ 



. + -^VT=itt+X)^ + t 



dlogQ' \ 2 / dV ' 2 dt ^ ^ ^ df' ^ dt 

und die Differentialgleichung (11) geht über in 

U {fl + 1) -^^' 4- ^3 il' _ (,,^^^^ff. _j_ ^^,, ^_ |)p_ 0. 

Diese Differentialgleichung enthält nur Glieder von zwei ver- 
schiedenen Dimensionen in Bezug auf t und lUsst sich folglich nach 
dem seit Euler bekannten Verfahren durch hypergeometriscli ■ li' ili« n 
integriren. Die Lösung lässt sich auf sehr mannigfaltige Art durch 
andere hypergeometrische Reihen ausdrücken, nemlich durch solche, 
deren viertes Element den Werth oder den reciprokeu Werth folgender 



412 XXIV. Ueber das Potential eines Ringes. 



neun Grössen liat^ 








-('-•)'. 


('"•)'(;;-::)■=-<-■ 


QQ, 1 - 


1 


V 2 J' 


99' 




(^ - A' (1 - qY (1 4- qY 








V + 9/ 49 ^ 49 ^ 





und zwar giebt es nach jeder dieser achtzehn Grössen vier verschie- 
dene Entwicklungen, welche der Differentialgleichung genügen, von 
denen indess je zwei dieselbe particulare Lösung darstellen. Im All- 
gemeinen wird man nach der kleinsten dieser Grössen entwickeln. 
Entwickelt man nach einer solchen, welche für ^ == 1 verschwindet, 
so zeigt sich, dass von den beiden particulären Lösungen die eine für 
^ = 1 unendlich wird. Da V endlich bleiben soll, so muss in dem 
Werth von P der Coefficient dieser particulären Lösung verschwinden 
und F der für (> = 1 endlich bleibenden proportional sein. Von den 
verschiedenen Ausdrücken derselben will ich Einen anzuführen micli 
begnügen und durch ]?^'^ bezeichnen, nemlich 

p«,m_(i _ ^p)'^ + ^2^±^'^J^(n4:m-f|, n + \, 2n + 1, 1 - qq). 

Da sich in den Werth en der P"'^ die ersten drei Elemente der hyper- 
geometrischen Reihen nur durch ganze Zahlen unterscheiden, so lassen 
sich alle P«'"^ linear in zwei derselben P^'^, P^^^ ausdrücken (Comm. 
Gott. rec. Vol. 11*)), welche ganze elliptische Integrale erster und 
zweiter Gattung sind**) und vielleicht arg bequemsten nach dem Princip 
des arithmetisch-geometrischen Mittels, d. h. durch wiederholte Trans- 
formationen zweiter Ordnung, gefunden werden. 



*) Gauss' Werke Bd. 111. S. 131. W. 

**) Sämmtliche Pn,m lassen sich durch ganze elliptische Integrale im weitern 
Sinne ausdrücken. 



XXV. 

Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem 
Querschnitt und parallelen Axen.*) 

Das Problem, die Vertheilung der statischen Electricität oder der 
Temperatur im stationären Zustand in unendlichen cylindrischen Leitern 
mit parallelen Erzeugenden zu bestimmen, vorausgesetzt dass im ersteren 
Fall die vertheilenden Kräfte, im letzteren die Temperaturen der Ober- 
flächen constant sind längs geraden Linien, die zu den Erzeugenden 
parallel sind, ist gelöst, sobald eine Lösung der folgenden mathe- 
matischen Aufgabe gefunden ist: 

In einer ebenen, zusammenhängenden, einfach ausgebreiteten, aber 
von beliebigen Curven begrenzten Fläche >S' eine Function u der recht- 
winkligen Coordinaten x^ y so zu bestimmen, dass sie im Innern der 
Fläche S der Differentialgleichung genügt: 

und an den Grenzen beliebige vorgeschriebene Werthe annimmt. 

Diese Aufgabe lässt sich zunächst auf eine einfachere zurück- 
führen : 

Man bestimme eine Function t, = i, -\- 7]i des complexen Argu- 
ments z = X -\- yi, welche an sämmtlichen Grenzcurven von S nur reell 
ist, in je einem Punkt einer jeden dieser Grenzcurven unendlich von 
der ersten Ordnung wird, übrigens aber in der ganzen Fläche S end- 
lich und stetig bleibt. Es lässt sich von dieser Function leicht zeigen, 
dass sie jeden beliebigen reellen Werth auf jeder der Grenzcurven ein 
und nur einmal annimmt, und dass sie im Innern der Fläche S jeden 
complexen Werth mit positiv imaginärem Theil wmal annimmt, wenn 
n die Anzahl der Grenzcurven von S ist, vorausgesetzt dass bei einem 
positiven Umgang um eine der Grenzcurven ^ von — oo bis + cx) geht. 
Durch diese Function erhält man auf der obern Hälfte der Ebene, 
welche die complexe Variable ^ repräsentirt, eine nfach ausgebreitete 



*) Von dieser und den folgenden Abhandlungen liegen ausgeführte Manuscripte 
von Riemann nicht vor. Sie sind aus Blättern zusarameDgestellt, welche ausser 
wenigen Andeutungen nur Formeln enthalten. W. 



414 XXV. Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern 

Fläche Tj welche ein cönformes Abbild der Fläche S liefert, und 
welche durch die Linien begrenzt ist, die in den n Blättern mit der 
reellen Axe zusammenfallen. Da die Flächen S und T gleich vielfach 
zusammenhängend sein müssen, nemlich w-fach, so hat T in seinem 
Innern 2n — 2 einfache Verzweigungspunkte, (vgh Theorie der AbeT- 
schen Functionen, Art. 7. S. lOG) und unsere Aufgabe ist zurückgeführt 
auf die folgende: 

Eine wie T verzweigte Function des complexen Arguments t, zu 
finden, deren reeller Theil u im Innern von T stetig ist und an den 
n Begrenzungslinien beliebige vorgeschriebene Werthe hat. 

Kennt man nun eine wie T verzweigte Function lo =li -\- ig von 
t,j welche in einem beliebigen Punkt a im Innern von T logarithmisch 
unendlich ist, deren imaginärer Theil ig ausser in £ in T stetig ist 
und an der Grenze von T verschwindet, so hat man nach dem Green'- 
schen Satze: (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen 
einer veränderlichen complexen Grösse Art. 10. S. 18. f.) 



2 7t J CT} 



dl 



wo die Integration über die n Begrenzungslinien von T erstreckt ist. 

Die Function g aber lässt sich auf folgende Art bestimmen. Man 
setze die Fläche T über die ganze Ebene ^ fort, indem man auf der 
unteren Hälfte (wo 5 einen negativ imaginären Theil besitzt) das 
Spiegelbild der oberen Hälfte hinzufügt. Dadurch erhält man eine die 
ganze Ebene J wfach bedeckende Fläche, welche An — 4 einfache Ver- 
zweigungspunkte besitzt und welche sonach zu einer Klasse algebraischer 
Functionen gehört, für welche die Zahl p = n — 1 ist. (Theorie der 
AbeFschen Functionen Art. 7. und 12. S. 106, 112.) 

Die Function ig ist nun der imaginäre Theil eines Integrals dritter 
Gattung, dessen ünstetigkeitspunkte in dem Punkt e und in dem dazu 
conjugirten f' liegen, und dessen Periodicitätsmoduln sämmtlich reell 
sind. Eine solche Function .ist bis auf eine additive Constante völHg 
bestimmt und unsere Aufgabe ist somit gelöst, sobald es gelungen ist, 
die Function g von zu finden. 

Wir werden diese letztere Aufgabe unter der Voraussetzung weiter 
behandeln, dass die Begrenzung von S aus ?^ Kreisen gebildet ist. Es 
können dabei entweder sämmtliche Kreise ausser einander liegen, so 
dass sich die Fläche S ins Unendliche erstreckt, oder es kann ein Kreis 
alle übrigen einschliessen, wobei >S' endlich bleibt. Der eine Fall kann 
durch Abbildung mittelst reciproker Radien leicht auf den andern zu- 
rückgeführt werden. 



mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen. 415 

Ist die Function ^ von z in S bestimmt, so lässt sich dieselbe 
über die Begrenzung von S stetig fortsetzen, dadurch dass man zu 
jedem Punkt von S in Bezug auf jeden der Grenzkreise den harmoni- 
schen Pol nimmt und in diesem der Function f den conjugirt imaginären 
Werth ertheilt. Dadurch wird das Gebiet S für die Function ^ er- 
weitert, seine Begrenzung besteht aber wieder aus Kreisen, mit denen 
man ebenso verfahren kann, und diese Operation lässt sich ins Unend- 
liche fortsetzen, wodurch das Gebiet der Function 5 mehr und mehr 
über die ganze ^- Ebene ausgedehnt wird. 

Im Folgenden bedienen wir uns, um auszudrücken, dass zwei 
Grössen a, d conjugirt imaginär sind, des Zeichens: 

a 1^ d , 
die dadurch ausgedrückte Verknüpfung zweier Grössen bleibt bestehen, 
wenn beiderseits conjugirt imaginäre Grössen addirt werden, oder wenn 
mit solchen multiplicirt oder dividirt wird; auch kann beiderseits die 
AVurzel gezogen werden, wenn dieselbe richtig erklärt wird. 

Ist nun 5 p g' und entsprechen den Werthen J, g' die Werthe 
Zy z, SO ist, wenn r der Radius eines der Grenzkreise von S ist, und 
z im Mittelpunkt desselben den Werth ]) hat: 

z — p ^ r 

woraus sich ergiebt: z A- b 



wenn a, &, c, d Constanten bedeuten. Hieraus: 



'^'' cz -\-d 
ben. Hi 

dz ,_ ac — 6c dz' 

d^^r {cz +dy'dY 

1 , 1 cz -i-d 



Setzt man also: 



'l/dz Yad — bc l/dz' 

V M y df 

z _i_ 1 az -{- b 

'l/dz ' Yad — bc l/dz' 

V di V dT 






y\ 



\z 

di , r d^ 

und bezeichnet die Werthe, welche y, y^ für t,' annehmen mit //, y'i 
so ergiebt sich: 

^ ' yad — bc 
^^ ' yad-bc 



416 XXV. Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern etc. 

woraus: 

d'y , ^ df ^"^ dt'' 



(2) 



dt' ' yad-hc 

„d'y\ . , d^y' 





folgt aus 




d'y. , " 
dt' "i~ 


dt'' ' '^ df 




Nun 


Yad — hc 




(3) 








z 


V 




durch Differentiation: 


äy. 

y dt 


-^^f=l 




oder 

(4) 
und 

(5) 


ebenso: 






y dt' 
1 dHj 

y dt' 

1 d^y 

y' dt'' 


_ 1 ,<j'y; 
2/'. dr^ 






Hieraus 


und 


aus 


(1), (2) folgt weiter: 




(6) 




1 

y 


d'y 
dt' 


1 d^y, 
~ 2/1 dt' 


1 1 d^y 1 


d'y\ 

dtr 



Setzen wir also 

/r7\ d^y 

(7) d# = «2/ 

SO ist s eine Function von J die für conjugirt imaginäre Werthe von 
S selbst conjugirt imaginäre Werthe erhält, und die sich also nichi 
ändert^ wenn man in der Fläche T und ihrer symmetrischen Fortsetzung 
auf beliebigem Weg zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Mithin ist s eim 
wie T verzweigte algebraische Function von J; y und ^/i sind particulär( 
Lösungen der linearen Differentialgleichung (7) und z ist das Verhältnis;- 
derselben. Nimmt man umgekehrt die algebraische Function s in 1 
beliebig an, jedoch so dass sie in conjugirten Punkten conjugirt imaginäre 
Werthe erhält und mithin für reelle Werthe von f reell wird^ und nimmi 

irgend zwei particuläre Lösungen von (7), so liefert die Function == — 

ein conformes Abbild der Fläche T, welches durch Kreise begrenzt wird 
Die dabei auftretenden unbestimmten Constanten hat man dadurch zi 
bestimmen, dass dieses Abbild in seinem Innern von singulären Punktei 
frei und mithin in der ^- Ebene einfach ausgebreitet ist, und dass di* 
Grenzkreise gegebene Lagen erhalten. 



I 



XXVI. 

Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts bei gegebener 
Begrenzung.*) 

I. 

Es soll die Fläche vom kleinsten Inhalt bestimmt w^den, welche 
begrenzt ist von drei Geraden, die sich in zwei Punkten schneiden, so 
dass die Fläche zwei Ecken in ihrer Begrenzung und einen ins Un- 
endliche verlaufenden Sector besitzt. 

Die Winkel, welche die drei geraden Linien mit einander bilden, 
seien aity /Jtt, yn. Auf der Kugel wird die gesuchte Fläche abgebildet 
durch ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel «jr, ßn, yjt sind, so dass 
« + /^ + r > 1 ist. 

Es mögen mit «, ?>, c die Punkte bezeichnet werden, welche in 
der Ebene der complexen Variablen t den beiden Ecken und dem ins 
Unendliche verlaufenden Sector entsprechen. (Ueber die Fläche vom 
kleinsten Inhalt, Art. 13. S. 296.) Dann hat man: 

const. dt 



f 



oder 




u = const. log 

Nimmt man, was freisteht, a = 0, ?> = c», c = 1 an, so folgt hieraus: 

dn = const. ; n = const. loff — — ^ 

{\ — 1)^1 " 1 -f vT 



*) Für das erste dieser Beispiele findet sich auf eineni einzebien Blatt in 
Riemann's Nachlass das Resultat kurz aber voUstüiulig angegeben. Bezüglich 
des zweiten liegt nur eine Bemerkung vor, in der nicht mehr als die Möglichkeit 
der Lösung ausgesprochen ist. Für die Ausführung ist daher der Herausgeber ver- 
antwortlich. Einige besondere Fülle des letzteren Problems sind von H. A.Schwarz 
behandelt. (Bestimmung einer speciellen Minimalfläche. Berlin 1871.^ 

HiEMANN'ä gesammelte mathematische Werke. 1. 27 



418 XXVI. Beispiele* von Flächen kleinsten Inhalts 

und die letztere Constante hat den Werth l/l , wenn C den kürzesten 

V 27r ' 

Abstand der beiden einander nicht schneidenden Linien bedeutet. 

Setzt man nun nach Art. 14. der genannten Abhandlung (S. 298) 

SO sind diese Functionen in allen Punkten der ^- Ebene, ausser 0, oo, 1 
endlich und einändrig, und wenn man das Verhalten dieser Functionen 
in der Umgebung der singulären Punkte nach der an erwähnter Stelle 
(S. 299) angegebenen Methode untersucht, so erkennt man, dass \,\ 
zwei Zweige der Function 



1 a 


1 ß 


y 


4 ~ ¥ 


4 2 


2 


4^2 


- + ^ 

4^2 


+ 1 



sind, und für i] hat man den Quotienten zweier Zweige dieser Function 
zu setzen. 

n. 

Die gesuchte Fläche vom kleinsten Inhalt sei begrenzt von zwei 
in parallelen Ebenen gelegenen geradlinigen Polygonen ohne ein- 
springende Ecken und mit je einem Umlauf. In diesem Falle wird die 
Fläche zweifach zusammenhängend sein, und kann erst durch einen 
Querschnitt in eine einfach zusammenhängende verwandelt werden. 

Die Abbildung der Minimalfläche auf der Kugel wird begrenzt sein 
durch zwei Systeme von Bögen grösster Kreise, deren Ebenen senk- 
recht stehen auf den Ebenen der Grenzpolygone, und welche dem- 
nach in zwei diametral entgegengesetzten Punkten der Kugelfläche zu- 
sammenlaufen. Jeder dieser beiden Punkte entspricht den sämmtlichen 
Ecken der beiden Grenzpolygone. An jeder Polygonseite findet sich 
Ein Umkehrpunkt der Normale, welcher dem Endpunkt des betrefien- 
den Kreisbogens entspricht. Das Bild der Minimalfläche wird also die 
Kugelfläche vollständig und einfach bedecken. 

Projiciren wir die Kugelfläche auf ihre Tangentialebene in einem 
der Punkte in welchem die Begrenzungsbögen zusammenlaufen, so er- 
halten wir als Bild der Minimalfläche ein Flächenstück ZT, welches 
die Ebene der complexen Variablen t] völlig ausfüllt, und begrenzt isi 
einerseits durch ein System geradliniger Strecken, welche sternförmig 
vom Nullpunkt auslaufen, bis zu gewissen Punkten C^, 6^, ..., Cn- 
andrerseits von einem System ähnlicher Strecken, welche von gewissen 
anderen Punkten Ci, C2, . .; Cm nach dem unendlichen fernen Punki 



bei gegebener Begrenzung. 41 

verlaufen, und deren Verlängerungen daher im -Punkt zusammen- 
treffen (wenn n und m die Anzahlen der Ecken der beiden gegebenen 
l^lygone bedeuten). 

Diese zweifach zusammenhängende Fläche soll nun in der Ebene 
einer complexen Variablen t auf eine die obere Halbebene doppelt 
bedeckende Fläche T^ abgebildet werden, so dass den beiden Be- 
grenzungen die reellen Werthe von t entsprechen. Diese Fläche muss, 
damit sie zweifach zusammenhängend sei, zwei Verzweigungspunkte 
enthalten. Fügen wir zur Fläche T^ ihr Spiegelbild in Bezug auf die 
reelle Axe hinzu, so erhalten wir eine die ganze ^- Ebene doppelt be- 
deckende Fläche T deren vier Verzweigungspunkte conjugirt imaginären 
VVerthen von t entsprechen. Durch Einführung einer neuen Variablen 
f an Stelle von t, die mit t durch eine in Bezug auf beide Variable 
quadratische Gleichung zusammenhängt, lässt sich erreichen, dass die 

Verzweigungspunkte den Werthen ^' = -|- ^■, + -r- entsprechen, worin 

fi reell und < 1 ist, und dass ausserdem einem beliebigen reellen Werth 
von ^ ein gegebener reeller Werth von t' in einem der beiden Blätter 
entspricht. 

Wir haben also t als Function der complexen Variablen i] so zu 
bestimmen, dass sie in jedem Punkt der Fläche H einen bestimmten, 
stetig mit dem Ort veränderlichen, Werth hat, in den beiden Be- 
grenzungen von H reell ist, und in je einem Punkt der beiden Be- 
grenzungslinien unendlich von der ersten Ordnung wird. Setzen wir 
diese Function über die Begrenzung hinaus dadurch stetig fort, dass 
wir derselben an symmetrisch zu beiden Seiten einer jeden Begrenzungs- 
strecke gelegenen Punkten conjugirt imaginäre Werthe ertheilen, so 

hat, wie man leicht erkennt, die Function — jf für conjugirt imagi- 
näre Werthe von t selbst conjugirt imaginäre Werthe. Sie ist also 
in der ganzen Fläche T einwerthig und, einzelne Punkte ausgenommen, 
stetig, muss mithin eine rationale Function von f und 



z/(<) = V{i + 1') (1 + m^) 

sein. 

Bezeichnen wir die reellen Werthe von t, welche den Punkten 
C'i , O^, . . . , C„, Ci, CV, . . . , C^n entsprechen, mit c, , r^, . . , (J„, c'i, ci, . ., c;„, 
die gleichfalls reellen Werthe, welche den mit dem Nullpunkte, bezw. 
unendlich fernen Punkte zusammenfallenden Ecken der Fläche H ent- 
sprechen, mit &i, h^j .., hny ?>i, fe, .., Kij so muss ^^^^ iincndlich 
klein in der ersten Ordnung werden für 

r = Cj, ^2, .., C«, Ci, C2^ .., Cfn j 

27* 



420 XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts 

unendlicli gross in der ersten Ordnung für 

t = l\y h.^, . ., ha, . ., h'ij 1)2, . ., h'm 
und in den Verzweigungspunkten 

' = + '•' ±i- 

Wir können demnach setzen: 

dt yir-\- 1') (1 + F^) ' 

worin cp eine rationale Function von t und z/(^) bedeutet, welche unendlicl 
klein wird in den Punkten c, Cj unendlich gross in den Punkten h, J) 
und welche dadurch bis auf einen constanten reellen Factor bestimmt ist 
Damit übrigens eine solche Function (p existire, muss eine Bedingungs 
gleichung zwischen den Punkten c, c\ hj h' bestehen, vermöge dereii 
einer dieser Punkte durch die übrigen bestimmt ist. (Theorie de • 
AbeTschen Functionen Art. 8. S. 107.) Ueberdies kann nach dem 
oben Bemerkten von den Punkten c, c ^ h, l> einer beliebig angenommen 
werden. Die zu log?^ hinzutretende additive Constante ist bestimmt 
wenn der zu einem der Punkte c gehörige Werth von ri, rj^, gegebeji 
ist, wonach sich ergiebt: 



logi; — log 7^0= / -y^ 



(p{t, J(t))dt 



In diesem Ausdruck bleiben, nachdem tJq und c festgesetzt sind, 
noch 2n + 2m unbestimmte Constanten, nemlich 2n + 2m — 2 voii 
den Werthen c, c, h, &', der Modul k und ein reeller constantt r 
Factor in (p. 

Für diese Constanten ergeben sich zunächst zwei Bedingungei , 
welche besagen, dass der reelle Theil des Integrals 

(p{t, J(t))dt 



/ 



* 



über eine geschlossene, beide Verzweigungspunkte i, -^ einschliessen 

Linie verschwinden soll und dass der imaginäre Theil desselben Int - 
grals den Werth 2;r^ haben soll. Für die 2n + 2m — 2 übrig bh i- 
benden Constanten erhält man eine ebenso grosse Zahl von Bedingung* n 
aus der Forderung, dass den Punkten c, c die gegebenen Punkce 
C, C in der t^- Ebene entsprechen sollen. 

Wir denken uns nun die ^-Axe senkrecht gegen die Ebenen dir 
beiden Grenzpolygone gelegt, und untersuchen die Abbildung d 3r 
Minimalfläche in der Ebene der complexen Variablen X, nachdem d e- 
selbe durch einen von einer Begrenzung zur andern gelegten Sehn tt 



bei gegebener Begrenzung.- 421 

in eine einfach zusammenhängende verwandelt ist. Der reelle Theil 
von X ist dann in den beiden Begrenzungen und in jedem /u den- 
selben parallelen Schnitt der Fläche constant. Der imaginäre Theil 
wächst, während man auf einem solchen Schnitt herumgeht, beständig, 
und zwar im Ganzen um eine cpnstante Grösse. Daraus folgt, dass 
das Bild unserer Fläche in der X- Ebene von einem Parallelogramm 
begrenzt ist, welches die Ebene einfach bedeckt, von dem zwei Seiten, 
welche der Begrenzung der Fläche entsprechen, der imaginären Axe 
parallel sind. Die beiden andern Seiten, die -den Rändern des Quer- 
schnitts entsprechen, können zwar krummlinig sein, kommen aber 
durch eine Verschiebung parallel der imaginären Axe mit einander zur 
Deckung. 

Dieses Parallelogramm muss sich auf die obere Hälfte 1\ der 
Fläche T so abbilden lassen, dass die beiden der imaginären Axe 
parallelen Seiten desselben den beiden Rändern von 1\, die beiden 
anderen Seiten den beiden Ufern eines Querschnitts von T^ entsprechen. 
Eine solche Abbildung wird daher vermittelt durch die Function 

X = ic f—==JL==- -f c 

worin die Constante C reell ist, C beliebig angenommen werden kann, 
wenn über die Lage des Anfangspunkts auf der x-Axe verfügt wird. 
Ist h der senkrechte Abstand der beiden parallelen Grenzebenen, so 
ergiebt sich: 

7 .^r idt 

h 



=-./ 







wodurch die Constante C bestimmt ist. 

Hiernach ist die Aufgabe, abgesehen von der Bestimmung der 
Constanten, gelöst, denn man hat nach den Formeln S. 292 






wodurch die Coordinaten x, y, z der Minimalfläche als Functionen 
zweier unabhängiger Variablen dargestellt sind. 

Für die in r] vorkommenden Constanten ergeben sich noch zwei 
Bedingungen, welche besagen, dass die reellen Theile der Integrale, 
durch welche Y und Z ausgedrückt sind, über eine den Nullpunkt 
einschliessende geschlossene Curve in der j^ -Ebene erstreckt, den Wertb 
haben müssen. 



422 XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts 

Nimmt man h und die Richtungen der begrenzenden Geraden als 
gegeben an, so hängen unsere Ausdrücke, abgesehen von den additiven 
Constanten in X, Y, Z, von n -\- m — 2 unbestimmten Constanten 
ab, für welche man die Entfernungen der Punkte C, C vom Null- 
punkt in der ?^- Ebene annehmen kann, zwischen denen nach dem so- 
eben Bemerkten zwei Relationen bestehen müssen. Ebenso gross ist 
aber auch die Anzahl der Constanten, welche die gegenseitige Lage 
der Grenzpolygone bestimmen. Man kann nemlich, indem man zwei 
Polygonseiten zur Fixirung des Coordinaten-Anfangspunkts festhält, 
jeder der n + m — 2 übrigen noch eine Parallelverschiebung in ihrer 
Ebene ertheilen. 



Einfachere Gestalten nehmen die Resultate an, wenn wir gewisse 
Symmetrieen in den Verhältnissen der begrenzenden Vielecke voraus- 
setzen. Es möge im Folgenden der Fall betrachtet werden, dass die 
beiden Vielecke regulär seien und die beiden Endflächen einer gerade 
abgestumpften geraden Pyramide mit regulär -vieleckiger Basis bilden. 

Die Umkehrpunkte der Normalen liegen in diesem Fall sämmtlich 
in den Mittelpunkten xler begrenzenden Geraden, und fallen daher 
paarweise in dieselbe durch die Axe der Pyramide gehende Ebene. 

Legen wir die «/-Axe senkrecht gegen eine der begrenzenden Ge- 
raden, so wird in der i^-^bene ein Punkt C und ein Punkt C in der 
reellen Axe liegen, auf welcher sie die Abstände t^q, tjq vom Nullpunkt 
haben mögen. Die Punkte 0, bezw. C liegen auf zwei concentrischen 
Kreisen, auf welchen sie die Ecken je eines regulären Polygons bilden, 
und zwar so, dass immer ein Punkt C und ein Punkt C auf demselben 
Radius-Vector liegt. 

Da nun in der Begrenzung der Fläche T ein Punkt beliebig an- 
genommen werden kann, so mag festgesetzt sein, dass dem auf der 
reellen Axe gelegenen Punkt C der Punkt ^ = in einem der beiden 
Blätter von T entspreche. Es folgt dann aus der Symmetrie, dass das 
zwischen G und C liegende Stück der reellen Axe in der ?^-Ebene in 
der Fläche T einer Linie entspricht, welche vom Punkte ^ = im 
ersten Blatt nach dem Verzweigungspunkt t = i, und von da zurück 
zum Punkte ^ = im zweiten Blatt längs der imaginären Axe ver- 
läuft. Demnach hat die Function (p{ty ^(f)) für rein imaginäre Werthe 
von t selbst rein imaginäre Werthe, und dem Punkte C entspricht 
der Werth ^ = im zweiten Blatt. 

Nun wird die Fläche H durch die Substitution rjrj' = fJQrjQ auf eine 
mit H congruente Fläche H' abgebildet in der Weise dass die Punkte C in 
die Punkte C übergehen und umgekehrt (nur in vertauschter Ordnung). 



bei gegebener Begrenzung. 423 

Hieraus ergiebt sich, dass den beiden in der Fläche H gelegenen Punkten 
rj und Tj' == ^^ über einander liegende Punkte in beiden Bliiiieni der 

Fläche T entsprechen. Und da d log rj -\- d log rj' = ist, so niuss 
q)(t, ^(f)) in übereinander liegenden Punkten beider Blätter denselben 
Werth haben, ist also rational ih t ausdrückbar und hat zufolge der 
oben gemachten Bemerkung die Form til)(t^)y wenn ^ eine rationale 
Function bedeutet. 

Dies veranlasst uns, die Fläche T auf eine Fläche S abzubilden 
durch die Substitution: 

JL±11. = .'^ 

wonach der oberen Hälfte der Fläche T ein die 6' -Ebene einfach be- 
deckendes Blatt entspricht, welches längs der reellen Axe zwischen den 

Punkten s = 1 und s = , und zwischen den Punkten s = — 1, 
s == — aufgeschlitzt ist. Die Ränder dieser beiden Schlitze ent- 

sprechen den Grenzen der Fläche H. Für X ergiebt sich hiernach der 
Ausdruck 

~^^J >/(l — s') (1 — kH'') 



wenn 

ds 



"=] 



1/(1 - s2)(l -k'^s^) 



ist, während sich y] als algebraische Function von s darstellen lässt. 
Für eine Begrenzung durch Quadrate findet man 



n=^n 



ms) (1 — m s) 



(1 -|- ms) (1 -f- wi s) 

den Ecken des Quadrats in der einen Begrenzung entsprechen die 
Punkte s = — , s = -- an beiden Rändern des Schlitzes, den ümkehr- 
punkten der Normalen die Punkte 6 == 1 , ^ == ^- und ein an beiden 
Rändern des Schlitzes gelegener Punkt 6' = , der aus der Gleichung 

— -^ = zu bestimmen ist, und man hat: 
ds ' 

1 > m > w > m > k. *) 



*) Es lässt sich die vorstehende Betrachtung auf viele Fälle ausdehnen, in 
denen die beiden Polygone nicht regulär sind. So behält der obige Ausdruck für 
7] seine Gültigkeit für die Begrenzung durch zwei Rechtecke, deren Mittelpunkt^ 



424 XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts 

Für die Begrenzung durch gleichseitige Dreiecke ergiebt sich: 

/ l — ms \i (i — ks\l 

^ — ^\l + ms) Vr-fk's) ' 

Um für diesen letzteren Fall die Möglichkeit der Constanten- 
bestimmung zu untersuchen setze man zunächst s = + l, wodurch 
sich ergiebt: 



c^v^., vi=i^i^ 



also: 

^0 ^1 + ^''^ ^1 + 
und für den besonderen Fall, dass beide Dreiecke congruent sind 

^0^0 = 1 ; C=l. 

Den Ecken des Dreiecks in der einen Begrenzung entsprechen die 

Punkte s = — an beiden Rändern des Schlitzes und der Punkt -5-, so 

m Je ' 

dass ]c < m < 1 sein muss. Der erste Umkehrpunkt der Normalen 
findet statt für s = 1, die beiden andern entsprechen einem Punkte 

s = — an beiden Rändern des Schlitzes, so dass 

n erhält mai 
die Bestimmung: 



sein muss. Für n erhält man zunächst aus der Gleichung , = 0. 



9 km(m -\- 2 k) 

u = i ' j 

2m + k ' 

woraus für jedes Werthsystem von h, m, welches der Bedingung 

0<A;<m< 1 

genügt, ein Werth von n hervorgeht, welcher zwischen h und m liegt. 

Man erhält aber zwischen m^ n, h noch eine zweite Gleichung, 

welche ausdrückt, dass für s = — ri^ = tjq werden soll. Diese Glei- 
chung ist: 

/l — m\2 1 — k /n — w\2 n — k 

\1 -f m/ 1 -j- ^ \n -{- m/ n -{- k 
und wenn man aus diesen beiden Gleichungen n eliminirt, so erhält 
man folgende Relation zwischen h und m: 

'^ \k{l + m') -f 2m) ~ ^ U + 2m) ' 
aus welcher k durch ni zu bestimmen ist. 



in einer zu ihrer Ebene senkrechten Linie liegen, vorausgesetzt dass der Modul 
von 7777' für die Umkehrpunkte der Normalen denselben Werth hat. Dies findet 
z. B. statt wenn beide Rechtecke congruent sind. 



bei gegebener Begn ll/un;^^ 425 

Für 1c = ist die linke Seite dieser Gleichung Null, die rechte 
~ , für k = m ist der Unterschied zwischen linker und rechter Seite 

(1 — my 
m(3 + m'Y 

also positiv für in <C 1. Es existirt daher zu jedem Werth von m der 
kleiner als 1 ist, eine ungerade Anzahl von Werthen von h < m. Da 
sich nun ferner leicht ergiebt dass die Function 

zwischen Ic = und it = m nur Ein Maximum hat, so folgt, dass für 
jedes m < 1 Ein und nur Ein unseren Bedingungen genügender Werth 
von Ic gefunden werden kann, und darnach ergiebt sich auch nur Ein 
zugehöriger Werth von n. Für die beiden Grenzen m = und ni = 1 
erhält man *fc = n = m. 

Für die Functionen X, Y, Z finden sich hiernach, wenn man 
über die additiven Constanten verfügt, die Ausdrücke: 

y. h /* llS 



= A r 



s2) (1 — k^s') 



y Jl /• dS / 1_\ 

~^^J yä - s2) (1 - kH^) V nl 

~ 8^J >/(l - s2) (1 - k'^s') V ~^ n) ' 
1 

Die beiden noch übrigen Constanten, m und y'^o^'o bestimmt man 

aus den gegebenen Längen der Dreieckseiten. Bezeichnen wir diese 

mit a und ?>, so ergiebt sich: 






ds 



VTT — s'-») (1 - k^s'') 

1 
1 

m 



("+!) 



1 
In dem besonderen Fall a == h ist rjQrjo = 1 und es bleibt zur H' 
Stimmung der Constanten m die eine transcendente Gleichung 

j_ 

ff» 
a i /' ds / I ^\ 

Ä ~ 2kJ y(i -s''){i -k^s^) V nl' 



426 XXVI. Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts etc. 

Lässt man in dem Ausdruck zur ilecliten ni von bis 1 gehen, so 
behält derselbe positive Werthe, wird aber an beiden Grenzen unendlich 
gross. Er muss also für einen zwischenliegenden Werth von m ein Mini- 
mum haben. Daraus folgt, dass es für das Verhältniss y- eine untere 
Grenze giebt, jenseits der die Aufgabe keine Lösung mehr hat, während 
für jeden Werth von -^ , der über dieser Grenze liegt, zwei Werthe 

von m, also zwei Lösungen der Aufgabe existiren. Es ist anzunehmen, 
dass nur der kleinere der beiden Werthe von m einem wirklichen 
Minimum des Flächeninhalts entspricht. 



XXVII. 

Fragmente über die Grenzfalle der elliptischen Modul- 

functionen. 

I. 

Additamentum ad g""' 40. 
[Fundamenta nova theoriae functionum ellipticariim.] 

Formulae in hoc §° propositae in eo casu, nbi modulus ipsius q 
unitatem aeqiiat, consideratione satis dignae videntur, quippe quae 
functiones unius variabilis pro quovis argumenti valore discontinuas 
praebeant. 

Series quidem propositae magna ex parte pro niodulo ipsius q 
unitati aequale non convergunt^ sed integrando series convergentes inde 
derivari possunt; itaque primo integralia formularum 1 — 7 proponamus 

(48) j\\ogh - log4>/2") !L2 = _ 41og(l + </) + -* lpg(l + f) 



- -g log (1 + q') + \^ log (1 + a*) - . . 



(40) J 

ü 

(50) J'log ^ iL« = 4 log (1 + 2) + i log (1 + 2^) ^ ^ ,„g ( 1 + g.^ ^ . 

(51) /(^- l)^ = -41og(l-g) + ilog(l-3^')-5log(l-5^) + . 



- + 2^l0gr+|. + Yl0g^-|^. + y l0gr+,3, + - 

(52) /'^^ dq_ i_+yq _ 4 i+yj^ 4 1_+»^^ 



. ., 1 — yqi , 4t" 1 — yq^i ,4t, t — i/o*i , 

= 4dog^-pp|-. + - log ^-^. + -j- log j ;p-^. +. 

(53) J(2^_iyi?_ _41„g(l+^)^4,^g(l^^,)_4,^g(l_^^,^_^. 



= — 2 i log— -,-^ + -« los r-r-V- — .T log , , -V + • • 



428 XXVII. Fragmente über die Grenzfälle 

(54) j'(^i^'- l) ^ = -I log(l + a^) + l log(l + ./) 

= - Y log t + ^H + T 1°§ T+Yi 
- T log r-TsBi + T l^g i--|:i«i ~ ■ ■ ■ 

ubi logarithmos ita sumendos esse manifestum est, ut evanescant positc 
'q = 0. 

Functiones eaedem ad dignitates ipsius q evolutae adhibitis Cl 
Jacobi denotationibus hoc modo repraesentantur 



(55)/(logfc-log4y2)!^ = -42'f^,(3^-^-^2 



4.P 

4 16 "^ 

3 



-^a 



Sp 'L^ n^Gp 



64 ^ 256 



(56) J-logr^ = 82'^2^ 



(57) j'log^^ = 42'5f)(r-|2^^-iä^'-i3'--5!^2-- 

ü 

(58) /Y^^ iV^^l V ^in)a''^'--^'''' 



(59) r?^ i^ _ 8 y 



(4wj — 1)^ 
(4w — l)'^n 

(4w — 1)'« 



(60) J(^_l)^. = _4 2'^ 



ly'n 



4- 4 V^ ^Wg 

^ 2' + ^4 



2^"^^(4»i— 1)2« 






(61) fh_VlK .\dq___,^^{n)q^'ZT"L 
J \ ^ / 3 ~~ ^ 2(4m-l)2n 



Accuratiori functionum propositarum disquisitioni tanquam lemiia 
antemittimus theorema sequens generale. 
Si series 

«0 + ^1 + «2 H 



der elliptischen Modulfunctionen. 429 

eo quo scripsimus ordine summata summam habet convergentem, functio 
ipsius r hac serie 

«0 + fh ^' + «■> ^' H 

expressa, convergente r versus limitem 1, convergit versus valorem 
eundem. 

Hinc facile deducitur 

Si functio f{q) complexae quantitatis q pro modulis ipsius q uni- 
tate minöribus exhibeatur per seriem 

hanc seriem pro valore q^^ cujus modulus sit unitas, si habeat sum- 
mam, exprimere valorem eum, quem functio [(cj) nanciscatur conver- 
gente q versus q^ ita, ut modulus tantum mutetur, i. e. secundum 
notam repraesentationem geometricam, appropinquante puncto, per quod 
quantitas q repraesentatur, in linea ad limitem spatii, pro quo functio 
est data, normal i. 

Quamobrem hos tantum valores functionum propositarum hie re- 
spicimus, etiamsi evolutiones 48 — 54 latius pateant. 

Sit brevitatis gratia U) aut absolute minima quantitatura a quan- 
titate X numero integro distantium, aut, si x ex numero integro et 

fractione — composita est, =^(), porro E{x) numerus integer maximus 

non major quam x: obtinemus e 48, attribuendo ipsi q valorem 



(62) J\\ogh-\og4yq) 



dq 



— 21og4cos~ + -log4cos-^ log4cos — 

+ -log4cos-^ 

. . /x\ , ^7ii/2x\ Ani/3x\ . Ani /Ax\ 

- ^^^ 12.) + 4" (2^/ ~ -T\2^)+W\2n)-' 



vix 
(— l)"log4 cos 



^2^ ' T ^' [+«2'--^e-:)]- 

Pars imaginaria hujus seriei convergit, quicunque est valor ipsius 
X, pars realis, si ^ est numerus surdus, non convergit, sin minus, 
denotando literis m, n numeros integros iuter se primos, et ponendo 
— == - ita exhiberi potest 



430 XXVTI. Fragmente über die Grenzfälle 

1*^ si n est impar, aequalis fit, 

2 S — 1/cOS 2 2 



> 5 — lose 4 cos r— T, locf 4 



9i 

Sin 

n 



2^ si n est par, designante j9 nunierum imparem 
2 _i^ 2(-lMog4cos 2 

,, Sm TT — 

+ ^ (- ^)' 0°« :t?i + '«^« + ^- 2'?^) 

quae formula rnanifesto ita est intelligenda, functionem propositam^ 
subtracta functione 



'^(- 1)^10 



si convergat q modo supra stabilito versus limitem g^, convergere ver- 
sus limitem finitum, ejusque valorem assignat, 
Perinde obtinetur 

(63) J _logÄ:^=-21ogtg- — -tg— --logtg— 

+^(©-(l^+i))+- 



1, <» 



(G4) / log— ^==21og4cosy + -log4 cos-y- + -.. 

^ , , ./a;\ , 47r^ /SicX , 47r* /5a?\ , 



- OD, OO Ij <» 



(65) y'(y^_i)i? = _21og4sin-|-^ + |log4.in2f! 

— -log4sin-- +• 



der olliptiachen ModiiU'unctionon. 431 

A • { ^ I 1\ I 4 Tri /3a; , 1\ 

+ ^'^ ((;. + 1) - (;: + !)) + T ((f: + 1) - f: + d) 

+ ^(6l+:)-6i^+!))+- 

({\{X\ r^^fcK dq ^, , rc2 2 Sx^ 2, , 5a;'^ , 

^ J 't' y = - ^i^g^gl + 3 logtg— — - logtg- + . . . 

+4«<(.^)-(f.+i))-*-F(©-e+3)+- 

+ |'logtg(^^)^+... 

+4K(.^+i)-(f,+:))+T(G^+i)-g+i))+- 

(07) J(?^'_l)l. = _21og4cos^^ + ?log4cos?f' 



— ^log4cos-^- + 



= - V log tg (-- f^ j + 2 log tg (—f-j 

-i,ogtg(^^r + ... 

+f(e+i)-(^+i))-- 

(68) l'(^ylM - l) 1 = log4 cos ^^ + * log 4 cos 3^« 



^ log4cos5a:^ + 



- i log tg (.r + ;)' + { log tg (2.; + ;)■' 

-; log tg (3^ + !)>•. 



432 XXVII. Fragmeute über die Grenzralle 

-f((V'+i)-(~+i))+- 

Posito X = — 27C fit pars iinaginaria formulae 65 
P si n est uumerus par 

Ü, CO 1, H— 1 

2^ si n est numerus impar 

0,00 1.2rt — 1 

quam patet liabere valorem finitum, nisi w est =^ mod 4. 



Convergentia summae 

«0 + ^1 + « > + «3 

postulat, ut data quautitate quam vis parva f assiguari possit terminus 
«Ä, a quo summa usque ad terminum quemvis a,n extensa nanciscatur 
valorem absolutum ipso s minorem. lam posito brevitatis gratia 

f « -f 1 = ^« + 1 

f « + 3 = (In -f 1 + «II -f 2 + «« + 3 



functio 

/'(>•) = «0 + ^1 ^" + ^2 >'' H 

facile sub Lac forma exhibetur 

= «0 + ^^1 >• + ^•> '•' H h ^« '"" + ^^ + 1 C»""^' - *'""^') 

Unde patet convergente r versus limitem 1 functionem f(r) tandem 
quavis quantitate minus a valore seriei 

^0 + «1 + ^2 

distare. Summa terminorum altioris gradus quam w, quum sint f«-f i, 
f„ 4-ä, . . ex hyp. omues omisso sigTio < f , differentiaeque r" + * — r" +- . . 
omues positivae, manifesto evadit quantitate absoluta 

< f (,.«+1 _ ^.« + 2) _|_ f (,.«+2 __ ,.. + 3) . . . 

summa autem terminorum uon altioris gradus quam n est functio al- 



der elliptischen Modulfanctionen. 433 

gebraica ipsius r, quam constat appropinquaudo r unitati summae 

«0 + «1 + «2 H h «u 

quantumvis appropinquari posse; unde patet appropinquando r unitati 
(lifferentiam functionis f{f) a valore seriei 

«0 + «1 H 

infra quantitatem quamvis datam descendere. 

Ex hoc theoremat^^ quod CP Abel tribueudum esse Cl"" Dirichlet 
modo (1852 Sept. 14) quum antecedentia jam essent scripta monuit, 
facile deducitur 

IL 

logA- = log4)V^ + 2'(-l)%' 7^. ^ = r-- 
1) a; =5 - — 3r, n ungerade. 



0, X 1,2« 



U 1.2 h 

l,2n ' 1,2»« 

u 1,2« * 1,11 — 1 1,2« 

L^ == y (- 1) « r _ _ 1 y ^ ._ 

' U. 2«— 1 

0,Ji-l 

1, » — 1 

1. H— 1 

u.«— 1 1,« — 1 

RiutAXX's gesammelte mathematische Werke. I. 28 



434 XXVIT. Fragmente über die Grenzfalle 

2) X = ---TC j m, n ungerade. 

q — q^, 2m^ X / .s- n ° i _ «" 



1 . 

— 1 .7 ^ -.2 m« 



1,4/1-1 



= ^ + f*- + 



^ ],4n 1, 4n— 1 0,2«— 1 

= Ä + ^i + 2.2.i^^(-rr(;!^-E(^,m,^l mod.2«. 
= ^ + -(^^ + ^, + 22'^(|^)(- 1)"- ^^-i^d^jC- 1).) 



l,n — '1 l,n — 1 



3) x = T7—7t, m ungerade. 



low. = ^-^^ ^ y-' + ^ locf^+n 

t .s 

1,8«— 1 ' 

-A+ ^t + 2J 2, — ■^, „2,„, ^ 1 ( 1) 



1,8«— 1 

V — 1 .7 ^ -.2 ?/i S ^ — — 

8« 



= ^ + f*- + 



^ 1,8« l,8w-l 0,4«-l 

t EE 2r7n + 4w mod. 8w 



r 



1,4.71-1 

■~{Sn{(-iy-^(r-l)-{-iyr) + 8n{-m4n-l)) 
= A + ^i + 2^1og{l-a^"")=^i-iy 



2w+ 1, 2n — 1 



der elliptischen Modulf unctionen. 435 

= A + l i-4^ log (- ««"") ± (- 1). 

0, 2 n — 1 

=^+^-4i:(:';:+i)(.',)(-i)'2- 

0, 2 n — 1 

(x) = absolut kleinster Rest von x. 
1) x==—Jty m ungerade. 

iog7.:' = 4/y y--L„_i_ 

0, 00 1,4/i— I ^^^li)., 

1 , , 2 7rf 

a = e 



J21 



} t t 1 s a 

ardx 1 1 



Ji 1,1« 1,4«— 1 0,'J«-1 

1 - j«^'"" ^ 1 - 



ß „2 //i s a 



^2» 

0,2« — 1 



ff 
0, n — 1 



L_ = _ V V? (yß2m.a^ i '^„2m» 

0, 2«— 1 

= ^[l0g(l + ««(2.+ 1)) _ log(l + «-"'(2-+1))] 
0, « — 1 



0, ?t— 1 



2) ic = — , n ungerade. a = e 

° 9 - «. 4«' ^^ ^ .1 Zj l- x«» 1 - ««"" 



^ + 



^ 1,2« 1,2/1—1 0,« — 1 \ " 



1) t = m(2r + 1) mod. 2n 

2) <^w«(2r+ l) + 72 

28* 



436 XXYII. Fragmente über die Grenzfälle 



= ^ + 8 2* log (1 - «»<- + ") f^ ('- -^j: 

0, 7t —.1 

= yl + 8 V K^) (log(l — «2»'^+»'") — log(l — «-2"'-'+'"'')) 



n 



••^ 



— 4 V(^-J (log(l — «-'"'■^■+('"+i>«) — log(l — «-2'»-^+^'«+^)«)) 



'•'^ 



-^ + 4-2'(^)( ) 



7 

m^ EE 1 mod. ^? 



71 — 1 



=(-i)'»+'fei^+-('^-^-42'^(f+i)); 



'."-i^ 



1) ri; = — jr, n ungerade. 

' 0, «— 1 ' 

1'^" 1,7? — 1 

= log|4| + 22log(l - «^'■"') (- 1)' i^« 

1,71—1 

-22log(] -«^'■'"+»)(- ly^w 



1, W — 1 



der elliptischen Modulf unctionen. 437 



..•^ 



2ä.- 



2) x= —Ttj )i ungerade, m ungerade, « =e*" 
»TT (Z — g'o ^n'* ' ^(Zo — (Z .^ .^ 4n« + s «2"*« i j 

l,4w — 1 ' 

= A + 



1,4«— 1 0,L'«— l 



^ l,4n 1,4«— 1 1,2/1—1 

1) ^ ^ 2nir mod. 4?^ 

2) t = 2mr + 2n 

=^A-2^ log (1 - «-''0 ^ (- ir (^^) 4n 



l,2w — 1 



+ 2^ log(l - «»».'■ + ^".) (- !/• ('-^^) 

=^-2..2'(-i)'((-^')-p)5V-') 

1,2«— 1 ^ 

l,2 7i— 1 

m\i ^ 1 mod. 2n 

l,n — 1 

3) X' = ,— 7t , m un<(eracle. 



l,4rt — 1 ' 

,y 1,2« ' . l,4n— 1 1,4«— 1 

= ^ + 2;ri_2' (- ly i^^^-^) ' '»/' = 1 «»«d. 4n . 



Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten 

von li. Dedekind. 

Die Entstehimgszeit (September 1852) des ersten der beiden Frag- 
mente macht es wahrscheinlich, dass Riemann darauf ausging, für 
die Abhandlung über die trigonometrischen Reihen Beispiele von 
Functionen zu finden, die unendlich oft in jedem Intervall unstetig 
werden, und es ist möglich, dass die zweite Untersuchung, welche sich 
auf einem kaum leserlichen Blatt findet, demselben Zwecke dienen sollte. 
Die hier von Riemann benutzte Methode zur Bestimmung des Ver- 
haltens der in der Theorie der elliptischen Functionen auftretenden 
Modulfunctionen für dei;i Fall, dass das complexe Periodenverhältniss 

K'i log 2 

K ni 

sich einem rationalen Werthe nähert, gestattet aber eine sehr inter- 
essante Anwendung auf die sogenannte Theorie der unendlich vielen 
Formen der 'O'-Functionen, nemlich auf die Bestimmung der bei der 
Transformation erster Ordnung auftretenden Constanten, welche be- 
kanntlich von Jacobi und Her mite auf die Gauss 'sehen Summen, 
also auf die Theorie der quadratischen Reste zurückgeführt ist. Dti 
ich diese Bemerkung erst in den letzten Tagen vor dem Abdruck ge- 
macht habe, so ist keine Zeit übrig geblieben, die Correctheit dcj 
Riemann'schen Formeln in den reellen Theilen genau zu prüfen; dti 
sie sich aber sämmtlich aus der im Folgenden angedeuteten Unter 
suchung ergeben müssen, so wird hoffentlich ihre Mittheilung auch ohne 
diese Prüfung gerechtfertigt erscheinen. 

Den Mittelpunkt der Theorie dieser Modulfunctionen, welche mai 
auch ganz unabhängig von der der elliptischen Functionen aufstellei 
kann, bildet gewissermaassen die Function 

— i. 

riip) = l''77(l - 1-0 = g^^nil - q'^) 

wo zur Abkürzung 

gesetzt ist, und wo das Productzeichen sich auf alle positiven ganze] i 



Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. 439 

Zableii V erstreckt. Da diese Function der complexen Variablen 
G) = X -^ yi, deren Ordinate y stets positiv ist, im Innern des hier- 
durch bej^renzten, einfach zusammenhängenden Gebietes nirgends Null 
oder unendlich gross wird, so sind auch alle Potenzen von rj((o) mit 
beliebigen Exponenten, und ebenso \ogr}{c}) durchaus einwerthige 
Functionen von ta, sobald ihr Werth an einer l)estimmten Stelle fest- 
gesetzt ist. Die Function log?^(w) Soll dadurch definirt werden, dass, 

wenn ij über alle Grenzen wächst, also q = l unendlich klein wird, 

logi?(«) — ^' = 
wird. Nun ist bekanntlich (Fundam. nova §. 30.) 



'j(2a>)^(|),(q--^)=l^N(a.)?, 



n-2— ; 

(:) • 



> ,1 



"{-2-) 



' 1 



V n rj{(o) 



(I) 



also nach der obigen Festsetzung: 

lüg rj (2 co) + log ri (|-) + log rj (^--^ ") == ^^' + 3 log rj («) 

log ]c = log 4 + ""^r' + 4 log rj (2 CO) — 4 log yj (Vte?) 

log//=^ + 41og,(f)-41og,(l4^) 

i^s V = - T + ^ i^g ^ i^r) - 2 ^^^' ^^'^^^ 

wo die Logarithmen linker Hand (wie in den Fund, nova y<. 1 
einwerthige Functionen von c? so definirt sind, dass 

log/c — log4 - ^' = log/.: — \og4Yq, 



2K 

los:/:' und log^^ 



mit q unendlich klein werden. 

Aus diesem Verhalten der Functionen ergiebt sich nun mit Hülfe 
der Transformation erster Ordnung der 0-- Functionen ihr Verhalten 
bei AnnäheruniT von w an einen reellen rationalen Werth, also bei 



440 Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. 

Annäherung von q an eine bestimmte Einlieitswurzel q^ (die irratio- 
nalen reellen Wertlie gehören in gewissem Sinne gar nicht mit zur 
Begrenzung des Gebietes der Variablen co). Setzt man 

00 

= 2 7?(«)l'' sin ^'jr 77(1 — l'"'' + 0(l — p>'-^') 

so wird, wenn man die nach s genommene Derivirte durch einen Accent 
bezeichnet, 

Sind nun a^ ß, y, d vier der Bedingung 
ad — ßy=l 
genügende ganze Zahlen, so ist bekanntlich 

wo c eine von a, ß, y, d und der Wahl der Quadratwurzel abhängige 
achte Einheitswurzel bedeutet, deren Bestimmung von Her mite auf 
die Gauss'schen Summen zurückgeführt ist. (Liouville^s Journal, 
Sene IL T. III. 1858.) Für ^ = ergiebt sich hieraus 

also 

Man kann daher, wenn ß^O ist, 

setzen, wo die einwerthige Function 

so definirt werden soll, dass ihr imaginärer Theil zwischen den Grenzen 

+ -r- liegt, während log/S''^ reell zu nehmen ist; dann wird h eine 

durch a, ß, y, d vollständig bestimmte ganze Zahl sein, welche die- 
selbe bleibt, wenn diese vier Zahlen mit ( — 1) multiplicirt werden. 
Die vollständige Bestimmung dieser ganzen Zahl h leistet offenbar noch 
sehr viel mehr, als die Bestimmung der obigen Einheitswurzel c. 

Um dies zu erreichen, lasse man cj = x -\- yi dem rationalen, in 

kleinsten Zahlen ausgedrückten Werthe —^ sich so annähern, dass mit 
y auch 



Erläuterungen zu den vorsteheiultii Kra^'mcntcn. 441 



y 

unendlich klein wird, so wird 



CO 



«-fßo) ^ ^ ß(«4-|J«) 



der Art unendlich gross, dass q = P ' unendlich klein, und folglich 

\ogri(o) ^ =0 

wird. Bei dieser Annäherung wird mithin 

= log^(<o) + ^ log-^/ + j logß- + i,p^^q-p-) + -,.r - T^ 

und da alle Glieder mit Ausnahme der beiden letzten nur von den 
beiden Zahlen «, ß abhängen, so kann man 

hß — a — d = 2(- a, ß) 
setzen, wo 2( — ^^, ß) und, wie sich leicht zeigen Hesse, auch ( — c(, ß) 
selbst eine lediglich von den beiden relativen Primzahlen «, ß abhängende 
ganze Zahl bedeutet, durch deren Einführung der Annäherungssatz die 
Form 



1 , nw 



lo2 



(II) . ^ = l^^'^K«) + r2^^7^^)+2-^ ni 

+ - log 7rH p^V"'"' 

annimmt, wo 7n. und n^O zwei beliebige relative l^rinizahlcn bedeuten, 
und angenommen wird, dass co ^= x -\- yi in der angegebenen Weise 

sich dem Werth — nähert, nemlich so, dass mit u auch 

{nx — my^ 

y 

unendlich klein wird. Ersetzt man m, n durch — 7/i, — w, so er- 
giebt sich 

(III) (— m, — u) = — (/M, n) 

ausserdem folgt aus der obigen Definition des Symbols ( — «, /3), weil 
h eine ganze Zahl und aÖ - 1 (mod. ß) ist, allgemein 

(IV) 2m{m, n)^w^+ 1 (mod. n). 

Zugleich nimmt die obige Gleichung für die Transformation erster 
Ordnung der Function log>?(ö) die folgende Form an: 

(V) 'og,a-J--J^) = 

log.W + |log^±f " + jlog^^ + '-^:^}±^^.i. 
Die Fundamentaleigenschaffcen des Symbols (m, n) ergeben sich 



442 Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. 

nun auf folgende Weise. Aus der Definitiou von log?;(«) folgt im 
mittelbar 

log 7^(1 + 09) = logi?((a) + ^' 
Bei Annäherung von a an — nähert sich nun 1 + w dem Wertli 
— - — , welcher gleichfalls in den kleinsten Zahlen ausgedrückt ist, unc 
folglich wird nach dem obigen Annäherungs-Satze 

= log 7^ ( 1 + «) + ^ ^ , ""^ - . + i log "^ '' 
^ '^ ' ^ ' 12 7i(nco— vi) ' 2 ° 



CO — vi) ' 2 ° ni 
, 1 1 2 I 2 [ni + n , n) — vi — n 
+ I l°g'* + 12« ''' ' 

woraus durch Vergleichung 

(m + ?i, n) = (m, ?^) 
also allgemein 

(VI) (m\ n) = {m, n) wenn m e^ w (mod. n) 

folgt. Aus dem allgemeinen Transformations -Satze (V) ergiebt sie] 
ferner 

lo^^ n {^) = log n («) + ^- log (— CO i) + 1^-L^^ , 

oder, da für co = i 

(VII) (0, l) = (m, 1) = 



folgt, 



log V {-^) = log 7^(t0) + -| l0g(— 09 0; 



nähert sich nun hierin co dem Werth , also dem Werth , 

n ^ (o VI 

SO ergiebt sich, wenn m ebenfalls von verschieden ist, aus den 

Annäher ungs- Satze fll) 

= logT^ I 1 -J- --^ J_ -loff — 

^ ' \ (o / ' 12m{nco — vi) ' 2 ^ covii 

I 1 1 2 1 2(— n, vi) -\- n . 
+ - log m^ + -^ 1 AZr_ jj.^. 

durch Vergleichung mit dem ursprünglichen Annäherungs- Satze (II) 

unter genauer Berücksichtigung der über die Logarithmen gemachten 

Festsetzungen ergiebt sich das Resultat 

(VIII) 2m{m, n) — 2n{~ w, m) = 1 + m^ + n^ + ?>mn 

wo das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem mi 

positiv oder negativ ist. Dasselbe ist nur ein specieller Fall d( s 

folgenden, welches man erhält, wenn man in dem allgemeinen Tran - 

formations - Satze (V) , die Variable co sich dem Werth — annähei ti 
lässt: Sind w, n und m , n, zwei Paare von relativen Primzahlen, ^t) 



Erläuterimgon zu den vorstchcudcn Fragment fii. 443 

wird, wenn 

n' == ntii — mn' 

gesetzt und m" durch die Congruenzen 

mm' ^ niy um" n (niod. n') 
bestimmt wird, 

2nn{m\ n") — 27in\m, «) + 2nn'{m\ n) 

wo das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem 
nun" positiv oder negativ ist. Aber offenbar ist der Werth des Sym- 
bols (^)H, n) schon durch die Sätze (VI), (VIT), (VIJI) vollständig be- 
stimmt, und man findet denselben durch eine Art Kettenbruch -Ent- 
wicklung. 

Es ergiebt sich ausserdem, dass allgemein 

( — m, n) = — {m, w), (m, — n) = (m, n) 
ist; der erstere dieser beiden Sätze kann auch daraus abgeleitet wer- 
den, dass log>^( — (aj mit log »^(oj) conjugirt ist, wenn Wj die mit co 
conjugirte complexe Grösse bedeutet. 

Man kann ferner ohne Verletzung dieser Sätze die Bedeutung des 
Symbols (w*, n) auch auf den Fall n = ausdehnen, woraus, da m 
stets relative Primzahl zu n sein soll, nt == + 1 folgt, und es er- 
giebt sich 

(±1,Ö) = ±1. 

Es ist endlich allgemein 

(nij n) = {m, n) wenn mm ~.zi 1 (mod. n) . 

Diese Zahlen (v>/, n), deren Theorie die Untersuchungen von Her- 
mite über die von ihm mit g?(G>), i/'(w), xio) bezeichneten Functionen 
in sich schliesst (Sur la theorie des equations modulaires. 1859), be- 
sitzen die merkwürdigsten zahlentheoretischen Eigenschaften; aber es 
ist nicht leicht, einen allgemeinen Ausdruck für dieselben zu Hnden. 
Mit Hülfe der von Riemann in dem zweiten Fragmente angewandten 
Methode gelingt es aber einen solchen Ausdruck in Form einer end- 
lichen Summe aufzustellen. 

Bedeutet r einen positiven echten Bruch, der sich der Einheit 
nähert, so kann man bei normaler Annäherung von a an 



0) — = yi = 77^^ , Q = rq;. 



rcc 



setzen, wo logr reell und « = 1 " = 6' " ist. Gleichzeitig wird 
log via,) = ^' + 2" '"g ( 1 - 2") = ^' + 2^ '°fc' ( 1 - '••«"") 



444 Erläuterungen zu den vorstellenden Fragmenten. 

wo die Logarithmen rechter Hand für r = verschwinden, oder nac i 
der Umformung von Jacobi (Fund, nova §. 39) 

WO V wieder alle positiven ganzen Zahlen durchlaufen muss. Näheit 
sich nun r dem Wertlie 1, so wird nach dem Annäherungs-Satze (11) 



GnMog 



_1_ Hoo-^ -4- (^^^' ^^)^^' 
' 4 »47r- "T" 6w 



WO alle Logarithmen reell zu nehmen sind; durch den Uebergang zi r 
conjugirten Grösse erhält man gleichzeitig 

= — > ^ + - loj]j lo<? - 

^ ' ^^ 6>rlog — 



"T" 4 &47r'^ ßn 



fol<»;lich wird für r = 1 



2^' 



oder 

hm > — = ^-V-^ — , 
j^ V 3n ' 

wo zur Abkürzung 

1 ._ 1 

gesetzt ist. Es lässt sich nun beweisen, dass die Reihe 

V 

wenn ihre Glieder nach wachsenden v geordnet werden, au di 
noch für /' = 1 convergirt und an dieser Stelle stetig ist, d. h. di ss 
sie sich dem Grenzwerth 

nähert, wo al den aus «, für r =\ hervorgehenden Coefficienten 1 e- 
deutet. Durch Vereinigung von je zwei Gliedern a,., welche den . n- 
dices v.= sn -{- 6 und i/ = (s + l)n — (5 entsprechen, wo < (? < ,^ , 
ergiebt sich nemlich leicht, dass der Modul der Summe 

Av = a^ -\- a.^ -\- ' ' -\r cLv 
für alle Werthe von r einschliesslich r = 1 unterhalb einer von r i) q< 



\ 



Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. 445 

V unabhängigen, endlichen Constanten bleibt, woraus die obige Be- 
hauptung nach einem Satze folgt, den ich durch Verallgemeinerung 
der Ab einsehen Principien gefunden habe (Dirichlet, Vorlesungen 
über Zahlentheorie, 2. Aufl., §. 143. Anm.). Es ist daher 

und die Summe rechter Hand liisst sich nach der von Riemann an- 
gewandten, von Dirichlet herrührenden Methode (liecherches sur 
diverses applications etc. §. 1 in Cr eile's Journal Bd. 19) in Form 
einer endlichen Summe bestimmen, weil 

all = ür -I- „ 

und (wenn n positiv vorausgesetzt wird) 

«;' + «;' + ••• + K = f> 

ist. Durch Anwendunsc der Gleichung 



1 



— = I x^~^ dx 



ergiebt sich auf diese Weise 

1 
(w, n) 7t i /* f{x) 

3n ~ J 1 _ .-r» 



wo 

V 

i,?t 
(resetzt ist. Durch Auflösung in Partialbrüche und Ausfühnintr der 
Integration folgt 

(ü!i|)-' = _ 2" A«-"") log (1 - «""), 

wo / ein vollständiges Restsystem (mod. w) mit Ausschluss von / < ' 
durchläuft, und der imaginäre Theil der Logarithmen zwischen + —, 
also 

zu nehmen ist, wenn der Deutlichkeit halber der von x um eine ganze 
Zahl abstehende, zwischen + y liegende Werth nicht mit (a:), sondern 
mit ((.^•)) bezeichnet wird. Durch Anwendung der Transformation 






0,n — 1 



440 Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. ~ 

erhält man den auch für v = n geltenden Ausdruck 

und hieraus folgt leicht 

/■(«-"") = ^«;' «-""' = [-']- [t\ = - 2m ((I - D) 

wenn allgemein mit [f] der in der Reihe 6 = 0, 1, 2 . . . (w — 1) be- 
findliche Rest der Zahl t nach dem Modul n bezeichnet wird. Mai] 
erhält daher, Avenn, wie oben vorausgesetzt wurde, n positiv ist, 

(^ = 2' ( M - [- *^ ! ((t - 1)) = 2.^ ((1 - i)) ((^' - i)) 

wo t ein vollständiges Restsystem (mod. n) zu durchlaufen hat. Diesei 
Ausdruck für (ni, n) in Form einer endlichen Summe lässt sich nocl: 
umformen und bedeutend vereinfachen, was aber hier unterbleiben soll 
Es sollen hier nur noch zum Schluss die Formeln zusammengestelH 
werden, die sich aus dem Hauptsatze IL und dem Formelsystem I. füi 

die Annäherung von ca an den Werth — ergeben, woraus die Riem.ann' 

sehen Resultate folgen müssen. In demselben ist zur Abkürzung ge- 
setzt 

Ä = TTr-T T J -^ = 17 log : \- - log M^ . 

Es folgt dann: 

= log,(a,) +2A + B +^ J2(m, ») - m j 

= logj)(2fi,) + ^ + B + llog2 + ^j(2m,«)-«j 

wenn n^l (mod. 2] 

= Yogri{2a,) +4A + B + J^ [^ {«'' y) - ''j 

wenn n^O „ 

Ö = log,(f) + A + B +^J2K2«)-«j 

wenn m ^ 1 

2 

wenn m^O „ 
O = logrim^)+ Ä + B +^{2(m + «, 2w)-m-wl 

wenn m -\- n =^1 (mod. 2 

= log,C-±^) + 4^ + I?-|log2 + ^(2(^t^,«)-^^") 

wenn m -\- n^O (mod. 2^ 



O = log^(f) +4^ + Ji-ilog2 + ^{2(f,«) 



Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten. 447 

und hieraus: 

I. wenn m :^ n^ 1 (mod. 2) 

2 (2m, n) + (m, 2n) + 2 ("' + '\ n) = G(m, n) 
log^ = V2Ä - 210.2 + ':;' + ^ |(--±^, .) _ (2.., .)j 
log// = 12^ - 21og2 + ^^ [2('" + ^ n) - (m, 2«)j 

log^^= - 12.4-2iy+ 21og2 + i;^ \^{m, n) - 2('" + ^ ^) j 
IL wenn ?>i : : 0, n —^. 1 ( niod. 2) 

2(2m, n) + 2(y, n) + (;m + n, 2n) = Q>(m, n) 
log/.- = '^ + l[^ {(.. + n, 2n) - 2{2m, n)} 

log// = _ 12^1 + 21og2 + ll jfm + », 2^0 - 2(", >^)} 



^og ^ = — 2i>' + If^ (w, n) — (w + ??, 2n)\ 



IIL wenn w^ EzEE 1 , n^^O (mod. 2) 

4/m, y) "I~ (^^'' ^*^) ~f" (^^' + *^ 2w) = 6(/;/, m) 
log/; =-X2A + 21og2 +, !^' + fi {(m + «, 2«) - 4(,«, |)} 

logr= , +|1 [(,„ + „, 2«)- K2«)j 

log?= - 27i + "^ {(»», «) - («» + n, 2n)j 



XXVIII. 

Fragment aus der Analysis Situs. 

Zwei Einstrecke werden derselben oder verschiedenen Gruppen zu- 
gerechnet, je nachdem das eine stetig in das andere übergehen kann 
oder nicht. 

Je zwei Einstrecke, welche durch dasselbe Punktepaar begrenzt 
werden, bilden zusammen ein zusammenhängendes unbegrenztes Ein- 
streck und zwar kann dies die ganze Begrenzung eines Zweistrecks 
bilden oder nicht, je nachdem sie derselben oder verschiedenen Gruppen 
angehören. 

Ein inneres, zusammenhängendes, unbegrenztes Einstreck kann, 
einmal genommen, entweder zur ganzen Begrenzung eines innern Zwei- 
strecks ausreichen oder nicht. 



Es seien %, %, .., am m innere zusammenhängende unbegrenzte 
w- Strecke, welche, einmal genommen, weder einzeln noch in Verbin- 
dung ein inneres n -\- 1- Streck vollständig begrenzen können, und 
&i, &2J • ' > ^m '^yi ebenso beschaffene ^^-Strecke, deren jedes mit einen] 
oder einigen der a zusammengenommen ein inneres n -\- 1 - Streck voll- 
ständig begrenzen kann, so kann jedes innere zusammenhängend« 
w-Streck, welches mit den a die ganze Begrenzung eines inneren w + 1 
Strecks bilden kann, dies auch mit den h und umgekehrt. 

Bildet irgend ein unbegrenztes inneres w- Streck mit den a zu 
sammengenommen die ganze Begrenzung eines inneren n -j- 1 - Strecks 
so können in Folge der Voraussetzungen die a nach und nach elimi 
nirt und durch die h ersetzt werden. 

Ein ^^Streck A heisst in ein anderes B veränderlich, wenn durcl 
A und durch Stücke von B ein inneres w -f- 1 - Streck vollständig be 
grenzt werden kann. 

Wenn im Innern einer stetig ausgedehnten Mannigfaltigkeit mi^ 
Hülfe von m festen, für sich nicht begrenzenden, ?^-Strecksstücke} 
jedes unbegrenzte n- Streck begrenzend ist, so hat diese Mannigfaltig 
keit einen m + 1- fachen Zusammenhang ^^ter Dimension. 



XXVIII. Fragment aus der Analysis Situs. 44'.' 

Eine stetig ausgodelinte zusammenhängende Mannigfaltigkeit lieisst 
einlach zusammenhängend, wenn der Zusammenhang jeder Dimension 
einfach ist. 

Ein Querschnitt einer begrenzten stetig ausgedehnten Maimig- 
faltigkeit Ä heisst jede im Innern derselben verlaufende zusammen- 
hängende Mannigfaltigkeit B von weniger Dimensionen, deren Be- 
grenzung ganz in die Begrenzung von Ä fällt. 

Der Zusammenhang eines >i-Strecks wird durch jeden einfach zu- 
sammenhängenden u — w- streckigen Querschnitt entweder in der witen 
Dimension um 1 erniedrigt oder in der m — 1 ten Dimension um 1 
erhöht. 

Der Zusammenhang fiter Dimension kann nur geändert werden, 
indem entweder unbegrenzte nicht begrenzende ft- Strecke in begrenzte 
oder begrenzende in nicht begrenzende verwandelt werden, ersteres in 
sofern zur Begrenzung eines |u,-Strecks, letzteres in sofern zur Be- 
grenzung eines ^ -f- 1-Strecks neue Theile hinzukommen. 



Abhängigkeit des Zusammenhangs der Begrenzung J> einer stetig 
ausgedehnten Mannigfaltigkeit Ä von dem Zusammenhang derselben. 

Die unbegrenzten innerhalb B nicht begrenzenden Vielstrecke 
zerfallen in solche, welche innerhalb Ä nicht begrenzen, und solche, 
welche innerhalb Ä begrenzen. Untersuchen wir zunächst, wie der 
Zusammenhang von B durch einen einfach zusammenhängenden Quer- 
schnitt von Ä geändert wird. 

Ä sei von der ^^ten, der Querschnitt q von der mten Dimension, 
a eine Hülle eines Punktes von q von der n — 1 — m ten Dimension, 
welche q nicht schneidet, p die Begrenzung von q. 

Der Zusammenhang von Ä wird in der )i — 1 — m ten Dimension 
um 1 vermehrt, wenn a innerhalb^' nicht begrenzt, in der n — wi ten 
Dimension um 1 vermindert, wenn a innerhalb Ä' begrenzt 



Ä = i _J j wenn a innerhalb Ä' nicht begrenzt (a) 
= ( j wenn a innerhalb Ä' begrenzt (ß) 



*) 



*) Es finden sich im Manuscript hier noch uinifje Zeichen, deren Bedeutung 
und Zusammenhang ich nicht entziffern konnte. 

ßiKMANN's gesammelte matliematisdie Werke. I. 29 



450 XXV in. Fragment aus der Analysis Situs. 

Aenderung 
I. a innerhalb A nicht begrenzend ^,q^ ^ ^^^^ _g 

a innerhalb B' nicht begrenzend A>;, + 1\ (n m 1 m \ 

folglich p innerhalb B begrenzend. \_|_x/ \ _\\ +1/ 
IL a innerhalb A' begrenzend 

a innerhalb B' nicht begrenzend ( j ( _i 1 ) 

folglich p innerhalb B begrenzend. "■" 

III. a innerhalb A' begrenzend 

a innerhalb B' begrenzend ( i ) ( i i ) 

folglichjp innerhalb ^ nicht begrenzend. 

Zwei Vielstreckstheile (Raumtheile) heissen zusammenhängend oder 
einem Stück gehörig, wenn sich von einem inneren Punkt des einen 
durch das Innere des Vielstrecks (Raumes) eine Linie nach einem 
inneren Punkt des andern ziehen lässt. 



Lehrsätze aus der Theoria Situs. 

(1.) Ein Vielstreck von weniger als n — 1 Dimensionen kann nicht 
Theile eines n-Strecks von einander scheiden. Ein, zusammenhängendes 
w-Streck hat entweder die Eigenschaft, durch jeden n — 1- streckigen 
Querschnitt in Stücke zu zerfallen oder nicht. Den Inbegriff der er- 
steren bezeichnen wir durch a. 

Wird ein unter a gehöriges w-Streck durch einen n — 2-streckigen 
Querschnitt in ein anderes verwandelt, so ist dies zusammenhängend 
und gehört entweder zu a oder nicht. 

Diejenigen ?^- Strecke a, welche durch jeden n — 2-streckigen 
Querschnitt unter die Nicht-« versetzt werden, bezeichnen wir durch a^. 

(2.) Wird ein Vielstreck A durch einen |Lt-streckigen Querschniti 
in ein anderes A' verwandelt, so bildet jeder Querschnitt von mehr 
als ^ -\- 1 Dimensionen von A einen Querschnitt von A' und um- 
gekehrt. 

Wird eins der w- Strecke % durch einen n — 3 -streckigen Quer- 
schnitt in ein anderes verwandelt, so gehört dies zu den a (2), kanr 
aber entweder zu den a^ gehören oder nicht. 

Diejenigen unter den a^, welche durch jeden n — 3-streckigei 
Querschnitt unter die Nicht -% versetzt werden, bezeichnen wir durch a^ 

Fährt man auf diese Weise fort, so erhält man zuletzt eine Kate 
gorie an — 2 von n- Strecken, welche diejenigen der an — z umfasst, die 
durch jeden einstreckigen (linearen) Querschnitt unter die Nicht-a^«-.; 
versetzt werden. Diese w-Strecke a„_2 nennen wir einfach zusammen 



XXVIII. Fragment aus der Analysis Situs. 451 

I 

hängend. Die ?i- Strecke a^ sind also einfach zusammenhängend, in 

sofern von Querschnitten von n — ft — 2 oder weniger Dimensionen 
abgesehen wird und sollen bis zur n — ft — 2ten Dimension einfach 
zusammenhängend genannt werden.*) 

Ein j^Streck, welches nicht bis zur n — Iten Dimension einfach 
zusammenhängend ist, kann durch einen n — 1 -streckigen Querschnitt 
zerlegt werden, ohne in Stücke zu zerfallen. Das entstandene n- 
Streck kann, wenn es nicht bis zur n — Iten Dimension einfach zu- 
sammenhängend ist, durch einen ähnlichen Querschnitt weiter zerlegt 
werden, und offenbar lässt sich dies Verfahren fortsetzen, so lange 
man nicht zu einem bis zur n — Iten Dimension einfach zusammen- 
hängenden gelangt ist. Die Anzahl der Querschnitte, durch welche 
aine solche Zerlegung des n-Strecks in ein bis zur ersten Dimension 
3infach zusammenhängendes bewerkstelligt wird, kann zwar nach der 
Wahl derselben verschieden ausfallen, offenbar aber muss sie für eine 
jrattung von Zerlegungen am kleinsten werden. 



*) In Ueberein Stimmung mit dem Folgenden sollten wohl die w- Strecke a 
ils zusammenhängend bis zur n — [i — Iten Dimension bezeichnet sein. 



29' 



XXIX. 

Convergenz der jp-fach unendlichen Theta- Reihe.*) 

Es kann die Untersuchung der Convergenz einer unendKchen Reihe 
mit positiven GHedern immer reducirt werden auf die Untersuchung 
eines bestimmten Integrals nach folgendem Satlz: 

Es sei 

«1 + % + «^3 H 

eine Reihe mit positiven abnehmenden Gliedern^ ferner f(x) eine iiit 
wachsendem x abnehmende Function, so ist: 

a-\- 1 

/■(«) >Jmdx > f(cc + 1) 

a 

und mithin: 

« + 1 

m + fW + ••• + /■(») >J'f{x)dx > /■(!) + f(9) + ...+ f(n + 1). 



Die Reihe 

m + /■(!) + /'(s) + • • ■ • 

convergirt und divergirt daher gleichzeitig mit dem Integral 



Q 



f(x) dx. 



Ist nun f{n) positiv und an <if{ri), so wird die Reihe: 

«1 + »2 + % H 

ebenfalls convergiren, sobald jenes Integral convergirt. Daraus f( Igt 
der Satz: 

Ist an<Cf(x), sobald n^x ist, so convergirt die Reihe 27««, so- 

bald das Integral Jf(x)dx convergirt. 





*) Diese und die folgende Abhandlung sind einer Vorlesung entnomi len, 
welche Riemann in den Jahren 1861 u. 1862 gehalten hat. Der Bearbeitung 1 egt 
ein von G. Roch geführtes Heft zu Grunde. 



XXIX. Convcrgciiz der 7>-fucli uin-adliclieu Tliotii-iioiho. 453 

Setzt man nun x = 9O/), f{x) = fiMll)) = F{y), so erhält man 

J mdx ^ j' F{y) <p'iy)dy . 



AVenn mm die beiden Variablen x-, y gleiehzeiti«,' ab- und zuneh- 
men (und zwar bis unendlich) so wird nach den gemachten Voraus- 
setzungen mit wachsendem y F(y) abnehmen, (p(y) wachsen. Darnach 
liehen die oben gefundenen Bedingungen der Convergenz in folgende 

über: 

Die Reihe Za^ convergirt, wenn für n > (p(y) a„ < l\y\ oder, was 
ilasselbe ist, wenn für a„ ^ F{y) n < (p{y) ist und das Integral 



jF(:y)<p'(y)dy 



(onvergirt. 



Ist nun an>F{y)j so sind es auch a^, a.^j .., «n-i. Ist also 
'i„^i <F{y), so ist n die Anzahl der Keihenglieder, welche grösser 
als F{y) sind. Daher lässt sich der Satz auch so ausdrücken: • 

Sind F{i)), (p (y) zwei Functionen, von denen die erste mit wachsen- 
dem y abnimmt, die zweite (ins Unendliche) zunimmt, und ist die An- 
zahl der Glieder einer Reihe mit positiven Gliedern, die gleich oder 
grijsser als F{y) sind, kleiner als (p(j/), so convergirt die Reihe, wenn 

das Integral j F{y) (p\y)dy convergirt. 

ij 

Es sollen nun solche Functionen für die ^^-fach unendliche '9"-Reihe 

p p p 

» \ p Zi El' tti. i Wi mi 4- 2Z» vit Vt 
—^^11 '1 

e 



m 



aufgesucht werden, in der wir, ohne die Allgemeinheit zu beeinträch- 
tigen, zunächst voraussetzen können die Grössen Wj, ,• und Vi seien reell. 
Das allgemeine Glied dieser Reihe: 

p p i> 

Zi Z\' cit, i Uli m«' -+- 2 Zi nu Ct 

11 1 

e 

ist grösser als e~'''' wenn 

p p p 

1 1 1 

Für unsern Zweck kommt es also darauf an, festzustellen, wie viele 

Combinationen der ganzen Zahlen m,, ;//., .., in,, dieser Ungleichung 
genügen. 



454 XXIX. Convergonz der _2j- lach unendlichen Theta-Ileihe. 

Zu dem Ende betrachten wir zunächst das mehrfache bestimmt! 
Integral 

Ä = I j '" I dx^ dx^ . . dXp 
dessen Begrenzung gegeben ist durch die Ungleichung 

1 1 
Das Integral wird immer, und nur dann einen endlichen Werth haben, 
wenn die homogene Function zweiten Grades 

]) p 

^i J^i eil, i Xi Xi 

1 1 
in eine Summe von 2> positiven Quadraten zerlegt werden kann. Denn i^ t 

— ^ ^ at, i x,xc = i{-\-i\-\ f- ^1 

so ist die Begrenzung des Integrals bestimmt durch die Ungleichung, 
und das Integral A wird: 

Die Functionaldeterminante ist eine endliche Constante und von den 
Variablen t kann keine absolut grösser als 1 werden. 

Wären andrerseits die t^ nicht alle positiv, oder würden einioj 
in der transformirten Form fehlen, so würden im IntegralJ. auch un- 
endliche Werthe von t vorkommen und somit Ä selbst unendlich werdej . 

Dieses Ergebniss wird in Nichts geändert, wenn wir statt der obc n 
angenommenen Begrenzung des Integrals Ä die folgende nehmen: 

— ^ ^a^^i'XcXi' — 2^ a,x, < 1, 

t i' i 

wenn die a^ beliebige reelle Grössen sind. Betrachten wir nun d e 
Ungleichung 

i t' i 

oder, indem wir -j^ = Xt setzen, 

— ^ ^ ai, t' XcXi — 2^ ~x,<l, 

i i' t 

so folgt zunächst, dass für jedes endliche h nur eine endliche Anzajil 
von Combinationen der ganzen Zahlen m^^m^j . .,mp dieser Ungleichui g 
genügen, denn die Xi müssen alle innerhalb gewisser endlicher Grenze ii 



XXIX. Convcrgcnz der yj- lach uncmUiuhfn IMicta -Rnilie. 455 

bleiben, und innerhalb solcher Grenzen giebt e« nur eine entUiche An- 
zahl rationaler Zahlen mit gegebenem Nenner h. 

Es sei also ^u die Anzahl der zulässigen Combinatiouen der 
Zahlen m. 

Betrachtet man nun die über alle diese Combinationen erstreckt« 
Summe 

h h h 



~h 



so ist dieselbe für jedes endliche h endlich und nähert sich mit un- 
endlich wachsendem h der Grenze Aj von der wir nachgewiesen haben, 
dass sie gleichfalls endlich ist, falls die Function — ^ ^ai, «• Xt Xc durch 

y positive Quadrate darstellbar ist. Setzt mau diese Summe daher 
gleich A + /;, so ist Ic eine endliche Grösse, die mit unendlich wachsen- 
dem h gegen convergirt. Es ist also 

3* = U + &)/»", 

und dies ist die Anzahl n der Glieder der Theta- Reihe, welche > c'~'*' 
sind. Es ist sonach 

n <{A-\- K)hi', 

worin K eine Constante ist, der man, wenn man nur das /*, von dem 
man ausgeht, gross genug annimmt, einen beliebig kleinen Werth er- 
theilen kann. Die Functionen i^(7/), (p{y) können also folgendermassen 
angenommen werden 

und da das lnte<?ral 



/ 



e-'y\A + K)piß-^dy 



convergirt, so gilt das gleiche von der '9"-Keihe unter der angegebenen 
Voraussetzung. Hieraus schliesst man : Diej;-fach unendliche Theta- 
Reihe convergirt für alle Werthe der Variablen i\j v^y..,Vpy 
falls der reelle Theil der quadratischen Form im Exponenten 



wesentlich negativ ist. 



XXX. 

Zur Theorie der Aber.sclieu Fiinctioneii für den Fall p = 3. 

Es sei (c^, 6'2, .., Cp) ein Grössensystem, welches die Eigenschaft 
hat, dass 

ist. Nach Art. 23. der Abhanclliing über die Theorie der Ab ersehen 
Functionen (S. 127) lässt sich unter dieser Voraussetzung die Con- 
gruenz befriedigen 

fe, e,, . ., e,) ^ (V„(;i, . . ., ^'«r) ^ {-2<' -' -T"l') 

11 P ß 

durch gewisse Punkte i^^, %, .., y]2p — 2, welche durch eine Gleichung 
q) = verknüpft sind. Sind daher it^^ nnd U/,i die Werthe, welche die 
Integrale erster Gattung U/^i für zwei unbestimmte Werthsysteme s, z 
und 5i; ^1 annehmen, so verschwindet die Function 

^(u^ — u\ — e^, . . . , Up — ti'p ~ Cp) 
als Function von s, s betrachtet für (5, £) == (s^, z^) und in den j|j — 1 
Punkten r]^, %,--, yjp -1, als Function von 5^, s^ betrachtet für (sj^, 2^ = (s, z) 
und in den Punkten rj^^, . ., r]2jj — 2' Ist also (/i, /*2, • -, fp) ein Grössen- 
system von denselben Eigenschaften wie (q, 62, .., Cp) so wird die 
Function 
(r\ '9-( Mi — u\ — e,,. .) ^{u^ — u\ -{-e,,. .) 

^ -^ -^K — w'i — /; , . .) ^K — "s + /;,..)' 

die sowohl in Bezug auf s, z als in Bezug auf 6\, z^ rational ist, in je 
einem durch eine Gleichung cp = verknüpften Punktsystem unendlich 
gross und unendlich klein von der ersten Ordnung werden, und wird 
daher darstellbar sein in der Form 

p p 

y! Cv 9 vis, Z) ^ C^. 9),, (Si, Z^) 

(2) 






^ K %' («' '^) ^ K %' («1 ' ^1 ) 
1 1 

worin die Coefficienten ?>, c von 5, z und s^, z^ unabhängig sind. 



XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den i'all i> =- 3. \i}1 
Wenn nun die Grössensysteme 6', f die Eigenschaft haben, «las^ 

^'^ (/;,/;, .•,/•.)-(-/;, -/., ..., -f,) 

ist, so fallen die Punkte, in dene;i die Function (1) oder (2) Null i<'s[). 
unendlich wird, paarweise zusammen und wir erhalten eine Function, 
welche nur in j) — 1 Punkten unendlich gross und unendlich klein 
von der zweiten Ordnung wird. Hiernach ist die Function 




p p 

l 1 

1 1 



wie die Fläche T' verzweigt und nimmt beim Ueberschreiten der Quer- 
schnitte Factoren an, welche = + 1 sind. Die auf diese Weise be- 
stimmten Functionen 



welche in j> — 1 Punkten unendlich klein in der ersten Ordnung wer- 
den, heissen Abel' sc he Functionen. Sie entstehen aus den Functionen 
cp durch paarweises Zusammenfallen der 0- Punkte und ^Vurzelziehen. 
Die Anzahl dieser Functionen ist im Allgemeinen eine endliche. 

Es verlangt nemlich die Congruenz (ß), dass die GrössensysteniS 
Cj f von der Form seien 

K^^ + i^i^i.iH \-i^pi'p,i, ••••, ^p'y + ih^ii-p-\ ^i^P^p^p) 

worin die s, e ganze Zahlen bedeuten, welche auf ihre kleinsten Reste 
(modulo 2) reducirt werden können. Die Bedingung 0- (e^ , 6'^, . . , Cp) = 
wird durch ein solches Grössensystem im Allgemeinen nur erfüllt wenn 

(4) f 1 £'1 + 6, 82 -\ h £jj 4 ^ 1 (mod. 2) 

ist. Solche Zahlensysteme s, s existiren aber 2^"~^(2^ — 1), und so 
gross ist daher auch im Allgemeinen die Zahl der Abel'schen Functionen. 
Der Zahlencomplex 



Au ^-2, •', ^p\ 



.p. 
heisst die Charakteristik der Function 



V 



p 



und wird mit 



{y£c,v.{s,z)) 



458 XXX. Zur Theorie der Abcrschcn Functionen für den Fall p = 3. 

bezeichnet. Man nennt die Charakteristik ungerade, wenn die Cougruenz 
(4) erfüllt ist, sonst gerade. Die Anzahl der geraden Charakteristiken 
beträgt 2^-1(2-^+1) und diesen entsprechen im Allgemeinen keine 
AbeFschen Functionen. 

Unter der Summe zweier Charakteristiken versteht man die Cha- 
rakteristik, welche durch Addition entsprechender Elemente entsteht, 
wonach die Elemente immer auf oder 1 reducirt werden können. 
Summe und Differenz zweier Charakteristiken sind daher identisch. 



Es soll nun zunächst die Gleichung F{s^ z) = durch Einführung 
neuer Variablen in eine symmetrische Form gebracht werden. Ist 
jj > 3, so existiren mindestens drei von einander linear unabhängige 
Functionen cp, und man kann daher die Gleichung F{s, z) =^ um- 
formen durch Einführung der Variablen 






(falls zwischen diesen keine identische Gleichung besteht, was im All- 
gemeinen nicht der Fall ist). 

Genügen die Functionen cp^, cp.,^ cp.^ nicht besonderen Bedingungen, 
so gehören zu jedem Werth von | 2p — 2 Werthe von ^ und um- 
gekehrt, da jede der beiden Functionen 

9^1 — Wiy 9^2 — V^6 
für ein constantes 5, resp. t] in 2p — 2 Punkten verschwindet. Die 
resultirende Gleichung i^(J, rj) = ist also in Bezug auf jede der 
Variablen vom Grade 2p — 2. Da ausserdem dieser Grad erhalten 
bleiben muss, wenn für |, rj irgend eine lineare Substitution gemacht 
wird, so kann in dieser Gleichung kein Glied in Bezug auf |, rj zu- 
sammengenommen die (2p — 2)te Dimension übersteigen. Die übrigen 
Functionen q) werden, durch J, rj ausgedrückt, in Functionen über- 
gehen, in denen kein Glied die (2p — 5)te Dimension überschreiten 

kann, wie man daraus erkennt dass / j^rdi] endlich bleiben muss 



dl, 



für unendliche Werthe von J und iq. 

Die Anzahl der Constanten, die in einer solchen Function (2p — 5)ten 
Grades vorkommen, ist = (p — 2) {2p — 3). Bestimmt man r von 
ihnen so, dass die Functionen (p für die r Werthepaare (y, d) wo 

-7^-r- , -TT- zugleich verschwinden, ebenfalls werden, so müssen i) Con- 

stauten übrig bleiben, da es p linear unabhängige Integrale erster 
Gattung giebt. Es ist demnach 



XXX. Zur Theorie der Aberbchcn Functiuucn für den Füll j> -= a. 459 

(i)-2)(2i,-3)=i, + r 
und lolglich: 

r = 2(2;-l)Cp- 3). 
Zu demselben Ergebniss gelangt man auf folgendem Wege: Die 
Function -^ wird in {2]} — 2)X2p — 3) Punkten unendlich klein von 

der ersten Ordnung, und diese Zahl ist == w -f- 2r, wenn w die An- 
zahl der einfachen Verzweigungspunkte ist. Andrerseits ist (Theorie 
der AbePschen Functionen Art. 7.) 

w = 2(n +i9 — 1), n = 22) — 2 

w = 2(3i)- 3) 
mithin : 

r = (l}--i) (2p - 3) - i w = 2(p - 1) (j, -3). 
Werden nun silnimtliche Functionen (p durch |, rj ausgedrückt, so 
müssen die beiden Gleichungen: 

identisch werden, also: 

Es muss mithin eine Function 9)3 geben, die in Bezug auf |, rj nur 
von der {2p — 6) ten Dimension ist. Diese Function qp wird also für 
(2}) — 2) (2p — 6) = 2r der Gleichung F = genügende Werthepaare 
von I, rj verschwinden und wird demnach nur in den r Punktpaaren 
[y, d) gleich Null werden können. 

Endlich geht durch Einführung der neuen Variablen J = — , 

z 

rj = -^ und Multiplication mit ^^^^-^ die Gleichung F == in eine 

homogene Gleichung vom Grade 2}) — 2 für die drei Veränderlichen 
X, y, z über: 

F{x'Vj%) = 0. 



Für den Fall^ = 3 ist die Gleichung F(i >?) = <^ oderi^\./,y,^) = 
vom vierten Grad; es ist r = und die Function (p.^ reducirt sich auf 
eine Constante. Keine der Functionen (p kann den ersten Grad über- 
steigen und der allgemeine Ausdruck dieser Functionen ist 

(p = cl + C7] +€\ 

oder, wo es nur auf die Verhältnisse solcher Functionen ankommt, 

(p = ex -{- c y -j- c Zy 
worin c, c', c' Constanten sind. Jede Function 9 wird in vier Punkten 



460 XXX. Zur Theorie der Aberschcn Fuuctioiien für den Fall j^ = 3. 

uneiidlich klein von der ersten Ordnung und es giebt 28 solcher 
Functionen, deren Nullpunkte paarweise zusammenfallen. Die Quadrat- 
wurzeln aus diesen sind die AbeFsclien Functionen und wir haben zu 
untersuchen, wie sich die Charakteristiken diesen 28 Functionen zu- 
ordnen. 

Führen wir als Variable x, y, z drei solche Functionen tp ein, 
welche zweimal unendlich klein in der zweiten Ordnung werden, so 
dass Yx, Yijy Yz Abel'sche Functionen sind, so hat die daraus hervor- 
gehende Gleichung F(x, y, z) = die Eigenschaft, in ein vollständiges 
Quadrat überzugehen, wenn x oder y oder s = gesetzt werden. Es 
sei daher 

für x = : F = {y — azf {y — a zf 
für y = : F = [z ~ ßxf [z — ß' xf 
für z = : F = (x — yyf (x — yyf' 
8ind nun a, h, c die Coefficienten von x^, y^, z'^ in F(^Xj y, z), so ist: 

und folglich: 

(5) aa ßß' yy = + 1. 

Kennt man daher die Grössen a, a, ß, ß\ y, /, so kann man alle Glie- 
der der Function F{x, y, z) bilden, welche nicht das Product xyz 
enthalten, und F enthält ausserdem nur noch ein Glied xyzt, worin t 
eine lineare homogene Function von x^y,z ist. 

Wenn nun in der Gleichung (5) das obere Zeichen gilt, so kann 
man den ersteren Theil von F immer darstellen als das Quadrat einer 
homogenen Function zweiten Grades von x, y, z. Denn setzen wir 

/■= ai^ix^ -f a2,2r + ^^^^^^ + ^CL2,3y^ + ''2a3,i^x + 2ai.2^2/; 
so ergeben sich zur Bestimmung der Coefficienten a/,;^ die Gleichungen: 

« « == , a -f- a = — Z , 

«2,2 «2,2 

' ' «3,n ^ ' ' ' «3,3 ' 

«1,1 ' ' ' «1,1 ' 

welche immer befriedigt werden können, wenn aa ßß'yy == 1 ist. 
Unter dieser Voraussetzung geht also F = über in 

(6) p — xyzt = 0. 

Setzt man i^ = 0, so erhält man aus f^==() wieder zwei Paare einander 
gleicher Wurzeln und demnach ist auch Y^ ^^^^ AbeFsche Function 
und zwar eine solche, dass Y^V^^ ^ii^^ rationale Function von x^y,z ist. 



XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den Fall /> = 3. 461 

Sind daher (a) (h) (c) (d) die Charakteristiken von |/,/ , [/ //, Yz, YT, 
so muss 

(„+.+c.+.)=(r) 

oder 

(d) =• (a + /> + c) 

sein. Es muss also die Summe der Charakteristiken der drei Functionen 

Yxy YVj Y^ ®i^^ ungerade Charakteristik sein. 

Ist umgekehrt diese Voraussetzung erfüllt, und ist |/7 diejenige 
Abel'sche Function, die zu der Charakteristik {a -\-h -\- c) gehörte, so ist 
Yxyzt eine Function, die beim U eberschreiten der Querschnitte sich 
stetig ändert und mithin rational durch x', ^, z darstellbar ist, diese 
Function kann al)er den zweiten Grad nicht übersteigen, und daher 
ergiebt sich auch immer unter dieser Voraussetzung eine Gleichung 
von der Form (G). Diese Gleichung kann nicht identisch sein, wenn 
Y'X, YVj V^i V^ verschiedene AbeFsche Functionen sind. 

Da es 28 AbeFsche Functionen giebt, so kann die Gleichung 
F = {) auf mehrere Arten in die Form (6) gebracht werden. Wir 
wollen zunächst untersuchen, ob das Paar AbeFscher Functionen 
]/7, yt durch ein anderes Paar YPi V~(i ersetzt werden kann. 

Es möge also jP = durch Einführung von x, y, Py q in die 
Form gebracht werden: 

i'' — xypq = Oy 
dann muss, wenn ein constanter Factor passend bestimmt wird, die 
identische Gleichung bestehen: 

/-' — xyzt = j^'- — xypq 
oder: 

(f - t) {f + t) = A-lK^t - pq). 

Es muss demnach /' — i^ oder f -\- t durch xij theilbar sein und 
kann sich, da beide vom zweiten Grade sind, nur um einen Constanten 
Factor davon unterscheiden. Sei demnach 

t-f = ccxy, 
^ ^ <t + f)=-^t.+pq, 

woraus: 

iP = axy+f, 

' ^ 2a f -\- a^xy + ^t = PQ- 

Die linke Seite dieser letzteren Gleichung muss also in zwei lineare 
Factoren zerfallen: denken wir uns diese Function entwickelt in der 
Form 

f'\.\^''' + '''-',-'//" + fh,:\s'-^ + 2ch,sy^ + 2a3,izx + 2ai,2iry, 



462 XXX. Zur Theorie der AbeFschen Functionen für den Fall p == 3. 

SO sind die Coefficienten 6?,, ^ Functionen zweiten Grades von a; da aber 
die Determinante 

'V^h «1,1 «2,2 0^3,3 

verschwinden muss, so erhält man eine Gleichung 6ten Grades für «^ 
von der leicht einzusehen ist, dass sie die Wurzeln a = und « = oo 
hat, entsprechend den beiden Zerlegungen zt und xy. 

Es bleibt also eine Gleichung vierten Grades übrig, deren Wurzeln 
vier Functionenpaare p, q liefern, welche die verlangte Eigenschaft 
haben. 

Aus der zweiten Gleichung (8) folgt noch mit Hülfe von (6) 

pqst = zH^ + 2afzt + «Y' = {^t + «/')', 

so dass man die gewünschte Form der Gleichung F =0 auch durch 
die Functionen p, q, z, t herstellen kann. Gehen wir demnach von 
zwei beliebigen Abel'schen Functionen ]/^, ]/?/ aus, so erhalten wir 
6 Paare solcher Functionen: 

yxy, yzt, Vmu Vm2, Vms^ VmI: 

welche die Eigenschaft haben, dass durch je zwei derselben die Glei- 
chung F =0 auf die Form gebracht wird : 

p — xy^t == 0. 
Diese 6 Functionen müssen beim üeberschreiten der Querschnitte die- 
selben Factoren annehmen, da sonst nicht das Product von zweien 
derselben rational sein könnte. Solche 6 Producte von je zwei Abel'- 
schen Functionen nennen wir zu einer Gruppe gehörig. Da die 
Factor ensysteme an den Querschnitten für Producte von AbeFschen 
Functionen durch die Summen der Charakteristiken bestimmt sind, so 
folgt, dass die Charakteristiken aller Paare einer Gruppe dieselbe 
Summe ergeben müssen, welche die Gruppencharakteristik heisst. 
Aus den Gleichungen (8) und (6) ergiebt sich, noch 

2/"= ^^^ - ccxy = 2V^ yVt, 

woraus: 

pq = a^xy + 2ayicyV^t + ^t 
oder: 

(9) Y^q = yVt-\- aY^j , 

woraus man den Schluss zieht, dass jedes Product einer Gruppe linear 

durch zwei Producte derselben Gruppe ausgedrückt werden kann. 

Ordnet man sämmtliche 28 Abel 'sehe Functionen zu Paaren, so 

28 27 n 

erhält man — ~ — == G . 63 Paare, welche zu 6 und 6 in 63 Gruppen 



XXX. Zur Theorie der Abel'schen Functionen für den Fall p = 8. 40;; 

zerfallen. Jede der von (^^^ verschiedenen 63 Charakteristiken k;uiii 
Gruppencharakteristik sein. 

Um die Charakteristiken der G Paare einer Gruppe zu erhalten, 
hat man daher die betreffende Gruppencharakteristik auf 6 Arten in 
zwei ungerade Charakteristiken zu zerlegen. Als Beispiel hierfür diene 

die Gruppe mit der Gruppencharakteristik (qqa): 

/001Y_ /101\ /100\ _ /011\ /010\ /111\ , /iio\ 

_ /111\ /iio\ _ /oii\ /oio\ /ioi\ /ioo\ 

— Voio; -T- Voio; — Viio;"T" Vno; — vnoy + Vnoy* 

Wenn drei Paare AbePscher Functionen bekannt sind, so erhält 
man die übrigen Paare derselben Gruppe durch Auflösung einer cubi- 
schen Gleichung, und man kann mit ihrer Hülfe sämmtliche übrigen 
Abel'schen Functionen mit ihren Charakteristiken bestimmen. 

Um dies durchzuführen, nehmen wir an, es seien l/a;|, Vyrjy YJl 
drei Paare einer Gruppe, so dass |, rj, t, als lineare homogene Functionen 
von X, yy z gegeben sind. 

Durch passende Bestimmung constanter Factoren kann die Glei- 
chung (9) in der Form angenommen werden: 

(10) ^ i^ + -/y^ + yrj_o, 

woraus sich ergiebt: 

zl == x^ + yr] + 2yxly7] 
oder 

(11) 4:xiyri = {zt, — x^ — yrjf, 
so dass 

(12) f^,^^,.^^,,,, 

wird. 

Um alle in die Gruppe Yööl, Yy^l gehörigen Paare zu finden hat 
man nach dem Obigen eine biquadratische Gleichung zu lösen, von 
der aber eine Wurzel, dem Paare ]/<^5 entsprechend, bereits bekaimt ist. 
Die Rechnung wird daher symmetrischer, wenn man zunächst die Paare 
der Gruppe ]/a;^, in welche auch das Paar ]/?/| gehört, aufsucht. 

Ist Ypq ein weiteres unbekanntes Paar dieser Gruppe, so hat man 
neben der Gleichung (11) eine mit ihr identische: 

(13) 42/IP3 = ,p^ 
wenn (nach 8) 

^=r+2kyl, 

worin A eine noch unbekannte Constante bedeutet. Hieraus erhält luan 



464 XXX. Zur Theorie der Aberscben Functionen für den Fall p == 3. 
mittelst (11) und (12) 

und clemnacli ist (von dem Factor X abgesehen) 

pq = ,,;| + y^ - ,jj + ^'' + 1>A 
= (H-{'-)u- + A.v)-.?g; 

für :z; -j- A?/ = und .z = muss eine der beiden Functionen p, q. 
etwa p verschwinden^ woraus, wenn ^ einen weiteren unbekannten 
Coefficienten bedeutet^ folgt: 
(14) p = X -{- ly -\- ^z, 

und hieraus weiter, da p und s nicht identisch sind, 



; n- Y -t- ^ 

also mit Hülfe von (13): 



(15) I +.;>- + i. = ._ .2 



, , „ ~ a-p, 



ax + «A?/ + a^^ + 1 + ^ + X = 0, 

oder indem man /la, ^la durch Z>, c ersetzt: 

(16) ax + 6»/ + c^ + I + 1 + 1 = 0, 

wonach man, da es auf einen constanten Factor bei p und q nich 
ankommt, erhält: 

,. = «a: + % + c. = -(l + f + |), 

2 = i + l + «^ = -(«* + *y + l)- 

Da es vier Paare p, q giebt, so müssen sich vier Systeme a, h, i 
bestimmen lassen. 

Um hierzu zu gelangen berücksichtige man, dass zwischen dei 
6 Functionen x, y, z, 5, V} S ^^'^i homogene lineare Gleichungen be 
stehen, die wir durch w^ == 0, Wg = ö? u^ = bezeichnen. Wir leite i 
hieraus mit den unbestimmten Coefficienten ?i, h, l^ eine lineare Com 
bination her: 

\u^ + l^iL, + ^3^3 = ax-\- ßy + yz + « | + ß' n + /J = 
worin «, /3, }^, «', /3', / lineare homogene Ausdrücke in l^, l,, I3 sind 
Diese Relation wird die Form (16) haben, wenn die Bedingungen er 
füllt sind: 

aa =ßß' = yy, 

woraus man vier Werthsysteme für die Verhältnisse 1^ : h : l^ erhält. 



XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den Fall ;; »= :). 465 

Man gelangt am elegantesten zum Ziel, wenn man sich die 
Functionen |; ^, f durch drei Gleichungen von der Form gegeben 
denkt: 

^ + ?/ + ^+ i + n + i =0, 

(17) ax + ß!/ + yz + ^ + j + ^^ 0, 

ax + ß'!/+y,+ l + -j + |. = 0. 

Dass die Coefficienten in den ersten dieser Gleichungen die Werthe 1 
haben, kann man durch Hinzufügung constanter Factoren zu Xy y, z^ 
l, 7], 5 bewirken, wobei zugleich die Gleichung (10) ihre Form nicht 
ändert. 

Aus den Gleichungen (17) muss als identische Folge eine vierte 
von der gleichen Form sich ergeben:" 

(18) ax + fy + y"z + -K + ^.. + 4 = 0. 

Um also a\ ß" , y" zu erhalten, hat man die Coefficienten A, A', A" 
aus folgenden Gleichungen zu bestimmen: 

r «" = A'«' + A«+1, il = il-i-l+i 

(19) r/3" = r /i' + A/? + 1 , J',', = I + i- + 1 , 
rf ^ i'r + Aj. + 1 , \, = ^ + 1 + 1. 

Durch Multiplication zweier entsprechender von diesen Gleichungen 
ergiebt sich 

A"^> = r' + A^ + a'(A + ^) + A (« + }) + ;; («' + A) + i, 
(20) r^ = Z'^' + A^ + AA'(| + J) + A (/} + -J) + r(/3' + A) + 1 , 

^'2 _ ^'. + ^. + ^^' (1, + V-) + A (r + \) + r (/ + ;.) + 1 . 

Eliminirt man aus je zweien derselben A", so ergeben sich für , , 
die folgenden beiden linearen Gleichungen: 

o=M«+i-^-;)+i(«'+7--/^'-;') 

4. (iL I « _ _ 7'. _ y\ 

woraus A, A' eindeutig berechnet werden können. 

Biemann's gcaaiuniflte uiutheinatiscbe Werke. I. 30 



466 XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den Fall jj == 3. 



Aus einer der Gleichungen (20) erliillt man A" abgesehen von * 
Vorzeichen und aus (19) endlich a\ ß", y ebenfalls bis auf das aller 
gemeinschaftliche Vorzeichen^ welches der Natur der Sache nach un 
bestimmt bleibt. *) 

Hat man auf diese Weise d' ^ ß", y", so erhält man in der Gruppe 
Yxr], Yy^ die folgenden vier Paare AbeTscher Functionen: 

yax'+Jij+J^, y^ + f + r^ 

V^^+ß'y + 7^, V^ + j + y^ 
• 

Ycc-x^ßY+y'^, yi„ + j, + y',. 

Auf die gleiche Weise ergeben sich in der Gruppe Vx^^ Yi^ di< 
Paare : 



y^ + !/ + ^, 



Y^ + y + ^ 



Yax + ßy + yz, y ~ + ßy + 



Ydx + ßTy'+r'^, Y-^.' + ß'y + y 

und in der Gruppe Y V^y V^V ^i® Paare: 



Y^ + y + '^, Y^ + v + ^ 

Y'^^-vw+v^^, y «^ + y + 



Ya'x + ß'y + r^, ]/dx + 'l. + 



Ya"x^J^f+Yi, l/c/'x + l^+K, 



*) Setzt man zur Abkürzung: 

1, 1, 1 

1 

a 

1 

u 
ßo kann man a", (5", y" aus den Gleichungen 



1, 1, 1 






«, ß, y 


= («, 


ß, y), 


«', ß\ y 







, p, y 
, (3', y' 



y I etc. 



au a 



r' = («,|3,y)(«,ß.y):(|, J,7)Q-,|,-;) 



und den analogen Gleichungen bestimmen. 



XXX. Zur Theorie der AbeVschen Functionen für den Füll ;> = 3. 4G7 

SO (lass ausser den gegebenen (> Abelsclien Functionen 10 weitere 
bestimmt sind. Um die Charakteristiken derselben zu erbalten hat 
man nur zu beachten, dass die drei hier betrachteten Gruppen vier 
AbeTsche Functionen gemeinschaftlich enthalten. Bildet man also die 
entsprechenden Gruppen der Charakteristiken, so müssen diese vier 
Charakteristiken gemeinschaftlich haben und diese hat man den 
Functionen ^'•' 

V^ + y + ^, y^x+ ]h/ + yz, Yaj; + ß'i/ + yz, ^a'x-^- ß"y + y"z 

in einer beliebigen Weise zuzuordnen. Die Charakteristiken der übrigen 
AbeFschen Functionen sind dadurch vollständig bestimmt, weil sie 
mit diesen in den drei Gruppen in derselben Weise gepaart auftreten 
müssen, wie die entsprechenden Abel'schen Functionen. Diese Cha- 
rakteristiken lassen sich in folgender Weise symmetrisch darstellen. 

Es seien die Charakteristiken der Gruppen "[///t, V-s^S, Yxrj resp. 
mit (p), (q), (r) bezeichnet, ferner mit (d), (e), (/), {g) die Charakteri- 
stiken der vier Functionen 



y^ + ?/ + ^> y«^ -{■ ßy + y^y V(^'^ + ß'y + r^, yax + P'y + y"z 

und mit {n -\- p) die von '^x. Hiernach erhält man folgende Aus- 
drücke für die Charakteristiken: 

(}/,r ) = (n + iO , {Vil)= (« + <i) , {V^ = (« + r) 

(^ I) ^^n + q + r) , iVri) = (n + r + ;.), (Vi) = (n + p + q) 

(yV^r:fJy--fy,) = (c), (]/ax + l + I) = (p + e), 

(yT^^+Ji+Vi) = (f), (l/«'^ + } + 7) = ip + n 
(y^^'+j^r+f^) = (.y), iy^^ + } + f) = 0' + !», 



(21) 



iV¥+¥+i) =('z + '0, iVT +n + d =(>- + <i), 

{V^+ßi'+j) =0+'^)' {VJ+ }+y') =('•+')■ 

Nehmen wir beispielsweise an: 



468 XXX. Zur Theorie der Abersclien Functionen für den Fall j) = 3. 

(VI) -uro)' (y.)=(;^;:)' (yi)-{\ro) 

was statthaft ist, weil hiernach Yx^, Yj/r], Y^l i^ dieselbe Gruppe 
(ooo) o^^^ören, so folgt: 

00 = (oio)' (^i) = (oio)^ (0 - (ooo)^ (^0 - (llo) • 

Die vollständigen Gruppen {p), (</) sind: 

/0 11\_/100\ nil\ /101\ /110\ /()10\ /OOlN 
VOlOy' — \ll()) + \iOi)) — \\li))^\10()) — y)l\) + \00l) 

=(i;';)+a:;!)=(;;i)+("'.')=c;i;')+o 

/001\_/100\ /101\ /101\ /100\ /010\ , /011\ 

Voioy' — viio; + Vioo; — uioy + Viooy — \^oii/ + Vooi; 
= Voiij + voüi) = vi 11/ + (io 0=^(111) + (loi) 

woraus man erhält: 

und die Charakteristiken der in (21) zusammengestellten Functionen 
sind, in der gleichen Reihenfolge geschrieben: 

(loi)' (loc))' (uo)^ 

/ioo\ /iio\ /ioo\ 
• viooy' Vio^^v' \iit)y' 

/oio\ /ooi\ /oii\ A)oi\ 
voiiy' vooiy' \i)i)\)' \o\\)' 

/ii()\ /ioi\ /'iii\ /'lOiN 
Von/' \(){)i)' \i)()\)' \oi\)' 

/iii\ /ioo\ /iio\ /ioo\ 

Viii;' Vioi;' Vioi;' vmr 

/oio\ /ooi\ /oii\ /ooi\ 
Viiir \i^i/' \ioir VI117 

Es gilt nun von drei AbeTschen Functionen einer Gruppe, von 
denen keine zwei einem Paare angehören, der Satz, dass die Summe 
ihrer Charakteristiken immer eine gerade Charakteristik ist; denn be- 
trachten wir z. B. die drei Functionen "[/a;, YVj Y^ ^^^ drücken % tj, J 
linear durch x, y, z aus, so kann die Gleichung (10) in der Form an- 



genommen werden: 



XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den Fall p = 3. 409 

yx(ax + hy + cz) + iZ/^«'^ + 6'// + c'.-j + ^^ ziii'j^W y -\- c £) = 0. 
Setzen wir hierin der Reihe nacli x = 0, \j = 0, r = 0, so erhalten wir 
für die Produete der Wurzeln der quadratischen Gleichungen, die sich 
für das Yerhältniss der beiden andern Variablen ergeben, die Werthe: 

c" a h' 

~~ir' ~ c"> ~ a 

deren Product = — 1 ist. Dies aber ist nach S. 4G0, 461 das Kriterium 
dafür, dass die Summe der Charakteristiken der Functionen j/^, )/*/, "^ z 
eine gerade Charakteristik sei. 

Gestützt auf diesen Satz kann man beweisen, dass die IG AbeT- 
schen Functionen, die wir oben bestimmt haben, verschieden sind von 
den 12 in der Gruppe "j/xj vorkommenden Functionen. Denn ist Y^ 
ein in die Gruppe '^ x% gehöriges Paar, so sind die Charakteristikan 

(|/,^) + (>/|) + {}/p) , {Vii) + iVn) + iVp) , (V^) + (Vt) + iVi') 

ungerade und es kann nach dem soeben bewiesenen Satze yp in keiner 
der drei Gruppen 

iV^v) = (Vyl) , (V^i) = iV^i) , (Vit) = (V^) 

vorkommen. 

Die IG oben bestimmten Functionen liefern daher alle A heischen 

Functionen, die niclit in der Gruppe |/.x-| enthalten sind, und wenn wir 
die noch fehlenden G Functionen dieser Gruppe aufsuchen, so sind 
damit sämmtliche 28 AbePsche Functionen bestimmt. 
Um diese zu erhalten setzen wir 

t = x + y + z, n==^ + y] + z, 
und gehen aus von der Gleichung: 

(22) VfH=V^ + Vyi, 

welche sich leicht aus (10) und (17) ergiebt. Wir setzen die Functionen 

t, ^, y, ^h ni 5 
an Stelle von 

^, y, ^1 ^; »^ 5 
in der vorigen Iktrachtung, und erhalten zunächst zwischen diesen 
Variablen die Gleichung: 

(23) ^ - A' — // - ?( + ^? + S == 0, 

neben welcher noch drei andere bestehen müssen von der Form 

(24) ai + hx + c^ + du + V r] + dl = 

mit der Bedingung 

ad = hV == cc. 



470 XXX. Zur Theorie der AbeVschen Functionen für den Fall 2^ = 3. 

An Stelle der Gruppen (p + 5 + ^); {p)y G/) W treten jetzt die fol- 
genden : ^ _ 

{Y'tu) = {yx_n) = Wy}) = (0, 

(25) ■ ^^^) " ^^y^ ^ ^'^'^^ = (^' + '^ + '■)' 

iVtri) = iVux) = (n + d+p + r). 

In der ersten dieser Gruppen^ in (r), kommen folgende Paare von 
Charakteristiken vor: 

(r) = (n + p) + {n -{- r + p) = {n + q) + (n + r + q) 

= {d) + (r + d) = (e) + (r + e) = (f) + {r + f) = (g) + (r + g), 
und aus der Gleichung (23) erhalten wir folgende AbePsche Functionen: 

yi^^y^vj, y^+iTi = v-i 

deren Charakteristiken sind: 

(w + r), {n+2^ + q), (q + d), (p + d), 
die sich in folgender Weise in die drei letzten Gruppen (25) vertheilen: 

(p + ^ + ^0 = (^^ + ^0 + (^^ + p + a), 

{n + d-\-q + r) = {n 4- r) + (q + d), 

(n + d+p + r)=={n + r) + {p + d). 
Die Charakteristiken der noch nicht bestimmten AbeTschen' Functionen 
müssen nun, wie oben bewiesen, in der Gruppe (p -\- q -}- '^) enthalten 
sein. Bezeichnen wir daher diese Charakteristiken mit (Jc^, (Jci), (h'l), 
(^2); (^''2), (^"'2), so muss sich ergeben: 

iP + a + r) = {h + h) = (A + V2) = (Jh + K) 

und diese Charakteristiken kommen nicht in der Gruppe (r) vor. 

Die Vergleichung der Gruppen (25) mit den Gruppen (p -\- q -\- ^), 
(p)} Ö)? W lehrt nun aber, dass in denselben sämmtliche ungerade 
Charakteristiken überhaupt vorkommen müssen, und ferner dass die 
drei noch übrigen Paare der Gruppen (p -\- q -\- r)^ (^ + ^ + ^ + ^); 
(n -{- d -\- p -\- r) je eine Charakteristik gemein haben müssen. 

Nun kommt die Charakteristik (q + e) weder in der Gruppe (r) 
noch in (i? + ^ + ^) vor, und daraus folgt, dass man (Ji\) so aus- 
wählen kann, da.>is entweder 

ih + 2 + c) = (n + d + q + r) 
(K + i + e) = (n + d+p + r). 
Aus ersterer Annahme würde folgen: 

(fcO = (n + r + d + e). 

Dies aber ist nicht möglich, denn wir haben in der Gruppe (jp) 
die Paare: 



XXX. Zur Theorie der Abel'schen Functiouon für dm Füll ;> -^ ;< 171 

(n + r), (n + r+pj 
(d), (d + p) 

(0; (c +P) 
und daher ist nach dem oben (S. 4G8, 4(3l)) bewiesenen Satz 

(n + ri- d + e) 
gerade. Demnach ergiebt sich 

{K) = (n + d+c+p + q + r), 
und hieraus: 

Jc., = (n + d + c). 
Ebenso schliesst man: 

(k\) = (n + d + f + p + q + r), (kV) = in -{- d + f), 
(Ici) = (n + d + ij+p + q + r), (K) = in + d + g), 

und es enthält die Gruppe (n -\- d -\- p -\- r) die Paare: 

(^■i), (M + e) ; (/,■; I, (q + /) ; (Ä:','), (q + g) , 

woraus für die Gruppe (n + <? + (/ + >) die Paare folgen: 

(Ä^i), (i> + ^0; (A),ip + f)-, {^'i),{p + u)' 

Nach den Resultaten der früheren Betrachtung ergeben sich aus 
einer Gleichung von der Form (24) die vier AbeTschen Functionen: 
yat + hx + cy = )/— {au + 6'^~+7ij, 

yaT^b'r[+ cy = ]/— (a w + ftx -fc'i) , 
Yat -{- hx -{- c'i = Y— {au + Ürj + cy), 
deren Charakteristiken resp. sind: 

(K), (ß^, (p + e), (q+c) 
und unsere Aufgabe ist daher gelöst, wenn es gelungen ist, die Coef- 
ficienten a, h, c, a, h', c zu bestimmen. 

Nun ist aber die Function, deren Charakteristik (p -f- e) ist, oben 
bereits bestimmt: sie ist: 



1/ 



" + 1 + 7 



und wenn wir 

. = «.. + I + } = - (f + /?// + yz) 

setzen, so können wir die Coefficienten a, h, c, a', h', c dadurch be- 
stimmen, dass wir v in folgender zweifachen Form darstellen: 

V = at -{- h'i] + cij = — au — hx — c^. 
Dies erreichen wir iiuf folgende Weise: mittelst 

ii = i + t] + 2 = — X — y — t 
eliminiren wir aus den beiden Ausdrücken von v die Variablen z und 
f, wodurch sich ergiebt: 



4r72 XXX. Zur Theorie der Aberschen Functionen für den Fall p = S. 

' y \ y/ ' |3 y 

V + yu = - t,[l — y) + yi] — ßfj. 
Indem man hieraus r] und // eliminirt, folgt: 

J — ßy ' 1 — ^y a 1 — ßy 

nnd auf die gleiche Weise: 

^, = ^ ^ ~ "y I ^ P - y ^, «(ß — y) 

a — y ^^(3a — y "^ a — y 



woraus sich ergiebt: 

1 — ory , |5 — y 

1 — (3y ^ (5 o:— y ' 

_ aiß - y) , _ 1 1 - «y 

a — y al — py 

Hiernach lassen sich die beiden Abel'schen Functionen 



yat -}- hx -\- cy, Yau -|- hx + cy 
bilden. Ersetzt man darin t und ii durch ihre Ausdrücke in x, y, z, 
I, rj, l, so ergeben sich nach Unterdrückung constanter Factoren für 
die Function, die zur Charakteristik (/t^) gehört, die beiden Ausdrücke : 



-|/ . X , y , z l/ ^ . ^ I ^ 

F 1 - |3y ' 1 - ya "T" 1 - a^ ' F^ a(y - |3) ' ß(y - a) "" 1 - a |3' 

und für die zur Charakteristik (Ic^) gehörige Function: 

-l/ g I ^ ', g l/"j^ j 2/__ j L 

V «(1— ßy) ' ß(l — y«) "f" y(l— a|3) ' K y — ß "^ y — a "^ y(l —aß) 

Die zu den Charakteristiken (//i)^ (/4); (/^ij, (/t2) gehörigen Functionen 
ergeben sich hieraus sofort dadurch, dass tian a, ß, y durch a\ ß\ y 
re'sp. a , ßl\ /' ersetzt, womit sämmtliche AbeFsche Functionen nebst 
ihren Charakteristiken bestimmt sind. Die Charakteristiken (A^), (A-g), 
(/c'i), (Ai), (/vi), (74') würden sich bei dem oben gewählten Beispiel 
folgendermaassen gestalten: 

(^.)=a;2). ('.^^)=C19> ('.^-o^GlS-^ 

Da nun, wie oben gezeigt, d\ ß'\ y" durch «, ^, y^ a, ß', y aus- 
gedrückt werden können, bo sind hiernach sämmtHche AbeFsche 
Functionen mit allen ihren algebraischen Beziehungen ausgedrückt durch 
3p — 3 = 6 Constanten, welche man als die Moduln der Classe 
für den Fall p = 3 ansehen kann. 



Anhang. 



Fragmente philosophischen Inhalts. 

Die philosophischen Speculationen, deren Ergebnisse, so weit sie 
sich aus dem Nachlass zusammenstellen lassen, hier mitgetheilt sind, 
haben Riemann einen grossen Theil seines Lebens hindurch begleitet, 
lieber die Zeit der Entstehung der einzelnen Bruchstücke lässt sich 
schwer etwas Sicheres feststellen. Die vorhandenen Entwürfe sind 
weit entfernt von einer zusammenhängenden, zur Publication bereiten 
Ausarbeitung, wenn auch manche Stellen darauf deuten, dass Riemann 
zu gewissen Zeiten eine solche beabsichtigt hat; sie genügen allenfaNs 
um den Standpunkt Riemann's zu den psychologischen und natur- 
philosophischen Fragen im Allgemeinen zu characterisiren, und den 
Gang anzudeuten, den seine Untersuchungen genommen haben, leider 
aber fehlt fast jede Ausführung ins Einzelne. Welchen AVerth Rie- 
mann selbst diesen Arbeiten beigelegt hat, ergiebt sich aus folgender 
Notiz : 

„Die Arbeiten, welche mich jetzt vorzüglich beschäftigen, sind 

1. In ähnlicher Weise w^ie dies bereits bei den algebraischen 
Functionen, den Exponential- oder Kreisfunctionen, den elliptischen 
und Abel'schen Functionen mit so grossem Erfolge geschehen ist, das 
Imaginäre in die Theorie anderer transcendenter Functionen einzuführen; 
ich habe dazu in meiner Inauguraldissertation die nothwendigsten all- 
gemeinen Vorarbeiten geliefert. (Vgl. diese Dissertation Art. 20.) 

2. In Verbindung damit stehen neue Methoden zur Integration 
partieller Differentialgleichungen, welche ich bereits auf mehrere phy- 
sikalische Gegenstände mit Erfolg angewandt habe. 

3. Meine Hauptarbeit betrifft eine neue Auffassung der bekannten 
Naturgesetze — Ausdruck derselben mittelst anderer Grundbegriffe — 
wodurch die Benutzung der experimentellen Data über die Wechsel- 
wirkung zwischen Wärme, Licht, Magnetismus und Electricität zur 
Erforschung ihres Zusammenhangs möglich wurde. Ich wurde dazu 
hauptsächlich durch das Studium der Werke New ton 's, Euler's 
und — andrerseits — Her hart 's geführt. Was letzteren betrifft, so 
konnte ich mich den frühesten Untersuchungen Herbart's, deren Re- 



476 Fragiiiente philosophischen Inhalts. 

siiltate in seinen Promotions- und Habilitationstliesen (vom 22. u. 2r. 
October 1802) ausgesprochen sind, fast völlig anscliliessen, musste aber 
von dem späteren Gange seiner Speculation in einem wesentliche i 
Punkte abweiclien, wodurch eine Verschiedenheit in Bezug auf sein 3 
Naturphilosophie und diejenigen Sätze der Psychologie, welche derc i 
Verbindung mit der Naturphilosophie betreffen, bedingt ist." 

Ferner an einer andern Stelle zu genauerer Bezeichnung des Stan( - 
punktes: 

„Der Verfasser ist Herbartianer in Psychologie und Erkenntnis^- 
theorie (Methodologie und Eidolologie), Herbart's Naturphilosophie 
und den darauf bezüglichen metaphysischen Disciplinen (Ontologie und 
Synechologie) kann er meistens nicht sich anschliessend' 



Nee viea dona tibi studio diaperta fideli 
Intellecta prius quam sint, contemta relinquas. 

Lucretius. 



I. Zur Psychologie und Metaphysik. 

Mit jedem einfachen Denkaot tritt etwas Bleibendes, Substantielles 
in unsere Seele ein. Dieses Substantielle erscheint uns zwar als eine 
Einheit, scheint aber (in sofern es der Ausdruck eines räumlich und 
zeitlich ausgedehnten ist) eine innere Mannigfaltigkeit zu enthalten; ich 
nenne es daher „Geistes masse'^ — Alles Denken ist hiernach Bil- 
dung neuer Geistesmassen. 

Die in die Seele eintretenden Geistesmassen erscheinen uns als 
Vorstellungen; ihr verschiedener innerer Zustand bedingt die verschie- 
dene Qualität derselben. 

Die sich bildenden Geistesmassen verschmelzen, verbinden oder 
compliciren sich in bestimmtem Grade, theils unter einander, theils 
mit älteren Geistesmassen. Die Art und Stärke dieser Verbindungen 
hängt von Bedingungen ab, die von Herbart nur zum Theil erkannt 
sind und die ich in der Folge ergänzen werde. Sie beruht haupt- 
sächlich auf der inneren Verwandtschaft der Geistesmassen. 

Die Seele ist eine compacte, aufs Engste und auf die mannig- 
faltigste Weise in sich verbundene Geistesmasse. Sie wächst beständig 
durch eintretende Geistesmassen, und hierauf beruht ihre Fortbilduntr. 

Die einmal gebildeten Geistesmassen sind unvergänglich, ihre Ver- 
bindungen unauflöslich; nur die relative Stärke dieser Verbindungen 
ändert sich durch das Hinzukommen neuer Geistesmassen, 

Die Geistesmassen bedürfen zum >l^ortbestehen keines materiellen 
Trägers und üben auf die Erscheinungswelt keine dauernde Wirkung 
aus. Sie stehen daher in keiner Beziehung zu irgend einem Theile 
der Materie und haben daher keinen Sitz im Räume. 

Dagegen bedarf alles Eintreten, Entstehen, alle Bildung neuer 
Geistesmassen und alle Vereinigung derselben eines materiellen Trägers. 
Alles Denken geschieht daher an einem bestimmten Ort. 

(Nicht das Behalten unserer Erfahrung, nur das Denken strengt 
an, und der Kraftaufwand ist, soweit wir dies schätzen können, der 
geistigen Thätigkeit proportional). 



478 Fragmente philosophischen Inhalts. 

Jede eintretende Geistesmasse regt alle mit ihr verwandten Geistes - 
massen an und zwar desto stärker^ je geringer die Verschiedenheit 
ihres inneren Zustandes (Qualität) ist. 

Diese Anregung beschränkt sich aber nicht bloss auf die ver- 
wandten Geistesmassen ^ sondern» erstreckt sich mittelbar auch auf die 
mit ihnen zusammenhängenden (d. h. in früheren Denkprocessen mit 
ihnen verbundenen). Wenn also unter den verwandten Geistesmasse i 
ein Theil unter sich zusammenhängt^ so werden diese nicht blos m - 
mittelbar, sondern auch mittelbar angeregt und daher verhältnissmässi^* 
stärker als die übrigen. 

Die Wechselwirkung zweier gleichzeitig sich bildenden Geiste>'- 
massen wird bedingt durch einen materiellen Vorgang zwischen deii 
Orten wo beide gebildet werden. Ebenso treten aus materiellen Ur- 
sachen alle sich bildenden Geistesmassen mit unmittelbar vorher gt - 
bildeten in unmittelbare Wechselwirkung; mittelbar aber werden alle 
mit diesen zusammenhängenden älteren Geistesmassen zur Wirksan - 
keit angeregt, und zwar desto schwächer, je entfernter sie mit ihnen 
und je weniger sie unter sich zusammenhängen. 

Die allgemeinste und einfachste Aeusserung der Wirksamkeit 
älterer Geistesmassen ist die Reproduction, welche darin besteht, dai-s 
die wirkende Geistesmasse eine ihr ähnliche zu erzeugen strebt. 

Die Bildung neuer Geistesmassen beruht auf der gemeinschaftlichen 
Wirkung theils älterer Geistesmassen, theils materieller Ursachen, und 
zwar hemmt oder begünstigt sich alles gemeinschaftlich Wirkende nach 
der inneren Ungleich artigkeit oder Gleichartigkeit der Geistesmasse i, 
welche es zu erzeugen strebt. 



Die Form der sich bildenden Geistesmasse (oder die Qualität der 
ihre Bildung begleitenden Vorstellung) hängt ab von der relativen B^ - 
wegungsform der Materie in welcher sie gebildet wird, so dass gleicl e 
Bewegungsform der Materie eine gleiche Form der in ihr gebildete ii 
Geistesmasse bedingt, und umgekehrt gleiche Form der Geistesmas; e 
eine gleiche Bewegungsform der Materie, in welcher sie gebildet i^t, 
voraussetzt. 

Sämmtliche gleichzeitig (in unserem Cerebrospinalsystem) si( li 
bildenden Geistesmassen verbinden sich in Folge eines physischen 
(chemisch-electrischen) Processes zwischen den Orten, wo sie sich bilde i. 

Jede Geistesmasse strebt eine gleichgeformte Geistesmasse zu e '- 
zeugen. Sie strebt also diejenige Bewegungsform der Materie herz i- 
stellen, bei welcher sie gebildet ist. 



I. Zur Psychologie und Metaphysik. 470 

Die Annahme einer Seele als eines einheitlichen Trägers des Blei- 
benden, welches in den einzelnen Acten des Seelenlebens erzeugt wird 
(der Vorstelhmgen), stützt* sich 

1. auf den engen Zusammenhang und die geg.Mist'iiigt- Dunli- 
dringung aller Vorstellungen. Um aber die Verbindung einer bestimm- 
ten neuen Vorstellung mit anderen zu erklären, ist die Annahme eines 
einheitlichen Trägers allein nicht ausreichend; vielmehr muss die 
Ursache, wesshalb sie gerade diese bestimmten Verbindungen in dieser 
bestimmten Stärke eingeht, in den Vorstellungen, mit welchen sie sich 
verbindet, gesucht werden. Neben diesen Ursachen aber ist die An- 
nahme eines einheitlichen Trägers aller Vorstellungen überflüssig .... 



Wenden wir nun diese Gesetze ffeistiger Vorjjäntre, auf welche die 
Erklärung unserer eigenen inneren Wahrnehmung führt, zur Erklärung 
der auf der Erde wahrgenommenen Zweckmässigkeit, d. h. zur Er- 
klärung des Daseins und der geschichtlichen Entwicklung an. 

Zur Erklärung unseres Seelenlebens mussten wir annehmen, dass 
die in unseren Nervenprocessen erzeugten Geistesmassen als Theile 
unserer Seele fortdauern, dass ihr innerer Zusammenhang ungeändert 
fortbesteht, und sie nur in sofern einer Veränderung unterworfen sind, 
als sie mit anderen Geistesmassen in Verbindung treten. 

Eine unmittelbare Consequenz dieser Erklärungsprincipien ist. es, 
dass die Seelen der organischen Wesen, d. h. die während ihres Lebens 
entstandenen compacten Geistesmassen, auch nach dem Tode fortbestehen. 
(Ihr isoiirtes Fortbestehen genügt nicht). Um aber die planmässige 
Entwicklung der organischen Natur, bei welcher offenbar die früher 
gesammelten Erfahrungen den späteren Schöpfungen zur Grundlage 
dienten, zu erklären, müssen wir aimehmen, dass diese Geistesmassen 
in eine grössere compacte Geistesmasse, die Erdseele, eintreten und 
dort nach denselben Gesetzen einem höheren Seelenleben dienen, wie 
die in unseren Nervenprocessen erzeugten Geistesmassen unserem eigenen 
Seelenleben. 

Wie also z. B. bei dem Sehen einer rothen Fläche die in einer 
Menge einzelner Primitivfasern erzeugten Geistesmassen zu einer ein- 
zigen compacten Geistesmasse sich verbinden, welche gleichzeitig in 
unserem Denken auftritt, so werden auch die in den verschiedenen 
Individuen eines Pflanzengeschlechts erzeugten Geistesmassen, welche 
aus einer klimatisch wenig verschiedenen Gegend der Erdoberfläche in 
die Erdseele eintreten, zu einem Gesammteindruck sich verbinden. 
Wie die verschiedenen Sinneswahrnehmungen von demselben Gegen- 
stande sich in unserer Seele zu einem Bilde desselben vereinigen, so 



480 Fragmente philosophischen Inhalts. 

werden sämmtliclie Pflanzen eines Theils der Erdoberfläche der Erd- 
seele ein bis ins Feinste ausgearbeitetes Bild von dem klimatischen 
und chemischen Zustande desselben geben.* * Auf diese Weise erklärt 
sich, wie aus dem früheren Leben der Erde sich der Plan zu späteren 
Schöpfungen entwickelt. 

Aber nach unseren Erklärungsprincipien bedarf zwar das Fort- 
bestehen vorhandener Geistesmassen keines materiellen Trägers , aber 
alle Verbindung derselben, wenigstens alle Verbindung verschieden- 
artiger Geistesmassen kann nur mittelst neuer in einem gemeinschaft- 
lichen Nervenprocesse erzeugter Geistesmassen geschehen. 

Aus Gründen, die später entwickelt werden sollen, können wir 
das Substrat einer geistigen Thätigkeit nur in der ponderablen Materie 
suchen. 

Nun ist es eine Thatsache, dass die starre Erdrinde und alle^ 
Ponderable über ihr nicht einem gemeinschaftlichen geistigen Processc 
dient, sondern die Bewegungen dieser ponderablen Massen aus anderr 
Ursachen erklärt werden müssen. 

Hiernach bleibt nur die Annahme übrig, dass die ponderableii 
Massen innerhalb der erstarrten Erdrinde Träger des Seelenlebens de]- 
Erde sind. 

Sind diese dazu geeignet? Welches sind die äusseren Bedingungen 
für die Möglichkeit des Lebensprocesses? Die allgemeinen Erfahrungen 
über die unserer Beobachtung zugänglichen Lebensprocesse müssen 
dabei die Grundlage bilden; aber nur in soweit es uns gelingt, sie zu 
erklären, können wir daraus Schlüsse ziehen, welche auch auf ander? 
Erscheinungskreise anwendbar sind. 

Die allgemeinen Erfahrungen über die äusseren Bedingungen de^ 
Lebensprocesses in dem uns zugänglichen Erscheinungskreise sind: 

1. Je höher und vollständiger entwickelt der Leben sprocess, dest > 
mehr bedürfen die Träger desselben des Schutzes gegen äussere B( - 
Wegungsursachen, welche die relative Lage der Theile zu veränder i 
streben. 

2. Die uns bekannten physikalischen Processe (Stoffwechsel), welch o 
dem Denkprocesse als Mittel dienen: 

d) Absorption von elastischen durch liquide Flüssigkeiten. 
h) Endosmose. 

c) Bildung und Zersetzung von chemischen Verbindungen. 

d) galvanische Ströme. 

3. Die Stoff'e in den Organismen haben keine erkennbare kri- 
stallinische Structur, sie sind theils fest (sehr wenig spröde) thei s 



1. Zur Psychologie und Metaphysik. 481 

gelatinös, theils liquide oder elastische Flüssigkeiten, immer aber porös, 
d. li. von elastischen Flüssigkeiten merklich durehdrincrbar. 

4. Unter allen chennschen Elementen sind nur die vier sogenannten 
organischen allgemeine Träger des Lebensprocesses, und von diesen 
sind wieder ganz bestimmte Veibindungen, die sogenannten organi- 
sirenden, Bestandtheile der organischen Körper (Proteinstoflfe, Cellu- 
lose etc.) 

5. Die organischen Verbindungen bestehen nur bis zu einer be- 
stimmten oberen Temperaturgrenze, und. nur bis zu einer bestimmten 
unteren köimen sie Träger des Lebensprocesses sein. 

ad. 1. Veränderungen in der relativen Lage der Theile werden in 
stufenweise geringerem Grade bewirkt durch mechanische Kräfte, durch 
Temperaturveränderungen, durch Lichtstrahlen; hiemach können wir 
die Tliatsachen, deren allgemeiner Ausdruck unser Satz ist, folgender- 
maassen ordnen: 

1. Die Fortpflanzbarkeit der niederen Organismen durch Theilung. 
Die bei den höheren Thierorganismen allmählich abnehmende Re- 
productionsfähigkeit. 

2. Die Theile der Pflanze sind gegen Temperaturänderungen desto 
empfindlicher, je intensiver und je höher entwickelt der Lebenspjrocess 
in ihnen ist. Li den höheren Thierorganismen herrscht, und zwar in 
den wichtigsten Theilen am vollkommensten, eine fast constante Wärme. 

3. Die Theile des Nervensystems, welche selbständiger Denk- 
thätigkeit dienen, sind gegen alle diese Einflüsse möglichst geschützt. 

Die zuerst aufgeführte Thatsache hat ihren Grund offenbar darin, 
dass die relative Lage der Theile desto eher von Vorgängen im Linern 
der Materie bestimmt werden kann, je weniger sie von äusseren Be- 
wegungsursachen bestimmt wird. Diese Unabhängigkeit von äusseren 
l^ewegungsursachen findet aber innerhalb der lirdrinde in einem weit 
hi')lieren Grade statt, als es sich durch organische Eim*ichtuu!i:('n misser- 
lialb der Erdrinde irgend erreichen Hess. 

Unter den folgenden Thatsachen, welche wir im Zusammenhang 
betrachten, sind die unter 4. und 5. zusammengestellten anscheinend 
unserer Annahme entgegen; in der That würden sie es sein, wenn 
diesen von uns wahrgenommenen Bedingungen für die Möglichkeit 
eines Lebensprocesses eine absolute Gültigkeit beizulegen wäre und 
nicht bloss eine relative für unsern Erfahrungskreis, (iegen ersteres 
aber sprechen folgende Gründe: 

L Man müsste alsdann die ganze Natur, mit Ausnahme der Erd- 
oberfläche für todt halten, denn auf allen and<'rn Himmelskörpern 

JKiemann's gpsainmelte iiiathematische Werke. 1. 31 



482 Fragmente philosophischen Inhalts. 

herrschen Wärme- und Druekverhältnisse, unter welchen die organischen 
Verbindungen nicht bestehen können. 

2. Es ist ungereimt, anzunehmen, dass auf* der erstarrten Erdrinde 
Organisches aus Unorganischem entstanden sei. Um das Entstehen der nie- 
dersten Organismen auf der Erdrinde zai erklären, muss man schon ein 
organisirendes Princip, also einen Denkprocess unter Bedingungen anneh- 
men, unter welchen die organischen Verbindungen nicht bestehen konnten. 

Wir müssen daher annehmen, dass diese Bedingungen nur für den 
Lebensprocess unter den jetsiigen Verhältnissen auf der Oberfläche der 
Erde gültig sind, und nur in soweit es uns gelingt, sie zu erklären, 
können wir daraus die Möglichkeit des Lebensprocesses unter anderen 
Verhältnissen beurtheilen. 

Weshalb also sind nur die vier organischen Elemente allgemeine 
Träger des Lebensprocesses? Der Grund kann nur in Eigenschaften 
gesucht werden, durch welche sich diese vier Elemente von allen 
übrigen unterscheiden. 

1. Eine solche allgemeine Eigenschaft dieser vier Elemente findet 
sich nun darin, dass sie und ihre Verbindungen von allen Stoffen am 
schwersten und zum Theil bis jetzt gar nicht condensirt werden können. 

2. Eine andere gemeinsame Eigenschaft derselben ist die grosse 
Mannigfaltigkeit ihrer Verbindungen und deren leichte Zersetzbarkeit. 
Diese Eigenschaft könnte a,ber ebenso wohl Folge, als Grund ihrer 
Verwendung zu Lebensprocessen sein. 

Dass aber die erstere Eigenschaft, schwer condensirt werden zu 
können, diese vier Elemente vorzugsweise geeignet macht, Lebens- 
processen zu dienen, wird einigermassen schon unmittelbar aus den 
unter 2. und 3. zusammengestellten thatsächlichen Bedingungen des 
Lebensprocesses erklärlich, noch mehr aber wenn man die Erschei- 
nungen bei der Condensation der Gase zu liquiden Flüssigkeiten und 
festen Körpern auf Ursachen zurück zu führen sucht. . . . 



Zend-Avesta in der That ein lebendig machendes Wort,*) neues 
Leben schaffend unserem Geiste im Wissen wie im Glauben; denn wie 
mancher Gedanke, welcher, einst zwar im EntAvicklungsgang der Mensch- 
heit mächtig wirkend, nur durch Ueberlieferung in uns fortdauerte 
ersteht jetzt auf einmal aus seinem Scheintode in reinerer Form zu 
neuem Leben, neues Leben enthüllend in der Natur. Denn wie un- 
ermesslich erweitert sich vor unserm Blick das Leben der Natur, wel- 
ches bisher nur auf der Oberfläche der Erde sich ihm kund that, wi« 



*) Vgl. Fochner, Zend-Avesta, I, Vorrede S. V. 



I. Zur Psychologie und Metaphyt^ik. 483 

unaussprechlich erhabener erscheint es als bisher. Was wir als den 
Sitz sinn- und bewusstlos wirkender Kräfte betrachteten, das erscheint 
jetzt als- die Werkstatt der höchsten geistigen Thätigkeit. In wunder- 
barer Weise erfüllt sicli, was unser grosser Dichter als das Ziel, 
welches dem Qeist des Forschers vorschwebte, in vorschauender Be- 
geisterung geschildert hat. 

Wie Fechner in seiner Nanna die Beseeltheit der Pflanzen dar- 
zuthun sucht, so ist der Ausgangspunkt seiner Betrachtungen im Zend- 
Avesta die Lehre von der Beseeltheit der Gestirne. Die Methode, 
deren er sich bedient, ist nicht die Abstraction allgemeiner Gesetze 
durch die Induction und die Anwendung und Prüfung derselben in der 
Naturerkliirung, sondern die Analogie. Er vergleicht die Erde mit 
unserem eigenen Organismus, von welchem wir wissen, dass er be- 
seelt ist. Er sucht dabei nicht bloss einseitig die Aehnlichkeiten auf, 
sondern lässt auch ebenso sehr den Unähnlichkeiten ihr Recht ange- 
deihen, und kommt so zu dem Resultat, dass alle Aehnlichkeiten dar- 
auf hinweisen, dass die Erde ein beseeltes Wesen, alle Unähnlich- 
keiten aber darauf, dass sie ein weit höher stehendes beseeltes Wesen, 
als wir, sei. Die überzeugende Kraft dieser Darstellung liegt in ihrer 
allseitigen Durchführung im Einzelnen. Der Gesammteindruck des vor 
uns aufgerollten Bildes von dem Leben der J^rde muss der Ansicht 
Evidenz geben und ersetzen, was den einzelnen Schlüssen an Strenge 
fehlt. Diese Evidenz beruht wesentlich auf der Anschaulichkeit des 
T^ildes, auf seiner grösstmöglichen Ausführung ins Einzelne. Ich 
würde daher der Fechner 'sehen Ansicht zu schaden glauben, wenn 
ich hier den Gang, welchen er in seinem Werke nimmt, im Auszug 
darzulegen versuchte. Bei der folgenden Besprechung der Fechner'- 
schen Ansichten werde ich also von der Form, in welcher sie vor- 
getragen sind, absehen und nur das Substantielle derselben ins Auge 
fassen, und mich dabei auf die erstere Methode, die Abstraction all- 
gemeiner Gesetze durch Induction und ihre Bewährung in der Natur- 
erklärunsc stützen. 

Fragen wir zunächst: woraus schliessen wir die Beseeltheit eines 
Dinges (das Stattfinden eines fortdauernden einheitlichen Denkprocesses 
in ihm). Unserer eigenen Beseeltheit sind wir unmittelbar gewiss, bei 
Anderen (Menschen und Thieren) schliessen wir sie aus individuellen 
zweckmässigen Bewegungen. 

Ueberall, wo wir wohlgeordnete Zweckmässigkeit auf eine Ursache 
zurückführen, suchen wir diese Ursache in einem Denkprocesse; eine 
andere Erklärung haben wir nicht. Das Denken selbst aber kann ich 
wenigstens nur für einen Vorgang im Innern der pouderablen Materie 

31* 



484 Fragmente philosophischen Inhalts. 

halten. Die Unmogliclikeit, das Denken aus räumlichen Bewegungen 
der Materie zu erklären, wird bei einer unhefan«cenen Zerefliederunix 
der inneren Wahrnehmung wohl Jedermann einleuchten; doch mag 
die abstraete Möglichkeit einer solchen Erklärung hier zugegeben 
werden. 

Dass auf der Erde Zweckmässigkeit wahrgenommen werde, wird 
niemand läugnen. Es fragt sich also, wohin haben wir den Denk- 
process, welcher die Ursache dieser Zweckmässigkeit ist, zu ver- 
legen. 

Es ist hier nur von bedingten (in begrenzten Zeiten und Räumen 
stattfindenden) Zwecken die Rede; unbedingte Zwecke finden ihre Er- 
klärung in einem ewigen (nicht in einem Denkprocess erzeugten) Wollen. 
Die einzige Zweckmässigkeit, deren Ursache wir Wahrnehmen, ist die 
Zweckmässigkeit unserer eigenen Handlungen. Sie entspringt aus dem 
Wollen der Zwecke und dem Nachdenken über die Mittel. 

Finden wir nun einen aus ponderabler Materie bestehenden Kör- 
per, in w^elchem ein System von fortlaufenden Zweck- und Wirkungs- 
bezügen vollkommen zum Abschluss kommt, so können wir zur Er- 
klärung dieser Zweckmässigkeit einen fortwährenden eiiiheitlichen Denk- 
process in demselben annehmen; und diese Hypothese wird die wahr- 
scheinlichste sein, wenn 1) die Zw^eckmässigkeiten nicht schon in 
Theilen des Körpers zum Abschluss kommen, und 2) kein Grund vor- 
handen ist, die Ursache derselben in einem grösseren Ganzen, welchem 
der Körper angehört, zu suchen. 

Wenden wir dies auf die in Menschen, Thieren und Pflanzen wahr- 
genommene Zweckmässigkeit an, so ergiebt sich, dass ein Theil dieser 
Zweckmässigkeiten aus einem Denkprocess im Innern dieser Kih-per zu 
erklären ist, ein anderer Theil, die Zweckmässigkeit des Organismus, 
aber aus einem Denkprocess in einem grösseren Ganzen. 

Die Gründe hierfür sind: 

1. Die Zweckmässigkeit der organischen Einrichtungen findet 
nicht in den einzelnen Organismen ihren Abschluss. Die Gründe für 
die Einrichtung des menschlichen Organismus sind offenbar in der Be- 
schaffenheit der ganzen Erdoberfläche, die organische Natur mit ein- 
gerechnet, zu suchen. 

2. Die organischen Bewegungen wiederholen sich unzählbar, tlieils 
in verschiedenen Individuen neben einander, theils in dem Leben eines 
Individuums oder eines Geschlechts nach einander. Für die Zweck- 
mässigkeit, welche in ihnen für sich schon liegt, ist also nicht in je- 
dem Fall eine besondere, sondern eine gemeinsame Ursache anzunehmen. 



I. Zur Psychologie und Metaphysik. 485 

3. Die organischen Einrichtungen erhalten theils (bei Menschen 
iiiul Thieren) im Leben der einzelnen Individuen, theils (bei Pflanzen 
und Embryonen) im Leben der einzelnen Geschlechter keine Fortbildung. 
Die Ursache ihrer Zweckmässigkeit ist also nicht in einem gleich- 
zeitig fortlaufenden Denkprocess zu suchen. 

Nach Abzug dieser (organischen) Zweckmässigkeiten bleibt nun 
bei Menschen und Thieren anerkannter Maassen, bei Pflanzen nach 
Fechner's Ansicht, noch ein abgeschlossenes System in einander greifen- 
der veränderlicher Zweck- und Wirkungsbezüge übrig-, und diese Zweck- 
mässigkeit ist aus einem einheitlichen Denkprocesse in ihnen zu er- 
klären. 

Diese Folgerungen aus unseren Principien werden durch unsere 
innere Wahrnehmun««: bestätit^t. 

Nach denselben Principien aber müssen wir die Ursache der in 
den Organismen wahrgenommenen Zweckmässigkeiten in einem ein- 
heitlichen Denkprocesse in der Erde suchen aus folgenden Gründen: 
a) Die Zweck- und Wirkungsbezüge in dem organischen Leben 
auf der Erde zerfallen nicht in einzelne Systeme, sondern es 
greift alles in einander. Sie können daher nicht aus meh- 
reren besonderen Denkprocessen in Theilen der Erde erklärt 
werden. 
h) Es ist, so weit unsere Erfahrung reicht, kein Grund vorhanden, 
die Ursachen dieser Zweckmässigkeiten in einem grösseren 
Ganzen zu suchen. Alle Organismen sind nur zum Leben auf 
der Erde bestimmt. Der Zustand der Erdrinde enthält daher 
sämmtliche (äussere) Gründe ihrer Einrichtung. 
6') Sie sind individuell. Nach allem was die Erfahrung darüber 
lehrt, müssen wir annehmen, dass sie sich auf andern Himmels- 
körpern nicht wiederholen. 
d) Sie bleiben nicht während des Lebens der Erde. Es treten 
vielmehr im Lauf desselben immer neue, vollkommenere Or- 
ganismen auf. Wir müssen also die Ursache in einem gleich- 
zeitig zu höheren Stufen fortschreitenden Denkprocesse suchen. 
Vom Standpunkt der exacten Naturwissenschaft, der Natur-Erklärung 
aus Ursachen ist also die Annahme einer Erdseele eine Hypothese zur 
Erklärung des Daseins und der geschichtlichen Entwicklung der organi- 
schen Welt. 



„Wenn der Leib der niederen Seele stirbt" sagt Fechner, „nimmt 
die obere Seele sie aus ihrem Anschauungsleben in ihr Erinnerungsleben 



486 



P^-agmente philosophischen Inhalts. 



auf.'' Die Seeleu der gestorbenen Geschöpfe sollen also die Elemente 
bilden für das Seelenleben der Erde. 

Die verscliiedenen Denkprocesse scheinen sich hauptsächlich zu 
unterscheiden durch ihren zeitlichen Rhythmus. Wenn die Pflanzen 
beseelt sind, so müssen Stunden und Tage für sie sein, was für uns 
Secunden sind; der entsprechende Zeitraum für die Erdseele, wenigstens 
für ihre Thätigkeit nach aussen, umfasst vielleicht viele Jahrtausende. 
Soweit die geschichtliche Erinnerung der Menschheit reicht, sind alle 
Bewegungen der unorganischen Erdriiide wolil noch aus mechanischen 
Gesetzen zu erklären. 



Antinomien. 

Thesis. Antithesis. 

Endliches, Vorstellbares. Unendliches, Begriffssysteme die 

an der Grenze des Vorstellbaren 
liegen. 

I. 

Endliche Zeit- und ßaumele- Stetiges. 



mente. 



ii: 



Freiheit, d. h. nicht das Ver- Determinismus, 

mögen, absolut anzufangen, son- 
dern zwischen zwei oder mehreren 
gegebenen Möglichkeiten zu ent- 
scheiden. 

Damit trotz völlig bestimmter Niemand kann beim Handeln 

Gesetze des Wirkens der Vor- die Ueberzeugung aufgeben, dass 
Stellungen Entscheidung durch Will- die Zukunft durch sein Handeln 
kür möglich sei muss man anneh- mitbestimmt wird, 
men, dass der psychische Mechanis- 
mus selbst die Eigenthümlichkeit 
hat oder wenigstens in seiner Ent- 
wicklung annimmt, die Nothwen- 
digkeit derselben herbeizuführen. 

in. 

Ein zeitlich wirkender Gott Ein zeitloser, persönlicher, all- 

(Weltregierung). wissender, allmächtiger, allgütiger 

Gott (Vorsehung). 



I. Zur Rsychologic uiul Metaphysik. 



487 



IV. 



T h e s i 8. 
Unsterblichkeit. 



Freiheit ist sehr wohl vereiii- 
biir mit strenger (Gesetzmässigkeit 
des Naturlaufs. Aber der Begriff 
eines zeitlosen Gottes ist daneben 
nicht haltbar. Es muss vielmehr 
die Beschränkung, welche Allmacht 
und Allwissenheit durch die Frei- 
heit der Geschöpfe in der oben 
festgestellten Bedeutung erleiden, 
aufgehoben werden durch die An- 
nahme eines zeitlich wirkenden 
Gottes, eines Lenkers der Herzen 
und Geschicke der Menschen, der 
Begriff der Vorsehung muss er- 
gänzt und zum Theil ersetzt wer- 
den durch 
regier ung. 



den Begriff' der Welt- 



Antithesis. 
Ein unserer zeitlichen Erschei- 
nung zu Grunde liegendes Ding an 
sich mit transcendentaler Freiheit, 
radicalem Bissen, intelligiblem Cha- 
rakter ausgestattet. 



Allgemeines Verhältniss der Begriffssysteme der Thesis und 

Antithesis. 

Die Methode, welche Newton zur Begründung der Infinitesimal- 
rechnung anwandte, und welche seit Anfang dieses Jahrhunderts von 
den besten Mathematikern als die einzige anerkannt worden ist, welche 
sichere Resultate liefert, ist die Grenzmethode. Die Methode besteht 
darin, dass man statt eines stetigen Uebergangs von einem Werth 
einer Grösse zu einem andern, von einem Orte zu einem andern, oder 
überhaupt von einer Bestimmungsweise eines Begriffs 'zu einer andern 
zunächst einen Uebergang durch eine endliche Anzahl von Zwischen- 
stufen betrachtet und dann die Anzahl dieser Zwischenstufen so wachsen 
lässt, dass die Abstände zweier aufeinanderfolgender Zwischenstufen 
säramtlich ins Unendliche abnehmen. 

Die Begriffssysteme der Antithesis sind zwar durch negative Prä- 
dicate fest bestimmte Begriffe, aber nicht positiv vorstellbar. 



488 Fragmente philosophischen Inhalts. 

Eben desslialb, weil ein genaues und vollständiges Vorstellen dieser 
Begriffssysteme unmöglich ist, sind sie der directen Untersuchung und 
Bearbeitung durch unser Nachdenken unzugänglich. Sie können aber 
als an der Grenze des Vorstellbaren liegend betrachtet werden, d. h. 
man kann ein innerhalb des Vorstellbaren liegendes Begriffssystem 
bilden, welches durch blosse Aenderung der Grössenverhältnisse in das 
gegebene Begriffssystem übergeht. Von den Grössenverhältnissen ab- 
gesehen bleibt das Begriffssystem bei dem üebergang zur Grenze un- 
geändert. In dem Grenzfall selbst aber verlieren einige von den Cor- 
relativbegriffen des Systems ihre Vorstellbarkeit, und zwar solche, 
welche die Beziehung zwischen andern Begriffen vermitteln. 



II. Erkenntnisstheoretisches. 

Versuch einer Lehre von den Grundbegriffen der Mathematik und 
Physik als Grundlage für die Naturerklärung. 

Naturwissenschaft ist der Versuch, die Natur durch genaue 
Begriffe aufzufassen. 

Nach den Begriffen, durch welche wir die Natur auffassen, werden 
nicht bloss in jedem Augenblick die Wahrnehmungen ergänzt, sondern 
auch künftige Wahrnehmungen als noth wendig, oder, insofern das 
Begriffssystem dazu nicht vollständig genug ist, als wahrscheinlich 
vorher bestimmt; es bestimmt sich nach ihnen, was „möglich" ist (also 
auch was „nothwendig" oder wessen Gegentheil unmöglich ist) und es 
kann der Grad der Möglichkeit (der „Wahrscheinlichkeit") jedes ein- 
zelnen nach ihnen möglichen Ereignisses, wenn sie genau genug sind, 
mathematisch bestimmt werden. 

Tritt dasjenige ein, was nach diesen Begritfeii nothwendig oder 
wahrscheinlich ist, so werden sie dadurch bestätigt, und auf dieser 
Bestätigung durch die Erfahrung beruht das Zutrauen, welches wir 
ihnen schenken. Geschieht aber Etwas, was nach ihnen nicht erwartet 
wird, also nach ihnen unmöglich oder unwahrscheinlich ist, so ent- 
steht die Aufgabe, sie so zu ergänzen oder, wenn nöthig, umzuarbeiten, 
dass nach dem vervollständigten oder verbesserten Begriffssystem das 
Wahrgenommene aufhört, unmöglich oder unwahrscheinlich zu sein. 
Die Ergänzung oder Verbesserung des Begriffssystems bildet die „Er- 
klärung" der unerwarteten Wahrnehmung. Durch diesen Process wird 
unsere Auffassung der Natur allmählich immer vollständiger und rich- 
tiger, geht aber zugleich immer mehr hinter die Oberfläche der Er- 
scheinungen zurück. 

Die Geschichte der erklärenden Naturwissenschaften, soweit wir 
sie rückwärts verfolgen können, zeigt, dass dieses in der That der 
Weg ist, auf welchem unsere Naturerkenntniss fortschreitet. Die Be- 
griffssysteme, welche ihnen jetzt zu Grunde liegen, sind durch all- 
mählige Umwandlung älterer Begriffssysteme entstanden, und die Gründe, 
welche zu neuen Erklärungsweisen trieben, lassen sich stets auf Wider- 
sprüche oder Unwahrscheinlichkeiten, die sich in den älteren Erklärungs- 
weisen herausstellten, zurückführen. 



400 Fragmente philosophischen Inhalts. 

Die Bikluiig neuer Begriffe, soweit sie der Beobachtung zugänglich 
ist, geschielit also durch jenen Process. 

Es ist nun von Ilerbart der Nachweis geliefert worden, dass 
auch die zur Weltauffassung dienenden Begriffe, deren Entstehung wir 
weder in der Geschichte, noch in unserer eigenen Entwicklung ver- 
folgen können, weil sie uns unvermerkt mit der Sprache überliefert 
werden, sämmtlich, in soweit sie mehr sind als blosse Formen der 
Verbindung der einfachen sinnlichen Vorstellungen, aus dieser Quelle 
abgeleitet werden können und daher nicht (wie nach Kant die Kate- 
gorien) aus einer besonderen aller Erfahrung voraufgehenden Be- 
schaffenheit der menschlichen Seele hergeleitet zu werden brauchen. 

Dieser Nachweis ihres Ursprungs in der Auffassung des durch die 
sinnliche Wahrnehmung Gegebenen ist für uns desshalb wichtig, weil 
nur dadurch ihre Bedeutung in einer für die Naturwissen- 
schaft genügenden Weise festgestellt werden kann.... 



Nachdem der Begriff für sich bestehender Dinge gebildet worden 
ist, entsteht nun beim Nachdenken über die Veränderung, welche dem 
Begriffe des für sich Bestehens widerspricht, die Aufgabe, diesen schon 
bewährten Begriff so weit als möglich aufrecht zu erhalten. Hieraus 
entspringen gleichzeitig der Begriff der stetigen Veränderung, und der 
Begriff der Causalität. 

Beobachtet wird nur ein Uebergang eines Dinges aus einem Zu- 
stand in einen anderen, oder, allgemeiner zu reden, aus einer Be- 
stimmungsweise in eine andere, ohne dass dabei ein Sprung wahr- 
genommen wird. Bei der Ergänzung der Wahrnehmungen kann man 
nun entweder annehmen, dass der Uebergang durch eine sehr grosse 
aber endliche Anzahl für unsere Sinne unmerklicher Sprünge geschieht, 
oder dass das Ding durch alle Zwischenstufen aus dem einen Zustand 
in den andern übergeht. Der stärkste Grund für die letztere Auf- 
fassung liegt in der Forderung, den schon bewährten Begriff des für 
sich Bestehens der Dinge so weit als möglich aufrecht zu erhalten. 
Freilich ist es nicht möglich, sich einen Uebergang durch alle Zwischen- 
stufen wirklich vorzustellen, was aber, wie bemerkt, genau genommen 
von allen Begriffen gilt. 

Zugleich aber wird nach dem früher gebildeten und in der Er- 
fahrung bewährten Begriffe des für sich Bestehens der Dinge geschlossen, 
das Ding würde bleiben, was es ist, wenn nichts Anderes hinzukäme. 
Hierin liegt der Antrieb , zu jeder Veränderung eine Ursache zu suchen. 



II. Erkenntoissthcoretisches. 491 

I. Wann ist unsere Auffassung der Welt wahr? 

„Wenn der Zusammenhang unserer Vorstellungen d«'ui Zusammen- 
hange der Dinge entspricht." 

Die Elemente unseres IJildes von der Welt sind von den ent- 
sprechenden Elementen des abgebildeten Realen gänzlich verschieden. 
Sie sind etwas in uns; die Elemente des Realen etwas ausser uns. 
Aber die Verbindungen zwischen den Elementen im Bilde und im Ab- 
gebildeten müssen übereinstimmen, wenn das Bild wahr sein soll. Die 
Wahrheit des Bildes ist unabhängig von dem (Jrade der Feinheit des 
Bildes; sie hängt nicht davon ab, ob die Elemente des l^ildes grössere 
oder kleinere Mengen des Realen repräsentiren. Aber die Verbindungen 
müssen einander entsprechen; es darf nicht im Bilde eine unmittelbare 
Wirkung zweier Elemente auf einander angenommen werden, wo in 
der Wirklichkeit nur eine mittelbare stattfindet. In diesem Fall würde 
das Bild falsch sein und der Berichtigung bedürfen; wird dagegen ein 
Element des Bildes durch eine Gruppe von feineren Elementen ersetzt, 
so dass seine Eigenschaften theils aus einfacheren Eigenschaften der 
feineren Elemente, theils aber aus ihrer Verbindung sich ergeben und 
also zum Theil begreiflich werden, so wächst dadurch zwar unsere 
Einsicht in den Zusammenhang der Dinge, aber ohne dass die frühere 
Auffassung für falsch erklärt werden müsste, 

II. Woraus soll der Zusammenhang der Dinge gefunden werden? 
„Aus dem Zusammenhange der Erscheinungen.^' 

Die Vorstellung von Sinnendingen in bestimmten räumlichen und 
zeithchen Verhältnissen ist dasjenige, was beim absichtlichen Nach- 
denken über die Natur vorgefunden wird oder für dasselbe gegeben 
ist. Es ist jedoch bekanntlich die Qualität der Merkmale der Sinnen- 
dinge, Farbe, Klang, Ton, Geruch, Geschmack, Wärme oder Kälte, 
etwas lediglich unserer Empfindung Entnommenes, ausser uns nicht 
Existirendes. 

Dasjenige, woraus der Zusammenhang der Dinge erkannt werden 
muss, sind also quantitative Verhältnisse, die räumlichen und zeit- 
lichen Verhältnisse der Sinnendinge und die Intensitätsverhältnisse der 
Merkmale und ihrer Qualitätsunterschiede. 

Aus dem Nachdenken über den beobachteten Zusammenhang dieser 
Grössenverhältnisse muss sich die Erkenntniss des Zusammenhangs der 
Dinge ergeben. 



492 Fragmente philosophischen Inhalts, 

Causalität. 

I. Was ein Agens zu bewirken strebt muss durch den Bcgritf 
des Agens bestimmt sein; seine Action kann von nichts Anderem als 
von seinem eigenen Wesen abhängen. 

IL Dieser Forderung wird genügt, wenn das Agens sich selbst 
zu erhalten oder herzustellen strebt. 

III. Eine solche Action ist aber nicht denkbar, wenn das Agens 
ein Ding, ein Seiendes ist, sondern nur wenn es ein Zustand oder ein 
Verhältniss ist. Findet ein Streben etwas zu erhalten oder her- 
zustellen Statt, so müssen auch Abweichungen, und zwar in verschie- 
denen Graden, von diesem Etwas möglich sein; und es wird in der 
That, in sofern dieser Bestrebung andere Bestrebungen widerstreiten, 
nur möglichst nahe erhalten oder hergestellt werden. Es giebt aber 
keine Grade des Seins, eine gradweise Verschiedenheit ist nur von Zu- 
ständen oder Verhältnissen denkbar. Wenn also ein Agens sicli 
selbst zu erhalten oder herzustellen strebt, so muss es ein Zustand 
oder ein Verhältniss sein. 

IV.' Eine solche Action eines Zustandes kann selbstredend nur 
auf solche Dinge stattfinden, die eines gleichen Zustandes fähig sind. 
Auf welche von diesen Dingen sie aber stattfindet und ob sie über- 
haupt stattfindet, kann aus dem Begriff des Agens nicht geschlossen 
werden. *) 



*) Diese Sätze gelten nur wenn einem einfachen Realgrund das Wirken zu- 
geschrieben werden soll. 

Wenn zwei Dinge a und h durch einen äusseren Grund in Verbindung treten, 
so kann entweder an die Verbindung, das Verbundensein, selbst, oder auch an 
die Veränderung ihres Grades, eine Folge c geknüpft sein. Die einfachste An- 
nahme ist, dass die Folge c an das Verbundensein geknüpft ist. 

Es ist unnöthig, diese Betrachtungen weiter fortzuführen. Ihr Princip besteht 
darin, dass man den Satz festhält: „Was ein Agens zu bewirken strebt, muss 
durch den Begriff des Agens bestimmt sein", diesen Satz aber nicht, wie Leibnitz 
oder Spinoza auf Wesen mit einer Mannigfaltigkeit von Bestimmungen, sondern 
auf Realgründe von mögliehst grösstcr Einfachheit anwendet. 

Man pflegt im Deutschen sowohl actio als effectus durch Wirkung zu übersetzen. 
Da das Wort in der letzteren Bedeutung viel häufiger vorkommt, so entsteht 
leicht eine Undeutlichkeit, wenn man es für actio braucht, wie z. B. bei der ge- 
bräuchlichen Uebersetzung von „actio aequalis est reactioni", „principium actionis 
miiiimae." Kant sucht sich dadurch zu helfen, dass er neben Wirkung, Wechsel- 
wirkung, den lateinischen Ausdruck actio, actio mutua in Klammern hinzufügt. 
Man könnte vielleicht sagen: „die Kraft ist gleich der Gegenkraft", „Satz vom 
klciusten Kraftaufwands" Da aber in der That uns ein einfacher Ausdruck für 
agere, ein auf etwas Anderes gerichtetes Streben, fehlt, so möge mir der Ge- 
brauch des Fremdworts gestattet sein. 



II. Erkenninibstheoretisches. 493 

Sehr richtig heinerkt Kant, dass durch die Zergliederung des Be- 
griffs von einem Dinge weder gefunden werden könne, dass es sei, 
noch dass es die Ursache von etwas Anderem sei, dass also die Be- 
griffe des Seins und der Causaljtät nicht analytisch seien und nur aus 
der Erfahrung entnommen werden können. Wenn er aber später 
sich zu der Annahme geniHhigt glaubt, dass der Causalbegriff aus 
einer aller Erfahrung vorausgehenden Beschaffenheit des erkennenden 
Subjects stamme, und ihn desshalb zu einer blossen Regel der Zeit- 
folge stempelt, durch welche in der Erfahrung mit jeder Wahrnehmung 
als Ursache jede beliebige andere als Wirkung verknüpft werden 
könnte, so heisst dies das Kind mit dem Bade ausschütten. (Freilich 
müssen wir die Causalitätsverhältnisse aus der Erfahrung entnehmen; 
aber wir dürfen nicht darauf verzichten, unsere Auffassung dieser Er- 
fahrungsthatsachen durch Nachdenken zu berichtigen und zu ergänzen.) 



Das Wort Hypothese hat jetzt eine etwas andere Bedeutung als 
bei Newton. Man pflegt jetzt unter Hypothese alles zu den Ersc^hei- 
nungen Hinzugedachte zu verstehen. 

Newton war weit entfernt von dem ungereimten TJedanken, als 
könne die Erklärung der Erscheinungen durch Abstraction gewonnen 
werden. 

Newton: Et hacc de deo; de quo utique ex phaenomenis disserere 
ad philosophiam exi)erimentalem pertinet. llationem vero harum (ira- 
vitatis proprietatum ex phaenomenis nondum potui deducere, et Hypo- 
theses non fingo. Quicquid enim ex Phaenomenis uon deducitur, 
Hypothesis vocanda est. 

Arago, Oeuvres completes T. 3. 505: 

Une fois, une seule fois Laplace s'elanca dans la region des con- 
jectures. Sa conception ne fut alors rien moins qu'une cosmogonie. 

Laplace auf Napoleons Frage, wesshalb in seiner Mec. cel. der 
Name Gottes nicht vorkomme: Sire, je n'avais pas besoin de cette 
hypothese. 

Die Unterscheidung, welche Newton zwischen Bewegungsgesetzen 
oder Axiomen und Hypothesen macht, scheint mir nicht haltbar. Das 
Trägheitsgesetz ist die Hypothese: Wenn ein materieller Punkt allein 
in der Welt vorhanden wäre und sich im Kaum mit einer bestimmten 
Geschwindigkeit bewegte, so würde er diese Geschwindigkeit beständig 
behalten. 



III. Naturphilosophie. 

1. Molecularmeehanik. 

Die freie Bewegung eines Systems materieller Punkte m^^, nk, . . . 
mit den rechtwinkligen Coordinaten oc^pVi^^i'-) ^2 72/2? ^2 5 ••• ^^^^ welche 
parallel den drei Axen die Kräfte Xj, Y^y Z^\ Xg, Y>^y Z.a ... wirken 
geschieht den Gleichungen gemäss: 
/■K\ d'-^x^ ^^^Vi (^'^i 

Dies Gesetz kann auch so ausgesprochen werden: die Beschleunigungen 
bestimmen sich so^ dass 

dt~ inj ' V (Zi^" ^^ij -f- y ^n2 ^,fj ] 

ein Minimum wird; denn diese Function der Beschleunigungen nimmt 
ihren kleinsten Werth an, wenn die Beschleunigungen sämmtlich 
den Gleichungen (1) gemäss bestimmt werden, d. h. die Grössen 

—rrr, • • • sämmtüch = sind, und sie nimmt auch nur dann einen 

d'x^ X^ 

Minimumwerth an; denn wäre eine dieser Grössen, z. B. -7— 

' ^ dt^ m^ 

nicht gleich Null, so könnte man -,.^ immer stetig so ändern, dass 

der absolute Werth dieser Grösse und folglich ihr Quadrat abnähme. 
Die Function würde also dann kleiner werden, wenn man zugleich 
alle übrigen Beschleunigungen ungeändert liesse. 

Diese Function der Beschleunigunc^en unterscheidet sich von 




2».p)" +©)+©) 

nur um eine Constante, d. h. eine von den Beschleunigungen unab- 
hängicfe Grösse. 



III. Naturphilofophio. 49f) 

Wenn die Kräfte nur von Anzieluin<^eii und Abstossungen zwischen 
den Punkten herrühren, welche Functionen der Entfernung sind, und 
der tte Punkt und der t'ie Punkt sich in der Entfernung r mit der 
Kraft ft,i-(r) abstossen oder mit der Kraft — fi,i(j') anziehen,* lassen 
sich bekainitlich die Componenten der Kräfte ausdrücken durch die par- 
tiellen Derivirten einer Function von den Coordinaten sämmtlicher Punkte 



I'=2F,,,(r.,,) 



woriii F,,i-{r) eine Function bedeutet, deren Derivirte f,,t-(r), und für 
L und i je zwei verschiedene Indices zu setzen sind. 
Substituirt man diese Werthe der Componenten 

V _ ^ V _^ 7 —^L 

in obiger Function der Beschleunigungen und multiplicirt dieselbe mit 

dt- 

-— , wodurch die Lage ihrer Maxim a und Minima nicht geändert wird, 

so erhält man einen Ausdruck, der sich von 



nur um eine von den Beschleunigungen unabhängige Grösse unter- 
scheidet. Wenn die Lage und die Geschwindigkeiten der Punkte zur 
Zeit t gegeben sind, so bestimmt sich diese Lage zur Zeit t -\- dt so, 
dass diese Grösse möglichst klein wird. Es findet demnach ein Streben 
statt, diese Grösse möglichst klein zu machen. 

Dieses Gesetz kann man nun aus Actionen erklären, welche die 
einzelnen Glieder dieses Ausdrucks möglichst klein zu machen streben, 
wenn man annimmt, dass einander widerstreitende Bestrebungen 
sich so ausgleichen, dass die Summe der Grössen, welche die 
einzelnen Actionen möglichst klein zu erhalten streben, ein 
Minimum wird. 

Nimmt man an, dass die Massen der Punkte Wj, m.^y . . ., w/« sich 
verhalten wie die ganzen Zahlen /r^, h,, . . ., Z*„, so dass m, = Ä*,^, so 
besteht